人民大学保险精算学》

第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。

二、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累方式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系Ø单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。

单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。

时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。

所以长期业务一般复利计息。

时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。

所以短期业务一般单利计息。

3、按照利息转换频率划分：（1）一年转换一次：实质利率（实质贴现率）（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力特别，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积累值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。

2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。

3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。

第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。

原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。

2、年金的分类：（1）基本年金约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。

二、基本年金1、分类（1）付款时刻不同：初付年金/延付年金（2）付款期限不同：有限年金/永久年金2、基本年金公式推导3、变利率年金问题（1）时期变利率（第个时期利率为）（2）付款变利率（第次付款的年金始终以利率计息）三、一般年金1、分类（1）支付频率不同于计息频率（2）变额年金2、支付频率不同于计息频率年金（1）支付频率小于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（2）支付频率大于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（3）连续年金特别，在常数利息效力场合3、变额年金（1）等差年金初始投资P元，等差Q元的年金的一般公式：现时值：积累值：特别地，递增年金：P=Q=1现时值：积累值：递减年金：P=n，Q=-1现时值：积累值：（2）等比年金（下一期年金值为前一期年金值的（）倍）现时值：积累值：第四节：收益率一、收益率的概念1、贴现资金流与现金流动表2、收益率的定义：使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。

也称为“内返回率”二、收益率的唯一性判别1、由于收益率是高次方程的解，所以它的解很可能不唯一。

2、 Descartes符号判别定理：收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。

3、收益率唯一性判别定理二：整个投资期间未动用投资余额始终为正，收益率唯一。

三、再投资率1、本金的再投资率2、利息的再投资率四、基金的利息度量1、币值加权方法2、时间加权方法第五节：分期偿还表和偿债基金一、分期偿还和偿债基金的概念1、分期偿还：借款人按一定的周期用分期付款的办法偿还贷款，这种还贷方法称为分期偿还。

2、偿债基金：借款人在贷款期末用一次的集中付款来偿还贷款人。

利息则在此期间分期付款，并假设借款人周期性地付款给一个“基金”，该“基金”在贷款期末的积累值正好可以偿还贷款本金。

二、分期偿还表时期付款金额支付利息偿还本金未偿还贷款余额0 - - -1 111 0总计三、偿债基金时期付款金额支付利息存入偿债基金偿债基金积累值未偿还贷款余额0 - - - - 110 总计对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为：第次付款的实际偿还本金为：第二章生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。

2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2 三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。

这四个常用模型的拟合效果不令人满意。

（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。

（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。

2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。

这是生命表的最早起源。

1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。

人们因而把Halley称为生命表的创始人。

（3）生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）三、生命表的构造1、原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。

（用频数估计频率）2、常用符号（1）新生生命组个体数：（2）年龄：（3）极限年龄：（4）个新生生命能生存到年龄的期望个数：（5）个新生生命中在年龄与之间死亡的期望个数：特别，当时，记作（6）个新生生命在年龄与区间共存活年数：（7）个新生生命中能活到年龄的个体的剩余寿命总数：四、选择与终极生命表1、选择-终极生命构造的原因（1）需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。

（2）需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失2、选择-终极生命表的使用第三节有关分数年龄的假设一、使用背景生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况二、基本原理插值法三、常用假定1、均匀分布（Uniform Distribution）假定:(线形插值)2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（几何插值）3、Balducci假定（调和插值）四、三个假定下的生命表函数函数均匀分布假定恒定死亡效力假定Balducci假定第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理一、人寿保险简介1、什么是人寿保险（1）狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。

（2）广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。

它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。

2、人寿保险的分类根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。

（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。

（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分，可分为：非延期保险和延期保险。

（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。

3、人寿保险的性质（1）保障的长期性：寿险的保障期通常比较长。

这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。

因而，寿险产品纯保费的厘定通常要考虑利率的影响。

（2）保险赔付金额和赔付时间的不确定性：人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。

以狭义的定期变额人寿保险为例，如果被保险人在保障期内没有死亡，到期赔付金额为零；如果被保险人在保障期内死亡，保险公司将在被保险人死亡时给付与死亡时间相关的某个数额的赔偿金。

被保险人的死亡时间是一个随机变量。

这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。

（3）被保障人群的大数性：对单个被保险人而言，他会在什么时刻死亡是不可估计的。

但对大量的被保险人构成的一个大数群体而言，他们的剩余寿命分布是有统计规律的。

这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。

二、人寿保险趸缴纯保费厘定的原理1、假定传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。

假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。

假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。

2、原理保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘定趸缴纯保费的数额。

所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。

它的实质是在统计意义上的收支平衡。

是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。

而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值。

记：保单生效到赔付的时间：从赔付时刻回溯至保单生效时的利息贴现，称为贴现函数。

：赔付时刻赔付的金额，或者说是被保险人的受益金额，称为受益函数。

：受益赔付额回溯到保单生效时的现时值，称为现时随机变量，它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数的随机变量，简记为，有按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于。

第二节死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定一、死亡即刻赔付的含义1、死亡即刻陪付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。