人教A版高二数学教材
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4.2.2等差数列的前n项和公式课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
a1 an ( n 1) d
n（n 1)
S n na1
d
2
公式二
n（n 1)
S n nan
d
2
公式二变式
类比梯形面积公式 :
公式的使用:
（上底 下底） 高
S
2
已知a1 , an , n ,求S n时，优先考虑公式 1
已知a1 , d , n, 求S n时，优先考虑公式 2
求和；
2
对于(2),可以先利用a1和2 的值求出d ，再利用公式 = 1 +
对于(3),已知公式 =
(−1)
1 +
2
(−1)
2
求和；
中的1 ，和 ，解方程即可求得.
典例解析
典型例题
新教材《选择性必修二》
例1.已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7, 50 =101,求50 ；
东家半落西家.
愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯.
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
探究新知
新知学习
新教材《选择性必修二》
问题2 网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从
第1行到第n行一共有多少个字？
按照n取值的奇偶进行分类讨论.
当n为偶数时，
Sn 1 2 3
n(n 1)
2
Sn 1 2 3
n
(1 n) [2 (n 1)]
(1 n) (1 n)
当n为奇数时，
n n
( 1)
2 2
(1 n).
(1 n) [2 (n 1)]
n（n 1)
S n na1
d
2
公式二
n（n 1)
S n nan
d
2
公式二变式
类比梯形面积公式 :
公式的使用:
（上底 下底） 高
S
2
已知a1 , an , n ,求S n时，优先考虑公式 1
已知a1 , d , n, 求S n时，优先考虑公式 2
求和；
2
对于(2),可以先利用a1和2 的值求出d ，再利用公式 = 1 +
对于(3),已知公式 =
(−1)
1 +
2
(−1)
2
求和；
中的1 ，和 ，解方程即可求得.
典例解析
典型例题
新教材《选择性必修二》
例1.已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7, 50 =101,求50 ；
东家半落西家.
愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯.
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
探究新知
新知学习
新教材《选择性必修二》
问题2 网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从
第1行到第n行一共有多少个字？
按照n取值的奇偶进行分类讨论.
当n为偶数时，
Sn 1 2 3
n(n 1)
2
Sn 1 2 3
n
(1 n) [2 (n 1)]
(1 n) (1 n)
当n为奇数时，
n n
( 1)
2 2
(1 n).
(1 n) [2 (n 1)]
3.3.1抛物线及其标准方程+课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
新知探究
l
F
思考：若定点F在定直线l上，M的轨迹又
是什么？
一条经过点 F
且垂直于 l
的直线
l
•
F
抛物线的定义
1．定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的
点的轨迹是抛物线．
l
焦点：点 F 叫做抛物线的焦点．
准线：直线 l 叫做抛物线的准线．
F
2.当 l 经过点 F 时，轨迹为经过 F 点且与 l 垂直的直线.
新知探究
2
例2 二次函数
=
( ≠ 0)的图象是抛物线吗？如果是，请
l
l
写出它的焦点坐标、准线方程.
解：∵
∴
= 2 ( ≠ 0)
2
= (
≠ 0).
1
焦点在轴上，焦点坐标为(0, )，准线方程为
4
=
1
− .
4
小结：
1.抛物线的几何特征是什么？
知识与方法
2.抛物线的标准方程是如何获得的？
新知探究
探究2 抛物线的标准方程
问题2：明确了定义，你能根据定义求出抛物线的标准方程吗？
思考：求轨迹方程的步骤是什么？
建系
设点
列式
化简
检验
思考：回顾一下推导椭圆和双曲线的标准方程时是如何建系的？
观察抛物线的几何特征，我们如何建立平面直角坐标系？
设焦点到准线的距离为 p, ( p 0)
H
O
l
y
3.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？如何区分？
思想：数形结合、化归、类比
作业
（1）课本138页复习巩固第1-4题
8.3列联表与独立性检验课件-高二数学人教A版选择性必修第三册
自主学习
2. 2×2 列联表：
一般地，假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其
样本频数列联表(称为 2×2 列联表）为
y1
y2
合计
x1 x2 合计
a c a＋c
b d b＋d
a＋b c＋d a＋b＋c＋d
自主学习
(1)列联表是两个或两个以上分类变量的汇总统计表，现阶段我们仅研究 两个分类变量的列联表，并且每个分类变量只取两个值，这样的列联表 称为2×2列联表． (2)列联表有助于直a 观地观测数据之间的关系，如a表示既满足x1，又满 足y1的样本量，a＋b 表示在x1情况下，又满足y1条件的样本所占的频率．
课后作业
对应课后练习
经典例题
题型二 独立性检验
解: (1)2×2 列联表如表所示：
教师年龄
对新课程教学模式
赞同
不赞同
老教师
10
10
青年教师
24
6
合计
34
16
合计
20 30 50
经典例题
题型二 独立性检验
(2)零假设为 H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关．
由公式得
χ2＝50×
10×6－24×10 34×16×20×30
63
117
180
女生
42
82
124
合计
105
199
304
根据表中数据，则下列说法正确的是________．(填序号) ①性别与知道想学专业有关； ②性别与知道想学专业无关； ③女生比男生更易知道所学专业．
当堂达标
② 解析:
χ2＝304×1806×31×2842×－10452××119197
圆的一般方程课件++2024-2025学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
圆的标准方程明确地表达了圆的几何元素，即圆心坐标和半径长(重“形”).
圆的一般方程表现出明显的代数形式(重“数”)，圆心和半径长需要代数运算
才能得出.
随堂练习
1.判断正误.
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(
)
(2)二元二次方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0一定是某个圆的方程.(
例：判断下列方程分别表示什么图形？
（1） 2 + 2 − 2 + 4 + 1 = 0;
−1
2
+ +2
2
=4
圆
（2） 2 + 2 − 2 − 4 + 5 = 0；
−1
2
+ −2
2
=0
点
（3） 2 + 2 − 2 − 4 + 6 = 0.
−1
2
+ −2
2
= −1
代数特征
平方和
特殊的二元二次方程
系数
r2 0
D2 E 2 4F 0
圆心
半径
（a,b）
r
（-
D E
,- ）
2
2
1
D2 E 2 4F
2
∴所求圆的一般方程为x 2 + y 2 − 4x − 2y − 5 = 0.
课堂小结
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
标准方程
一般方程
x 2 y 2 Dx Ey F 0
方程
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
圆的一般方程表现出明显的代数形式(重“数”)，圆心和半径长需要代数运算
才能得出.
随堂练习
1.判断正误.
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(
)
(2)二元二次方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0一定是某个圆的方程.(
例：判断下列方程分别表示什么图形？
（1） 2 + 2 − 2 + 4 + 1 = 0;
−1
2
+ +2
2
=4
圆
（2） 2 + 2 − 2 − 4 + 5 = 0；
−1
2
+ −2
2
=0
点
（3） 2 + 2 − 2 − 4 + 6 = 0.
−1
2
+ −2
2
= −1
代数特征
平方和
特殊的二元二次方程
系数
r2 0
D2 E 2 4F 0
圆心
半径
（a,b）
r
（-
D E
,- ）
2
2
1
D2 E 2 4F
2
∴所求圆的一般方程为x 2 + y 2 − 4x − 2y − 5 = 0.
课堂小结
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
标准方程
一般方程
x 2 y 2 Dx Ey F 0
方程
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
高二数学人教A版选择性必修第一册课件：3.1.1椭圆及其标准方程
解析：若 0 m 4 ，则 m 3 4 ，得 m 7 (舍去)；
若 m 4 ，则 m 3 2 m ，解得 mm 9 ，所以焦点坐标为 0, 5 .
x2
4. 设 F1 ，F2 分别为椭圆 y 2 1 的左右焦点，点 A ，B 在椭圆上，若
笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如
果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点1 ， 2 （如图
），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持
的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集 P {M | | MF1 | | MF2 | 2a} .
因为 | MF1 | ( x c)2 y 2 ，
| MF2 | ( x c)2 y 2 ，
所以 ( x c)2 y2 ( x c)2 y 2 2a .①
2
解析几何中求点的轨迹方程常用的方法：寻求点 M 的坐标 ，
中 ，与 0 ，0 之间的关系，然后消去0 ，0 ，得到点M的轨迹方
程.
例 3 如图，设 A，B 两点的坐标分别为 (5 ，
0) ，
(5 ，
0) .直线
4
AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 ，求点 M 的轨迹
2
−
2.
令 = || =
2
−
2
2 ，那么方程⑤就是 2
+
2
2
= 1 ( >
> 0) .⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都
8.1.2样本的相关系数-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件
i=1
n
2n
2
xi x
yi y
n xi2 - nx2 n yi2 - ny2
i=1
i=1
i=1
i=1
参考数据: 0.3 0.55, 0.9 0.95
解：由已知数据可得x 2 4 5 6 8 5,
y 34445 4
5
5
5
(xi x)(yi y) (3)(1) (1)0 00 10 30 6
成对数据为(x1, y1), (x2, y2 ),, (xn , yn ),
其中x x1 x2 xn , y y1 y2 yn
n
n
将数据以(x, y)为零点进行平移,得到平移后的成对数据为
x1 x, y1 y , x2 x, y2 y ,..., xn x, yn y
r cos
所以 当|r|=1时 =0或 ，向量 x' 与 y' 共线。
即存在实数 ,使得 y' x'
yi y xi x ,i 1, 2, , n
sy
sx
成对样本数据(xi,yi)都落在直线
yi
y
sy sx
( xi
x)
上
成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系
由此可见，样本相关系数r的取值范围为[-1，1], 样本相关系数r的绝对值大小可以反应成对样本数据之 间线性相关的程度：
对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于
其相关系数比较，正确的是( A )
A．r2<r4<0<r3<r1 C．r4<r2<0<r3<r1
B．r4<r2<0<r1< r3 D．r2<r4<0<r1<r3
空间直角坐标系 课件——2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3、空间中向量的坐标。
课堂作业 教材 P18 练习 1,2,3,4
变式探究
如图，在长方体 OABC D AB C 中， OA 3, OC 4, OD 2,以
1
1
1
{ OA, OC , OD }为单位正交基底，建立 如图所示的空间直角坐 标系 Oxyz .
3
4
3
z
D′
的高度，即需第三个坐标z。
坐标的一一对应呢？
新课讲解：
类比平面直角坐标系探究空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底 , , ,
z
以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以
它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、
k
z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个
i
空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐
z 叫做点A 竖坐标.
x
y
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量 a ，作 OA a ，由空间向量基本
定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使 a xi y j z k .
有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可
简记作 a (x，y，z). 这样，在空间直角坐标系中，
一.教材分析
学
探类法
究比
式思
学想
法
教
合启法
作发
探式
究教
式法
教
法
通过激发学生学习的求知欲望，使
学生参与到教学实践活动中。
4.教学过程
4.1
复习引入
一.教材分析
二.学情分析
三.教学教法
课堂作业 教材 P18 练习 1,2,3,4
变式探究
如图，在长方体 OABC D AB C 中， OA 3, OC 4, OD 2,以
1
1
1
{ OA, OC , OD }为单位正交基底，建立 如图所示的空间直角坐 标系 Oxyz .
3
4
3
z
D′
的高度，即需第三个坐标z。
坐标的一一对应呢？
新课讲解：
类比平面直角坐标系探究空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底 , , ,
z
以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以
它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、
k
z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个
i
空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐
z 叫做点A 竖坐标.
x
y
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量 a ，作 OA a ，由空间向量基本
定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使 a xi y j z k .
有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可
简记作 a (x，y，z). 这样，在空间直角坐标系中，
一.教材分析
学
探类法
究比
式思
学想
法
教
合启法
作发
探式
究教
式法
教
法
通过激发学生学习的求知欲望，使
学生参与到教学实践活动中。
4.教学过程
4.1
复习引入
一.教材分析
二.学情分析
三.教学教法
6.2.1-6.2.2 排列与排列数(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
3.排列数公式
公式① : A n(n 1)(n 2)(n p 1),其中p, n N * 且p n
p
n
全排列数 : A n(n 1)(n 2)2 1 n! (n的阶乘)
n
n
(1)规定0! 1 (2)1! 1
(3)n! n (n 1)! Ann nAnn11
叫做从n个不同的元素中取出p个元素的一个排列.
注：①互异性：选取的p个元素不能重复出现.
②有序性：要考虑元素的排列顺序——判断是否为排列问题的关键.
③两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素和元素的排列顺序
完全相同.如：甲乙、乙甲是不同的排列.
④p＜n时的排列叫选排列，p＝n时的排列叫全排列.
问题3：有12个车站，共需准备_____种客票.
3
n
从n个不同元素中取出 p( p n)个元素的排列数
n(n 1)(n __________
2) (n p ______
1)
A p __________
n
第p位
(n p 1)种
3.排列数公式
公式① : A n(n 1)(n 2)(n p 1),其中p, n N * 且p n
解 : 2 x(2 x 1)(2 x 2) 100x( x 1),
2
整理得 x 14x 13 0. x 1或13.
2 x 3且x 2, 方程的解为 x 13.
解x应为整数
且满足p≤n
(7)解不等式： A8x2 6 A8x . 不知p用公式②
8!
都有空座位，有_____种不同的坐法.
[练习5]将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，A,B均在C的同侧，
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第九章 统计 知识点汇总及解题规律方法提炼
新教材人教A版高中数学必修第二册第九章统计知识点汇总及解题规律方法提炼第九章统计学9.1 随机抽样1.全面调查与抽样调查全面调查是对每一个调查对象进行调查的方法，也被称为普查。
在一个调查中，调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体。
抽样调查是根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法。
从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量。
调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据。
2.简单随机抽样简单随机抽样包括放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样。
放回简单随机抽样是从一个总体含有N（N为正整数）个个体中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样。
不放回简单随机抽样是如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法。
3.总体平均数与样本平均数总体平均数是指总体中所有个体变量值的平均数，记为Y。
如果总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则Y=（Y1+Y2+…+YN）/N。
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=（∑fiYi）/N。
样本平均数是指从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称y=（y1+y2+…+yn）/n为样本均值，又称样本平均数。
在简单随机抽样中，各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性。
在统计学中，我们常使用样本平均数y来估计总体平均数Y。
6.3.1+二项式定理课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
项展开式的项数、次数、各项幂指数的规律、各项的系数等特点.
【变式训练 1】 (1)用二项式定理展开
3 5
2- 2 ;
2
(2)化简:C0 (x+1)n-C1 (x+1)n-1+C2 (x+1)n-2-…+(-1)kC (x+1)n-k+…+(-1)nC .
解:(1)
3 5
2- 2 2
C53 (2x)2
5
3 3
- 2 2
=32x -120x
2
=
+
180
+
3
1
0
4
5
C5 (2x) +C5 (2x) · - 2 2
C54 (2x)
−
135
4
+
3 4
- 2 2
405
8 7
−
+
C55
+
3
C52 (2x)3 - 2 2
+
3 5
- 2 2
243
.
32 10
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
B.2
5
+ 的通项公式为 Tk+1=C5
时,T3=C52 a3·x-1,当
答案:A
C.-4
D.4
5- k
5-k 2k-5
·
x
=C
x ,当
5a ·
5
2k-5=0 时,k= ,不成立,则
人教A版选择性必修第二册高二数学4.2等差数列的前n项和的性质及应用(课件5)
人教A版202X
选择性必修第二册
数列
4.2.2.2 等差数列前n项和的性质及应用
知识梳理
知识点一
等差数列前 n 项和的性质
Sk
1．若数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项的和，k∈N* ，那么__________，
S2k－Sk
S3k－S2k
__________，__________成等差数列，如图所示．
故S6＝6a1＋15d＝6×6＋15×(－2)＝6.
等差数列中基本量计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和
Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时
注意整体代换的思想．
(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，
a1＋13d＝－8
因为a14＝－8，S9＝－9，所以
，
9a1＋36d＝－9
19
a1 ＝ 9 ，
a1＋13d＝－8，
化简得
所以
7
a1＋4d＝－1，
d＝－9，
所以S18＝18a1＋153d＝－81.
2．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于________．
11
2
2
3．(知识点二)若等差数列{an}满足 a7 ＋a8 ＋a9>0，a7 ＋a10<0，则当 n＝
8
__________时，数列{a
n}的前 n 项和最大．
解析：因为 a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，所以 a8>0，a9<0，所以当 n
选择性必修第二册
数列
4.2.2.2 等差数列前n项和的性质及应用
知识梳理
知识点一
等差数列前 n 项和的性质
Sk
1．若数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项的和，k∈N* ，那么__________，
S2k－Sk
S3k－S2k
__________，__________成等差数列，如图所示．
故S6＝6a1＋15d＝6×6＋15×(－2)＝6.
等差数列中基本量计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和
Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时
注意整体代换的思想．
(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，
a1＋13d＝－8
因为a14＝－8，S9＝－9，所以
，
9a1＋36d＝－9
19
a1 ＝ 9 ，
a1＋13d＝－8，
化简得
所以
7
a1＋4d＝－1，
d＝－9，
所以S18＝18a1＋153d＝－81.
2．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于________．
11
2
2
3．(知识点二)若等差数列{an}满足 a7 ＋a8 ＋a9>0，a7 ＋a10<0，则当 n＝
8
__________时，数列{a
n}的前 n 项和最大．
解析：因为 a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，所以 a8>0，a9<0，所以当 n
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人教版高中数学教材（必修二）第一章空间几何体
空间几何体的结构
空间几何体的三视图和直观图
阅读与思考画法几何与蒙日
空间几何体的表面积与体积
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
实习作业
小结
复习参考题
第二章点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质
阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法
小结
复习参考题
第三章直线与方程
直线的倾斜角与斜率
探究与发现魔术师的地毯
直线的方程
直线的交点坐标与距离公式
阅读与思考笛卡儿与解析几何
小结
复习参考题
第四章圆与方程
圆的方程
阅读与思考坐标法与机器证明
直线、圆的位置关系
空间直角坐标系
信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆
小结
复习参考题。