基本不等式公开课教案.docx
基本不等式教案(公开课)
§3.4基本不等式学习目标：1、知识与技能目标：（1）掌握基本不等式2a b ab +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；（3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；（2）体会多角度探索、解决问题。
学习重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。
学习难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最值的前提条件。
学习过程：一、创设情景，引入新课下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的徽标，根据所给图形完成以下问题.赵爽弦图探究问题：1.正方形ABCD 的面积S= ；２.四个直角三角形的面积和S ′= ；３.S 与S ′有什么关系？4.通过S 与S ′的关系，你能得出什么结论？当a,b 为任意实数时，结论成立吗？(1)结论：(2)推理证明：二、讲授新课重要不等式：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）1.思考：如果用a,b去替换222+≥中的,b能得到什么结论？,b要满足a b ab什么条件？(1)写出结论：(2)推理证明：2.思考“当且仅当”怎么理解？3.如何从代数角度和几何角度认识基本不等式呢？代数意义：几何意义：如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 则CD= ；半径= ；三、例题讲解例1.x,y为整数，（1）若x+y=P(定值)，求xy的最大值.（2）若xy=S(定值)，求x+y的最小值.例2.（1）用篱笆围一个面积为100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?四.课堂练习1.x>0,当x 取什么值，x x 1+ 的值最小？最小值是多少？变式1：xx 1+有最小值吗？ 变式2：21222+++x x 有最小值吗变式3：若x>1,求111-+-x x 的最小值吗？变式4：若x>1,求11-+x x 的最小值.五、课时小结本节课你学到了什么？。
基本不等式教案范文
基本不等式教案范文一、教学目标1.知识与技能目标a.掌握基本不等式的定义和基本性质；b.掌握不等式的加减乘除性质；c.能够解决基本不等式的证明和计算问题。
2.过程与方法目标a.通过例题引导学生发现不等式的性质；b.引导学生进行探究性学习，提高独立解决问题的能力；c.培养学生的逻辑思维和推理能力。
3.情感态度目标a.培养学生的数学思维和抽象思维能力；b.培养学生的合作意识和团队精神；c.培养学生的实际问题解决能力。
二、教学重点1.不等式的加减和乘除性质；2.不等式的证明和计算方法。
三、教学难点1.不等式的证明方法；2.复杂不等式的解决方法。
四、教学方法1.探究教学法：通过解决例题引导学生发现不等式的性质；2.讲授教学法：通过讲解和示范的方式，介绍不等式的性质和解决方法；3.案例分析法：通过分析实际问题的案例，引导学生解决不等式问题。
五、教学过程1.引入a.导入问题：小明计划购买一款手机，他想知道自己有多少钱可以花在手机上。
请问该怎样计算？b.引导学生讨论，并给予提示，引出不等式的概念。
2.探究不等式的性质a.通过解决一些简单的例题，让学生发现不等式的性质。
b.给出以下几个例题：（1）若a>b，b>0，则a+b>b；（2）若a > b，b > 0，则ab > b；（3）若a>b，b>0，则a/b>1c.让学生在小组内讨论，并找出规律。
d.分组展示结果，学生进行交流与讨论。
e.教师总结不等式的加减和乘除性质。
3.不等式证明a.讲解不等式证明的一般方法，包括逆否命题法、反证法等。
b.通过案例讲解不等式证明的具体步骤和技巧。
c.给出以下例题：（1）证明：若a>b，b>0，则a+b>0。
（2）证明：对于任意实数x，都有x>-1c.引导学生运用之前学到的证明方法进行解答，然后进行讨论。
4.解决不等式问题a.讲解不等式的解决方法，包括绝对值法、区间法等。
人教版高中数学新教材必修第一册2.2基本不等式1公开课教案(优秀教案,表格式)
数学公开课教案科目授课班级授课时间授课地点讲课人数学课题§2.2基本不等式（第一课时）教学目标1.知识目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值2.知识与技能：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。
3.情感态度价值观：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重点基本不等式在解决最值问题中的应用教学难点基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件教法启发式、探究式学法合作探究课前准备多媒体教学过程主要内容及教师活动设计意图一.复习引入回顾重要不等式：如果Rba∈,，则abba222≥+（当且仅当ba=时，取“=”号）如果0,0a b>>,我们用,a b分别代替,a b,可得什么不等关系?巩固知识，导入新课二.新课讲解1.用分析法证明abba≥+2,0,0a b>>2.如果a,b都是正数，那么2baab+≤，当且仅当a=b时，等号成立。
我们称此不等式为均值不等式。
其中2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.探究：如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能根据图形对基本不等式作出几何解释吗?几何解释：圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等学习新的知识点。
高中数学《基本不等式》公开课优秀教案
高中数学《基本不等式》公开课教案教学三维目标：1.知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值 2.过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。
3.情感态度与价值观目标：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用难点：基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件一、新课讲解1．基本不等式：①0,0>>b a ，ab ba ≥+2（当且仅当b a =时，取等号） 变形：ab b a 2≥+，ab b a ≥+2)2(，2≥+abb a②重要不等式：如果R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，取“=”号） 2．最值问题： 已知y x ,是正数，①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2；②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值241S .利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。
3．称2y x +为y x ,的算术平均数，称xy 为y x ,的几何平均数。
二、例题讲解：例1．已知0<x ，则xx 432++的最大值是________. 例2．已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。
例3．求下列函数的最小值（1）)1(11072->+++=x x x x y （2）已知0,0>>y x ，且,1243=+y x 求y x lg lg +的最大值及相应的x ，y 的值。
例4. 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x (单位：元)。
《2.2基本不等式》优秀教案教学设计
2.2基本不等式教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标 【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 1.基本不等式2a bab +≤等号成立条件； 2.利用基本不等式2a bab +≤求最大值、最小值. 教学过程 1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用,分别代替上式中的a ，b ，可得①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，叫做正数a ，b 的算术平均数，叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 2.讲授新课1）2a bab +≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，(a>0,b>0)2a bab +≤2）2a bab +≤用分析法证明： 要证2a b ab +≥（1）只要证a +b ≥（2）要证（2），只要证a +b -≥0（3） 要证（3），只要证（-）2≥0（4）显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立. 探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .你能利用这个图形得2a bab +≤的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即ＣD ＝ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力. 例1已知x >0，求x ＋的最小值.分析：求x ＋的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋），使x >0，都有x ＋≥y .观察x +，发现x=1.联系基本不等式，可以利用正数x 和的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋=2当且仅当x =，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了x>0，有x＋≥2，而且给出了“当且仅当x=，即=1，x=1时，等号成立”，这是为了说明2是x＋（x>0）的一个取值，想一想，当y0<2时，x＋=y0成立吗？这时能说y.是x＋（x>0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.证明：因为x，y都是正数，所以.（1）当积xy等于定值P时，，所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值.（2）当和x+y等于定值S时，,所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由，可得x+y≥2=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z =150×+120（2×3x +2×3y ）=240000+720（x +y ）.由容积为4800m 3，可得3xy =4800，因此xy =1600.所以z ≥240000+720×2，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2＞0 b ＋c ≥2＞0c＋a≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.【设计意图】讲练结合，熟悉新知.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b 的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab ≤（）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.。
【公开课教案】《基本不等式》教案
基本不等式教案一、教学目标：1、知识与技能：①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。
2、过程与方法：本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。
要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。
定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。
3、情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。
同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。
二、教学重点和难点：重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b +≤的多种解释； 难点：理解“当且仅当a b =时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。
三、学法与教学用具：先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。
从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。
定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。
教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。
四、教学设想：1、几何操作，引入问题：给出如右的所示的几何图形，AB 是O 的直径，点C 是AB 上任意一点，过点C 作垂直于AB 的弦交O 于DD '，连结AD 、BD ，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗?提问一：现在我们不妨假设2AC a =，2BC b =，那么CD 的长度是多少？、由AB 为直径可知ABD ∆是直角三角形，再根据DC AB ⊥，容易证得ACD ∆∽DCB ∆，即得CD ab =；提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。
基本不等式教案
基本不等式（均值定理）2b a ab +≤，（>>）（教案）一、学习目标知识目标：理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题．掌握平均值定理并能初步应用它求某些函数的最值．能力目标：培养学生探究能力以及分析问题、解决问题的能力．情感目标：通过理解平均值定理的使用条件，学生进一步认识现实世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，对学生进行辩证唯物主义教育．通过问题的设置，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质．二、重点：理解均值不等式．难点：均值不等式的应用． 三、学习过程： （引出新课）对任意两个正实数,数2a b+均数之间的不等关系可表述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数。
我们把这一基本不等式称之为均值定理，因此又叫均值不等式（板书课题）符号表示为：若∈ ,2a b+问题：能证明吗？（作差法）问题: 能不能用几何方法证明上面的基本不等式呢? 下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释：令正实数、为两条线段的长,用几何作图的方法作出长度为2a b+线段,然后比较这两条线段的长。
（）作线段,使; （）以为直径作半圆 （）过点作⊥于,交半圆于 （）连接，， ，则 2a b +当≠时，>，即2a b+>当时，，即2a b+=均值不等式与不等式≥的关系如何？ 区别：的范围不同。
联系：均值不等式是≥的特例。
小组讨论：判断以下几个均值不等式的应用是否正确？若不正确，说明理由。
（） ∵1x ≥,当且仅当时等号成立，∴ 1x的最小值是.（）.解：（）求函数1x （≥）的最小值.解: ∵>,∴1x≥,∴函数的最小值是.学生小组讨论得出求最值的条件:一正二定三相等一、配凑 . 凑系数例. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
高中数学教案 第5讲 基本不等式
第5讲基本不等式1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)，等号成立的条件：当且仅当□1a ＝b 时取等号．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥□22ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值□32P ．(2)已知x ，y 都是正数，如果x ＋y 的和等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值□414S 2．利用基本不等式求最值要注意：(1)满足“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．(2)一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致(等号同时成立)．常用结论1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．2．ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．()(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.()(4)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．回源教材(1)已知x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值为________．解析：x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2（x ＋1）×1x ＋1－1＝2－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立．答案：1(2)若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________．解析：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3(ab ≤－1舍去)，即ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．答案：9(3)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2，此时矩形场地的长、宽分别是________m.解析：设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0＜x＜10，所以面积y ＝x (10－x )≤(x ＋10－x 2)2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，等号成立，所以y max ＝25.此时矩形的长与宽均为5m.答案：255，5利用基本不等式求最值配凑法例1(1)已知x ＞2，则4x －2＋x 的最小值是________．解析：由x >2知x －2>0，则4x －2＋x ＝4x －2＋(x －2)＋2≥24x －2·（x －2）＋2＝6，当且仅当4x －2＝x －2，即x ＝4时取“＝”，所以4x －2＋x 的最小值是6.答案：6(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：∵0<x <32，∴3－2x >0，y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤22x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)，∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.答案：92常数代换法例2(2024·济宁高三月考)若a >0，b >0，3a ＋2b ＝6，则2a ＋3b的最小值为()A ．6B ．5C ．4D ．3解析：C因为a >0，b >0，3a ＋2b ＝6，所以2a ＋3b ＝16(2a ＋3b )(3a ＋2b )＝16(12＋4b a ＋9a b )≥16(12＋24b a ·9a b )＝4，当且仅当3a ＝2b ＝3时，取等号，即2a ＋3b的最小值为4.消元法例3(2024·菏泽期中)若正数x ，y 满足x 2＋xy －3＝0，则4x ＋y 的最小值是()A ．3B ．6C ．23D ．42解析：B因为正数x ，y 满足x 2＋xy －3＝0，所以y ＝3x －x ，由y >0，得3x－x >0，因为x >0，所以3－x 2>0，即0<x <3.所以4x ＋y ＝3x ＋3x ≥23x ·3x＝6，当且仅当3x ＝3x，即x ＝1时等号成立．故选B ．反思感悟利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．训练1(1)已知x >0，y >0，且4x ＋2y －xy ＝0，则2x ＋y 的最小值为()A ．16B ．8＋42C ．12D ．6＋42解析：A 由题意可知2x ＋4y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y )(2x ＋4y )＝8x y ＋2yx＋8≥28x y ·2yx＋8＝16，当且仅当8x y ＝2yx，即x ＝4，y ＝8时，等号成立，则2x ＋y 的最小值为16.(2)(2024·深圳六校质检)已知x>0，y>0，若x＋y＋xy＝3，则xy的最大值为()A．1B．2C．2D．22解析：A法一：由x>0，y>0，得x＋y≥2xy，所以x＋y＋xy＝3≥2xy＋xy，当且仅当x＝y时等号成立．令xy＝t(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0<t≤1，即0<xy≤1，故0<xy≤1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，xy的最大值为1，故选A．法二：由x＋y＋xy＝3，且x>0，得y＝3－xx＋1，则xy＝x（3－x）x＋1＝－x2＋3xx＋1，因为x>0，y>0，则3－xx＋1>0且x>0，解得0<x<3.设t＝x＋1∈(1，4)，则x＝t－1，xy＝－x2＋3xx＋1＝－（t－1）2＋3（t－1）t＝－t2＋5t－4t＝－t－4t＋5＝－(t＋4t)＋5≤－2t·4t＋5＝1，当且仅当t＝4t，即t＝2，也即x＝y＝1时等号成立，所以xy的最大值为1，故选A．(3)已知x>1，则y＝x－1x2＋3的最大值为________．解析：令t＝x－1，∴x＝t＋1，∵x>1，∴t>0，∴y＝t（t＋1）2＋3＝tt2＋2t＋4＝1t＋4t＋2≤124＋2＝16，当且仅当t＝4t，t＝2，即x＝3时，等号成立，∴当x＝3时，y max＝1 6 .答案：1 6利用基本不等式求参数值或取值范围例4(1)当x>a时，2x＋8x－a的最小值为10，则a＝()A．1B．2 C．22D．4解析：A2x＋8x－a＝2(x－a)＋8x－a＋2a≥22（x－a）×8x－a＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.(2)已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)(1x＋ay)的最小值大于或等于9，∵(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1＝(a＋1)2，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴(a＋1)2≥9，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.答案：4反思感悟利用基本不等式求最值及最值成立的条件，可确定某些参数的范围．训练2若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则实数m的取值范围是________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1，则(x＋1)＋y＝2，所以4x＋1＋1y＝12[(x＋1)＋y]·(4x＋1＋1y)＝12(5＋4yx＋1＋x＋1y)≥1 2(5＋24yx＋1·x＋1y)＝92，＋1＝2y，＋y＝1，＝13，＝23时，等号成立，所以4x＋1＋1y的最小值为92.因为不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则m2＋32m>92，即2m2＋3m－9>0，即(2m－3)(m＋3)>0，解得m<－3或m>32.答案：(－∞，－3)∪(32，＋∞)基本不等式的实际应用例5长征二号F遥十四运载火箭在设计生产中采用了很多新技术新材料．甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时(为保证质量要求1≤x≤10)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．解：(1)由题意得k＋9＝10，解得k＝1，因为生产m千克该产品需要的时间是mx，所以y＝mx(kx2＋9)＝m(x＋9x)，1≤x≤10.(2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为y＝1000(x＋9x)≥1000×29＝6000(千克)．当且仅当x＝9x，即x＝3时，等号成立，故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克．反思感悟1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解．训练3某校为该校生物兴趣小组分配了一块面积为32m 2的矩形空地，该生物兴趣小组计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区，如图，要求矩形试验区的四周各空0.5m ，各试验区之间也空0.5m ．则每块试验区的面积的最大值为________m 2.解析：设矩形空地的长为x m ，则宽为32xm ，依题意可得，试验区的总面积S ＝(x －0.5×4)0.5×34－x －64x≤34－2x ×64x＝18，当且仅当x ＝64x，即x ＝8时等号成立，易知x ＝8符合题意，所以每块试验区的面积的最大值为18÷3＝6(m 2)．答案：6限时规范训练(五)A 级基础落实练1．下列函数中，最小值为2的是()A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝sin x ＋1sin x (0<x <π2)解析：C 当x <0时，y ＝x ＋2x <0，故A 错误；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，又x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0，π2)时，sin x∈(0，1)，y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，因为sin x∈(0，1)，故D错误．2．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为()A．14B．4C．12D．2解析：D由题意得4＝2a＋b≥22ab，即2≥2ab，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.3．(2024·六安金寨县青山中学期末)已知x>2，y＝4x＋1x－2，则y的最小值为()A．8B．10C．12D．14解析：C∵x>2，∴y＝4x＋1x－2＝4(x－2)＋1x－2＋8≥24（x－2）·1x－2＋8＝12，当且仅当4(x－2)＝1x－2，即x＝52时取等号，故选C．4．(2024·长沙雅礼中学第三次月考)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为()A ．36B ．25C ．16D ．9解析：B法一：由x ＋y ＝7，得(x ＋1)＋(y ＋2)＝10，则(1＋x )(2＋y )≤（1＋x ）＋（2＋y ）22＝25，当且仅当1＋x ＝2＋y ，即x ＝4，y ＝3时等号成立，所以(1＋x )·(2＋y )的最大值为25.故选B ．法二：因为x ＋y ＝7，所以y ＝7－x ，因为x >0，y >0，所以0<x <7，则(1＋x )(2＋y )＝(1＋x )(9－x )＝－x 2＋8x ＋9＝－(x －4)2＋25≤25，所以当x ＝4，y ＝3时，(1＋x )(2＋y )取得最大值25.故选B ．5．(2023·忻州联考(二))已知0<a <2，则1a ＋92－a 的最小值是()A ．4B ．6C ．8D ．16解析：C 因为0<a <2，所以1a >0，92－a >0，则1a ＋92－a ＝12[a ＋(2－a )](1a ＋92－a )＝12(1＋9a 2－a ＋2－a a ＋9)＝5＋12(9a2－a ＋2－a a)≥5＋9a 2－a ·2－aa＝8，当且仅当9a 2－a ＝2－a a ，即a ＝12时等号成立，所以1a ＋92－a 的最小值为8.6．(多选)(2024·安徽名校联考)已知实数a ，b 满足a >b >0且a ＋b ＝2，则下列结论中正确的有()A ．a 2＋b 2>2B ．8a ＋2b ≥9C ．ln a ＋ln b >0D ．a ＋1a >b ＋1b解析：AB对于A ，因为a >b >0且a ＋b ＝2，由基本不等式a 2＋b 2>2ab ，得a 2＋b 2＝12[a 2＋b 2＋(a 2＋b 2)]>12(a 2＋b 2＋2ab )＝12(a ＋b )2＝2(或由不等式a 2＋b 22>(a ＋b 2)2直接得到)，故A 正确；对于B ，8a ＋2b ＝12(8a ＋2b )(a ＋b )＝12(10＋8b a ＋2a b )≥12(10＋28b a ·2ab)＝9，当且仅当8b a ＝2a b ，即a ＝43，b ＝23时等号成立，故B 正确；对于C ，ln a ＋ln b ＝ln(ab )<ln(a ＋b 2)2＝ln 1＝0，故C 错误；对于D ，因为ab <(a ＋b 2)2＝1，所以0<ab <1，所以(a ＋1a )－(b ＋1b )＝(a －b )＋b －a ab ＝(a －b )(1－1ab )＝（a －b ）（ab －1）ab<0，故D 错误．故选AB ．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥2（x ＋1）·1（x ＋1）－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．所以y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为0.答案：08．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系式为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－（x ＋25x ）万元，由于x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元．答案：89．(2024·张家口部分学校期中)已知a >0，b >0，且有a 2＋4ab ＝16b 2，则a ＋2b 的最小值为________．解析：(a ＋2b )2＝a 2＋4ab ＋4b 2＝16b 2＋4b 2≥216b 2×4b 2＝16，当且仅当16b 2＝4b 2，即b ＝2，a ＝4－22时取等号，由于a >0，b >0，所以a ＋2b ≥4，所以a ＋2b 的最小值为4.答案：410．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)已知0<x <2，求函数y ＝x 4－x 2的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时，取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以4－x 2>0，则y ＝x 4－x 2＝x 2·（4－x 2）≤x 2＋（4－x 2）2＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号，所以y ＝x 4－x 2的最大值为2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)∵xy ＝2x ＋8y ≥22x ·8y ，即xy ≥8xy ，即xy ≥64，当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，等号成立，∴xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝(8x ＋2y)(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x＝18.当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.B 级能力提升练12．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1解析：BC 对于A ，B ，由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ≤3(x ＋y 2)2，当且仅当x ＝y 时取等号，解得－2≤x ＋y ≤2，所以A 不正确，B 正确；对于C ，D ，由x 2＋y 2－xy ＝1，得x 2＋y 2－1＝xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号，所以x 2＋y 2≤2，所以C 正确，D 不正确．故选BC ．13．(多选)(2023·安徽三模)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，当c ab取最小值时，下列说法正确的是()A ．a ＝2bB ．c ＝4b 2C ．2a ＋1b －6c 的最大值为1D ．2a ＋1b －6c 的最小值为12解析：AC ∵正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，∴c ab a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b ＋4b a －1≥2a b ·4b a －1＝3，当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝2b 时等号成立，A 正确；a ＝2b 时，c ＝(2b )2－2b 2＋4b 2＝6b 2，B 错误；2a ＋1b－6c ＝1b ＋1b －66b 2＝－1b 2＋2b ＝－(1b －1)2＋1，当1b ＝1，即b ＝1时，2a ＋1b －6c的最大值1，C 正确，D 错误．故选AC ．14．中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，供货单价为50＋105＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)．(2)设售价为x 元，则销售量为(15－0.1x )万套，供货单价为(50＋1015－0.1x )元，单套利润为x －50－1015－0.1x ＝(x －50－100150－x )元，因为15－0.1x >0，所以0<x <150.所以单套利润为y ＝x －50－100150－x ＝－（150－x ）＋100150－x ＋100≤100－2（150－x ）·100150－x ＝80，当且仅当150－x ＝10，即x ＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．。
《基本不等式(2)》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《基本不等式（2）》教学设计1．熟练掌握基本不等式及变形的应用．2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 3．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．重点：会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 难点：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．一、新课导入情境1：在一次创意比赛中，有一件作品里，需要把一些长为16cm 的铁丝弯成不同矩形去点缀，请同学们设计一些样式方案 ．方案 长/cm 宽/cm 面积/cm 2方案1 2 6 12 方案2 3 5 15 方案34416⋯⋯思考：从这些方案给出的数据来看，我们可以得到哪些规律？答：矩形的周长是定值；矩形的面积在变化；矩形两边越接近，面积越大． 设矩形长x cm 宽y cm ，依照题意2x +2y =16，x +y =8.根据基本不等式，x+y 2⩾√xy ，得xy ⩽16， 当且仅当x =y =4，等号成立．边长为4cm 的正方形的面积最大．情境2：在另一件作品里，需要一些面积都为16 cm 2的不同矩形去点缀，请同学们设计一些样式方案 ．方案 长/cm 宽/cm 面积/cm 2方案1 1 16 16 方案2 2 8 16 方案34416⋯⋯思考：从这些方案给出的数据来看，我们又可以得到哪些规律？答：矩形的面积是定值；矩形的周长在变化；矩形两边越接近，周长越小． 设矩形长x cm 宽y cm ，依照题意xy =16.根据基本不等式，x+y 2⩾√xy ，得x +y ⩾8，当且仅当x =y =4，等号成立．边长为4cm 的正方形的周长最小．注意：◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程 ◆矩形周长16cm ，即两边之和的2倍16 cm ，面积最大为16cm 2;矩形面积16cm 2，即两边之积16 cm 2，周长最小16cm.两个正数的和为定值，它们的积有最大值; 两个正数的积为定值，它们的和有最小值．二、新知探究问题1：两个正数的和为定值，它们的积有最大值;两个正数的积为定值，它们的和有最小值．这是一种定性描述.我们能否通过基本不等式，得到确定的结论呢?分析：先得把定性描述，转化成数学语言的表达．即设x >0，y >0，①x +y =s （s 为定值），求xy 最大; ②xy =p （p 为定值），求x +y 最小．答：结论已知x ，y 均为正数时，下面的命题均成立：（1）若x +y =s （和为定值），则当且仅当x =y 时，xy 取得最大值s 24．（2）若xy =p （积为定值），则当且仅当x =y 时，x +y 取得最小值2√p ． 注意：这个结论给出了利用基本不等式解决问题的两个数学模型． 两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，它们的积有最大值． 两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它们的和有最小值．对这两个模型，在利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”. 问题2：已知函数y =x(1−x)(0<x <1)该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？答：0<x <1，得0<1−x <1，而x +(1−x)=1.根据基本不等式，x (1−x )⩽(x +1−x 2)2=14当且仅当x =1−x ，即x =12时，等号可取.故最大值为14.在解的过程中，先保证了x 与1−x 都是正数，再保证x +(1−x)=1，即和是定值，再保证了等号成立时x =12可以满足.从而确定有最大值14.问题3：基本不等式在和运算与积运算之间建立了桥梁．前面的学习，我们得到了利用基本不等式求最值的两个重要数学模型．大家能不能想出其它能利用基本不等式求最值的模型呢？分析：基本不等式在和运算与积运算之间建立了桥梁,那么如果我们知道两个数的“和”与其“积”的关系式，就能利用基本不等式建立有关“和”或“积”不等式.比如：设x >0，y >0，③x +y =txy (t 为定值t >0) ，求x +y 、xy 的最值.答：结论已知x，y均为正数时，下面的命题均成立：（1）x+y=txy (t为定值),则当且仅当x=y时，xy取得最小值4t2．（2）x+y=txy (t为定值),则当且仅当x=y时，x+y取得最小值4t．事实上，当两正数x，y，它们的和x+y与它们的积xy之间有一个恒等关系，就可以结合基本不等式，将这个恒等式变成不等式．从而得到有关和x+y或积xy的不等式．解不等式得出和x+y或积xy的范围，根据基本不等式使用条件得到取得最值的条件，从而求出和x+y或积xy的最值．三、应用举例例1动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（接头处不计）（1）现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？（2）若使每间禽舍面积为24m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？解：（1）设每间禽舍的长为x m，宽为y m，则4x+6y=36，即2x+3y=18．设S=xy(0<x<9，0<y<6)，应用基本不等式，有2x+3y⩾2√2x·3y，即2√6·√S⩽18．所以S⩽13.5．当且仅当2x=3y时，不等式中的等号成立，此时{2x=3y，2x+3y=18，解得{x=4.5，y=3．因此当每间禽舍的长、宽各设计为4.5m和3m时，可使每间禽舍面积为13.5m2．（2）设周长C=4x+6y，xy=24，应用基本不等式，有4x+6y2⩾√4x∙6y，即C 2⩾24.所以C ⩾48.当且仅当4x =6y 时，等号成立，此时{4x =6y ，xy =24，解得{x =6，y =4．因此当每间禽舍的长、宽各设计为6m 和4m 时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小为48m ．例2 若x >0， y >0 ，2x +y =4xy ，求 （1）2x +y 的最小值；（2） xy 的最小值解：x ，y 均为正数，等式 2x +y =4xy 给出了x ，y 的线性和与其积之间的恒等关系，在运用基本不等式时，需要注意形式结构的变化．(1)2x +y =4xy =2×2x ∙y ⩽2×(2x+y 2)2⟹2x +y ⩾2当且仅当2x =y ，等号成立，此时{2x =y 2x +y =2 ⟹{x =12y =1，2x +y 的最小值为2．(2)4xy =2x +y ⩾2√2xy ⟹xy ⩾2当且仅当2x =y ，等号成立，此时{2x =y xy =2 ⟹{x =12y =1，xy 的最小值为2．例3 已知正数x ，y ，满足x +2y =1，求1x +1y 的最小值．解：x ，y 均为正数， x +2y =1是和形式，1x +1y 是倒数和形式，不能直接运用基本不等式．多变量或参数时，常见的想法是减元或消参．因为x +2y =1(0<x <1) ⟹y =1−x 2⟹1x+1y=1x+21−x=1+x x−x 2，令1+x =t ，1<t <2，则x =t −1⟹1x +1y =tt−1−(t−1)2=t3t−(t 2+2)=13−(t+2t)，而t +2t ⩾2√t ∙2t =2√2⟹1x +1y ⩾3−2√2=3+2√2，当且仅当t =2t，等号成立．此时t =√2，从而x =√2−1，y =1−√22. 1x+1y的最小值为3+2√2．另解：可将分子中的1用x +2y 代替，灵活应用“1”的代换． 因为x ，y 为正数，且x +2y =1． 所以1x +1y =(x +2y )(1x +1y )=3+2y x+xy≥3+2√2，当且仅当2y x=x y，即当x =√2−1，y =1−√22时等号成立． 所以1x +1y 的最小值为3+2√2．四、课堂练习1．当x >1，当x +81x−1的值最小时，求x 的值．2． 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少千米处．参考答案：1.10解析：因为x>1，所以x+81x−1=x−1+81x−1+1≥2√(x−1)·81(x−1)+1=19，当且仅当x−1=81x−1，即x=10时等号成立．2. 5解析：设仓库到车站的距离为x千米，由题意，y1=k1x，y2=k2x．由x=10时，y1=2，y2=8．得k1=20，k2=45．y1+y2=20x+45x⩾2√20x∙45x=8，当且仅当20x=45x，即x=5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．五、课堂小结本节课，利用情境1和情境2，得到两个定性描述：●两个正数的和为定值，它们的积有最大值;●两个正数的积为定值，它们的和有最小值．从而抽象概括出了，利用基本不等式求最值的两种重要模型：（1）若x+y=s（和为定值），则当且仅当x=y时，xy取得最大值s 24．（2）若xy=p（积为定值），则当且仅当x=y时，x+y取得最小值2√p．再结合两个正数的和与积之间的等式关系，得到新的最值模型：（1）x+y=txy (t为定值),则当且仅当x=y时，xy取得最小值4t2．（2）x+y=txy (t为定值),则当且仅当x=y时，x+y取得最小值4t．六、布置作业教材第30页练习1、2、3、4题．。
(基本不等式)公开课教案
基本不等式2a b +≤ 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。
过程与方法：通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。
情感态度与价值观：在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。
逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
二、重点及难点重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤的证明过程。
难点：2a b +≤等号成立条件。
三、教学过程1.课题导入2a b+≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤22a bab +≤ 用分析法证明：32a b ab +≤的几何意义探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。
【公开课教学设计】《3.4基本不等式》(第一课时)教案
【公开课教学设计】
3．4基本不等式教案（第一课时）
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程；
2.了解基本不等式的代数及几何背景；
3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、过程与方法
通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感态度与价值观
通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；
2.基本不等式成立的条件及应用。
教学难点：基本不等式成立的条件及应用。
教具准备：投影仪
教学过程。
《基本不等式》 教学设计
《基本不等式》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解基本不等式的定义和几何意义，掌握基本不等式的证明方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
2、过程与方法目标通过对基本不等式的探究和证明，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力；通过运用基本不等式解决实际问题，提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生在学习过程中感受数学的严谨性和实用性，激发学生对数学的兴趣和学习热情，培养学生勇于探索、创新的精神。
二、教学重难点1、教学重点基本不等式的定义、证明和应用。
2、教学难点基本不等式的应用，特别是在求最值问题中的应用。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示一些实际生活中的问题，如用一定长度的篱笆围成一个矩形，怎样围面积最大；或者在给定成本的情况下，如何安排生产使得利润最大等，引出本节课的主题——基本不等式。
2、知识讲解（1）给出基本不等式的定义：对于任意的正实数 a、b，有\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
（2）证明基本不等式方法一：作差法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ b}｛2} ＼sqrt{ab} ＆＝＼frac{a ＋ b 2\sqrt{ab}｝｛2}＼＼＆＝＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2}＼end{align}＼因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），所以\（＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2} ＼geq 0\），即\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当\（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。
方法二：分析法要证明\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），因为 a、b 是正实数，所以只要证明\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
基本不等式教案
基本不等式教案一、教学目标1. 让学生理解基本不等式的概念和性质。
2. 培养学生运用基本不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学逻辑思维和推理能力的培养。
二、教学内容1. 基本不等式的定义和性质2. 基本不等式的证明方法3. 基本不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 基本不等式的概念和性质的理解2. 基本不等式的证明方法的掌握3. 基本不等式在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解基本不等式的概念和性质。
2. 采用证明法，培养学生掌握基本不等式的证明方法。
3. 采用案例分析法，让学生学会运用基本不等式解决实际问题。
五、教学准备1. 教学PPT2. 教学案例及练习题3. 笔记本和文具【课堂导入】（教师通过引入实际问题或生活实例，引发学生对基本不等式的兴趣，激发学生的学习动机。
）【新课讲解】1. 基本不等式的定义与性质（1）教师讲解基本不等式的定义，解释其意义。
（2）引导学生理解基本不等式的性质，并通过示例进行说明。
2. 基本不等式的证明方法（1）教师讲解基本不等式的证明方法，如综合法、分析法等。
（2）引导学生通过示例掌握基本不等式的证明过程。
【案例分析】1. 教师呈现案例，引导学生运用基本不等式解决实际问题。
2. 学生分组讨论，分享解题思路和答案。
【课堂练习】1. 教师布置练习题，学生独立完成。
2. 教师选取部分学生答案进行点评和讲解。
2. 学生分享自己的学习收获和感悟。
【课后作业】1. 教师布置课后作业，巩固课堂所学知识。
2. 学生独立完成作业，巩固知识点。
六、教学评价1. 通过课堂讲解、案例分析和课后作业，评估学生对基本不等式的理解和掌握程度。
2. 观察学生在解决问题时的思维过程和方法，评价其逻辑思维和推理能力。
3. 收集学生反馈意见，了解教学效果，以便进行教学改进。
七、教学拓展1. 引导学生进一步学习其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 探讨基本不等式在数学竞赛和实际应用中的重要作用。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2.进•步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3.结合课本的探究图形，引导学生进•步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4.借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+b K点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出•些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和S L.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡＞$,即3产＞加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。
和b(αNb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22.代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJΓ,则/+从＞2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直•观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“~请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉♦户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久》的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,「是要证明毕而只要证明a+b≥.汨，即证Ja+√⅛-2√afc>0f。
高中数学教案《基本不等式》
教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。
二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。
●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。
●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。
●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。
2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。
●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。
●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。
3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。
●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。
●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。
基本不等式优秀教案初中
基本不等式优秀教案初中教学目标：1. 理解并掌握基本不等式的概念和性质。
2. 能够运用基本不等式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 基本不等式的定义和性质2. 基本不等式的证明3. 基本不等式在实际问题中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的不等式知识，例如一元一次不等式、一元二次不等式等。
2. 提问：不等式有什么特点和性质？二、基本不等式的定义和性质（15分钟）1. 介绍基本不等式的定义：基本不等式是指对于任意的实数a、b，都有a^2 + b^2 ≥ 2ab。
2. 引导学生探讨基本不等式的性质：a) 交换律：a^2 + b^2 ≥ 2ab 且b^2 + a^2 ≥ 2abb) 结合律：((a+b)^2 ≥ 4ab 且 (a-b)^2 ≥ 4abc) 平方差公式：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) ≥ 03. 举例说明基本不等式的应用：a) 证明两个数的和是非负数b) 证明两个数的乘积是非负数三、基本不等式的证明（20分钟）1. 引导学生思考如何证明基本不等式：a) 使用平方差公式b) 使用完全平方公式2. 分组讨论并展示证明过程。
四、基本不等式在实际问题中的应用（15分钟）1. 举例说明基本不等式在实际问题中的应用：a) 证明一个三角形的两边之和大于第三边b) 证明一个矩形的对角线长大于两边之和2. 让学生尝试解决一些实际问题，如：a) 给定两个正数a和b，求证a+b的最小值是多少？b) 给定两个正数a和b，求证ab的最小值是多少？五、总结和作业（5分钟）1. 总结基本不等式的定义、性质和应用。
2. 布置作业：a) 复习基本不等式的定义和性质b) 解决一些实际问题，如：i) 给定两个正数a和b，求证a+b的最小值是多少？ii) 给定两个正数a和b，求证ab的最小值是多少？教学反思：本节课通过导入、定义、性质、证明和应用等环节，让学生全面了解了基本不等式的相关知识。
公开课1基本不等式(第一课时)教案
HGD CBA EF bac福建省中学数学学科教学带头人培养对象公开课教案课题：基本不等式: 2ba ab +≤（第一课时） 授课：连城一中 黄 椿 地点：子江中学 时间：2011年9月30日上午第一节教学目标：1.知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并理解等号的条件.2.过程与方法：通过实例探究抽象出基本不等式.3.情感态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程.教学难点：基本不等式2ba ab +≤等号成立条件. 教学过程一.课题引入如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客. 二.问题探究其实赵爽的弦图是由4个全等的直角三角形拼成的（如图所示）， 设直角三角形的两条直角边和斜边的长分别为)(,,b a c b a ≠.问题1：四边形ABCD 和EFGH 为什么都是正方形？问题2：初中时，曾利用该图证明过勾股定理（222c b a =+），现在的你还记得当时的证明方法吗？证明的关键是什么？问题3：受问题2证明勾股定理的启发，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？你能给出它的证明吗？三.例题解析例1.已知R b a ∈,，证明：ab b a 222≥+例2.已知0,>b a ，证明：2ba ab +≤例3.下面不等式正确的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4（1）44≥+xxee . （2）)0(2>⋅≥+b a b a a b . （3）)0(21<-≤+a a a . （4）2lg 1lg ≥+x x . （5）)),0((4sin 4sin π∈≥+x xx . 四.课堂练习1.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么θ2cos 的值等于 ．2.已知0,>b a ，证明：(1)ab b a ab ≤+2.(2)2222b a b a +≤+3.设,0,0>>b a 称ba ab+2为b a ,的调和平均数．如图，C 线段AB 上的点，且,,b CB a AC ==O 为AB 中点，以AB 为直径作圆．过点C 作AB 的垂线交于圆于D ，连结BD AD OD ,,．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是b a ,的算术平均数，线段 的长度 是b a ,的几何平均数，线段 的长度是b a ,的五.教学小结1.两个不等式：（1）重要不等式：22222(,)2a b a b ab ab a b R ++≥⇔≤∈，当且仅当b a =时取等号.（22()(,0)22a b a b ab a b ++≤⇔≤>，当且仅当b a =时取等号.我们可从三个角度来理解基本不等式:①几何平均数不大于算术平均数；②等比中项不大于等差中项；③半弦长不大于半径长.2.几个不等式之间的关系：)0,(22222>+≤+≤≤+b a b a b a ab b a ab .3.证明不等式常见的方法：（1）比较法；（2）分析法；（3）综合法. 六.课后作业1.（1）设R y x ∈,，且0≠xy ，则)41)(1(2222y xy x ++的最小值为 .（2）若对任意a x x xx ≤++>13,02恒成立，则实数a 的取值范围是 .2.（1）已知R b a ∈,，证明：22222)())((bd ac d c b a +≥++（（二元）柯西不等式）.（2）已知R c b a ∈,,，证明：ca bc ab c b a ++≥++222.（3）已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，证明：8)11)(11)(11(≥---cb a .3.预习课本99P 的例1、例2和100P 的练习. 七.教学反思。
基本不等式教案.doc
基本不等式教案.doc【导言】基本不等式是初中数学学习过程中，最基础、最重要的不等式之一，也是初步奠定高中不等式学习基础的一个必修知识点。
本节课通过对相关知识的讲解和多种经典例题的讲解，让学生深刻理解基本不等式的意义及使用方法，并在实践中培养学生的基本不等式运用能力。
【学习目标】1.了解不等式的概念，掌握不等式的基本运算规则；3.通过多种实例练习，准确掌握基本不等式的运用方法和问题解决能力。
【教学重点】1.基本不等式的概念及证明；2.掌握基本不等式运用技巧。
如何通过实例练习提高学生的基本不等式运用技能。
讲述法、举例法、实践法。
本课程时间预计为2学时，具体难度和学生学习时间可以进行适当调整。
一、不等式的概念不等式是指两个数或两个代数式之间用不同于等于符号的关系式，数学中常用的不等于符号“<”、“>”及“≤”、“≥”。
二、不等式的基本运算规则1.当不等式两边同时乘或除以一个相同的正数时，不等号方向不变；举例：4x > 12，两边同除以一个正数4，则得到不等式x>3。
对于任意正整数n，有：（1+1/n)^n < e < (1+1/n)^(n+1)其中e≈2.718281828，这个数称为自然常数。
（1）证明左边不等式的方法：首先，我们要用数学归纳法证明引理k<(1+1/n)^n，k是正整数。
假设k<(1+1/n)^n成立，要证明(k+1)<(1+1/n)^(n+1)也成立。
①(1+1/n)^n<k+(1+1/n)接下来，我们用归纳法证明原命题（1+1/n)^n < e。
当n=1时显然成立，假设当n=k 时原命题成立，要证明当n=k+1时原命题也成立。
(1+1/n)^nе > (1+1/(n+1))^nе = (1+1/n) *[ (1+1/(n+1))^n ] < (1+1/n)е由于k<(1+1/n)^n，所以(1+1/n)^nе > kе，即(1+1/n)^n > k。
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基本不等式 :ab a b
2
授课人 : 祁玉瑞授课类型：新授课
一、知识与技能：
使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。
过程与方法：
通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。
情感态度与价值观：
在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。
逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
二、重点及难点
重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab a b
的证明过程。
2
难点：基本不等式ab a b
等号成立条件。
2
三、教学过程
1. 课题导入
ab
a b
基本不等式
2
的几何背景：
如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽
的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个
图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2. 讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形
ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角
形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为
a 2
b 2。
这样，4 个直角三角形的面积的和
是 2ab ，正方形的面积为
a 2
b 2。
由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就
得到了一个不等式： a 2 b 2
2ab 。
当直角三角形变为等腰直角三角形， 即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有
a 2
b 2
2ab。
2．得到结论：一般的，如果
a b R, 那么 a 2 b
2
ab 当且仅当 a b 时
取 " " 号
)
,
2 (
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为 a2b22ab ( a b) 2
当 a b 时 ,( a b)2 0,当 a b 时 ,( a b)2
0,
所以， (a b) 2 0 ，即
(a 2 b 2
) 2ab.
ab
a b
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
2
特别的，如果 a>0,b>0, 我们用分别代替 a 、 b ，可得 a b 2 ab
，
ab
a
b
(a>0,b>0)
通常我们把上式写作：
2
ab
a b
2）从不等式的性质推导基本不等式
2
用分析法证明：
ab
a b
3）理解基本不等式
2
的几何意义
探究：课本第 98 页的“探究”
在右图中， AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点， AC=a,BC=b 。
过
点 C 作垂直于 AB 的弦 DE ，连接 AD 、BD 。
你能利用这个图形得出基本
ab
a b
不等式
2
的几何解释吗？
易证Ｒ t △ A Ｃ D ∽Ｒ t △D ＣB ，那么Ｃ D2＝Ｃ A ·Ｃ B
即Ｃ D ＝
ab
.
a
b a b
2
，显然，它大于或等于 CD ，即
2
ab
这个圆的半径为
，其中当且仅当点 C
与圆心重合，即 a ＝ b 时，等号成立 .
ab
a b
因此：基本不等式
2
几何意义是“半径不小于半弦”
a b
. 在数学中，我们称
2
为 a 、b 的算术平均数，称
ab
为 a 、b 的几何平均数 .
本节定
理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 .
四、范例讲解
课本 p99 页，例 1
五、课时小结
a b
本节课，我们学习了重要不等式
a2＋b2≥2ab ；两正数 a 、 b 的算术平均数（
2
），
a b
几何平均数 （
ab
）及它们的关系（
2 ≥ ab
）. 它们成立的条件不同， 前者只要求 a 、
b 都是实数，而后者要求 a 、 b 都是正数 . 它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最
值的重要工具 ( 下一节我们将学习它们的应用 ). 我们还可以用它们下面的等价变形来解决
a 2
b 2
a b
问题： ab ≤
2
， ab ≤（
2
）2.
六、作业
课本第 100 页习题 [A] 组的第 1 题。