二重积分习题课

线性性：
1 2 1 2
1
2
1
2
有限情形。
D
D1
D2
4. 5. 6.
） 绝对值不等式： | f | | f | f g （注意“ ” 推广：若 f、g 连续， f g 且 f 0 时， f 0 f 0（保号性） g f g 特别地 g 0 f M ， S ） 有界性（估值定理） ： m f M （D 上 f m ， f 特例： d S 中值定理：f 在 D 上连续 ( , ) D ： f ( x , y )d f ( , ) （ S ） 单调性（比较定理） ：f g

2 y2
dxdy
例 10 计算 I 例 11 计算 I
1 sin x x2 1 sin x 1 sin x 2 dxdy dx dy ( x x ) dx 0 x x 0 x 0 (1 x ) sin xdx 1 sin1 x D

1 2 1 4
A I1 .
B I2 .
Dk
1 k 4
C I3 .
D I4 .
解答：由积分区域对称性和被积函数奇偶性知 I 2 I 4 0 ， I1 I 3 ，由积分保号性知 I1 0 .
题型四 更换积分次序
解题步骤：写出积分区域 D 的不等式组，画出 D 的草图，写出另一种不等式组，写出新的累次积分。 例7 I 例8 I
1 a
I dx
0
1
1 x
2
0
1 x 2 y 2 dy令a 1 x 2 dx
0
0
a 2 y 2 dy令y a sin t dx 2 a 2 cos 2 tdt
0 0 1
1

法一：
1 t sin 2t 1 1 1 cos 2t 2 2 2 2 a dx dt a 0 0 0 2 2
D
8

f (u, v )dudv ,
D
f ( x, y)dxdy
D D
1 x 2 y 2 dxdy

8

A dxdy ，即 A 1 x 2 y 2 dxdy A
D D
1 2 1 2 (1 cos3 )d ( ) 0 6 6 2 3 4 2 f ( x, y ) 1 x 2 y 2 ( ) 3 2 3 题型二 比较二重积分值的大小(比较定理及其推广) A 1 2 d 0 2 0
min max D D
D
对称性定理： （积分区域 D 的对称性与被积函数 f ( x , y ) 的奇偶性要同时满足）
D1 = D ∩ {y≥0}
D2 = D ∩ {x≥0}
D1 = D ∩ {x≥0}
作业：微积分上册 P235 习题 3(6) I

D
1 x 2 y 2 dxdy ，D 是单位圆在第一象限的部分
2 2
C. 若 f ( x , y ) 0 f ( x, y ) 0, f ( x , y ) 0 ，由 f 连续
f
2
0 矛盾
2 2
例 2 设闭区域 D：x2+y2≤y，x≥0. f ( x , y ) 为 D 上的连续函数，且 f ( x , y ) = 1 x y 求 f ( x , y ) . (微积分上册 P235 习题 8) 解：设 ，有 f (u, v )dudv A ，在已知等式两边计算区域 D 上的二重积分（画图）
dy 1 e dx 1 dy
2 2
y
y x
1
y y
1 3 1 e dx 1 dx 2 e dy 1 x (e e x )dx e e x 8 2 2 2 1
y x
x
y x
*例 12 设函数 f ( x ) 在上连续，并设
1 1 1 0 x 0

1
0
f ( x )dx A ，求 dx f ( x ) f ( y )dy
2a
0
d

2a


4
f ( , )d

2a
arccos

f ( , ) d
注意：对于极坐标，在确定积分次序画线时，以极点 O 为起点的射线表示先积极径 ，以 O 为圆心的同心圆表 示先积极角 。若与 D 的边界曲线相交于不同曲线，则应在交点处把 D 分开处理。
0 0 0 x 0 0 0 0 1 x 1 1 1 1 1 1
I
1 2 A 2
注：此题先后用到积分换序、x、y 轮换对称性及积分区域可加性等性质。
题型六 坐标系的选择
选择直角坐标系，当积分区域 D 为矩形、三角形或任意形状 选择极坐标系，当 D 为圆域、环域、扇域、环扇域等形状，而被积函数形式为 f ( x y ) 或 f ( ) 或 f ( ) 等
0

r ln 2 dr 2 0 1 r 2
1
故
1 x
D
1 xy 1 xy ln 2 dxdy dxdy dxdy . 2 2 2 2 2 2 y 1 x y 1 x y 2 D D

1 x 2
0
1 x2 y y (1 x y ) dy arcsin 1 x 2 y 2 C （怎么直接得出的？） 2 a 2
2 1 2 2
题型一 与二重积分的概念与性质有关的命题
例 1 设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是： （B） （A） 若 f ( x , y ) 在 D 连续，对 D 的任何子区域 D0 均有
1 1 x y2
2
是变量 y 的偶函
数，函数 g ( x, y )
xy xy 是变量 y 的奇函数。则 dxdy 0 2 2 1 x y 1 x2 y 2 D
1 1 x y
2 D1
1 x
D
1
2
y
2
dxdy 2
dxdy 2 2 d 2
二重积分习题课
二重积分性质： （以下 f、g 为二元函数 f ( x , y ) 和 g ( x , y ) ，并在不引起误解的情形下省略积分中的 d 和 D）
1. 2. 3.
k f k g k f k g （数乘性、和差性） 可加性： f f f ，其中 D D D ， D D
2a
2a 2a cos

例8图

4
例 10 图 例 11 图 例 12 图
题型五 选择积分次序
凡遇到如下形式积分： 将其放在后面积分。 例 9 微积分上册 P228 例 6.2.3 x e
D y sin x dx 2 2 x2 x2 x ， sin x dx ， cos x dx ， e dx ， e dx ， e dx x dx ， ln x 等，一般
例 （2006 I(15)）设区域 D ( x, y ) x y 1, x 0 ， 计算二重积分
2 2


1 x
D
1 xy dxdy. 2 y2
【分析】 由于积分区域 D 关于 x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为 圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可. 【详解】 积分区域 D 如右图所示.因为区域 D 关于 x 轴对称，函数 f ( x, y )
0 x
y 1 x 0 0 0
1
1
I dx f ( x ) f ( y )dy换序 f ( y )dy f ( x )dx x , y对换 f ( x )dx f ( y )dy I I dx f ( x ) f ( y )dy dx f ( x ) f ( y )dy可加性 dx f ( x ) f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy A2
A. 设 f ( x0 , y0 ) >0，f 连续： D0 D ，当(x,y) D0 时， f ( x , y ) >0，故 B. f ( x , y )
f ( x, y)d 0 ，矛盾.
D0
0, ( x, y ) D \{( x0 , y0 )} ，有 f ( x , y )d 0 ，故 B 错误。若 f 改为连续，则正确 ( x , y ) ( x 0 , y0 ) 1, D

1
0
dx
2 x x2
0 2 a cos
f ( x , y )dy dx
1
2
2 x
0
f ( x , y )dy dy
0 arccos
1
2 y
1 1 y 2 2a 2a
f ( x , y )dx d
arccos


2
d
4
0
f ( , )d
2
0
dx
a2
4
0
dx
1

4
0
(1 x 2 )dx

6
法二： I


2 0
d
1
0
1 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 r rdr d (1 r ) dr ( )(1 r ) d 2 d 0 0 0 0 0 6 2 2 3 3 2
2 2
y x
x y
例 13 微积分上册 P235 习题 6(2) 计算 I
2 2

D
R 2 x 2 y 2 dxdy ，D： x 2 y 2 Ry
分析：D 为圆域，且被积函数中含 x y ，故在极坐标下计算比较方便。 解：极坐标系下，D： 0 r R sin ， 0
3
( xy cos x sin y)dxdy 2 cos x sin ydydy
D D1
y
1
D1
-1 例5图 例 6（2009 I(2)）如图，正方形
D2 D3
D4
1
x
x, y
-1 例 6 图 x 1, y 1 被其对角线划分为四个区域

Dk k 1, 2,3, 4 ， I k y cos xdxdy ，则 max I k （ A ）
f ( x, y)d 0 ，则 f ( x, y) 0（(x,y) D）.
D0
，则 （B） 若 f ( x , y ) 在 D 可积， f ( x , y ) ≥0，但 f ( x , y ) 0（(x,y) D） （C） 若 f ( x , y ) 在 D 连续，
f ( x, y)d 0 .

2
。由对称性知：
R sin 0
I 2 2 d
0

R sin
0
R 2 r 2 rdr
1 3 R sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) d R r d R r R r 0 0 3 2 0
sin

1 r 2 rdr
例 3 微积分上册 P224 习题 4(3)
题型三 利用二重积分对称性定理简化计算
D 关于 x 轴（或 y 轴）对称，f 为 y（或 x）的奇偶函数，则奇零偶倍 例 4 微积分上册 P229 例 6.2.5 例 5 设 D 是由曲线 y x 与直线 x 1 与 y 1 围成的区域，D1 是 D 在第一象限的部分，则
D
f
D0
2
( x , y )d 0 ，则 f ( x, y ) 0（(x,y) D）.
，则 （D） 若 f ( x , y ) 在 D 连续， f ( x , y ) >0（(x,y) D） 分析：D.
f ( x, y)d 0 .
D
f ( x, y)d
f ( , ) 0
d

2 3 3 4 3 R 2 (1 cos3 )d R 0 3 9
例 14（2006 I(8)）设 f ( x, y ) 为连续函数，则


4 0
d f (r cos , r sin )rdr
0
1
2 2
0Fra Baidu bibliotek
dy
1 y 2
y
f ( x, y )dx