第四章 弯曲内力解析

x
弯矩方程
l
FS
FS( x) F (0 x l)
x
M ( x) Fx (0 x l)
F
M
例: 在图示简支梁AB的C点处作用一集中
力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。
FA
M
A
C
a
b
FB
B
解： 1、求支反力
FA
M； l
FB
M l
2、建立剪力方程和弯矩方程
l
M l
+
AC段
:
FS M
(x) (x)
F
FA
A
C
FB
B
解： 1、求支反力
FA
Fb； l
FB
Fa l
a
b
2、建立剪力方程和弯矩方程
l
Fb l
+
AC段
:
FS
M
(x) (x)
FA FA
Fb 0
l x Fbx
l
0
x a x a
Fa l
Fba
+
l
CB段
:
FS
M
(x) (x)
FB
FA l
Fa l
x
a x l
Fa l x a x l
1.剪力、弯矩方程：
MFS
FS ( x) M (x)
2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴
沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。
剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
例: 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，试列剪
力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。
A
B
FS FA
x
CM
FA
x
FS
MC 0 : M FA x 0
M FA x
二、平面弯曲梁横截面上的内力：
①剪力—平行于横截面的内力，符号：FS ，正负号规定： 使梁顺时针转动剪为正，反之为负.
FS
FS
FS
FS
剪力为正
剪力为负
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使 梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩 为正)。
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲的概念
弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线
在变形后成为曲线的变形形式。
受力特点——作用于杆件上的外力或外力偶都垂直于杆的轴线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
F1
q
F2
M
纵向对称面
对称弯曲—— 构件几何特征
受力特征 变形特征
构件为具有纵对称面的等截面直杆 横向外力或外力偶均作用在杆的纵向对称面内 杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线
RA
F
1
2
寸如图所示.试用本节所述关系作此 A
C
梁的剪力图和弯矩图.
弯矩方程, 并作该梁的剪力图和弯矩图。
q
解： 1、求支反力
A
x
l
FA
ql / 2
B
由对称性知：
FB
FA
FB
ql 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
FS
M
+
l/2
ql / 2
ql 2 8
FS (x)
FA
qx
ql 2
qx
M (x)
FA x
qx2 2
qLx 2
qx2 2
FS ,max
ql 2
M max
ql 2 8
FA FA
M 0
l
x Mx 0
l
x
x
a a
Ma l
+
CB段
:
FS
M
( (
x) x)
FB
FB l
M l
x
a x l
M l x a x l
l
由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯
Mb
l
矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。
例: 图示简支梁受均布荷载q的作用，试列剪力方程和
4．在集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力），弯矩 图有折角。在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变 （突变值等于集中力偶矩）
5．梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最 大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs = 0 的截面处.
例一简支梁受两个力F作用，如 图所示。已知 F= 25.3kN， 有关尺
通过剪力、弯矩和分布载荷之间的微分关系，可 推知剪力图和弯矩图的形状:
1. 以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支 座截面处为界点将梁分段.
2．若梁上无分布载荷，则该段梁的剪力图为平行于轴的直线；而 弯矩弯矩图为斜直线。
3．若梁上有均布载荷，则剪力图为斜直线；而弯矩图为抛物线。 本书规定当 （ 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当 （向下） 时，弯矩图为向上凸的曲线。
工程实例:
跳板
摇臂钻的臂
立交桥梁
车刀
§4-2 梁的计算简图
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称
面内的平面力系。
1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支
座加到轴线上。
2.梁的支座简化(平面力系)：
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
3.静定梁 (a)悬臂梁
第一章 绪论 第二章 拉伸、压缩与剪切 第三章 扭转 第四章 弯曲内力 第五章 弯曲应力 第六章 弯曲变形 第七章 应力和应变分析、强度
理论 第八章 组合变形 第九章 压杆失稳
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第四章 弯曲内力
§4-1，2 弯曲的概念及梁的计算简图 §4-3 剪力和弯矩 §4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4-6 平面曲杆的弯曲内力
(b)简支梁
4.作用在梁上的荷载可分为:
(a)集中荷载
F1
集中力
q(x)
(b)分布荷载
任意分布荷载
(c)外伸梁
M
集中力偶
q
均布荷载
工厂厂房的天车大梁：
F F
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
§4-3 剪力和弯矩
一、截面法过程：切取、替代、平衡
a
F
Fy 0 : FA FS 0
2、计算1-1 截面的内力 FA 3、计算2-2 M2 截面的内力
F=8kN
FS1
q=12kN/m
FS2
M1 FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN
M2
FB
FB
1.5
q
1.5 1.5 2
30kN
m
§4-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图
M
M M
M
弯矩为正
弯矩为负
例: 求下图所示简支梁11与22截面的剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A
1
2m
1
2
B
2 1.5m
FA 1.5m
1.5m
3m
FB
解： 1、求支
MB
0
FA
6
F
4.5
q
3
3 2
0
FA
15kN
反力
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
l
由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪 力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突 变方向沿集中力作用的方向。
例: 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用,试
列剪力方程和弯矩方程, 并作剪力图和弯矩图.
F
解 (1) 将坐标原点取在梁的 A
B
左端，列出梁的剪力方程 和