高等数学10.3格林公式(几个等价条件)

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格林公式

1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 由(2)知
o
L
B
x
解引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
应用格林公式 ,
(
P = 0, Q = x 有
y
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
A
D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
o
L
B
x
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
∂P ∂ 2u ⇒ = ∂y ∂x∂y
=
∂ u ∂Q = ∂y∂x ∂x
2
(4) ⇒ (1) :
（1）对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
∂Q ∂P (4) = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
D′
L D
设 L 是 D 内一条闭路径， L 所围有界闭区域 D ′ ⊂ D , 则在 D ′内 ∂ Q = ∂ P , ∂x ∂y

高等数学(同济大学)课件下第10_3格林公式

= −∫ 0⋅ dx + x∫0
1
x
y
dy x2 + y2
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或
y (1, y) (x, y)
dy =∫ 0 1+ y2
y
o
(1,0)
( x,0)
x
x = − arctan 2 y
π
机动
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结束
例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
π 移动到由 A( 0, )
π
π
π
L
= k 2 思考: 思考积分路径是否可以取 AOUOB ? 为什么？
无关 !
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π
o
Bx
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
内容小结
∂Q ∂P 1. 格林公式 ∫ Pd x + Qd y = ∫∫D ∂x − ∂y d xd y L 2. 等价条件设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
k =1 n
n
Dk
(
∂Q ∂P − ) dxdy ∂x ∂y
Dn
o
x
= ∑∫
k =1
∂Dk
Pdx + Qdy
(∂Dk 表 Dk的向界) 示正边
证毕
= ∫ Pdx + Qdy
L
定理1
目录
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结束
∂Q ∂P − dxdy = ∫ Pdx + Qdy 格林公式 ∫∫ ∂x ∂y D L
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x

格林公式

为顶点的三角形闭区域．
解令 P=0，Q=x e
y2
Q P y2 ，则， =e ． x y
y
y2
因此，由格林公式有
∫∫ e
D
y2
dxdy =
=
OA+ AB + BO
∫ xe
y2

dy
1 x2
B(0, 1)
dx
A(1, 1)
∫ xe
OA
dy = ∫ xe
0
1 = (1 e 1 ) ． 2
u u =P(x, y)， =Q(x, y)． x y 2 u P 2 u Q = = ，． xy y yx x
2u 2u 由于 P、Q 具有一阶连续偏导数，所以、连续， xy yx P Q 2u 2u = 因此，即． = xy yx y x
充分性：
P Q = 已知在 G 内恒成立，则积分 ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy L y x
y L1
恒成立，就说曲线积分 ∫ Pdx + Qdy
L
． B
在G内与路径无关，否则说与路径有关． O A． L2 x
曲线积分与路径无关与闭曲线积分为零的等价性：
设曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关，L 1 和 L 2 是 G
L
内任意两条从点A到点B的曲线，则有
∫
因为
L1
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ，
P Q y2 x2 2 2 = 则当 x +y ≠0 时，有． = 2 2 2 y x ( x + y )
记L 所围成的闭区域为D．当(0, 0)D时，由格林公式得

格林公式、曲线积分与路径无关的条件

下页
定理3
设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导
数则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的
充分必要条件是等式
在G内恒成立 >>>
P Q y x
原函数
如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数
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三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分
那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？
解记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时由格林公式得
L
x
dy x2
ydx y2

0

提示:
这里
P

y x2 y2

Q
x2
x
y2

当x2y20时有
Q x

y2 x2 (x2 y2)2

P y

下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2

线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2

0
是否一定成立？
提示: >>>
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关

L
Pdx
Qdy

0

格林公式

L
综上所述，格林公式成立。
(注意格林公式成立的条件)
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例 1：计算 F ( x , y ) dr ，其中 L （1） F ( x, y ) yi xj ， L 是由 x y, x 1, y 0 围
成的三角形闭路，其方向为逆时针方向； yi xj （2） F ( x , y ) 2 ， L ： x 2 y 2 a 2 , ( a 0) ，其 x y2 方向为逆时针方向。
1
2
x
则称曲线积分 L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关，
否则称与路径有关。
机动
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结束
定理 2：设 D 是平面上的一个单连通域，函数 P ( x , y )，
Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数，则以下
四个条件相互等价：
（1）对 D 内的任意一条分段光滑的闭曲线 L ，
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两式相加得
（2）若区域 D 由分段光滑的闭曲线围成。如图，将 D 分成三个既是 X 型又是Y 型的区域 D1 , D2 , D3 。则
L3 D3
D2
L2
D1
L1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy D D ( x y )dxdy D 1 D2 3
时针方向。
解：记 L所围成的闭区域为 D ，令
y x P 2 Q 2 2, x y x y2
则当 x y 0 时, 有
2 2
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y
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高等数学格林公式

y
2. 等价条件
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
P d x Q d y 在 D 内与路径无关. L
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0 L
在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 d u P dx Q dy
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备用题 1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
x0, y0
类似于F (x) x f (t)dt 是 f (x) 的原函数 x0
y0 x0
x
定理2 目录上页下页返回结束
例6. 判断
在全平面上是否与路径无关,
并求AB ydx xdy, 其中AB为从 A1,1 到 B3,4 的任
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三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从
A到B的任意曲线上的曲线积分都相等,
则称曲线积分在D内与路径无关.
y BD
A x
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2.定理2: 设函数
在单连通区域D内具有
一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、区域的类型二、格林公式三、积分与路径无关的等价条件
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一、区域的类型
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区域复连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
区域 D 边界L 的域正) 向: 沿L的正向行走时,
区域D的内部靠左.

高等数学10.3格林公式(几个等价条件)

内容小结
Q P 1. 格林公式 P d x Q d y D x y d x d y L
2. 等价条件
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
在 D 内有
Q x

P y
L
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0
2 2
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB :
W
x
k

2
cos , y

2
sin ( :

2
0)

AB
r
2
( y dx x d y)
y
A L

2
o
k
B x
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !
u ( x, y)
( x , y ) P ( x , y )d x Q( x , y )d y
0 0
( x, y)
y
4.
P ( x , y0 )d x Q( x , y )d y 存在 u ux( x , y ) 使 d u P yd x Q d y 在 y 内恒成立 D 0 0

x
P y
m
o
J
A x
x

( e sin y my ) dx ( e cos y m ) dy ,
AO OA
Q P dx dy y x
D

D
m a2 . m dx dy 8

10[1]3格林公式及其应用2010423

的三角形闭区域.
解令P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
y
1 D
o
A
x
1
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
xe y2dy
OA
1 xe x2 dx
0
1 (1 e1 ). 2
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
1.曲线积分与路径无关的定义
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲
L3
线所围成.添加直线段 AB,CE.
E
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
L
(2)在G内存在u(x,y),使得称为Pdx+Qdy的原函数
du P(x, y)dx Q(x, y)dy
(3) (x,y) G, P Q ; y x
(4) 对G 内任意闭曲线C: Pdx Qdy 0 .
C
证明 (1)
(2)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
P Q y x
证明 (3)
(4)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在D上
P Q
D
y x
利用格林公式 , 得

高等数学：格林公式

D
由于 xdy 0,
xdy 0, xdy dxdy 1 r2.
OA
BO
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解令P 0, Q xe y2 ,
A
1
x
则 Q P e y2 , x y
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
ห้องสมุดไป่ตู้
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
o
E D B
C
x 2( y)
x
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
例3. 计算

高等数学格林公式PPT课件

正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
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例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
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则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
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三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从

高等数学格林公式课件

他近处的部分总在他的
左边. 单连通区域的边界曲线L的正向: 逆时针方向.
设复连通区域 D 的边界曲线为 = L + l 1 + l2 + · · · + ln 的正向：复合闭路 (如图)
外边界L 为逆时针方向；内边界
li
( i 1, 2, , n)
为顺时针方向.
4. 格林公式定理10.3（Green公式）设平面区域 D 是由分段光滑闭曲线围成, 函数有连续一阶偏导数, 则
D
D
3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
3 d (1 2 ) d
0 0
2π
R
3π ( 2 R 2 R4 ) 2
注 I 3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
？ 3 (1 R 2 ) d x d y
y
A(1,1)
B(0,1)

D
Q P ( ) d xd y x y
D
P dx Qd y
D
yx
o
x
2 y ？
将二重积分转化为曲线积分

D

P dx Qd y
P ？ Q xe 0, Q
解令 P 0, Q xe 利用格林公式 , 有
y2
作位于 D 内圆周
l : x 2 y2 r 2,
顺时针.
l x
l的参数方程为： x r cos y r sin : 2 0
y L
O
记 D1 由 L 和 l 所围成的区域,
L l 封闭，正向 .
应用格林公式,得

高数格林公式

高数格林公式高数中的格林公式是一种常用的计算曲线积分的方法，它是由德国数学家格林于19世纪提出的。

格林公式是微积分中的重要定理之一，它建立了曲线积分与面积分之间的联系，为解决曲线积分问题提供了有效的方法。

格林公式的核心思想是将曲线积分转化为面积分，从而简化计算过程。

假设曲线C是一个简单闭合曲线，将曲线C所围成的区域记为D。

格林公式的一般形式可以表示为：∮C (Pdx + Qdy) = ∬D (Qx - Py)dA其中，P和Q是平面区域D内的连续偏导数，dx和dy分别表示曲线C的弧长和法向量。

等式右边的∬D (Qx - Py)dA表示对于区域D的面积分，Qx和Py分别是Q和P对x和y的偏导数。

格林公式实际上是将曲线C所围成的区域D划分为许多微小的面元，然后对每个微小面元进行积分计算，最后将结果相加得到整个曲线积分的结果。

这种方法使得曲线积分的计算变得简单明了。

格林公式的应用非常广泛。

在物理学中，格林公式被用于计算电场和磁场的曲线积分，从而求解电荷和电流的分布情况。

在工程学中，格林公式被用于计算流体的流量和压力分布，以及各种力学问题的求解。

在几何学中，格林公式被用于计算曲线的长度、曲率和曲面的面积。

为了更好地理解格林公式，我们来看一个简单的例子。

假设有一个曲线C，它是一个圆形，半径为R。

我们要计算曲线C上一个向量场F的环绕曲线积分∮C F·dr。

根据格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积分∬D (Qx - Py)dA，其中D为曲线C所围成的区域。

我们需要计算向量场F的横纵坐标分量P和Q的偏导数。

假设F = (P, Q)，则根据题目给出的条件，可以得到P和Q的偏导数分别为∂P/∂x和∂Q/∂y。

然后，我们需要计算∬D (Qx - Py)dA，即将区域D划分为许多微小的面元，对每个面元进行积分计算。

在本例中，区域D是一个圆盘，半径为R。

我们可以将圆盘分为许多微小的扇形面元，每个面元的面积可以近似表示为dA = r dθ，其中r为距离圆心的半径，θ为面元所对应的角度。

格林公式

Q P x y d D
Q P Q P Q P d d d x y x y x y D1 D2 D3
前页后页返回
对于 x 的偏增量(图21-20)
前页后页返回
x u u( x x , y ) u( x , y )
P dx Q dy P dx Q dy .
AC AB
因为在 D 内曲线积分与路线无关, 所以

AC
P dx Q dy P dx Q dy P dx Q dy .
Q P x y d D
(ii) 若区域 D 是由一条
按段光滑的闭曲线围成, 且可用几段光滑曲线将

L
Pdx Qdy .
L3
D1
L2
D2
D3
L1
D 分成有限个既是 x 型
图 21 14
前页后页返回
又是 y 型的子区域 (如图21-14), 则可逐块按 (i) 得到它们的格林公式, 然后相加即可. 如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x 型又是 y 型的区域 D1 , D2 , D3 . 于是
§3 格林公式·曲线积分与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.
一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性
前页后页返回
一、格林公式
单连通区域：若平面区域D内任意一条闭曲线不经过D以外的点而连续收缩于D内某一点，则称该平面区域为单连通区域。复连通区域：不是单连通区域就是复连通区域。平面区域D的方向：设区域 D 的边界 L 是由一条或几条光滑曲线所

2019年103格林(Green)公式.ppt

o
∴ 取路径 L1 是从点 A(1,0) 沿圆周 x 2 y 2 1
的上半部分到点 B(1,0)的一段弧，则
( x y )dx ( x y )dy L x2 y2 ( x y )dx ( x y )dy ( x y)dx ( x y)dy 2 2 L1 L1 x y
（ 2）
（3）：设 L1 , L2是 D 内任意两条由 A 到
B 的曲线，则 L2 L1 是 D 内一条正向闭曲线。由条
件（2）有
A
L1 L2
B

即
L2 L1
Pdx Qdy 0.
L1

L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0 Pdx Qdy Pdx Qdy
1 2 r
1 L1 xdy ydx r 2
2dxdy 2
D1
二格林公式的应用
1 利用曲线积分计算平面区域的面积
L
D
A
D
1 dxdy L xdy ydx 2
例7 求椭圆 L : x a cost , y b sin t (0 t 2 ) 所围面积。
)dy
(1 e1 )dy (1 e1 ) 1
0

L D
o y 0 A(1,0)
x :1 0
B
AO
(2 xye
x2
)dx ( x e
0 1
x2
)dy
0dx 0
y
(2 xye
L
x2
)dx ( x e
x2
)dy
AO

x

格林公式

y
当(0, 0)D时，由格林公式得
L
xdy x2

ydx y2
0；
D O
L x

D

Q x

P y
dxdy
=
L
Pdx

Qdy
．
例
4
计算
L
xdy x2

ydx y2
，其中
L
为一条无重点、分段光滑且不
经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向．
解记L 所围成的闭区域为D．当(0, 0)D时，选取适当小的
格林公式：
定理1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线围成，函数P(x, y)及 Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有

D

Q x

P y
dxdy
=
L
Pdx

Qdy
，
其中L是D的取正向的边界曲线．
应注意的问题：对复连通区域D，格林公式右
端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向．
因为
Pdx Qdy Pdx Qdy ，
L1
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0
L1
L2
L1
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
Pdx Qdy 0，
LL11
LL22
充分性：
已知 P y

Q x
在
G
内恒成立，则积分 L
P(x,
y)dx

Q(x,
y)dy
在G内与路径无关．设(x0, y0)为G内一定点，(x, y)为G内的动点，

同济版大一高数第十一章第三节格林公式

定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,
在 D 上具有连续一阶偏导数,
L D
函数则有
Q P dxd y Pdx Qd y ( 格林公式 )
D x y
L
证明：即要证
Q
D
x
d
xd
y
D
P y
d
x
d
y
L Pd x
L Qd y
4
证明:
D
Pd xd y y
Pd x
L
y d
15
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l 所围成, 应用格林公式,得
xdy ydx
L x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
l
xdy x2
ydx y2
L1
0
2
由格林公式
I
L L1
L1
2009年考研
y L
sin x
I 4 xyd 4 0 xdx 0 ydy o D
x
2 x sin2 xdx sin2 xdx 2
0
0
2
0 xf (sin x)dx 2 0 f (sin x)dx
18
2. 计算平面面积
格林公式:
D
D x y
OA
o
2 d 0 a2
D
L
D
a Ax
17
例8 计算曲线积分 I sin 2xdx 2(x2 1) ydy,其中L L 是曲线 y sin x 上从点 (0, 0) 到点 ( , 0) 的一段。L

高等数学格林公式及其应用

D
16
L
Pdx
Qdy
D
(Q x
P y
)dxdy
设L为取正向的圆周x2 y2 9,则曲线积分
(2xy 2 y)dx ( x2 4x)dy ( 18π ). L
解设P 2xy 2 y, Q x2 4x
由格林公式 P 2x 2, Q 2x 4
y
x
(2xy 2 y)dx ( x2 4x)dy L
y
my ,
Q
ex
cos
y
O
m
•
A(a,0) x
Q ex cos y, P ex cos y m
x
y
可知 Q P m
x y
非常简单.
18
为L应不用闭格合林+公边式L＊再, 使补L充+一L＊段曲线, 使之构成
闭闭曲合线, .再因用在格补林充公的式曲.线上还要算曲线积分, 所以
补充的曲线要简单, 通常是补充与坐标轴平行的直线段. 因而这里补加直线段 OA. y
Qdy
D
(Q x
P y
)dxdy
计算I e ydx ( xy3 xe y 2 y)dy, L
其中L为圆周 x2 y2 2x 的正向.
解 P e y , Q xy3 xe y 2 y y
P e y , Q y3 e y
y
x
.D
O
1
2x
Q P y3 x y
对称性
由格林公式有 I y3dxdy 0.
解由格林公式 Q P m
x y

(e x
cos
y
O
m)dy
AOOA
•
A(a,0) x
D