基本不等式公开课教案.docx

基本不等式 :ab a b

2

授课人 : 祁玉瑞授课类型：新授课

一、知识与技能：

使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。

过程与方法：

通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。

情感态度与价值观：

在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

二、重点及难点

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab a b

的证明过程。2

难点：基本不等式ab a b

等号成立条件。2

三、教学过程

1. 课题导入

ab

a b

基本不等式

2

的几何背景：

如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽

的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个

图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2. 讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形

ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角

形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为

a 2

b 2

。这样，4 个直角三角形的面积的和

是 2ab ，正方形的面积为

a 2

b 2

。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就

得到了一个不等式： a 2 b 2

2ab 。

当直角三角形变为等腰直角三角形， 即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有

a 2

b 2

2ab

。

2．得到结论：一般的，如果

a b R, 那么 a 2 b

2

ab 当且仅当 a b 时

取 " " 号

)

,

2 (

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为 a2b22ab ( a b) 2

当 a b 时 ,( a b)2 0,当 a b 时 ,( a b)2

0,

所以， (a b) 2 0 ，即

(a 2 b 2

) 2ab.

ab

a b

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式

2

特别的，如果 a>0,b>0, 我们用分别代替 a 、 b ，可得 a b 2 ab

，

ab

a

b

(a>0,b>0)

通常我们把上式写作：

2

ab

a b

2）从不等式的性质推导基本不等式

2

用分析法证明：

ab

a b

3）理解基本不等式

2

的几何意义

探究：课本第 98 页的“探究”

在右图中， AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点， AC=a,BC=b 。过

点 C 作垂直于 AB 的弦 DE ，连接 AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本

ab

a b

不等式

2

的几何解释吗？

易证Ｒ t △ A Ｃ D ∽Ｒ t △D ＣB ，那么Ｃ D2＝Ｃ A ·Ｃ B

即Ｃ D ＝

ab

.

a

b a b

2

，显然，它大于或等于 CD ，即

2

ab

这个圆的半径为

，其中当且仅当点 C

与圆心重合，即 a ＝ b 时，等号成立 .

ab

a b

因此：基本不等式

2

几何意义是“半径不小于半弦”

a b

. 在数学中，我们称

2

为 a 、b 的算术平均数，称

ab

为 a 、b 的几何平均数 .

本节定

理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 .

四、范例讲解

课本 p99 页，例 1

五、课时小结

a b

本节课，我们学习了重要不等式

a2＋b2≥2ab ；两正数 a 、 b 的算术平均数（

2

），

a b

几何平均数 （

ab

）及它们的关系（

2 ≥ ab

）. 它们成立的条件不同， 前者只要求 a 、

b 都是实数，而后者要求 a 、 b 都是正数 . 它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最

值的重要工具 ( 下一节我们将学习它们的应用 ). 我们还可以用它们下面的等价变形来解决

a 2

b 2

a b

问题： ab ≤

2

， ab ≤（

2

）2.

六、作业

课本第 100 页习题 [A] 组的第 1 题