巧用抛物线的对称性解题(含答案)

专题训练(四)巧用抛物线的对称性解题

►类型一利用抛物线的对称性求对称轴或点的坐标

1．二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，则该二次函数图象的对称轴是直线()

A．x＝1B．x＝－1

C．x＝2D．x＝－2

2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且经过点P(3，0)，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为()

A．(－1，0) B．(0，0)

C．(1，0) D．(3，0)

3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．

►类型二利用抛物线的对称性比较函数值的大小

4．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则() A．y1

C．y3

5．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3从大到小排列是____________．

►类型三利用抛物线的对称性求代数式的值

6．已知P(a，m)，Q(b，m)是抛物线y＝2x2＋4x－3上的两个不同的点，则a＋b＝________．7．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为________．

►类型四利用抛物线的对称性确定自变量的取值范围

8．2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表：

则当

9．二次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为________________．►类型五利用抛物线的对称性求面积

10．如图4－ZT－1，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为________．

图4－ZT－1

11．已知二次函数y＝2x2＋m(m为常数)．

(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)；

(2)如图4－ZT－2，此二次函数的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的面积．

图4－ZT－2

►类型六巧用抛物线的对称性求二次函数的表达式

12．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，则此二次函数的表达式为______________．

13．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为______________．14．二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．

►类型七利用对称性解决线段和最短问题

15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋6的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，B的横坐标是一元二次方程x2－4x－12＝0的两个根．

(1)请直接写出点A、点B的坐标．

(2)请求出该二次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标．

(3)如图4－ZT－3，在二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图4－ZT－3

16．如图4－ZT－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，

0)，C(0，3)两点，它与x轴的另一个交点为B.

(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴直线x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

图4－ZT－4

详解详析

1．[解析]B ∵二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，∴图象的

对称轴是直线x ＝2＋（－4）2

＝－1.故选B. 2．[解析]C 由于抛物线的对称轴为直线x ＝2，而点P (3，0)位于x 轴上，设抛物线与

x 轴的另一个交点的坐标为(m ，0)，根据题意得m ＋32

＝2，解得m ＝1，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)，故选C.

3．解：由点A (－2，7)，B (6，7)的纵坐标相同，可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，

且对称轴方程为x ＝－2＋62

＝2.设该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(x 2，－8)，则有2＝3＋x 22

，从而得x 2＝1，故该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(1，－8)． 4．[解析]C 抛物线y ＝－2x 2－8x ＋m 的对称轴为直线x ＝－2，且开口向下，∴当x ＝－2时y 取得最大值．

∵－4＜－1，且－4到－2的距离大于－1到－2的距离，根据抛物线的对称性，知y 3＜y 1.

∴y 3＜y 1＜y 2.故选C.

5．[答案]y 1＞y 3＞y 2

6．[答案]－2

[解析]已知点P (a ，m )和Q (b ，m )是抛物线y ＝2x 2＋4x －3上的两个不同的点，因为点P (a ，m )和Q (b ，m )的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，而抛物线y ＝2x 2＋4x －3的对称轴为直线x ＝－1，故a ＋b ＝－2.

故答案为－2.

7．[答案]3

[解析]设y ＝x 2－2x ＋3，∵当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，∴m ＋n 2

＝－－22×1

，∴m ＋n ＝2，∴当x ＝m ＋n ，即x ＝2时，x 2－2x ＋3＝22－2×2＋3＝3.故答案为3.

8．[答案]－2

9．[答案]－1＜x ≤0或2≤x ＜3

[解析]当y ＝2时，(x －1)2＋1＝2，解得x ＝0或x ＝2；当y ＝5时，(x －1)2＋1＝5，解得x ＝3或x ＝－1，又抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－1＜x ≤0或2≤x ＜3.

10．[答案]2π

[解析]利用图形的对称性可知图中阴影部分的面积为半圆面积．

∵⊙O 的半径为2，∴图中阴影部分的面积为12

π×22＝2π. 11．解：(1)∵y ＝2x 2＋m ，

∴图象开口向上，对称轴为直线x ＝0，则当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2， 故答案为：＜.

(2)∵二次函数的图象经过点(0，－4)，将(0，－4)代入y ＝2x 2＋m 可得m ＝－4，∴二次函数的表达式为y ＝2x 2－4.