（ 1） 同向相加：若 a>b ，c>d ，则 a+c>b+d ；
（ 2）
异向相减： a b ， c d
a c
b d .
（ 3） 正数同向相乘：若 a>b>0，c>d>0，则 ac>bd 。
（ 4） 乘方法则：若 a>b>0，n ∈N +，则 a n b n ；
（ 5） 开方法则：若 a>b>0，n ∈N +，则 n a n
b ；
（ 6）
倒数法则：若 ab>0， a>b ，则
1
1 。
a
b
2、基本不等式
定理：如果 a,b
R ，那么 a 2
b
2
2ab （当且仅当 a=b 时取“ =”号）
推论：如果 a, b
0 ，那么
a b ab
（当且仅当 a=b 时取 “ =号”）
2
算术平均数
a
b
；几何平均数
ab
；
2
推广：若 a,b
0 a 2 b 2 a b
ab
2 ，则
2
2
1 1
a
b
当且仅当 a=b 时取 “ =号”； 3、绝对值不等式
（1）｜ x ｜＜ a （ a ＞ 0）的解集为： {x ｜－ a ＜ x ＜a}；
｜ x ｜＞ a （a ＞0）的解集为： {x ｜x ＞a 或 x ＜－ a}。
（2） ||a| |b|| |a b| |a| |b| 4、不等式的证明：
(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；
(2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；
(3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。 5、不等式的解法：
（1）一元二次型不等式的恒成立问题常用结论： ax 2
+bx+c>0 对于任意的 x 恒成立
a 0 或a 0检验 ； 2
4ac b
0 ax 2
+bx+c<0 对于任意的 x 恒成立
a 0
或a 0检验
4ac
b 2 0
（2）解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变
形都要恒等。
一元二次不等式 （组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。
一元二次不等式与相应的函数，方程的联系
① 求一般的一元二次不等式
ax 2
bx
c
0 或 ax 2
bx c
0 (a
0) 的解集，要结合
ax 2
bx
c
0 的根及二次函数
y ax 2 bx
c 图象确定解集．
② 对于一元二次方程
ax 2
bx
c
0(a
0) ，设
b 2
4ac ，它的解按照
0，
0，
0 可分为三种情况．相应地，二次函数
y ax 2
bx c(a
0) 的图象与
x
轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式
ax 2
bx
c
0 (a
0) 的解集，列表如下：
含参数的不等式应适当分类讨论。
6、线性规划问题的解题方法和步骤
解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线
（线性目标函数看作斜率确定的
一族平行直线） 与平面区域（可行域）有交点时，直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：
（1）设出未知数，确定目标函数。
（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。
（3）由目标函数 z ＝ ax ＋by 变形为 y ＝－ a x ＋ z
，所以，求 z 的最值可看成是求直线 y
b b
＝－ a x ＋ z
在 y 轴上截距的最值（其中 a 、 b 是常数， z 随 x ， y 的变化而变化）。
b
b
（4）作平行线：将直线 ax ＋by ＝0 平移（即作 ax ＋by ＝0 的平行线），使直线与可行域 有交点，且观察在可行域中使
z
最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。
b
（5）求出最优解：将（ 4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 z 的最大（或最小）值。 7、在平面直角坐标系中，已知直线 xy
C 0
，坐标平面内的点
x 0
, y
．
①若0 ， x 0y 0 C
0 ，则点
x 0 , y 0 在直线 xy C 0 的上方．
②若
0 ， x 0 y 0 C 0 ，则点
x 0 , y 0 在直线
xy C 0 的下方．
8、在平面直角坐标系中，已知直线 x
y C
0 ．
①若 0 ，则 x
y C 0 表示直线
x
y C
0 上方的区域； x
y C
0 表
示直线 x
y C
0 下方的区域．
②若
0 ，则 x
y C 0
表示直线
x
y C
下方的区域； x
y C
0 表
示直线 x y C 0
上方的区域．
9、最值定理
设 x 、 y 都为正数，则有
⑴ 若 x
y
s （和为定值），则当
x
y 时，积
xy 取得最大值
2s
．
4
⑵ 若 xy
p （积为定值），则当
x
y 时，和
x y 取得最小值 2 p ．
即： “积定，和有最小值；和定，积有最大值 ”
注意：一正、二定、三相等
