罗默高级宏观经济学课后习题答案详解
罗默《高级宏观经济学》第3版课后习题详解(传统凯恩斯主义波动理论)【圣才出品】
罗默《高级宏观经济学》第3版课后习题详解第5章传统凯恩斯主义波动理论5.1描述下列每种变化如何影响IS 与MP 曲线。
（a）税收下降。
（b）政府购买下降，同时，联邦储备局改变其政策规则，以便将较高的真实利率建立在比以前更高的产量水平上。
（c）货币需求增加（即消费者的偏好改变，使得在既定的i 与Y 水平上，它们想持有比以前更多的真实资产）。
（d）投资需求变得对利率不敏感。
答：（a）在既定的产出和通胀水平下，税收水平不会影响联邦储备局对实际利率的选择。
也即，税收不会出现在MP 曲线方程()()[]1/1/d d e Y T Y T i Y i C C I L L G G π-----+<，()r r Y π=，之中。
因此，税收下降，MP 曲线保持不变。
但是，由于计划支出()E E Y r G T = ，，，，其中0ET <，故税收下降会提高既定产出和实际利率水平下的计划支出，计划支出曲线将向上移动。
最终实际支出和计划支出都将增加，IS 曲线将向右移动。
（b）政府购买下降不会影响MP 曲线，因为它不会影响联储在既定的Y 和π下对r 的选择。
但是，由于0EG >，故政府购买下降会降低既定产出和实际利率水平下的计划支出。
因而计划支出曲线将下移，最终实际支出和计划支出都减小，IS 曲线将向左移动。
当联储在既定的产出下设定更高的实际利率时，由()r r Y π=，可知，MP 曲线将向上移动。
（c）货币需求不会影响计划支出，从而IS 曲线保持不变。
它也不会影响联储的货币政策规则，从而也不会影响既定产出和通胀水平下的联储合意的实际利率，从而MP 曲线也不受影响。
货币需求的增加仅仅意味着在联储选择的实际利率r 下，为了保持货币市场均衡，联储需要调整名义货币供给M 。
（d）由教材中的（5.6）式可知，沿着IS 曲线，r 的变化对Y 的影响为：d 0d 1rISrE YrE =<-如果投资需求变得对实际利率不敏感，则Er 的绝对值将变小。
罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题详解（第3章新增长理..
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第3章 新增长理论跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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3.1 考虑教材中第3.2节中1θ<时的模型。
（a ）在均衡增长路径上，()A A g t *=，其中A g *是A g 的均衡增长路径值。
利用这个事实以及方程（3.6）()()() L t B a L A t A t θγ=［］推导均衡增长路径上() A t 的一个表达式，把它用B 、L a 、γ、θ和()L t 来表示。
（b ）应用对（a ）问的答案以及生产函数()()()()1L Y t A t a L t =-，求均衡增长路径上()Y t 的表达式。
求最大化均衡路径产出的L a 的值。
答：（a ）关于产出和知识的生产函数为：()()()()1L Y t A t a L t =- （1）()()()() 1L t B a L t t A A θγθ=<［］ （2） 在均衡增长路径上，()()()//1A A t A t g n γθ*==- （3） 对（2）两边除以() A t ，即：()()()()1/L t A t Ba L t A A t γθγ-=（4）将（3）（4）联立得：()()()()()11/1/(1)L L Ba L t t n A n Ba L t A t γθθγγγγθγθ--⎡⎤=-⇒=-⎣⎦上式简化为：()()()()1/11/L A t Ba L t n θγγθγ-⎡⎤=-⎣⎦（5）（b ）将（5）代入（1）得：()()()()()()()()(1/11/1/11)()())1(/1/11/1L L L L Y t Ba L t n a L t B n a a L t θγγθγθγθθγθγ---+-⎡⎤=--⎣⎦- -⎡=⎤ ⎣⎦［］两边取对数，可得：()()()()()()()()ln 1/1ln 1//1ln ln 1/11ln L L Y t B n a a L t θθγγθγθ⎡⎤=--+-+-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦一阶条件为：经过简单的数学运算求L a *：（6）θ值越大，新知识在生产函数中的作用越大。
(NEW)罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解
目 录第1章 索洛增长模型第2章 无限期模型与世代交叠模型第3章 内生增长第4章 跨国收入差距第5章 实际经济周期理论第6章 名义刚性第7章 动态随机一般均衡周期模型第8章 消 费第9章 投 资第10章 失 业第11章 通货膨胀与货币政策第12章 预算赤字与财政政策第1章 索洛增长模型1.1 增长率的基本性质。
利用变量增长率等于其对数的时间导数这一性质证明：（a）两个变量之积的增长率等于其各自增长率之和。
即，若Z（t）＝X（t）Y（t），则：（b）两个变量之比的增长率等于其各自增长率之差。
即，若Z（t）＝X（t）/Y（t），则：（c）若Z（t）＝X（t）α，则。
证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a）的结果。
（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（b）的结果。
（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于ln[X（t）α]＝αlnX（t），其中α是常数，有下面的结果：则得到（c）的结果。
1.2 假设某变量X的增长率从时刻0到时刻t1为常数，并且等于a＞0；在时刻t1降为0；从时刻t1到t2逐渐从0增加到a；在时刻t2后为常数，并且等于a。
（a）用图形表示出X的增长率随时间的变化。
（b）用图形表示出lnX随时间的变化。
答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。
从时刻到t 1时刻X的增长率为常数且等于a（a＞0），为图形中的第一段。
X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。
从t2时刻之后，X的增长率再次变为a。
图1-1 时间函数X的增长率（b）注意到lnX关于时间t的导数（即lnX的斜率）等于X的增长率，即：因此，lnX关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到t1时刻，lnX的斜率为a（a＞0），在t1时刻，X（t）的增长率出现不连续的变化，因此lnX 的斜率出现扭曲，在t1时刻至t2时刻，lnX的斜率由0逐渐变为a；从t2时刻之后，lnX的斜率再次变为a（a＞0）。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(跨国收入差距)【圣才出品】
g)
即：
1 e(r g )(T E ) (r g )
方程（12）两边同时乘以 / r g 得：
(r
g)
1
e(r g )(T E )
1
（11） （12） （13）
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方程（13）的左边等价于：
0 的情形？是否存在该值等于 T 的情形？
（b）假设内点解，描述 E 的黄金律水平[即（a）小题中你找到的 E 值]如何受下述变化
的影响（如果有影响的话）。
（i）T 增加。
（ii）n 下降。
答：（a）在均衡增长路径上假设 G E eE ，则人均产出为：
Y N
bgp
y A(t)eE
enE enT 1 enT
在时期 t 所得的工资为 begt eE 。考虑出生于时期 0 的工人，他在生命中的最初 E 年接受
学校教育，并在余下的 T－E 年参加工作。假设利率固定不变且等于 r 。 （a）把该工人终生收入的现值表示为 E、T、b、 r 、φ和 g 的函数。
（b）找出使（a）小题中表达式最大化的 E 值的一阶条件。用 E*表示这个 E 值。（假设 内点解。）
0
（18）
因此， dE* / d r g 0 ，即利率 r 的增加降低了教育的最优选择，增长率 g 的上升
增加了教育的最优选择。
4.3 假设国家 i 的产出由 Yi AiQieEi Li 给定。这里 Ei 表示各工人的受教育年限，
Y
E
r
b g
eE(r g )T
(r
g)
e (r g )E 0
（4） （5）
方程（5）可整理为：
罗默《高级宏观经济学》第3版课后习题详解(不完全名义调整的微观经济基础)【圣才出品】
（8）
注意： ln E eui Pi 是不取决于 Pi 的一个固定值。将（8）代入（3）得到最优劳动供给
的对数：
li 1 / 1 E ln Pi / P Pi ln E e ui Pi
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或更简化的形式：
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li 1 / 1 E ln Pi / P Pi 1 / 1 ln E e ui Pi
（9）
（9）式右边的第一项 1/ 1 E ln Pi / P | Pi 是劳动供给（对数）的确定性等价选择，
第二项是常数。因此最大化预期效用的劳动 li 不同于确定性等价的值。
6.2
（该题引自迪克西特与斯蒂格利茨
1977。）设方程 Ui
Ci
1
Li
，
1 中消费指
数 Ci 是
Ci
1 j0
Z
1 j
/
Cij
1
/
dj
/
1
，这里 Cij
是个人 i
对物品
j
的消费量，而
Zi
是其对物品
j 的偏好
冲击。假设个人把数量为 Yi 的收入花费在产品上，因此其预算约束为
1 j0
Pj Cij dj
Yi
。
（a）找出在预算约束限定性使 Ci 最大化的一阶条件。解出用 Z j 、Pj 与预算约束的拉格
（c）设（如在卢卡斯模型那样） ln Pi / P E ln Pi / P | Pi ui ，其中， ui 是正态分布
的，其均值为零，并且方差不依存于 Pi 。这意味着 ln E Pi / P | pi E ln Pi / P | Pi C — —这里 C 是一个常数，其值独立于 Pi 。（提示：注意 Pi / P exp E ln Pi / P | Pi exp ui ，并
高级宏观经济学 第四版 中文 罗默课后题答案
第二章无限期模型与世代交叠模型高级宏观经济学_第四版—中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数，Y = F K, AL，或者采用紧凑形式。
假设。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数:求一阶导数：得到:上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于丫第二章无限期模型与世代交叠模型上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
(b)因为每个厂商拥有同样的k和A,贝U N个成本最小化厂商的总产量为:为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k, k的决定独立于丫的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程(2.43)给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：(a)已知和和W,则此人效用最大化的和是多少？(b)两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为(2.43)式，是则与之间的替代弹性为。
答：(a)这是一个效用最大化的优化问题。
---- ------------ (1)(2)求解约束条件：(3)将方程(3)代入(1)中，可得：---- ---------------------------- (4) 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第6章 不完全名义调整的微观经济基础)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第6章 不完全名义调整的微观经济基础跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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6.1 考虑在卢卡斯模型中一个个人在/i P P 未知时所面临的问题。
个人选择i L 去最大化i U 的期望值，i U 继续由方程i ii i P P L L U γγ=-给定。
（a ）找出i L 的一阶条件，并且将此条件进行整理，以便获得用[]/i E P P 表示的i L 的表达式，给这个表达式取对数，以获得i l 的表达式。
（b ）同（a ）部分推出的最优量相比较，如果个人遵循11i i i l E P γγ=⎡⎤⎣⎦-中的确定性等价规则，其怎样地供给劳动量？（揭示：如何把()ln /i E P P ⎡⎤⎣⎦与()ln /i E P P ⎡⎤⎣⎦进行比较？）（c ）设（如在卢卡斯模型那样）()()ln /ln /|i i i i P P E P P P u ⎡⎤⎣⎦=+，其中，i u 是正态分布的，其均值为零，并且方差不依存于i P 。
这意味着(){}()|ln /l |n /i i i i E P P p E P P P C =+⎡⎣⎡⎤⎣⎦⎤⎦——这里C 是一个常数，其值独立于i P 。
（提示：注意(){}()/exp ln /|exp i i i i P P E P P P u =⎡⎤⎣⎦，并且表明这意味着使期望效用最大化的i l 不同于（6.17）中的确定性等似性规则的i l ，其差别仅是一个常数。
）答：（a ）个人的行为就是在知道价格i P 的情况下，决定劳动供给量i L ，最大化预期效用，如下所示：()()max 1/ii i i L E C L P γγ⎡⎤-⎣⎦将/i i i C PQ P =和i i Q L =代入上式得：1max ii i i i L PL E L P P γγ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为其中只有P 是不确定的，因此上式可以写成：()()max 1//ii L i i i E P P L L P γγ⎡⎤-⎣⎦ 一阶条件为：()1/0i i i P L P E Pγ-⎡⎤-=⎣⎦ （1） 因此最优的劳动供给为：{}()1/1/i i i L E p P P γ-=⎡⎤⎣⎦（2）将（2）两边取对数并定义ln i i l L ≡得：()()1/1ln /|i i i l E P P P γ=-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦ （3）（b ）遵循确定性等价规则，个人供应的劳动数量为（对数形式）：()()1/1|/i i i l E P P P γ=-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦ （4）因为()ln /i P P 是()/i P P 的凹函数，根据詹森不等式得：()()ln /n /|l |i i i i E P P P E P P P >⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦如果个人遵循确定性等价规则，个人供应的劳动数量小于（a ）部分的最优劳动数量。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在
会有一收益
，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低Hale Waihona Puke 费。，同时厂商受到生产函数
的约束。这是一个典型的最优化问
题。
构造拉格朗日函数： 求一阶导数：
得到：
上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：
（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
因为 k 保持不变，即 知：
，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为： （3）
对方程（3）两边关于 g 求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于 由
决定，对该式两边关于 g 求导数，可得：
，从而求出 为：
（a）考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案(2020年九月整理).doc
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
罗默高级宏观经济学课后习题答案详解
罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题答案详解4目录第1章索洛增长模型 (5)第2章无限期界与世代交叠模型 (26)第3章新增长理论 (62)第4章真实经济周期理论 (101)第5章传统凯恩斯主义波动理论 (129)第6章不完全名义调整的微观经济基础 (149)第7章消费 (175)第8章投资................................................................................19S第9章失业 (219)第10章通货膨胀与货币政策 (244)第H章预算赤字与财政政策 (276)5第1童素洛增长模型1.1增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：(a)两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若Z(t)=x(()y(r),则Z(£)/z(£)=[%)/x(£)]+[F(0/y(o](b)两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若z(r)=x(,)〃("，则z(t)/z(t)=[x(t)/x(0]-[f(t)/r(t)](C)如果Z(r)=X(f)",则Z(r)/Z“)=a X(r)/X(r)证明：(a)因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式:Z(t)=dlnZ(f)=dln[.Y(t)y(/)J/(t)dt dt因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：ZU)d lnA(f)dlnX(f)dln-(t)Z(t)dt ck dz再简化为下面的结果：7")X{r.)Y{!)-----二-----+-----zu).¥(?)y(z)则得到(a)的结果*(b)因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：Z(f)dlnZ(f)dln[X(t)/F(t)]Z(f)—-dt--d^-因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：2(Z)_d_lnA'(f)-lny(f)]_dln.Y(t)din1(t)Z(t)dt dt dt再简化为下面的结果：Z(r).¥(/)y(z)2⑴~X(t)F(i)则得到(b)的结果，<c)因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：Z(f)dlnZ(f)dln[.¥(t)a]Z(t)=-dt-=dr又由于]n[x(/)u]=C lnX(»),其中〃是常数，有下面的结果：Z(t)d[alnX(t)]dln.Y(/).¥(t)Z(f)=dt=位~dz~=欠X(f)则得到(c)的结果。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(无限期模型与世代交叠模型)【圣才出品】
i 1
i 1
i 1
其中， L 是总的雇佣人数。
单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k，k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果
单一厂商拥有 L 的劳动人数，则它也会生产 Y AL f k 的产量。这恰好是 N 个厂商成本
最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函
C2
1 (1
W P2 )1 (P2
P1 )(1 )
将方程（6）代入（5）中，则有：
（5） （6）
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C1
(1 )1 ( P2 P1)1 (W P2) 1 (1 )1 ( P2 P1)(1 )
这一变化有一效用成本 u c前 c ，在（t0＋ε）会有一收益 ertngt c ，财富
的 回 报 率 为 r （ t ）， 不 过 ， 此 刻 有 一 半 的 财 富 会 被 没 收 。 此 时 的 效 用 收 益 为
（b）假设事先知道在某一时刻 t0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数 量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻 t0 发生突然变化？为 什么？（如果会，请说明时刻 t0 前后消费之间的关系。）
解：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 t 内，从（t0－ε）到（t0＋ε）。 考虑家庭在（t0－ε）时期减少每单位有效劳动的消费为 c 。然后他在（t0＋ε）投资并 消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没 有影响。
数由方程（2.43）给定。
Ut
C1 1t
1
1 1
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1 1 bu
（8）
化简为：
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eu
1
1
1
1
（9）
将 wn 1 bu wa / 1 代入 e w x / x 中得到：
en
1
bu
wa
/ 1 1
bu wa
1
wu wn
/ eu / en
1.15
0.03 0.18
0.03
1.0898
（17）
在 0.03 处，努力程度关于工资的弹性变低，工会部门有效劳动的成本对非工会部门
有效劳动的成本的比率变高了。
9.2 效率工资与谈判（Garino and Martin 1999）。萨默斯（1988，第 386 页）声称
（2）将 f 0.15 ， 0.03 及 b 0.5 代入（5）得到：
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u
0.03
0.5 1
0.15 0.15
0.15
0.15
0.0525 0.51125
0.103
（16）
均衡失业率更高为 10.3%。将 0.15 和 0.03 代入（14）得到：
wu 1 wn 1 1 bu wa / 1
（7）
将 等 式 （ 7 ） 和 劳 动 市 场 条 件 指 数 的 定 义 x 1 bu wa ， 代 入 努 力 的 表 达 式
e w x / x 中，得到：
eu
1
1
bu
wa 1
/ 1 bu wa
1
bu
wa
1 1 bu 1 1 bu
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(内生增长)【圣才出品】
考虑两个由 Yi
t
Ki
t
和
Ki
t
siYi
t
刻画的经济（其中
i＝1，2，θ
＞1）。假定两个经济具有相同的初始 K 值，但 s1＞s2。证明 Y1/Y2 会持续增加。
证明：将产出函数 Yi
t
Ki
t
代入资本累积方程
K
t
siYi
t
得：
Ki
t
si Ki
t
,
1
（1）
在方程（1）两边同时除以 Ki（t）以求出资本增长率的表达式，即：
空间所处的位置。
（a）n 增加。
（b）aK 增加。
（c）θ增加。
答：（a）n 增加
g A 0 线和 g K 0 线由下式给出：
gK 0 gK gA n
gA
0
gK
1 gA
n
（1） （2）
资本和知识的增长率公式为：
gK (t) cK A(t)L(t) K (t) 1 , cK s(1 aK ) (1 aL )1
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罗默《高级宏观经济学》第 4 版课后习题详解 第 3 章 内生增长
3.1 考虑 3.2 节中θ＜1 时的模型。
（a）在平衡增长路径上，
A
g
A
A
t
，其中
g
A
是平衡增长路径上的
gA
值。利用
这一事实以及方程（3.6）
A
t
（b）aK 增加
由于 aK 并没有出现在方程（1）和（2）中，因此 g A 0 线和 g K 0 线随着 aK 的增
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(索洛增长模型)【圣才出品】
证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
Z&(t) d ln Z (t) d ln[X (t)Y (t)]
Z (t) dt
dt
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：
Z&(t) d[ln X (t) ln Y (t)] d ln X (t) d ln Y (t)
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因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：
Z&(t) d[ln X (t) lnY (t)] d ln X (t) d lnY (t)
Z (t)
dt
dt
dt
再简化为下面的结果： 则得到（b）的结果。
Z (t)
dt
dt
dt
再简化为下面的结果：
Z&(t) X&(t) Y&(t) Z (t) X (t) Y (t)
则得到（a）的结果。
（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
Z&(t) d ln Z(t) d ln[X (t) Y (t)]
Z(t) dt
dt
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k
存量水平从 k*上升到 NEW 。
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图 1-3 折旧率下降的影响
（b）技术进步率上升的影响
由于持平投资线的斜率为（n＋g＋δ），当技术进步率 g 上升后，会使持平投资线的斜
率变大，持平投资线向左旋转，而实际投资线则不受影响。从图 1-4 可以看出，平衡增长
sk 投资线为 sf（k），而 f（k）＝kα，因此
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题问题详解
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=，，或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第1章 索洛增长模型)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1.1 增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t Y t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果：则得到（c ）的结果。
1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
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增长路径上是独立于利率的。对于折现率 而言， 越大，家庭越厌恶风险，越 会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不 变，令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知 r、 W 和效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先 会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使 自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.1
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
2.2 （1）
（2） W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消
，得：
两边对时间 t 求导，可得： 得到下面的方程： 将方程（3）代入（4），可得：
（3） （4）
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（a）已知 和 和 W，则此人效用最大化的 和 是多少？