第9章磁路基本理论

nAc
dB(t) dt
磁芯截 面积 AC
磁导率μ
电感举例：安培环路定律
选择一条围绕磁芯内部的平均
H
磁场线作为封闭路径，该路径
i(t)
的长度被称为平均磁径长度 lm
n匝
设均匀的磁场强度H (t )，周 围路径的磁芯磁动势是Hlm
磁路长度lm
线圈匝数为n的绕组，每段载流导体为 i(t)。流过路径 内部的净电流（即通过磁芯）为ni(t) 由安培定律可得：
钼坡莫合金
中
1KHZ的变压器
100KHZ的滤波电感
铁氧体锰， 0.25T~0.5T
低
锌，镍 - 锌
20KHZ~1MHZ的 变压器， 交流电感
9.3.2 低频铜损
直流时绕组的电阻
R lb
为了固定变压器的饱和，应该增加匝数或者磁芯横截面积
Ac 来降低磁通密度
增加气隙对传统变压器的饱和不起作用 气隙减小了磁化电感，增大了磁化电流 变压器饱和取决于加载绕组两端的电压波形，而不是绕组
两端的电流波形
9.2.3 漏电感
ΦM i1(t) v1(t) Φl1
i2(t)
Φl2
v2(t)
Φl1 i1(t) v1(t)
法拉第定律：
v(t) n d(t) dt
消去 (t) ：
v(t) n2 di(t) Rc Rg dt
因此，电感为： L n2
Rc Rg
FC RC
ni(t)
Φ(t)
Rg Fg
ni (Rc Rc )
Rc
lc
Ac
Rg
lg
0 Ac
气隙的影响
ni
(Rc
R g
)
L n2
Rc
R g
sat Bsat Ac
磁性材料是导电能力较好的导体，因此，根据楞次定律， 磁芯内部的交变磁场会在磁芯内产生感应电流（涡流）， 用来阻碍原磁场的变化。涡流倾向于阻止磁通穿过磁芯。
磁通量 Φ(t)
涡流i(t) 涡流会引起 I 2R 的
涡流损耗
磁芯
模拟涡流损耗
根据法拉第定律，交变磁场会在铁芯内产生感应电势， 感应电势与 (t)的导数成正比。因此，感应电动势的大 小随着激励频率的增加而增加。
Φl2 ΦM
i2(t)
v2(t)
考虑漏磁情况下的变压器
考虑漏电感时的变压器模型
端电压方程可以写为：
i1
n1:n2
i2
v1(t v1(t
) )
L11 L12
L12 d i1(t)
L22
dt
i2
(t)
互感为：
L12
n1n2 R
n2 n1
LM
初级和次级自感为：
L11
Ll1
n1 n2
L12
L22
Fc n1i1 n2i2
磁芯
R n1i1 n2i2
等效的磁路模型：
Φ
9.2.1 理想变压器
理想变压器模型中，磁芯磁阻 Φ
接近为零，磁动势Fc Rc 也接 近为零，由此可以得到：
0 n1i1 n2i2
由法拉第定律可得：
v1
n1
d (t) dt
i1
n1:n2
d (t)
v2 n2 dt
v1
等于绕线电流的磁动势 围绕闭环总的磁动势为零
磁芯材料的特性：B与H之间的关系
真空
B
μ0
H
磁性材料
B
μ H
(a)
(b)
0 ：真空磁导率
高度非线性，具有滞后性和
= 4 •107 • m / A 饱和性
磁芯材料特性的分段线性建模
没有磁滞和饱和
B
B H
r0
μ=μrμ0 H
饱和但没有磁滞
B
Bsat
9.3.2 低频铜损 9.4.2 交流电感 9.4.4 单端反激变压器
9.1 基本磁学理论回顾
9.1.1 基本关系
法拉第定律
v(t)
B(t), (t)
终
磁性
端
材料
特
特征
征
i(t)
安培定律
H (t), F(t)
基本量
磁场量
长度 l 磁场强度H
{ 总磁通Φ
磁场密度B
MMF
F=Hl
表面积 S 截面积 Ac
气隙 lg
磁路长度 lm
磁路模型
i(t) n匝
v(t)
磁导率 μ
Φ
磁芯截
FC
面积 AC
RC
气隙 lg ni(t)
Φ(t)
磁路长度 lm
Fc Fg ni ni (Rc Rc )
Rc
lc
Ac
Rg
lg
0 Ac
Rg Fg
模型求解
i(t) n匝
v(t)
磁导率 μ Φ
磁芯截 面积 AC
气隙 lg
磁路长度 lm
MMF
F=Hl
电压 V=El
磁通密度B和总磁通量
通过区域表面 Ac 的总磁通 与磁通密度B的关系：
B • dA
surface S
举例：均匀磁通密度B
{ 总磁通Φ
磁场密度B
表面积 S 截面积 Ac
与电导体的电流密度J产生导
体总电流I 类比
表面积S
截面积 Ac
{ 总电流 I
电流密度 J
法拉第定律
由于H
F
B / ，B
R
其/ A中c ：，可以R推 导l出F：
Ac
F
等效的磁路模型：
ΦR
R：磁性元件
磁路：多个绕组和异构元件组成的磁结构
代表各元件的磁阻
绕组是磁动势的来源
磁动势
电压，பைடு நூலகம்通
电流
利用基尔霍夫定律等解决磁路
举例：含有气隙的电感
i(t) n匝
v(t)
磁导率 μ Φ
磁芯截 面积 AC
Ll 2
n2 n1
L12
v1
v2
理想
等效匝数比为： ne
L22 L11
磁耦合系数为： k L12 L11L22
9.3 磁路损耗
低频损耗： 直流铜耗 铁芯损耗：磁滞损耗
高频损耗：集肤效应 铁芯损耗：经典涡流损耗 铁氧体铁芯中的涡流损耗
高频铜耗：接近效应 接近效应：高频极限 第一层的损耗，也会对之后多层带来损耗 PWM波形的谐波影响
电气终端特性
根据：
Bsat H Bsat /
dB(t) v(t) nAc dt
H (t)lm ni(t)
B
H | H | Bsat / Bsat H Bsat /
v i 消去B和H ，推导出 与 的关系。当 | i | Isat 时：
v(t)
nAc
dH (t) dt
可简写为：
v(t) n2 Ac di(t)
第三部分 磁与磁路原理
9 磁路基本理论 10 电感设计 11 变压器设计
磁路基本理论
9.1 磁路基本理论回顾 9.1.1 基本关系
9.2 变压器模型 9.2.1 理想变压器 9.2.3 漏感
9.3 磁路损耗 9.3.1 铁损
9.4 典型磁性器件 9.4.1 滤波电感 9.4.3 变压器
9.1.2 磁路 9.2.2 磁化电感
如果磁芯材料为纯电阻且与频率f无关，即 Z R ，则涡
流大小正比于感应电动势 i(t) v(t) / R ，因此 i(t)的幅
值正比于励磁频率 涡流损耗将随着 f 2 的增加而增加 典型的斯坦梅茨方程适用于涡流损耗
PH KH fBmax ( Aclm )
铁氧体阻抗为电容性阻抗，这将导致涡流的损耗正比于 f 4
v1
LM
diM dt
v1
其中：
LM
n2 R
iM
i1
n2 n1
i2
Φ
n1:n2
i2
v2
理想
励磁电感的讨论
磁芯材料的磁化模型 实际的物理电感，表现出饱和和磁滞 如果次级绕组被断开
剩下的初级绕组芯上的初级绕组则表现为一个电感； 所得电感为磁化电感，称为初级绕组。 初次级绕组电流比与匝比并不相等
减小磁芯工作磁密可以 减小磁滞损耗
模拟磁滞损耗
磁滞损耗与频率直接相关
最大磁通密度依赖性：B-H磁滞曲线的环路面积如何， 取决于最大磁通密度（和应用波形） 经验公式（斯坦梅茨方程）：
PH KH fBmax ( Aclm )
参数 KH 和 由实验确定
由磁畴理论可以预测PH对Bmax的依赖性
磁芯损耗：涡流损耗
饱和VS.伏秒原理
磁化电流取决于对绕
i1
组电压的积分：
iM
(t)
1 LM
v1(t)dt
v1
n1:n2
i2
v2
磁通密度相应成比例：
理想
B(t) 1 n1 Ac
v1dt
当伏秒乘积太大时，磁通密度和励 磁电流将增大：
1
t2 t1
v1
(t
)dt
积分的上下限一般选择在电压波形
的正半周部分
变压器饱和的讨论
μ H
(a)
典型的 r = 103 ~105
-Bsat
(b)
典型的 Bsat=0.3 ~0.5T，铁素体 0.5 ~1.0T，铁粉 1.0 ~2.0T，贴叠片
单位
电磁量
国际单位制 非国际单位制 转换
磁性材料 方程 B
H
B 0r H
T A/m Wb
B r H
高斯 奥斯特 麦克斯韦
1T 104G
变压器饱和
在磁芯磁通密度B(t) 超过饱和磁通密度 Bsat 时出现饱和
当磁芯饱和时，磁化电流变大，磁化电感的阻抗变小，变 压器初级线圈短路
大的绕组电流i1(t) 和 i2 (t) 不一定会导致饱和， 如果： 0 n1i1 n2i2
磁化电流为零，并且磁芯没有净磁化 饱和是由过度施加伏秒乘积造成的
1A / m 4 •103Oe
1Wb 108Mx
1T 1Wb / m2
举例：简单电感
法拉第定律：
对每一匝线圈，有：
i(t)
Φ
vturn
(t)
d (t ) dt
v(t) n匝
总绕组电压是：
磁芯
v(t
)
nvturn
(t
)
n
d
(t dt
)
平均磁通密度可表达为：B(t) F (t) / Ac
v(t)
H (t)lm ni(t)
电感举例：磁芯材料模型
B
Bsat
H
Bsat
H Bsat / | H | Bsat / H Bsat /
当绕线电流出现饱和时，用 i Isat 和 H Bsat / 带入先前推导的安培定 律方程，因此有：
I sat
Bsat lm
n
B
Bsat
μ H
-Bsat
H
(t )lm n
dt
( Aclm ) HdB
i2(t) n2 匝 v2(t)
铁芯损耗：磁滞损耗
W ( Aclm ) HdB
式中 (Aclm) 是当积分为B-H 磁滞曲线的面积时的铁芯 体积
B Area H
在磁化一周内的能量损耗等于
铁芯体积与B-H磁滞曲线包围面
积的乘积：
PH f ( Aclm ) HdB
消去 ： d v1 v2
dt n1 n2
理想变压器方程： v1 v2
n1 n2
和 n1i1 n2i2 0
理想
i2 v2
9.2.2 磁化电感
对于非零磁芯磁阻，有
R n1i1 n2i2 并且
消去 ，有
v1
n12 R
d dt [i1
n2 n1
i2 ]
这个方程的形式是
v1
n1
d dt
i1
闭合路径
例如：磁芯。载流导体穿过磁芯
H
插图路径遵循围绕磁芯内部的 i(t) 磁感应线
对均匀磁场强度H(t) 而言，其
积分（磁动势）为H (t)lm ， 因此：
F(t)= H (t)lm = i(t)
磁路长度 lm
关于安培环路定律的讨论
磁场强度H(t)与绕线电流i(t) 有关
我们可以看到绕线电流为磁动势的来源 回顾前面的例子：围绕磁芯的总磁动势，F (t) H (t)lm
电场量
长度 l 电场强度 H
{ 总电流 I
电流密度 J
电压
V=El
表面积S 截面积 Ac
磁场强度H与磁动势F
x x 1与 2 之间的磁动势（MMF）F与磁场强度H有关
F x2 H • dl x1
举例：均匀磁场
磁场量 长度 l 磁场强度H
类似于电场强度E,产生电压 (EMF)V
电场量
长度 l 电场强度 H
lm dt
v(t) L di(t)
其中
L n2 Ac
当|
i
|
I sat
dt
时，磁通密度相反并且等于
Bsat，l由m 法拉第定律知：
v(t)
nAc
dBsat (t) dt
0
饱和，近似线圈短路
9.1.2磁路
右图磁性元件中为均匀 通量和磁场
{磁通
量Φ
长度l MMF F
截面积 AC
元件的两端的磁动势是 H F Hl
9.1 铁损
匝数为n的电感中流过频率为f Φ
的交流电时，在一个周期T内， i1(t)
进入电感的全部能量为：
v1(t) n1 匝
W v(t)i(t)dt
磁芯
忽略绕组电阻式，由法拉第定律和安培定律
v(t)
nAc
dB(t) dt
H (t)lm ni(t)
带入方程式中：
W
nAc
dB (t ) dt
铁芯总损耗
1
铁氧体磁性材料
0.1
在固定频率时 的经验公式：
Pfe K fe(B) (Aclm)
功率损耗密度, Watts/cm3
0.01 0.01
0.1
0.3
磁性材料
材料类型
Bsat
铁芯损耗关系
应用场合
叠片铁，硅 1.5T~2.0T 钢
高
50~60HZ的变压器，
电感
粉芯
0.6T~0.8T
铁粉，
I sat
Bsat Ac n
(Rc
R g
)
气隙的影响：
降低电感 增加饱和电流 电感不受磁芯磁导率的影响
Φ=BAC
BsatAC
nIsat1 nIsat2 ni∝HC
-BsatAC
9.2 变压器建模
没有气隙时的双绕组变压器：
Φ
i1(t)
i2(t)
R lm
Ac
v1(t) n1 匝
n2 匝 v2(t)
通过回路所包围面积的 磁通量 (t) 发生变化时 产生电压 v(t) ：
v(t) d(t) dt
当磁通量均匀分布时，
(t) B(t) • Ac
因此：
v(t)
Ac
dB(t) dt
{总通量 Φ(t)
截面积Ac v(
安培环路定律
闭合回路周围的净磁动势与通过内部路径的总电流
H • dl 通过路径内部的总电流