高等数学10.3格林公式(几个等价条件)

x
sin y my ) dx ( e cos y m ) dy ,
x

AO OA
2 m a . 8
2
y
y
ax x
( e sin y my ) dx ( e cos y m ) dy ,
x x

OA
o
A x


xx பைடு நூலகம்0
0
R
0 dx 0
,
.
L P d x Q d y 在 D 内与路径无关
u( x , y )
存在 u u ( x , y ) 使 d u P d x Q d y 在 D 内恒成立

( x, y)
Pdx Qdy
( x0 , y0 )

u ( x , y ) 称为 P d x Q d y 的一个原函数
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
xd y yd x
l
y
x y
2
2
l
o
L

xd y yd x
L l

x y
2
2

0 d xd y 0
D1
x
D1
y x y
2
P
,Q 2
x x y
2 2
在D内原点处不连续.
复习格林公式
在 D 上具有连续一阶偏导数,
Q P x y d xd y D
Pd x Qd y
L
或

D
x
D
y
d xd y
P
Q
Pd x Qd y
L
其中 L 为区域 D 的正向边界闭曲线.
D
L1
L2
作业: 计算 I
L
u ( x, y)
( x , y ) P ( x , y )d x Q( x , y )d y
0 0
( x, y)
y
4.
P ( x , y0 )d x Q( x , y )d y 存在 u ux( x , y ) 使 d u P yd x Q d y 在 y 内恒成立 D 0 0
内容小结
Q P 1. 格林公式 P d x Q d y D x y d x d y L
2. 等价条件
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
在 D 内有
Q x

P y
L
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0
2 2
, Q
Q y
x x y
2 2
y x
2 2
2
(x y )
2 2
( x 0)
o
(1,0)
( x,0 )
x
由定理 2 可知存在原函数
0 dx x
1
x
y 0
dy x y
2 2
或
y (1, y )
( x, y )


y 0
dy 1 y
2
o
(1,0)
( x,0 )

x
P y
m
o
J
A x
x

( e sin y my ) dx ( e cos y m ) dy ,
AO OA
Q P dx dy y x
D

D
m a2 . m dx dy 8
J
(e

P d x Q d y 在 D 内与路径无关.
L
( x, y)
在 D 内有 d u P d x Q d y
u( x , y )

Pdx Qdy
( x0 , y0 )

说明: 根据几个等价条件, 若
P y

Q x
,
则
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2)P, Q 一定为某个二元函数 u(x, y) 的偏导数;
3) 已知 u( x , y )的两个偏导, 求u( x , y )
可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 取定点 ( x0 , y0 ) D及动点 ( x , y ) D ,则原函数为

2 I m a 8

OA
Pdx Qdy
2 m a . 8
例5. 计算
的分段光滑正向闭曲线.
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当 x y 0时,
2 2
设 L 所围区域为D,当(0,0) D时, 由格林公式知 P, Q的偏导在D内都是连续函数, 由格林得
y
L
o
x
在D 内作圆周 l : x 2 y 2 r 2 , 取逆时 当(0,0) D时,

0
2
r cos r sin
2 2 2 2
r
2
d 2
P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 单连通区域 D 内有连续偏导数
则下列四个命题等价 :
,
1.
2. 3.
4.
P y

Q x
在 D 内处处成立
L有
,
对于 D 内任意闭曲线
L P d x Q d y 0 ,
2 2
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB :
W
x
k

2
cos , y

2
sin ( :

2
0)

AB
r
2
( y dx x d y)
y
A L


2
o
k
B x
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 !
( e sin y my ) dx ( e cos y m ) dy ,
x x
L 是由 A ( a , 0 )沿曲线
y
ax x 到 ( 0 , 0 ) 的上半圆周
2
.
y
y
ax x
2
解: 记 P e sin y my , Q e cos y m
x x
则
Q x
y x
x
y
0
.
或 u ( x , y ) Q( x0 , y )d y P ( x , y)d x
y0 x0
x0
x
例9. 验证
xd y yd x x y
2 2
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函
y
( x, y )
数 , 并求出它. 证: 令 P 则
P x
y x y
x


2
arctan
x y
例10. 设质点在力场 由 A( 0,

2 k
L
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
y
)移动到
A
解: W F d s
L
r
2
( ydx x d y)
o
L B x
令
P y
2
则有
k( x y )
2
r
4

Q x
( x y 0)