2019年甘肃省陇南市中考数学试卷及答案解析
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷word解析
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B. C. D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与√10最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. 7×10−7B. 0.7×10−8C. 7×10−8D. 7×10−95.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. x≤3B. x≤−3C. x≥3D. x≥−38.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A. ①B. ②C. ③D. ④9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A. 22.5∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘10.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次3109204849791803139699数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．13.因式分解：xy2-4x=______．14.关于x的一元二次方程x2+√m x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．22.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：分析数据：应用数据：（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交25.如图，已知反比例函数y=kx于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交上的图象于点N．若PM＞PN，一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx结合函数图象直接写出a的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE=2√3，求⊙D的半径．27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1=（x-2）2+1，所以，y=（x-2）2+1．故答案为：y=（x-2）2+1．利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π=4-π． 故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．17.【答案】85或14【解析】 解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a+21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0，+1，=4-（2-√2）-2×√22=4-2+√2-√2+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得： {12x +20y =14412y+20x=112，解得：{y =6x=2，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt △OBE 中，OB==5，∴S 圆O =π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一x象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=k，3=-1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=-x+4；x（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2√3，∴⊙D 的半径AD =2√3．【解析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC 是⊙D 的切线；（2）连接AE ，推出△ADE 是等边三角形，得到AE=DE ，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，如图所示：则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1， ∴△EB 1C 1是等腰直角三角形，∴∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°，∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°，∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1B 1M 1=B 1M 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ），∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1=∠B 1C 1E=45°，证出∠B 1C 1E+∠M 1C 1N 1=180°，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1得出A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，得出EM 1=M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论． 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y =a （x +3）（x -4）=a （x 2-x -12），即：-12a =4，解得：a =-13，则抛物线的表达式为y =-13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC =5，AB =7，BC =4√2，∠OAB =∠OBA =45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：y =-x +4…①， 同理可得直线AC 的表达式为：y =43x +4，设直线AC 的中点为M （-32，4），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为-34， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：y =-34x +78…②，①当AC =AQ 时，如图1，则AC =AQ =5，设：QM =MB =n ，则AM =7-n ，由勾股定理得：（7-n ）2+n 2=25，解得：n =3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC =CQ 时，如图1，CQ =5，则BQ =BC -CQ =4√2-5， 则QM =MB =8−5√22， 故点Q （5√22，8−5√22）； ③当CQ =AQ 时，联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）； （3）设点P （m ，-13m 2+13m +4），则点Q （m ，-m +4），∵OB =OC ，∴∠ABC =∠OCB =45°=∠PQN ， PN =PQ sin ∠PQN =√22（-13m 2+13m +4+m -4）=-√26m 2+7√26m ， ∵-√26＜0，∴PN 有最大值， 当m =72时，PN 的最大值为：49√224．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ 、AC=CQ 、CQ=AQ 三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin ∠PQN=（-m 2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1. 下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A.B.C.D.2. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是−1，那么点B表示的数是( )A.0B.1C.2D.33. 下列整数中，与√13最接近的整数是()A.2B.3C.4D.54. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )A.7×10−7B.0.7×10−8C.7×10−8D.7×10−95. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换6. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )A.180∘B.360∘C.540∘D.720∘7. 不等式2x+9≥3(x+2)的解集是( )A.x≤3B.x≤−3C.x≥3D.x≥−38. 下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( )A.①B.②C.③D.④9. 如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是( )A.22.5∘B.30∘C.45∘D.60∘10. 如图①，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0, −2)，“马”位于点(4, −2)，则“兵”位于点________．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次数3109204849791803139699频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为________（精确到0.1）．因式分解：xy2−4x=________．关于x的一元二次方程x2+√mx+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为________．将二次函数y=x2−4x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为________．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于________．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80∘，则它的特征值k=________．已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是________．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤计算：(−2)2−|√2−2|−2cos45∘+(3−π)0.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？已知：在△ABC中，AB=AC．(1)求作△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=________．图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60∘．CD可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30∘时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．(1)李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x ≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：(1)由上表填空：a=________，b=________，c=________，d=________．(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？(3)你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．如图，已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=−x+b的图象在第一象限交于A(1, 3)，B(3, 1)两点.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)已知点P(a, 0)(a>0)，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=−x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx上的图象于点N．若PM>PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)若CE=2√3，求⊙D的半径．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60∘．点拨：如图②，作∠CBE=60∘，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≅△EBM(SAS)，可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60∘，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120∘，所以∠5+∠6=120∘，即：∠AMN=60∘．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90∘．如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m 为何值时PN有最大值，最大值是多少？参考答案与试题解析2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.【答案】C【考点】认识立体图形【解析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．【解答】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为圆锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选C.2.【答案】D【考点】数轴【解析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是−1，∴点B表示的数是：3．故选D.3.【答案】C【考点】估算无理数的大小【解析】此题暂无解析【解答】解：∵32=9，42=16，∴3<√13<4，∵13与9的距离大于16与13的距离，∴与√13最接近的整数是4．故选C.4.【答案】D【考点】科学记数法–表示较小的数【解析】由科学记数法知0.000000007＝7×10−9；【解答】解：0.000000007=7×10−9.故选D.5.【答案】B【考点】几何变换的类型【解析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B.6.【答案】C【考点】多边形内角与外角【解析】根据多边形内角和公式(n−2)×180∘即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：(5−2)×180∘=540∘.故选C.7.【答案】A【考点】解一元一次不等式【解析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得−x≥−3，系数化为1，得x≤3.故选A.8.【答案】B【考点】分式的加减运算【解析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：xx−y −yx+y=x(x+y)(x−y)(x+y)−y(x−y)(x−y)(x+y)=x2+xy−xy+y2 (x−y)(x+y)=x2+y2x2−y2．故从第②步开始出现错误．故选B.9.【答案】C【考点】圆周角定理等腰直角三角形【解析】设圆心为O，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90∘，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．【解答】解：设圆心为O，连接OA，OB，如图.∵弦AB的长度等于圆半径的√2倍，即AB=√2OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90∘，∴∠ASB=12∠AOB=45∘．故选C.10.【答案】B【考点】动点问题函数的图象三角形的面积矩形的性质【解析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP 面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴12AB⋅12BC=3，即AB⋅BC=12，当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7，则BC=7−AB，代入AB⋅BC=12，得AB2−7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB<AD，即AB<BC，所以AB=3，AD=BC=4．故选B.二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.【答案】(−1, 1)【考点】位置的确定点的坐标【解析】直接利用“帅”位于点(0, −2)，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于(−1, 1)．故答案为：(−1, 1)．【答案】0.5【考点】利用频率估计概率频数（率）分布表【解析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为：0.5.【答案】x(y+2)(y−2)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2−4x=x(y2−4)=x(y+2)(y−2)．故答案为：x(y+2)(y−2).【答案】4【考点】根的判别式【解析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2−4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，Δ=b2−4ac=(√m)2−4=0，得m=4.故答案为：4.【答案】y=(x−2)2+1【考点】二次函数的性质二次函数的三种形式【解析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y=x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2)2+1，所以y=(x−2)2+1．故答案为：y=(x−2)2+1．【答案】4−π【考点】图形的剪拼扇形面积的计算【解析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，∴ 恒星的面积=2×2−π=4−π． 故答案为：4−π. 【答案】85或14【考点】等腰三角形的性质 【解析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解 【解答】解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180∘−80∘2=50∘，∴ 特征值k =8050=85；②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180∘−80∘−80∘=20∘， ∴ 特征值k =2080=14. 综上所述，特征值k 为85或14. 故答案为：85或14.【答案】 13a +21b 【考点】规律型：数字的变化类 【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案． 【解答】解：由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，故易知第7个数是5a +8b ，第8个数是8a +13b ，第9个数是13a +21b . 故答案为：13a +21b . 三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤【答案】解：(−2)2−|√2−2|−2cos45∘+(3−π)0， =4−(2−√2)−2×√22+1，=4−2+√2−√2+1，=3． 【考点】特殊角的三角函数值 零指数幂 实数的运算 绝对值 【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解：(−2)2−|√2−2|−2cos45∘+(3−π)0，=4−(2−√2)−2×√22+1，=4−2+√2−√2+1，=3． 【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元，y 元， 根据题意可得：{12y +20x =112,12x +20y =144,解得：{x =2,y =6.所以中性笔和笔记本的单价分别是2元和6元. 【考点】二元一次方程组的应用——其他问题 【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案． 【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元，y 元，根据题意可得：{12y +20x =112,12x +20y =144, 解得：{x =2,y =6.所以中性笔和笔记本的单价分别是2元和6元. 【答案】解：(1)如图⊙O 即为所求．25π【考点】作图—复杂作图三角形的外接圆与外心 垂径定理 勾股定理 【解析】（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O ，⊙O 即为所求．（2）在Rt △OBE 中，利用勾股定理求出OB 即可解决问题．解：(1)如图⊙O即为所求．(2)设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE=4，BE=EC=3.在Rt△OBE中，OB=√32+42=5，∴S⊙O=π⋅52=25π．故答案为：25π．【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90∘，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH.在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60∘，∴CE=AC⋅sin60∘=34.6(cm)，∴FH=CE=34.6(cm).∵DH=49.6cm，∴DF=DH−FH=49.6−34.6=15(cm).在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30∘，∴此时台灯光线为最佳．【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90∘，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH.在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60∘，∴CE=AC⋅sin60∘=34.6(cm)，∴FH=CE=34.6(cm).∵DH=49.6cm，∴DF=DH−FH=49.6−34.6=15(cm).在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30∘，∴此时台灯光线为最佳．【答案】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；(2)画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14．【考点】概率的意义列表法与树状图法【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【解答】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；(2)画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】11,10,78,81(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×1+240=90（人）.(3)八年级的总体水平较好.∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好．【考点】众数中位数算术平均数频数（率）分布表用样本估计总体【解析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．【解答】解：(1)由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c=77+792=78，八年级成绩的众数d=81.故答案为：11；10；78；81.(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×1+240=90（人）.(3)八年级的总体水平较好.∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好．【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=−x+b的图象在第一象限交于A(1, 3)，B(3, 1)两点，∴3=k，3=−1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=−x+4；x(2)由图象可得：当1<a<3时，PM>PN．【考点】反比例函数与一次函数的综合待定系数法求一次函数解析式待定系数法求反比例函数解析式【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．【解答】(k≠0)的图象与一次函数y=−x+b的图象在第一象限解：(1)∵反比例函数y=kx交于A(1, 3)，B(3, 1)两点，∴3=k，3=−1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=−x+4；x(2)由图象可得：当1<a<3时，PM>PN．【答案】(1)证明：连接AD.∵AB=AC，∠BAC=120∘，∴∠B=∠C=30∘.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30∘，∴∠ADC=60∘，∴∠DAC=180∘−60∘−30∘=90∘，∴AC是⊙D的切线；(2)解：连接AE.∵AD=DE，∠ADE=60∘，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60∘，∴∠EAC=∠AED−∠C=30∘，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2√3，∴⊙D的半径AD=2√3．【考点】等边三角形的性质与判定三角形的外角性质三角形内角和定理切线的判定等腰三角形的性质【解析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30∘，∠BAD＝∠B＝30∘，求得∠ADC＝60∘，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180∘−60∘−30∘＝90∘，于是得到AC 是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60∘，求得∠EAC＝∠AED−∠C＝30∘，得到AE＝CE＝2√3，于是得到结论．【解答】(1)证明：连接AD.∵AB=AC，∠BAC=120∘，∴∠B=∠C=30∘.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30∘，∴∠ADC=60∘，∴∠DAC=180∘−60∘−30∘=90∘，∴ AC 是⊙D 的切线； (2)解：连接AE .∵ AD =DE ，∠ADE =60∘，∴ △ADE 是等边三角形， ∴ AE =DE ，∠AED =60∘， ∴ ∠EAC =∠AED −∠C =30∘， ∴ ∠EAC =∠C ， ∴ AE =CE =2√3，∴ ⊙D 的半径AD =2√3． 【答案】证明：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1，EC 1.则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1=90∘=∠A 1B 1M 1， ∴ △EB 1C 1是等腰直角三角形， ∴ ∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45∘.∵ N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点， ∴ ∠M 1C 1N 1=90∘+45∘=135∘， ∴ ∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180∘， ∴ E ，C 1，N 1，三点共线. 在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中， {A 1B 1=EB 1,∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1,B 1M 1=B 1M 1,∴ △A 1B 1M 1≅△EB 1M 1(SAS)， ∴ A 1M 1=EM 1，∠1=∠2. ∵ A 1M 1=M 1N 1， ∴ EM 1=M 1N 1， ∴ ∠3=∠4.∵ ∠2+∠3=45∘，∠4+∠5=45∘， ∴ ∠1=∠2=∠5. ∵ ∠1+∠6=90∘， ∴ ∠5+∠6=90∘，∴ ∠A 1M 1N 1=180∘−90∘=90∘． 【考点】全等三角形的性质与判定 四边形综合题 【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1＝A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，则EB 1＝B 1C 1，∠EB 1M 1中＝90∘＝∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1＝∠B 1C 1E ＝45∘，证出∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1＝180∘，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≅△EB 1M 1得出A 1M 1＝EM 1，∠1＝∠2，得出EM 1＝M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90∘，即可得出结论．【解答】证明：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1，EC 1.则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1=90∘=∠A 1B 1M 1，∴ △EB 1C 1是等腰直角三角形，∴ ∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45∘.∵ N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，∴ ∠M 1C 1N 1=90∘+45∘=135∘，∴ ∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180∘，∴ E ，C 1，N 1，三点共线.在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1,∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1,B 1M 1=B 1M 1,∴ △A 1B 1M 1≅△EB 1M 1(SAS)，∴ A 1M 1=EM 1，∠1=∠2.∵ A 1M 1=M 1N 1，∴ EM 1=M 1N 1，∴ ∠3=∠4.∵ ∠2+∠3=45∘，∠4+∠5=45∘，∴ ∠1=∠2=∠5.∵ ∠1+∠6=90∘，∴ ∠5+∠6=90∘，∴ ∠A 1M 1N 1=180∘−90∘=90∘．【答案】解：(1)由二次函数交点式表达式得：y =a(x +3)(x −4)=a(x 2−x −12)=ax 2−ax −12a ，即−12a =4，解得：a =−13，则抛物线的表达式为y =−13x 2+13x +4；(2)存在，理由：点A ，B ，C 的坐标分别为(−3, 0)，(4, 0)，(0, 4)，则AC =5，AB =7，BC =4√2，∠OBC =∠OCB =45∘.将点B，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=−x+4①，同理可得直线AC的表达式为：y=43x+4.设线段AC的中点为K(−32, 2)，过点M与CA垂直直线的表达式中的斜率为−34.同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y=−34x+78②.①当AC=AQ时，则AC=AQ=5.设QM=MB=n，则AM=7−n.由勾股定理得：(7−n)2+n2=25，解得：n=3或4（舍去4），故点Q(1, 3)；②当AC=CQ时，CQ=5，则BQ=BC−CQ=4√2−5，则QM=MB=8−5√22，故点Q(5√22, 8−5√22)；③当CQ=AQ时，联立①②并解得：x=252（舍去）．故点Q的坐标为：Q(1, 3)或(5√22, 8−5√22)；(3)设点P(m, −13m2+13m+4)，则点Q(m, −m+4).∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45∘=∠PQN，PN=PQsin∠PQN=√22(−13m2+13m+4+m−4)=−√26(m−2)2+2√23.∵−√26<0，∴PN有最大值，当m=2时，PN的最大值为2√23．【考点】等腰三角形的性质与判定二次函数综合题待定系数法求二次函数解析式二次函数的最值【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN＝PQsin∠PQN=√22(−13m2+13m+4+m−4)即可求解．【解答】解：(1)由二次函数交点式表达式得：y=a(x+3)(x−4)=a(x2−x−12)=ax2−ax−12a，即−12a=4，解得：a=−13，则抛物线的表达式为y=−13x2+13x+4；(2)存在，理由：点A，B，C的坐标分别为(−3, 0)，(4, 0)，(0, 4)，则AC=5，AB=7，BC=4√2，∠OBC=∠OCB=45∘.将点B，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=−x+4①，同理可得直线AC的表达式为：y=43x+4.设线段AC的中点为K(−32, 2)，过点M与CA垂直直线的表达式中的斜率为−34.同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y=−34x+78②.①当AC=AQ时，则AC=AQ=5.设QM=MB=n，则AM=7−n.由勾股定理得：(7−n)2+n2=25，解得：n=3或4（舍去4），故点Q(1, 3)；②当AC=CQ时，CQ=5，则BQ=BC−CQ=4√2−5，则QM=MB=8−5√22，故点Q(5√22, 8−5√22)；③当CQ=AQ时，联立①②并解得：x=252（舍去）．故点Q的坐标为：Q(1, 3)或(5√22, 8−5√22)；(3)设点P(m, −13m2+13m+4)，则点Q(m, −m+4).∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45∘=∠PQN，PN=PQsin∠PQN=√22(−13m2+13m+4+m−4)=−√26(m−2)2+2√23.∵−√26<0，∴PN有最大值，当m=2时，PN的最大值为2√23．。
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷word解析
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B. C. D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与√10最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. 7×10−7B. 0.7×10−8C. 7×10−8D. 7×10−95.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. x≤3B. x≤−3C. x≥3D. x≥−38.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A. ①B. ②C. ③D. ④9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A. 22.5∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘10.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次3109204849791803139699数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．13.因式分解：xy2-4x=______．14.关于x的一元二次方程x2+√m x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．22.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交25.如图，已知反比例函数y=kx于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=k上的图象于点N．若PM＞PN，x结合函数图象直接写出a的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE=2√3，求⊙D的半径．27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1=（x-2）2+1，所以，y=（x-2）2+1．故答案为：y=（x-2）2+1．利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π=4-π． 故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．17.【答案】85或14【解析】 解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a+21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0，+1，=4-（2-√2）-2×√22=4-2+√2-√2+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得： {12x +20y =14412y+20x=112，解得：{y =6x=2，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt △OBE 中，OB==5，∴S 圆O =π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一x象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=k，3=-1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=-x+4；x（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2√3，∴⊙D 的半径AD =2√3．【解析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC 是⊙D 的切线；（2）连接AE ，推出△ADE 是等边三角形，得到AE=DE ，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，如图所示：则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1， ∴△EB 1C 1是等腰直角三角形，∴∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°，∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°，∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1B 1M 1=B 1M 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ），∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1=∠B 1C 1E=45°，证出∠B 1C 1E+∠M 1C 1N 1=180°，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1得出A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，得出EM 1=M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论． 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y =a （x +3）（x -4）=a （x 2-x -12），即：-12a =4，解得：a =-13，则抛物线的表达式为y =-13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC =5，AB =7，BC =4√2，∠OAB =∠OBA =45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：y =-x +4…①，同理可得直线AC 的表达式为：y =43x +4，设直线AC 的中点为M （-32，4），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为-34， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：y =-34x +78…②，①当AC =AQ 时，如图1，则AC =AQ =5，设：QM =MB =n ，则AM =7-n ，由勾股定理得：（7-n ）2+n 2=25，解得：n =3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC =CQ 时，如图1，CQ =5，则BQ =BC -CQ =4√2-5， 则QM =MB =8−5√22， 故点Q （5√22，8−5√22）； ③当CQ =AQ 时，联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）； （3）设点P （m ，-13m 2+13m +4），则点Q （m ，-m +4），∵OB =OC ，∴∠ABC =∠OCB =45°=∠PQN ， PN =PQ sin ∠PQN =√22（-13m 2+13m +4+m -4）=-√26m 2+7√26m ， ∵-√26＜0，∴PN 有最大值， 当m =72时，PN 的最大值为：49√224．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ 、AC=CQ 、CQ=AQ 三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin ∠PQN=（-m 2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷word解析
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B. C. D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与√10最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. 7×10−7B. 0.7×10−8C. 7×10−8D. 7×10−95.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. x≤3B. x≤−3C. x≥3D. x≥−38.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A. ①B. ②C. ③D. ④9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A. 22.5∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘10.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次3109204849791803139699数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．13.因式分解：xy2-4x=______．14.关于x的一元二次方程x2+√m x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．22.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交25.如图，已知反比例函数y=kx于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=k上的图象于点N．若PM＞PN，x结合函数图象直接写出a的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE=2√3，求⊙D的半径．27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1=（x-2）2+1，所以，y=（x-2）2+1．故答案为：y=（x-2）2+1．利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π=4-π． 故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．17.【答案】85或14【解析】 解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a+21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0，+1，=4-（2-√2）-2×√22=4-2+√2-√2+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得： {12x +20y =14412y+20x=112，解得：{y =6x=2，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt △OBE 中，OB==5，∴S 圆O =π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一x象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=k，3=-1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=-x+4；x（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2√3，∴⊙D 的半径AD =2√3．【解析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC 是⊙D 的切线；（2）连接AE ，推出△ADE 是等边三角形，得到AE=DE ，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，如图所示：则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1， ∴△EB 1C 1是等腰直角三角形，∴∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°，∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°，∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1B 1M 1=B 1M 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ），∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1=∠B 1C 1E=45°，证出∠B 1C 1E+∠M 1C 1N 1=180°，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1得出A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，得出EM 1=M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论． 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y =a （x +3）（x -4）=a （x 2-x -12），即：-12a =4，解得：a =-13，则抛物线的表达式为y =-13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC =5，AB =7，BC =4√2，∠OAB =∠OBA =45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：y =-x +4…①，同理可得直线AC 的表达式为：y =43x +4，设直线AC 的中点为M （-32，4），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为-34， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：y =-34x +78…②，①当AC =AQ 时，如图1，则AC =AQ =5，设：QM =MB =n ，则AM =7-n ，由勾股定理得：（7-n ）2+n 2=25，解得：n =3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC =CQ 时，如图1，CQ =5，则BQ =BC -CQ =4√2-5， 则QM =MB =8−5√22， 故点Q （5√22，8−5√22）； ③当CQ =AQ 时，联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）； （3）设点P （m ，-13m 2+13m +4），则点Q （m ，-m +4），∵OB =OC ，∴∠ABC =∠OCB =45°=∠PQN ， PN =PQ sin ∠PQN =√22（-13m 2+13m +4+m -4）=-√26m 2+7√26m ， ∵-√26＜0，∴PN 有最大值， 当m =72时，PN 的最大值为：49√224．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ 、AC=CQ 、CQ=AQ 三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin ∠PQN=（-m 2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2019年甘肃陇南中考数学试卷及答案
【导语】中考频道⼩编提醒参加2019中考的所有考⽣，⽢肃陇南2019年中考将于6⽉中旬陆续开始举⾏，⽢肃陇南中考时间具体安排考⽣可点击进⼊“”栏⽬查询，请⼴⼤考⽣提前准备好准考证及考试需要的⽤品，然后顺顺利利参加本届初中学业⽔平考试，具体如下：为⽅便考⽣及时估分，中考频道将在本次中考结束后陆续公布2019年⽢肃陇南中考数学试卷及答案信息。
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中考科⽬语⽂、数学、英语、物理、化学、政治、历史、地理、⽣物、体育（各地区有所不同，具体以地区教育考试院公布为准。
）考试必读可以在中考前⼀天下午去考场看看，熟悉⼀下考场环境。
确定去考场的⽅式，是坐公共汽车、出租车还是骑⾃⾏车等;确定去考场的⾏车路线。
在校内去考场的路上，⼀旦发⽣意外，要及时求助于监考⽼师或警察。
中考所⽤的2B铅笔、0.5mm⿊⾊墨⽔签字笔、橡⽪、垫板、圆规、尺⼦以及准考证等，都应归纳在⼀起，在前⼀天晚上就准备好，放⼊⼀个透明的塑料袋或⽂件袋中。
涂答题卡的2B铅笔要提前削好（如果是⾃动笔，要防⽌买到假冒产品）。
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中考数学为了能让⼴⼤考⽣及时⽅便获取⽢肃陇南中考数学试卷答案信息，特别整理了《2019⽢肃陇南中考数学试卷及答案》发布⼊⼝供⼴⼤考⽣查阅。
数学真题/答案[解析]专题推荐参加2019中考的考⽣可直接查阅各科2019年⽢肃陇南中考试题及答案信息！考试须知⼀、考⽣凭《准考证》(社会⼈员须持准考证及⾝份证)提前15分钟进⼊指定试室（英语科提前20分钟）对号⼊座，并将《准考证》放在桌⼦左上⾓，以便查对。
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2019甘肃省陇南市中考数学试卷word解析
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B. C. D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与√10最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. 7×10−7B. 0.7×10−8C. 7×10−8D. 7×10−95.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. x≤3B. x≤−3C. x≥3D. x≥−38.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A. ①B. ②C. ③D. ④9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A. 22.5∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘10.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次3109204849791803139699数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．13.因式分解：xy2-4x=______．14.关于x的一元二次方程x2+√m x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．22.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：分析数据：应用数据：（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交25.如图，已知反比例函数y=kx于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=k上的图象于点N．若PM＞PN，x结合函数图象直接写出a的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE=2√3，求⊙D的半径．27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1=（x-2）2+1， 所以，y=（x-2）2+1． 故答案为：y=（x-2）2+1． 利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）； （2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）． 16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2， ∴恒星的面积=2×2-π=4-π． 故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积． 17.【答案】85或14【解析】解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a+21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0，+1，=4-（2-√2）-2×√22=4-2+√2-√2+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得：{12x +20y =14412y+20x=112， 解得：{y =6x=2，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元． 【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ． 由题意OE=4，BE=EC=3， 在Rt △OBE 中，OB==5，∴S 圆O =π•52=25π． 故答案为25π．（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， ∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14． 【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94， ∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81， 故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一x象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=k，3=-1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=-x+4；x（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2√3，∴⊙D 的半径AD =2√3．【解析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC 是⊙D 的切线；（2）连接AE ，推出△ADE 是等边三角形，得到AE=DE ，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，如图所示：则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1， ∴△EB 1C 1是等腰直角三角形，∴∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°，∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°，∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1B 1M 1=B 1M 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ），∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1=∠B 1C 1E=45°，证出∠B 1C 1E+∠M 1C 1N 1=180°，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1得出A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，得出EM 1=M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论． 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y =a （x +3）（x -4）=a （x 2-x -12），即：-12a =4，解得：a =-13，则抛物线的表达式为y =-13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC =5，AB =7，BC =4√2，∠OAB =∠OBA =45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：y =-x +4…①，同理可得直线AC 的表达式为：y =43x +4，设直线AC 的中点为M （-32，4），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为-34， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：y =-34x +78…②，①当AC =AQ 时，如图1，则AC =AQ =5， 设：QM =MB =n ，则AM =7-n ， 由勾股定理得：（7-n ）2+n 2=25，解得：n =3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC =CQ 时，如图1，CQ =5，则BQ =BC -CQ =4√2-5，则QM =MB =8−5√22， 故点Q （5√22，8−5√22）； ③当CQ =AQ 时，联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）； （3）设点P （m ，-13m 2+13m +4），则点Q （m ，-m +4），∵OB =OC ，∴∠ABC =∠OCB =45°=∠PQN ， PN =PQ sin ∠PQN =√22（-13m 2+13m +4+m -4）=-√26m 2+7√26m ， ∵-√26＜0，∴PN 有最大值， 当m =72时，PN 的最大值为：49√224．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ 、AC=CQ 、CQ=AQ 三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin ∠PQN=（-m 2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷(含答案)
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A.B.C.D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. B. C. D.5.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A.B.C.D.7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. B. C. D.8.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A. B. C. D. 9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A.B.C.D.10.如图 ，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图 所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．12.13.因式分解：xy2-4x=______．14.关于x的一元二次方程x2+x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．116.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：（-2）2-|-2|-2cos45°+（3-π）0四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．22.图 是放置在水平面上的台灯，图 是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25.如图，已知反比例函数y=（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE=2，求⊙D的半径．27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图 ，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图 ，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图 ，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．328.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，5∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，所以，y=（x-2）2+1．故答案为：y=（x-2）2+1．利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π=4-π．故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．17.【答案】或【解析】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．718.【答案】13a+21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|-2|-2cos45°+（3-π）0，=4-（2-）-2×+1，=4-2+-+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt△OBE中，OB==5，∴S圆O=π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF===，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为=．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=，3=-1+b，∴k=3，b=4，9∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=，y=-x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2，∴⊙D的半径AD=2．【解析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE=DE，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1=EM1，∠1=∠2，∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A1M1N1=180°-90°=90°．【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1=EM1，∠1=∠2，得出EM1=M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论．此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y=a（x+3）（x-4）=a（x2-x-12），即：-12a=4，解得：a=-，则抛物线的表达式为y=-x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC=5，AB=7，BC=4，∠OAB=∠OBA=45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=-x+4… ，同理可得直线AC的表达式为：y=x+4，设直线AC的中点为M（-，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为-，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y=-x+… ，当AC=AQ时，如图1，则AC=AQ=5，设：QM=MB=n，则AM=7-n，由勾股定理得：（7-n）2+n2=25，解得：n=3或4（舍去4），故点Q（1，3）；当AC=CQ时，如图1，CQ=5，则BQ=BC-CQ=4-5，则QM=MB=，故点Q（，）；当CQ=AQ时，联立 并解得：x=（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，-m2+m+4），则点Q（m，-m+4），∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN，PN=PQ sin∠PQN=（-m2+m+4+m-4）=-m2+m，∵-＜0，∴PN有最大值，当m=时，PN的最大值为：．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin∠PQN=（-m2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．11。
甘肃省陇南市中考数学真题试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
2019年某某省陇南市中考数学试卷注：请使用office word软件打开，wps word会导致公式错乱一、选择题（本大题共10小题，共分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B. C. D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与√10最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是米．数据用科学记数法表示为（）A. 7×10−7B. 0.7×10−8C. 7×10−8D. 7×10−95.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. x≤3B. x≤−3C. x≥3D. x≥−38.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A. ①B. ②C. ③D. ④9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A. 22.5∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘10.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共分）11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数6140 4040 10000 36000 80640出现“正面朝上”的次3109 2048 4979 18031 39699数频率请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到）．13.因式分解：xy2-4x=______．14.关于x的一元二次方程x2+√x x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共分）19.计算：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0四、解答题（本大题共9小题，共分）20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．22.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取）．23.2019年中国世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和X帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和X帆恰好选择同一线路游览的概率．24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：90≤x≤10 40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤890 七年级0 1 0 a7 1八年级 1 0 0 7 b 2分析数据：平均数 众数 中位数 七年级78 75 c 八年级 78 d应用数据：（1）由上表填空：a =______，b =______，c =______，d =______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25. 如图，已知反比例函数y =xx （k ≠0）的图象与一次函数y =-x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P （a ，0）（a ＞0），过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y =-x +b 的图象于点M ，交反比例函数y =x x 上的图象于点N ．若PM ＞PN ，结合函数图象直接写出a 的取值X 围．26. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，点D 在BC 边上，⊙D 经过点A 和点B 且与BC 边相交于点E ．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）若CE =2√3，求⊙D 的半径．27. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC 中，M 是BC 边上一点（不含端点B ，C ），N 是△ABC 的外角∠ACH 的平分线上一点，且AM =MN ．求证：∠AMN =60°．点拨：如图②，作∠CBE =60°，BE 与NC 的延长线相交于点E ，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3 系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P 点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为．故答案为．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，所以，y=（x-2）2+1．故答案为：y=（x-2）2+1．利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．16.【答案】4-π【解析】 解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π=4-π．故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．17.【答案】85或14【解析】解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k 为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A 的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a +21b 【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b ，第8个数是8a+13b ，第9个数是13a+21b ，故答案为：13a+21b ．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0，=4-（2-√2）-2×√22+1，=4-2+√2-√2+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得：{12x +20x =14412x +20x =112，解得：{x =6x =2，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．21.【答案】25π【解析】 解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt △OBE 中，OB==5，∴S 圆O =π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O ，⊙O 即为所求．（2）在Rt △OBE 中，利用勾股定理求出OB 即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE ⊥AB 于E ，DH ⊥AB 于H ，CF ⊥DH 于F ．∵∠CEH =∠CFH =∠FHE =90°，∴四边形CEHF 是矩形，∴CE =FH ，在Rt △ACE 中，∵AC =40cm ，∠A =60°，∴CE =AC •（cm ），∴FH =CE （cm ）∵DHcm ，∴DF =DH -FH =49.6-34.6=15（cm ），在Rt △CDF 中，sin ∠DCF =xx xx =1530=12，∴∠DCF =30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE ⊥AB 于E ，DH ⊥AB 于H ，CF ⊥DH 于F ．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C ．“园艺小清新之旅”的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和X 帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和X 帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和X 帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y =xx （k ≠0）的图象与一次函数y =-x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点，∴3=x 1，3=-1+b ，∴k =3，b =4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y =3x ，y =-x +4；（2）由图象可得：当1＜a ＜3时，PM ＞PN ．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD ，∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵AD =BD ，∴∠BAD =∠B =30°，∴∠ADC =60°，∴∠DAC =180°-60°-30°=90°，∴AC 是⊙D 的切线；（2）解：连接AE ，∵AD =DE ，∠ADE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AE =DE ，∠AED =60°，∴∠EAC =∠AED -∠C =30°，∴∠EAC =∠C ，∴AE =CE =2√3，∴⊙D 的半径AD =2√3．【解析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC 是⊙D 的切线；（2）连接AE ，推出△ADE 是等边三角形，得到AE=DE ，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，如图所示：则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1，∴△EB 1C 1是等腰直角三角形，∴∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°，∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°，∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{x 1x 1=xx 1∠x 1x 1x 1=∠xx 1x 1x 1x 1=x 1x 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ），∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1=∠B 1C 1E=45°，证出∠B 1C 1E+∠M 1C 1N 1=180°，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1得出A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，得出EM 1=M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论．此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y =a （x +3）（x -4）=a （x 2-x -12），即：-12a =4，解得：a =-13，则抛物线的表达式为y =-13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC =5，AB =7，BC =4√2，∠OAB =∠OBA =45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：y =-x +4…①，同理可得直线AC 的表达式为：y =43x +4，设直线AC 的中点为M （-32，4），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为-34，同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：y =-34x +78…②，①当AC =AQ 时，如图1，则AC =AQ =5，设：QM =MB =n ，则AM =7-n ，由勾股定理得：（7-n ）2+n 2=25，解得：n =3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC =CQ 时，如图1，CQ =5，则BQ =BC -CQ =4√2-5，则QM =MB =8−5√22，故点Q （5√22，8−5√22）；③当CQ =AQ 时，联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）；（3）设点P （m ，-13m 2+13m +4），则点Q （m ，-m +4），∵OB =OC ，∴∠ABC =∠OCB =45°=∠PQN ，PN =PQ sin ∠PQN =√22（-13m 2+13m +4+m -4）=-√26m 2+7√26m ，∵-√26＜0，∴PN 有最大值，当m =72时，PN 的最大值为：49√224．【解析】 （1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ 、AC=CQ 、CQ=AQ 三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin ∠PQN=（-m 2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
DA2019年甘肃省陇南市中考数学
答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，所以，y=（x-2）2+1．故答案为：y=（x-2）2+1．利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π=4-π．故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．17.【答案】或【解析】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a+21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|-2|-2cos45°+（3-π）0，=4-（2-）-2×+1，=4-2+-+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt△OBE中，OB==5，∴S圆O=π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF===，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为=．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=，3=-1+b，∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=，y=-x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2，∴⊙D的半径AD=2．【解析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE=DE，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，∠ ∠ ，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1=EM1，∠1=∠2，∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A1M1N1=180°-90°=90°．【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1=EM1，∠1=∠2，得出EM1=M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论．此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y=a（x+3）（x-4）=a（x2-x-12），即：-12a=4，解得：a=-，则抛物线的表达式为y=-x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC=5，AB=7，BC=4，∠OAB=∠OBA=45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=-x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y=x+4，设直线AC的中点为M（-，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为-，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y=-x+…②，①当AC=AQ时，如图1，则AC=AQ=5，设：QM=MB=n，则AM=7-n，由勾股定理得：（7-n）2+n2=25，解得：n=3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC=CQ时，如图1，CQ=5，则BQ=BC-CQ=4-5，则QM=MB=，故点Q（，）；③当CQ=AQ时，联立①②并解得：x=（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，-m2+m+4），则点Q（m，-m+4），∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN，PN=PQ sin∠PQN=（-m2+m+4+m-4）=-m2+m，∵-＜0，∴PN有最大值，当m=时，PN的最大值为：．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin∠PQN=（-m2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2019甘肃省陇南市中考数学试卷word解析.docx
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】2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B. C. D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与√10最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. 7×10−7B. 0.7×10−8C. 7×10−8D. 7×10−95.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. x≤3B. x≤−3C. x≥3D. x≥−38.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）9.A. ①B. ②C. ③D. ④10.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A. 22.5∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘11.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）12.A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）13.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．14.15.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次3109204849791803139699数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．16.因式分解：xy2-4x=______．17.关于x的一元二次方程x2+√m x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．18.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．19.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．20.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．21.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）22.计算：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）023.24.25.26.27.28.29.四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）30.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？31.32.已知：在△ABC中，AB=AC．33.（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）34.（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．35.36.37.38.39.40.41.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．42.43.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．44.（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？45.（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．46.47.48.49.50.51.52.53.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：54.收集数据：55.七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．56.八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．57.整理数据：分析数据：应用数据：（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．58.如图，已知反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交x于A（1，3），B（3，1）两点59.（1）求反比例函数和一次函数的表达式；60.（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交上的图象于点N．若PM＞PN，一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx结合函数图象直接写出a的取值范围．61.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．62.（1）求证：AC是⊙D的切线；63.（2）若CE=2√3，求⊙D的半径．64.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：65.例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．66.点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．67.问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．68.69.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．70.（1）求此抛物线的表达式；71.（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；72.（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，所以，y=（x-2）2+1．故答案为：y=（x-2）2+1．利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π=4-π．故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．17.【答案】85或14【解析】 解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k== ②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20° ∴特征值k==综上所述，特征值k 为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A 的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a +21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b ，第8个数是8a+13b ，第9个数是13a+21b ， 故答案为：13a+21b ．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案． 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0， =4-（2-√2）-2×√22+1， =4-2+√2-√2+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得： {12x +20y =14412y+20x=112，解得：{y =6x=2，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt△OBE中，OB==5，∴S圆O=π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=1 4．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一x象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=k，3=-1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=-x+4；x（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2√3，∴⊙D的半径AD=2√3．【解析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE=DE，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，∴△EB 1C 1是等腰直角三角形，∴∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°，∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°，∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1B 1M 1=B 1M 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ），∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1=∠B 1C 1E=45°，证出∠B 1C 1E+∠M 1C 1N 1=180°，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1得出A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，得出EM 1=M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论．此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y =a （x +3）（x -4）=a （x 2-x -12），即：-12a =4，解得：a =-13，则抛物线的表达式为y =-13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC =5，AB =7，BC =4√2，∠OAB =∠OBA =45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：y =-x +4…①，同理可得直线AC 的表达式为：y =43x +4，设直线AC 的中点为M （-32，4），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为-34， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：y =-34x +78…②，①当AC =AQ 时，如图1，则AC =AQ =5，设：QM =MB =n ，则AM =7-n ，由勾股定理得：（7-n ）2+n 2=25，解得：n =3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC =CQ 时，如图1，CQ =5，则BQ =BC -CQ =4√2-5， 则QM =MB =8−5√22， 故点Q （5√22，8−5√22）； ③当CQ =AQ 时，联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）； （3）设点P （m ，-13m 2+13m +4），则点Q （m ，-m +4），∵OB =OC ，∴∠ABC =∠OCB =45°=∠PQN ， PN =PQ sin ∠PQN =√22（-13m 2+13m +4+m -4）=-√26m 2+7√26m ， ∵-√26＜0，∴PN 有最大值， 当m =72时，PN 的最大值为：49√224．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ 、AC=CQ 、CQ=AQ 三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin ∠PQN=（-m 2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷word解析
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B. C. D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. B. C. D.5.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A.B.C.D.7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. B. C. D.8.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A. B. C. D.9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A.B.C.D.10.如图 ，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图 所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．13.因式分解：xy2-4x=______．14.关于x的一元二次方程x2+x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：（-2）2-|-2|-2cos45°+（3-π）0四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．22.图 是放置在水平面上的台灯，图 是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：分析数据：应用数据：（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25.如图，已知反比例函数y=（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE=2，求⊙D的半径．27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图 ，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图 ，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图 ，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，所以，y=（x-2）2+1．故答案为：y=（x-2）2+1．利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π=4-π．故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．17.【答案】或【解析】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a+21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|-2|-2cos45°+（3-π）0，=4-（2-）-2×+1，=4-2+-+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt△OBE中，OB==5，∴S圆O=π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF===，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为=．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=，3=-1+b，∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=，y=-x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2，∴⊙D的半径AD=2．【解析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE=DE，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1=EM1，∠1=∠2，∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A1M1N1=180°-90°=90°．【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1=EM1，∠1=∠2，得出EM1=M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论．此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y=a（x+3）（x-4）=a（x2-x-12），即：-12a=4，解得：a=-，则抛物线的表达式为y=-x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC=5，AB=7，BC=4，∠OAB=∠OBA=45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=-x+4… ，同理可得直线AC的表达式为：y=x+4，设直线AC的中点为M（-，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为-，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y=-x+… ，当AC=AQ时，如图1，则AC=AQ=5，设：QM=MB=n，则AM=7-n，由勾股定理得：（7-n）2+n2=25，解得：n=3或4（舍去4），故点Q（1，3）；当AC=CQ时，如图1，CQ=5，则BQ=BC-CQ=4-5，则QM=MB=，故点Q（，）；当CQ=AQ时，联立 并解得：x=（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，-m2+m+4），则点Q（m，-m+4），∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN，PN=PQ sin∠PQN=（-m2+m+4+m-4）=-m2+m，∵-＜0，∴PN有最大值，当m=时，PN的最大值为：．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin∠PQN=（-m2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷-真题
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A．B．C．D．2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A．0B．1C．2D．33．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．64．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣95．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣38．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．（4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点．12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次数3109204849791803139699频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为（精确到0.1）．13．（4分）因式分解：xy2﹣4x＝．14．（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为．15．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）020．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．22．（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a＝，b＝，c＝，d＝．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？2019年甘肃省陇南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A．B．C．D．【分析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．【解答】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为圆锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．【点评】考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，∴点B表示的数是：3．故选：D．【点评】此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．【解答】解：∵32＝9，42＝16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣9【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；故选：D．【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣3【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得﹣x≥﹣3系数化为1，得x≤3；故选：A．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：﹣＝﹣＝＝．故从第②步开始出现错误．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【分析】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB ＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB＝3，BC＝4．故选：B．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．（4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点（﹣1，1）．【分析】直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次数3109204849791803139699频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5（精确到0.1）．【分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13．（4分）因式分解：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣4x，＝x（y2﹣4），＝x（y+2）（y﹣2）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14．（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为4．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为4【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣2）2+1．【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4﹣π．【分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积．17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是13a+21b．【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0【分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0，＝4﹣（2﹣）﹣2×+1，＝4﹣2+﹣+1，＝3．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π．【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a＝11，b＝10，c＝78，d＝81．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．【解答】解：（1）由题意知a＝11，b＝10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c＝＝78，八年级成绩的众数d＝81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×＝90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3＝，3＝﹣1+b，∴k＝3，b＝4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC ＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．【分析】延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论．【解答】解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，∵A1M1＝M1N1，∴EM1＝M1N1，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．【点评】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN＝PQ sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）即可求解．【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，设直线AC的中点为K（﹣，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（，）；③当CQ＝AQ时，联立①②并解得：x＝（舍去）；。
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷(含答案解析)
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B. C. D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与√10最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. 7×10−7B. 0.7×10−8C. 7×10−8D. 7×10−95.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. x≤3B. x≤−3C. x≥3D. x≥−38.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A. ①B. ②C. ③D. ④9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A. 22.5∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘10.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次3109204849791803139699数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．13.因式分解：xy2-4x=______．14.关于x的一元二次方程x2+√m x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．22.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：分析数据：应用数据：（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25.如图，已知反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交x于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交上的图象于点N．若PM＞PN，一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx结合函数图象直接写出a的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE=2√3，求⊙D的半径．27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1=（x-2）2+1， 所以，y=（x-2）2+1． 故答案为：y=（x-2）2+1． 利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）； （2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）． 16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2， ∴恒星的面积=2×2-π=4-π． 故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积． 17.【答案】85或14【解析】解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a+21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0，+1，=4-（2-√2）-2×√22=4-2+√2-√2+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得：{12x +20y =14412y+20x=112， 解得：{y =6x=2，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元． 【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ． 由题意OE=4，BE=EC=3， 在Rt △OBE 中，OB==5，∴S 圆O =π•52=25π． 故答案为25π．（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， ∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14． 【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94， ∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81， 故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一x象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=k，3=-1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=-x+4；x（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2√3，∴⊙D 的半径AD =2√3．【解析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC 是⊙D 的切线；（2）连接AE ，推出△ADE 是等边三角形，得到AE=DE ，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，如图所示：则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1， ∴△EB 1C 1是等腰直角三角形，∴∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°，∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°，∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1B 1M 1=B 1M 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ），∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1=∠B 1C 1E=45°，证出∠B 1C 1E+∠M 1C 1N 1=180°，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1得出A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，得出EM 1=M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论． 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y =a （x +3）（x -4）=a （x 2-x -12），即：-12a =4，解得：a =-13，则抛物线的表达式为y =-13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC =5，AB =7，BC =4√2，∠OAB =∠OBA =45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：y =-x +4…①，同理可得直线AC 的表达式为：y =43x +4，设直线AC 的中点为M （-32，4），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为-34， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：y =-34x +78…②，①当AC =AQ 时，如图1，则AC =AQ =5， 设：QM =MB =n ，则AM =7-n ， 由勾股定理得：（7-n ）2+n 2=25，解得：n =3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC =CQ 时，如图1，CQ =5，则BQ =BC -CQ =4√2-5，则QM =MB =8−5√22， 故点Q （5√22，8−5√22）； ③当CQ =AQ 时，联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）； （3）设点P （m ，-13m 2+13m +4），则点Q （m ，-m +4），∵OB =OC ，∴∠ABC =∠OCB =45°=∠PQN ， PN =PQ sin ∠PQN =√22（-13m 2+13m +4+m -4）=-√26m 2+7√26m ， ∵-√26＜0，∴PN 有最大值， 当m =72时，PN 的最大值为：49√224．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ 、AC=CQ 、CQ=AQ 三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin ∠PQN=（-m 2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
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2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B. C. D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与√10最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. 7×10−7B. 0.7×10−8C. 7×10−8D. 7×10−95.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. x≤3B. x≤−3C. x≥3D. x≥−38.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A. ①B. ②C. ③D. ④9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A. 22.5∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘10.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次3109204849791803139699数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．13.因式分解：xy2-4x=______．14.关于x的一元二次方程x2+√m x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．22.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：分析数据：应用数据：（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交25.如图，已知反比例函数y=kx于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=k上的图象于点N．若PM＞PN，x结合函数图象直接写出a的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE=2√3，求⊙D的半径．27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1=（x-2）2+1， 所以，y=（x-2）2+1． 故答案为：y=（x-2）2+1． 利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）； （2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）． 16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2， ∴恒星的面积=2×2-π=4-π． 故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积． 17.【答案】85或14【解析】解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a+21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0，+1，=4-（2-√2）-2×√22=4-2+√2-√2+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得：{12x +20y =14412y+20x=112， 解得：{y =6x=2，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元． 【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ． 由题意OE=4，BE=EC=3， 在Rt △OBE 中，OB==5，∴S 圆O =π•52=25π． 故答案为25π．（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， ∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14． 【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94， ∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81， 故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一x象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=k，3=-1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=-x+4；x（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2√3，∴⊙D 的半径AD =2√3．【解析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC 是⊙D 的切线；（2）连接AE ，推出△ADE 是等边三角形，得到AE=DE ，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，如图所示：则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1， ∴△EB 1C 1是等腰直角三角形，∴∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°，∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°，∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1B 1M 1=B 1M 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ），∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1=∠B 1C 1E=45°，证出∠B 1C 1E+∠M 1C 1N 1=180°，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1得出A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，得出EM 1=M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论． 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y =a （x +3）（x -4）=a （x 2-x -12），即：-12a =4，解得：a =-13，则抛物线的表达式为y =-13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC =5，AB =7，BC =4√2，∠OAB =∠OBA =45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：y =-x +4…①，同理可得直线AC 的表达式为：y =43x +4，设直线AC 的中点为M （-32，4），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为-34， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：y =-34x +78…②，①当AC =AQ 时，如图1，则AC =AQ =5， 设：QM =MB =n ，则AM =7-n ， 由勾股定理得：（7-n ）2+n 2=25，解得：n =3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC =CQ 时，如图1，CQ =5，则BQ =BC -CQ =4√2-5，则QM =MB =8−5√22， 故点Q （5√22，8−5√22）； ③当CQ =AQ 时，联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）； （3）设点P （m ，-13m 2+13m +4），则点Q （m ，-m +4），∵OB =OC ，∴∠ABC =∠OCB =45°=∠PQN ， PN =PQ sin ∠PQN =√22（-13m 2+13m +4+m -4）=-√26m 2+7√26m ， ∵-√26＜0，∴PN 有最大值， 当m =72时，PN 的最大值为：49√224．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ 、AC=CQ 、CQ=AQ 三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin ∠PQN=（-m 2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2019甘肃省陇南市中考数学试卷word解析
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B. C. D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列整数中，与√10最接近的整数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. 7×10−7B. 0.7×10−8C. 7×10−8D. 7×10−95.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A. x≤3B. x≤−3C. x≥3D. x≥−38.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A. ①B. ②C. ③D. ④9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A. 22.5∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘10.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次3109204849791803139699数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．13.因式分解：xy2-4x=______．14.关于x的一元二次方程x2+√m x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．22.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：分析数据：应用数据：（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25.如图，已知反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交x于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交上的图象于点N．若PM＞PN，一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx结合函数图象直接写出a的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE=2√3，求⊙D的半径．27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，∴点B表示的数是：3．故选：D．直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4.【答案】D【解析】解：0.000000007=7×10-9；故选：D．由科学记数法知0.000000007=7×10-9；本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选：C．根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7.【答案】A【解析】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得-x≥-3系数化为1，得x≤3；故选：A．先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：-=-==．故从第②步开始出现错误．故选：B．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°．故选：C．设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•=3，即AB•BC=12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB=3，BC=4．故选：B．当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.【答案】（-1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．故答案为：（-1，1）．直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：xy2-4x，=x（y2-4），=x（y+2）（y-2）．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14.【答案】4【解析】解：由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0得m=4故答案为4要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15.【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1=（x-2）2+1，所以，y=（x-2）2+1．故答案为：y=（x-2）2+1．利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．16.【答案】4-π【解析】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π=4-π． 故答案为4-π．恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．17.【答案】85或14【解析】 解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°∴特征值k==②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°∴特征值k==综上所述，特征值k为或故答案为或可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18.【答案】13a+21b【解析】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．19.【答案】解：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0，+1，=4-（2-√2）-2×√22=4-2+√2-√2+1，=3．【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得： {12x +20y =14412y+20x=112，解得：{y =6x=2，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 21.【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt △OBE 中，OB==5，∴S 圆O =π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】11 10 78 81【解析】解：（1）由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c==78，八年级成绩的众数d=81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=k（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一x象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3=k，3=-1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=-x+4；x（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26.【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60°，∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，∴∠EAC =∠C ，∴AE =CE =2√3，∴⊙D 的半径AD =2√3．【解析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC 是⊙D 的切线；（2）连接AE ，推出△ADE 是等边三角形，得到AE=DE ，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，如图所示：则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1， ∴△EB 1C 1是等腰直角三角形，∴∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°，∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°，∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1B 1M 1=B 1M 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ），∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．【解析】延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1中=90°=∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1=∠B 1C 1E=45°，证出∠B 1C 1E+∠M 1C 1N 1=180°，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1得出A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，得出EM 1=M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论． 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y =a （x +3）（x -4）=a （x 2-x -12），即：-12a =4，解得：a =-13，则抛物线的表达式为y =-13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC =5，AB =7，BC =4√2，∠OAB =∠OBA =45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：y =-x +4…①，同理可得直线AC 的表达式为：y =43x +4，设直线AC 的中点为M （-32，4），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为-34， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：y =-34x +78…②，①当AC =AQ 时，如图1，则AC =AQ =5， 设：QM =MB =n ，则AM =7-n ，由勾股定理得：（7-n ）2+n 2=25，解得：n =3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC =CQ 时，如图1，CQ =5，则BQ =BC -CQ =4√2-5，则QM =MB =8−5√22， 故点Q （5√22，8−5√22）； ③当CQ =AQ 时，联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）； （3）设点P （m ，-13m 2+13m +4），则点Q （m ，-m +4），∵OB =OC ，∴∠ABC =∠OCB =45°=∠PQN ， PN =PQ sin ∠PQN =√22（-13m 2+13m +4+m -4）=-√26m 2+7√26m ， ∵-√26＜0，∴PN 有最大值， 当m =72时，PN 的最大值为：49√224．【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ 、AC=CQ 、CQ=AQ 三种情况，分别求解即可；（3）由PN=PQsin ∠PQN=（-m 2+m+4+m-4）即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
【推荐】2019年甘肃省陇南市中考数学试卷.doc
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题 1. （3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（3分，共30分，每小题只有一个正确选项.D .1，如果点A 表示的数是-1，那么点B 表示的数是（A . 0B . 1C . 23. （3分）下列整数中，与s '.1最接近的整数是（ ）A . 3B . 4C . 5用科学记数法表示为（ ）5. （3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）4.（ 3分）华为Mate20手机搭载了全球首款 7纳米制程芯片, 7纳米就是 0.000000007 米.数据 0.000000007A . 7 X 10「7B . 0.7 X 10C . 7X 10「8D . 7X 10A .平移变换B .相似变换C .旋转变换 6. （3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（D .对称变换）B . 360 °C . 540°D . 720°2. （3分）如图，数轴的单位长度为7. （3分）不等式2x+9 > 3 （x+2）的解集是（二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11. （4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱.如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，- 2）, “马”位于点（4,- 2），则“兵”位于点 ________A . x < 3B . x W — 3C . x >3D . x >- 3&（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（(x-y)(x+y) (x-y)(x+y)(x-y)(x+y) ~ (x-y)(x+y)_1④C .③B , S 在圆上，AB 的长度等于圆半径的」倍，则/ ASB 的度数是（ ）B . 30°C . 45°D . 60°10 .（ 3分）如图①，在矩形ABCD 中, AB V AD ，对角线 AC , BD 相交于点0,动点P 由点A 出发, 沿AB T BC ~ CD 向点D 运动.设点P 的运动路程为x ,A A0P 的面积为y , y 与x 的函数关系图象A .① A， 如图②所示，则AD12 . （4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证.下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据:实验者德?摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基3600080640掷币次数6140404010000出现“正面朝3109204849791803139699上”的次数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为____________ （精确到0.1）.213. ________________________________ （4分）因式分解：xy - 4x= .14. _______________________________________________________________________________ （4分）关于x的一元二次方程x2+r「x+1 = 0有两个相等的实数根，则m的取值为________________________2 215. _______________________________________________________________ （4分）将二次函数y= x - 4x+5化成y= a （x- h）+k的形式为_______________________________________ .16. （4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ________ .17. （4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ ABC中，/ A= 80。
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点 A 出发，沿 AB→BC→CD 向点 D 运动．设点 P 的运动路程为 x，△AOP 的面积为 y，
y 与 x 的函数关系图象如图②所示，则 AD 边的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.
11．（4 分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象
A．x≤3
B．x≤﹣3
C．x≥3
8．（3 分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
D．720° D．x≥﹣3
A．①
B．②
C．③
D．④
9．（3 分）如图，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 倍，则∠ASB 的度
数是（ ）
A．22.5°
B．30°
C．45°
D．60°
10．（3 分）如图①，在矩形 ABCD 中，AB＜AD，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 由
棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），
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则“兵”位于点 ．
12．（4 分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷 硬币”的实验数据：
实验者
德•摩根 蒲丰
费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基
掷币次数
6140
4040 10000 36000
18．（4 分）已知一列数 a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去， 第 9 个数是 ．
三、解答题（一）：本大题共 5 小题，共 38 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或 演算步骤
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19．（6 分）计算：（﹣2）2﹣| ﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0 20．（6 分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的
单价分别是多少元？
21．（8 分）已知：在△ABC 中，AB＝AC． （1）求作：△ABC 的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4，BC＝6，则 S⊙O＝ ．
22．（8 分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不 计），其中灯臂 AC＝40cm，灯罩 CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD 可 以绕点 C 上下调节一定的角度．使用发现：当 CD 与水平线所成的角为 30°时，台灯光 线最佳．现测得点 D 到桌面的距离为 49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳 ？（参考数据： 取 1.73）．
． 15．（4 分）将二次函数 y＝x2﹣4x+5 化成 y＝a（x﹣h）2+k 的形式为 ． 16．（4 分）把半径为 1 的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的
恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．
17．（4 分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的 “特征值”．若等腰△ABC 中，∠A＝80°，则它的特征值 k＝ ．
2019 年甘肃省陇南市中考数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确选项． 1．（3 分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）如图，数轴的单位长度为 1，如果点 A 表示的数是﹣1，那么点 B 表示的数是（
）
A．0
80640
出现“正面朝上”的次数 3109
2048
4979
18031
39699
频率
0.506
0.507 0.498
0.501
0.492
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 （精确到 0.1）． 13．（4 分）因式分解：xy2﹣4x＝ ． 14．（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+ x+1＝0 有两个相等的实数根，则 m 的取值为
23．（10 分）2019 年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于 4 月 29 日至 10
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月 7 日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了 4 条各具特色的 趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新 之旅”和 D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这 4 条 线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． （1）李欣选择线路 C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？ （2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 四、解答题（二）：本大题共 5 小题，共 50 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或 演算步骤． 24．（8 分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解 七、八年级学生（七、八年级各有 600 名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识 竞赛．现从两个年级各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59 ，83，77． 八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80 ，70，41． 整理数据：
B．1
C．2
D．3
3．（3 分）下列整数中，与 最接近的整数是（ ）
A．3
B．4
C．5
Dபைடு நூலகம்6
4．（3 分）华为 Mate20 手机搭载了全球首款 7 纳米制程芯片，7 纳米就是 0.000000007 米．
数据 0.000000007 用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣7
B．0.7×10﹣8
C．7×10﹣8
D．7×10﹣9
5．（3 分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
A．平移变换
B．相似变换
C．旋转变换
D．对称变换
6．（3 分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
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A．180°
B．360°
C．540°
7．（3 分）不等式 2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）