中考数学复习50个知识点专题专练：48 几何型综合问题
初中几何48个模型及题型讲解
初中几何48个模型及题型讲解一、直线和角1. 平行线和垂直线的性质平行线的性质包括对应角相等、内错角相等、同旁内角相等，垂直线的性质包括互补角相等、邻补角相等等等。
2. 直线的夹角与邻角两条直线之间的夹角等于它的补角，夹角的补角叫相邻角。
3. 同位角与对顶角同位角相等、对顶角相等。
4. 角的大小关系锐角、直角、钝角的大小关系。
5. 角和角度角的性质包括平分角等。
6. 角的运算法则相等角相加还是相等角；补角与角补加为90°。
7. 顶角和底角的性质同位角相等、顶底角相等。
二、等腰三角形、等边三角形1. 等腰三角形的性质两底角相等，两底边相等等。
2. 等边三角形的性质三边相等、三角也相等等等三、全等三角形1. 全等三角形的基本判定条件AAA、SAS、SSS、ASA四种判定条件。
2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边和对应角相等等等。
四、相似三角形1. 相似三角形的基本判定条件AA、SAS、SSS、AAS四种判定条件。
2. 相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等等等。
五、直角三角形1. 直角三角形的性质勾股定理、边角关系、三边关系等。
2. 解直角三角形的基本方法利用三角函数解决实际问题等。
六、三角形的面积1. 三角形的面积计算公式面积公式S=1/2×底×高等。
2. 多边形的面积计算公式正多边形、梯形、平行四边形、菱形等多边形的面积公式。
七、四边形1. 平行四边形的性质对角线互相平分等。
2. 矩形的性质对角相等、对边相等等。
3. 菱形的性质对角相等、对边相等、对角平分等。
4. 正方形的性质矩形和菱形的结合。
五、圆1. 圆的基本概念圆心、圆周、半径、直径等。
2. 圆的周长和面积周长C=2πr，面积S=πr^2等。
3. 圆中角和弧的关系圆心角、圆周角、同弧对应角等。
4. 切线与切点切线与圆相切于一个点等。
六、坐标系1. 直角坐标系和平面直角坐标系横坐标和纵坐标等。
中考数学几何图形专题训练50题含答案
中考数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据平面图形的折叠、正方体的展开图的特点即可得出答案．【详解】解：A．是正方体的展开图，经过折叠后能围成一个正方体，故A不符合题意；B．是正方体的展开图，经过折叠后能围成一个正方体，故B不符合题意；C．不是正方体的展开图，经过折叠后不能围成一个正方体，故C符合题意；D．是正方体的展开图，经过折叠后能围成一个正方体，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了展开图折叠成几何体，属于基础题，要充分展开想象，注意培养自己的立体感．2．一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1补角的度数为（）A．45︒B．135︒C．75︒D．165︒【答案】D【分析】根据题意得出∠1=15°，再求∠1补角即可．∠=︒-︒=︒【详解】由图形可得1453015∠∠1补角的度数为18015165︒-︒=︒故选：D．【点睛】本题考查利用三角板求度数和补角的定义，熟记各个三角板的角的度数是解题的关键．3．用一个放大10倍的放大镜看一个10°的角，这个角是（）A ．100°B ．10°C ．110°D ．170° 【答案】B 【分析】根据放大镜看一个角只会改变边的长度，不会改变角本身的度数即可求解．【详解】解：用放大镜看一个角，不会改变角本身的度数，故选：B ．【点睛】本题考查角的大小比较，放大镜看到的角不会改变角本身的度数． 4．如果点C 在线段AB 所在直线上，则下列各式中AC AB =，AC CB =，2AB AC =，AC CB AB +=，能说明C 是线段AB 中点的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【分析】根据线段中点的定义，能判断AC=CB 的条件都能说明C 是线段AB 中点．【详解】根据分析得：若AC=AB ，则不能判断C 是线段AB 中点；若AC=CB ，则可判断C 是线段AB 中点；若AB=2AC ，则不能判断C 是线段AB 中点；若AC+CB=AB ，则不能判断C 是线段AB 中点；综上可得共有1个正确.故选A.【点睛】本题考查线段中点的定义，解题的关键是掌握线段中点的定义.5．如图，已知BD CF =，B F ∠=∠，//AC DE 下列结论不正确的是（ ）A ．FD BC =B ．EF CB =C ．//EF ABD ．AE ∠=∠【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及线段的和差进行判断即可得解．【详解】解：∠//AC DE∠ACB EDF ∠=∠∠BD CF =∠BD CD CF CD +=+∠BC DF =∠在ABC 和EFD △中B F BC FDACB EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()ABC EFD ASA ≌∠A E ∠=∠故说法D 正确；∠B F ∠=∠∠//EF AB故说法C 正确；∠BD CF =∠BD CD CF CD +=+∠BC DF =故说A 正确，说法B 错误．故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及线段的和差，熟悉各知识点是解题的关键．6．如图，OC 平分AOD ∠，30DOC AOB ∠-∠=︒，有下列结论：∠30BOC ∠=︒；∠BOC ∠的度数无法确定；∠若20AOB ∠=︒，则100AOD ∠=︒；∠若60AOB ∠=︒，则A ，O ，D 三点在同一条直线上．其中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出DOC AOC ∠=∠，根据30DOC AOB ∠-∠=︒，即可求出30BOC ∠=︒，判断出∠正确，∠错误；根据30BOC ∠=︒，20AOB ∠=︒，求出50AOC AOB BOC ∠=∠+∠=︒，根据角平分线定义求出100AOD ∠=︒，即可判断∠正确；求出180AOD ∠=︒，即可判断∠正确．【详解】解：∠OC 平分AOD ∠，∠DOC AOC ∠=∠，∠30DOC AOB AOC AOB BOC ∠-∠=∠-∠=∠=︒，故∠正确，∠错误．由∠知，30BOC ∠=︒，∠50AOC AOB BOC ∠=∠+∠=︒，∠2100AOD AOC ∠=∠=︒，故∠正确．∠30BOC ∠=︒，60AOB ∠=︒，∠90AOC BOC AOB ∠=∠+∠=︒，∠2180AOD AOC ∠=∠=︒，∠A 、O 、D 三点在一条直线上，故∠正确．综上，正确的为∠∠∠，共3个，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是根据角平分线的定义和已知条件，求出30BOC ∠=︒．7．如图，120AOB ∠=︒，13AOC BOC ∠=∠，OM 平分BOC ∠，则AOM ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．65︒C ．75︒D ．80︒故选C．【点睛】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出∠AOC和∠COM的大小．8．如图，这是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“爱”相对的面上的汉字是（）A．西B．电C．附D．中【答案】C【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“电”是相对面，“爱”与“附”是相对面，“西”与“中”是相对面．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．9．如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB=3cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的距离为（）A．1cmB．5cmC．1cm或5cmD．无法确定【答案】C【详解】试题解析：由题意可知，C点分两种情况，∠C点在线段AB延长线上，如图1，AC=AB+BC=3+2=5cm；∠C点在线段AB上，如图2，AC=AB-BC=3-2=1cm．综合∠∠A、C两点之间的距离为1cm或5cm．故选C．【点睛】由题意可知，点C分两种情况，画出线段图，结合已知数据即可求出结论．本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据题意画出线段图，找准线段间的关系．10．如图，AD平分∠BAC，点E在AB上，EF∥AC交AD于点G，若∠DGF＝40°，则∠BEF的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．80°【答案】D【分析】由EF∥AC，∠DGF＝40°，得出∠DAC=∠DGF＝40°，∠BEF=∠BAC，又AD 平分∠BAC，则∠BEF=∠BAC=2∠DAC=80°．【详解】解：∠EF∥AC，∠DGF＝40°，∠∠DAC=∠DGF＝40°，∠BEF=∠BAC，∠AD平分∠BAC，∠∠BEF=∠BAC=2∠DAC=80°．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解决本题的关键．11．若钟表分针走30分钟，则钟表的时针转（）A．5︒B．15︒C．30︒D．120︒【答案】B【分析】根据“整个钟面12小时，时针每小时转30︒”即可得．．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与不一定．．．相等的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】A 选项由图形即直角三角形的性质即可判断；B 选项由两角互余即可的判断；C 选项由对顶角相等即可判断；D 选项由同角的余角相等即可判断．【详解】A 选项中，90,45αβα∠+∠=︒∠=︒，45βα∴∠=∠=︒，故不符合题意；B 选项中，90αβ∠+∠=︒，则α∠与∠β不一定相等，故符合题意；C 选项中，,αβ∠∠是对顶角，αβ∴∠=∠，故不符合题意；D 选项如图，190,190αβ∠+∠=︒∠+∠=︒，αβ∴∠=∠，故不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了对顶角相等，余角，同角的余角相等等知识点，熟练掌握这些知识是解题的关键．13．如下图的正方体，选项中哪一个图形是它的展开图（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据正方体相邻面及其表面展开图的特点解答即可．【详解】解：A 、展开图中，其三个相邻面上的线段位置，符合题意，B 、展开图中，其中有两个有线段的两个面相对，不符合题意；C 、展开图中，其中有两个面上的线段平行，不符合题意；D 、展开图中，其中有两个有线段的两个面相对，不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查正方体的展开图，弄清正方体展开图中哪些面相邻，哪些面相对是解答的关键．14．把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画出朵数不等的花，各面上的颜色与花朵的朵数情况列表如下：现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，那么长方体的下底面共有花朵数是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．17 【答案】D【分析】由图中显示的规律，可分别求出，右边正方体的下边为白色，左边为绿色，后面为紫色，按此规律，可依次得出右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，即可求出下底面的花朵数．【详解】解：由题意可得，右一的立方体的下侧为白色，右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，那么长方体的下底面共有花数4＋6＋2＋5＝17朵．故长方体的下底面共有17朵花．故选D ．【点睛】本题考查生活中的立体图形与平面图形，同时考查了学生的空间思维能力．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．15．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=︒，BC DC =，CE AD ⊥，垂足为E ，若3AE CE ==．则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．272D ．无法求出 【答案】A 【分析】过点C 作CF 垂直AB 的延长线于点F ，先证明四边形AFCE 是矩形，再证明FCB ECD △≌△，进而将四边形ABCD 的面积转化为矩形AFCE 的面积求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CF 垂直AB 的延长线于点F ，∠90A BCD ∠=∠=︒， CE AD ⊥，CF AF ⊥，∠四边形AFCE 是矩形，90==︒CED F ∠∠，∠90FCE FCB BCE ∠=∠+∠=︒，3CF AE CE === ，∠90BCD BCE DCE ∠=∠+∠=︒，∠FCB ECD ∠=∠，在FCB 和ECD 中，CED F FCB ECD BC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠FCB ECD △≌△，∠==339ABCD AFCE AE CE S S ⋅=⨯=四边形矩形，故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、同角的余角相等，垂直定义以及矩形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．16．如图，在ABC 中，以A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB 、AC 于点D 、E ，再分别以D 、E 为圆心，相同长为半径作弧，分别交DB、EC 于点F 、G ，连接EF 、DG ，交于点H ，连接AH 并延长交BC 于点I ，则线段AI 是( )A ．ABC 的高B ．ABC 的中线 C ．ABC 的角平分线D ．以上都不对【答案】C 【分析】根据题意利用SAS 可证AFE AGD △≌△，即可得EG DF =，再利用AAS 可证EHG DHF ≌△△，即可得EH DH =，用SSS 可证明AHE AHD △≌△，即可得EAH DAH ∠=∠，即可得．【详解】解：由作图可知，AE AD =，EG DF =，∠AE EG AD DF +=+，即AG AF =，在AFE △和AGD △中，AE AD EAF DAG AF AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠AFE AGD △≌△（SAS ），∠AFE AGD ∠=∠，在EHG 和DHF △中，EHG DHF EGH DFH EG DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠EHG DHF ≌△△（AAS ），∠EH DH =在AHE 和AHD 中，AE AD AH AH EH DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠AHE AHD △≌△（SSS ），∠EAH DAH ∠=∠，∠AI 是ABC 的角平分线．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．17．如图：∠AOB ：∠BOC ：∠COD ＝2：3：4，射线OM 、ON ，分别平分∠AOB 与∠COD ，又∠MON ＝84°，则∠AOB 为（ ）A ．28°B ．30°C ．32°D ．38°【答案】A 【分析】首先设∠AOB ＝2x °，则∠BOC ＝3x °，∠COD ＝4x °，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出∠AOB 的度数．【详解】解：设∠AOB ＝2x °，则∠BOC ＝3x °，∠COD ＝4x °，∠射线OM 、ON 分别平分∠AOB 与∠COD ，18．如图，在ABCD 中，DAB ∠的平分线AE 交CD 于E ，6AB =，4BC =，则EC的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质及AE 为角平分线可知：BC=AD=DE=4，又有CD=AB=6，可求EC 的长．【详解】解：根据平行四边形的对边相等，得：CD=AB=6，AD=BC=4．根据平行四边形的对边平行，得：CD∠AB ，∠∠AED=∠BAE ，又∠DAE=∠BAE ，∠∠DAE=∠AED ．∠ED=AD=4，∠EC=CD-ED=6-4=2．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．19．如图，直线EO∠CD ，垂足为点O ，AB 平分∠EOD ，则∠BOD 的度数为（ ）A．120°B．130°C．135°D．140°【答案】C【详解】试题分析：根据直线EO∠CD，可知∠EOD=90°，根据AB平分∠EOD，可知∠AOD=45°，再根据邻补角的定义即可求出∠∠BOD=180°-45°=135°考点：垂线、角平分线的性质、邻补角定义．二、填空题20．已知：∠AOC=146°，OD为∠AOC的平分线，∠AOB=90°，∠BOD的度数_____．21．2022年10月16日，党的第二十次全国代表大会在北京召开，这是一次在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的十分重要的大会．如图是一个正方体的展开图，请你判断，正方体上与“荣”字相对的面上的汉字是_______．【答案】祖【分析】根据正方体展开图中相对的面总是隔着一个面的特征解题即可．【详解】解：根据正方体展开图中相对的面总是隔着一个面的特征可得荣字相对的面上的汉字为“祖”，故答案为：祖．【点睛】本题主要考查正方体展开图的特征，能够根据特征得出结论是解题关键．22．用一个平面截圆锥，可以得到________、________及类似拱形形状．如图：【答案】圆等腰三角形【解析】略23．如图，要用一张长方形的纸片折成一个纸袋，两条折痕的夹角为80°（即∠POQ＝80°），就可以做成一个纸袋，那么粘胶水部分所构成的这个角∠A'OB'＝_____．【答案】20°【分析】根据折叠性质得出∠POA=∠POA′，∠QOB=∠QOB′，根据∠AOB为平角，∠POA+∠QOB=180°-∠POQ=100°，再利用∠A′OB′=∠POA′+∠QOB′-∠POQ=20°即可．【详解】解：∠OP为折痕，OQ为折痕，∠∠POA=∠POA′，∠QOB=∠QOB′，∠∠AOB为平角∠∠POA+∠QOB=180°-∠POQ=100°，∠∠A′OB′=∠POA′+∠QOB′-∠POQ=∠POA+∠QOB-∠POQ=100°-80°=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查折叠性质，平角，角的和差，掌握折叠性质，平角，角的和差是解题关键．24．下午三点半时，时针与分针所夹的锐角的大小为________．【答案】75︒##75度【分析】先求出时钟上，每一个大格的度数为30︒，再根据下午三点半时，时针与分针所夹的锐角为2.5个大格即可得．︒÷=︒，【详解】解：时钟上，共有12个大格，每一个大格的度数为3601230因为下午三点半时，时针与分针所夹的锐角为2.5个大格，⨯︒=︒，所以下午三点半时，时针与分针所夹的锐角的大小为2.53075故答案为：75︒．【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上，每一个大格的度数为30︒是解题关键．25．点C是线段AB上的一点，2=，点M、N分别是线段AC、BC的中点，BC ACMN BC等于_________．那么:26．已知∠a=50°18′，则∠a的余角是________°________′.【答案】3942【分析】互余的概念：和为90度的两个角互为余角．用90°减去一个角的余角就等于这个角的度数．【详解】根据余角的定义，知∠A的余角是90°﹣50°18'=39°42'．故答案为39，42．【点睛】本题考查了余角和角度的计算，关键是记住互为余角的两个角的和为90度．27．在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过__________秒钟后，∠OAB 的面积第一次达到最大． 【答案】151559##9005928．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOD ∠，COB ∠为100︒，则AOE ∠=___________度识是解题的关键．29．小王从家出发向南偏东30°的方向走了100米到达小军家，此时小王家在小军家的_________方向． 【答案】北偏西30︒【分析】根据方向角的定义作出示意图，根据图形即可解答．【详解】解：如图所示，由题意知∠BAC ＝30°，则在∠ABC 中，∠BAC ＋∠ACB ＝90°，∠∠ACB ＝60°．又∠∠ACB ＋∠ACD ＝90°，∠∠ACD ＝30°，即小王家在小军家北偏西30°方向．故答案是：北偏西30°．【点睛】本题考查了方向角的定义，理解定义作出示意图是关键．30．如图所示，已知ABC 的周长为12，5BC =，在边AC 、AB 上有两个动点P 、Q ，它们同时从点A 分别向点C 、B 运动，速度分别为m 和n ，运动时间t 后，PC CB BQ ++=__________．【答案】()12m n t -+【分析】根据PC AC AP BQ AB AQ =-=-，，可得PC BQ AC AB AP AQ +=+--，进一步得到PC CB BQ ++，依此即可求解．【详解】解：PC AC AP BQ AB AQ =-=-，，()1257PC BQ AC AB AP AQ mt nt m n t ∴+=+--=---=-+，()()7512PC CB BQ m n t m n t ∴++=-++=-+．故答案为：()12m n t -+．【点睛】本题考查了列代数式，线段的和差关系，整式的加减运算，关键是得到PC BQ +的表达式．31．已知∠α＝60°，则∠α的补角等于_______． 【答案】120°【分析】利用互为补角的两个角之和为180°，解题即可【详解】因为∠α＝60°，所以∠α的补角是180°-60°=120°故填120°32．将三角尺按右图所示的方式放置在一张长方形纸片上，90EGF ∠=︒，30FEG ∠=︒，1130∠=︒，则BFG ∠的度数为___________．【答案】110°【分析】由长方形AD 与BC 平行，求出∠EFB ，由直角三角形求∠EFG ，再求两角的和即可．【详解】∠AD ∠BC ，∠∠1+∠EFB =180゜∠∠1=130゜∠∠EFB =180゜-130゜=50゜，∠∠EGF =90°，∠FEG =30°，∠∠EFG =180°-∠EGF -∠FEG =60°∠∠BFG =∠EFB +∠EFG =50°+60゜=110゜．故答案为：110゜．【点睛】本题考查角的度数问题，关键抓住平行线，同旁内角互补，三角形两锐角互余．33．若船A 在灯塔B 的北偏东30°方向上，则灯塔B 在船A 的_________方向上．【答案】南偏西30°【分析】本题画出A 、B 的位置，即分别以A 、B 为为原点，分别画出A 、B 的正北、正南、正西、正东方向，标出A 与B 的关系即可求解.【详解】从图中可以看出，B 在A 的南偏西30°.故答案为南偏西30°.【点睛】本题考查一个物体相对于另一物体的位置，注意这类题中“北偏东30°”的含义，是从正北方向开始，向东方向偏，偏角为30°.34．18°33′25″×3=_________．【答案】55°40′15″【分析】将度分秒分别乘以3后进位化简即可.【详解】1833253549975'''︒'"⨯==55°40′15″，故答案为：55°40′15″.【点睛】此题考查角度的计算，根据乘法法则进行计算，计算后每个单位满60向前一单位进一.35．如图，将一副三角板()90CAB DAE ∠=∠=︒按如图放置，则下列结论：∠13∠=∠；∠如果230∠=︒，则有//AC DE ；∠如果230∠=︒，则有//BC AD ；∠如果230∠=︒，必有4C ∠=∠．其中正确的有________．（填序号）【答案】∠∠∠【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．【详解】解：∠∠∠CAB=∠EAD=90°，∠∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，∠∠1=∠3．∠∠正确．∠∠∠2=30°，∠∠1=90°-30°=60°，∠∠E=60°，∠∠1=∠E，∠AC∠DE．∠∠正确．∠∠∠2=30°，∠∠3=90°-30°=60°，∠∠B=45°，∠BC不平行于A D．∠∠错误．∠由∠得AC∠DE．∠∠4=∠C．∠∠正确．故答案为：∠∠∠．【点睛】此题主要考查学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握，解答此题时要明确两种三角板各角的度数．36．如图，OC是∠AOB的平分线，如果∠AOB=130°,∠BOD=24°48＇，那么∠COD=_____.【答案】40.2°【分析】由角平分线定义，求出∠BOC的度数，然后利用角的和差关系，即可得到答案.【详解】解：∠OC是∠AOB的平分线，∠AOB=130°，37．如图，,AC BD 在AB 的同侧，2,8,8AC BD AB ===，点M 为AB 的中点，若120CMD ∠=，则CD 的最大值是_____．【答案】14 【分析】如图，作点A 关于CM 的对称点A ′，点B 关于DM 的对称点B ′，证明△A ′MB ′为等边三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，作点A 关于CM 的对称点'A ，点B 关于DM 的对称点B'． 120CMD ∠=，60AMC DMB ∴∠+∠=，∴''60CMA DMB ∠+∠=，''60A MB ∴∠=，''MA MB =，''A MB ∴∆为等边三角形''''14CD CA A B B D CA AM BD ≤++=++=，CD ∴的最大值为14，故答案为14．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题38．如图，在四边形ABCD 中，DAB ∠的角平分线与ABC ∠的外角平分线相交于点P ，且240D C ∠+∠=°，则P ∠=______．【答案】30︒##30度39．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将BCD △沿直线BD 平移得到B C D '''，连接AC '、AD '，则AC AD ''+的最小值为________．ABC∠=由对称性可得：三、解答题∠，40．按要求补全图形并证明．如图，150∠=︒，OC垂直OB，OD平分AOCAOB∠．OE平分BOC(1)利用三角板依题意补全图形(2)求DOE∠的度数75【分析】（190，根据150，得出60，根据∠∠，即可得出EOC BOC30AOC=，4575．）解：补全图形，如图所示：90，150，60，AOC ，30AOC ∠， 45， 75．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义．41．已知,,,AE GF BC GF EF DC EF AB ∥∥∥∥，猜想A ∠与C ∠的关系如何？并说明理由．解：因为,AE GF BC GF ∥∥（已知）所以AE BC ∥（______）所以______180(______)A ∠+=︒；同理，______180C ∠+=︒；所以______（______）．【答案】平行于同一条直线的两直线平行；∠B ；两直线平行，同旁内角互补；∠A ＝∠C ；同角的补角相等或等式性质【分析】根据平行线的判定和性质以及同角的补角相等求解即可．【详解】解：因为AE GF ∥，BC GF ∥（已知）所以AE BC ∥（平行于同一条直线的两直线平行）；所以∠A＋∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；同理，∠C＋∠B＝180°；∠∠A＝∠C（同角的补角相等或等式的性质）．故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；∠B；两直线平行，同旁内角互补；∠A ＝∠C；同角的补角相等或等式的性质．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，同角的补角相等，熟知平行线的性质与判定是解题的关键．42．如图，点B在线段AC上，点E在线段DF上，EC，AF，DB∠EC，下面写出了说明“∠C＝∠D”的过程．说明：∠∠A＝∠F（已知），∠DF∠．根据：∠∠DEC+∠C＝180°．根据：∠DB∠EC（已知），∠∠DEC+∠＝180°．根据：∠∠C＝∠D．根据：．【答案】AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；D；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等．【分析】根据平行线的性质与判定进行求解即可．【详解】说明：∠∠A＝∠F（已知），∠DF∥AC．根据：内错角相等，两直线平行；∠∠DEC+∠C＝180°．根据：两直线平行，同旁内角互补；∠DB∥EC（已知），∠∠DEC+∠D＝180°．根据：两直线平行，同旁内角互补；∠∠C＝∠D．根据：同角的补角相等．故答案为：AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；D；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，同角的补角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．43．如图，O为直线AB上一点，∠BOC=α．(1)若α=40°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，如图（a）所示，求∠AOE的度数；(2)若∠AOD=13∠AOC，∠DOE=60°，如图（b）所示，请用α表示∠AOE的度数；(3)若∠AOD=1n∠AOC，∠DOE=180n︒（n≥2，且n为正整数），如图（c）所示，请用α和n表示∠AOE的度数（直接写出结果）．44．如图，在△ABC中，AB∠BC，BE∠AC于E，AF平分∠BAC交BE于点F，DF∠BC．（1）试说明：BF＝DF；（2）延长AF交BC于点G，试说明：BG＝DF．【答案】（1）说明见解析；（2）说明见解析．【分析】（1）由角平分线的性质可得FE=FH，由“ASA”可证∠DEF∠∠BHF，可得BF=DF；（2）由等角的余角相等可得∠AFE=∠AGB=∠BFG，可得BF=BG=DF．【详解】解：（1）如图，延长DF交AB于H，延长AF交BC于G，∠AB∠BC，DF∠BC，∠DH∠AB，∠AF平分∠BAC，BE∠AC，DH∠AB，∠FE＝FH，又∠∠DFE＝∠BFH，∠DEF＝∠BHF＝90°，∠∠DEF∠∠BHF（ASA），∠BF＝DF；（2）∠AF平分∠BAC，∠∠EAF＝∠BAG，∠∠EAF+∠AFE＝90°，∠BAG+∠AGB＝90°，∠∠AFE＝∠AGB，∠∠BFG＝∠AGB，∠BF＝BG，∠BG＝DF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．45．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∠ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E．(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．(3)若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．【答案】(1)65°(2)25°(3)65°或115°．【分析】（1）根据三角形外角的性质得出∠CBD的度数，再根据角平分线定义即可求得∠CBE的度数；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB的度数，再根据平行线的性质求出∠F的度数；（3）根据题意分别画出图形，再利用平行线的性质解决．（1）解：∠Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∠∠CBD=∠ACB+∠A=130°，∠BE是∠CBD的角平分线，46．已知a＝﹣（﹣2）2×3，b＝|﹣9|+7，c＝1115 53⎛⎫-⨯⎪⎝⎭．（1）求3[a﹣（b+c）]﹣2[b﹣（a﹣2c）]的值．（2）若A＝2212119272⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭×（1﹣3）2，B＝|a|﹣b+c，试比较A和B的大小．（3）如图，已知点D是线段AC的中点，点B是线段DC上的一点，且CB：BD＝2：3，若AB＝ab12ccm，求BC的长．∠BC ＝2cm ．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算以及与线段的中点有关的计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．47．如图1，已知直线EF 与直线AB 交于点E ，直线EF 与直线CD 交于点F ，EM 平分AEF ∠交直线CD 于点M ，且FEM FME ∠=∠，点G 是射线MD 上的一个动点(不与点M F 、重合)，EH 平分FEG ∠交直线CD 于点H ，过点H 作HN EM ∥交直线AB 于点N ，设EHN a ∠=，EGF β∠=．(1)求证：AB CD ∥；(2)当点G 在点F 的右侧时，∠依据题意在图1中补全图形;∠若70β=︒，则α=________°；(3)当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． AB CD ；根据题目要求画出图形即可；110︒=，再根据，再根据ME ）分两种情况进行讨论：当点G 在点F2248．如图，上面的图形分别是下面哪个立体图形展开的形状，请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．【答案】见解析．【分析】根据常见的各种立体几何图形的展开图的特征即可得答案．【详解】∠三个长方形和两个三角形如图摆放是三棱柱的展开图，一个扇形和一个圆是圆锥如图摆放的展开图，六个长方形如图摆放是长方体的展开图，一个长方形和两个圆如图摆放是圆柱的展开图，∠连接如图：【点睛】本题考查常见立体几何图形的展开图，熟记各立体几何图形的展开图是解题关键．49．如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开．(1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？(2)三个面有红色的小正方体有多少个？(3)两个面有红色的小正方体有多少个？(4)一个面有红色的小正方体有多少个？(5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？【答案】(1)64个(2)8个(3)24个(4)24个(5)有，8个【分析】（1）棱长是8cm的立方体体积512cm3，棱长为2cm的小正方体体积为8cm3，由此能求出共得到多少个棱长为2cm的小正方体；（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个；（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个；（4）一个面有红色的小正方体位于棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个；（5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个．【详解】（1）棱长是8cm的立方体体积为：8×8×8=512（cm3），棱长为2cm的小正方体体积为8cm3，∠共得到512÷8=64个小正方体．（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体，∠立方体共有8个顶点，∠三面涂色的小正方体有8个，（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体，∠立方体共有12条边，每边有2个正方体，∠二面涂色的小正方体有24个，（4）一面涂色的小正方体在棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，∠立方体共有6个面，每个面有4个正方体，∠一面涂色的小正方体有24个，（5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，共有64-8-24-24=8个，【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征．。
中考数学专题复习 专题48 中考数学数形结合思想(教师版含解析)
中考专题48 中考专题数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
2.数形结合思想应用常见的四种类型(1)实数与数轴。
实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。
(2)在解方程(组)或不等式(组)中的应用。
利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
(3)在函数中的应用。
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
(4)在几何中的应用。
对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【经典例题1】(2020年•遵义)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为( )A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【标准答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=AC CD 计算即可． 【答案剖析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【知识点练习】(2019•湖北省仙桃市)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )A． B．C．D．【标准答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【经典例题2】(2020年•济宁)数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b 相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是( )A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【标准答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线答案剖析式所组成的方程组的解．【答案剖析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P(20，25)∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【知识点练习】(2020年株洲模拟)直线y=k1x+b1(k1＞0)与y=k2x+b2(k2＜0)相交于点(﹣2，0)，且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【标准答案】4【答案剖析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1(k1＞0)与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2(k2＜0)与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【经典例题3】(2020年通化模拟)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE 与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【标准答案】见答案剖析。
最新中考数学专项训练：几何综合问题--知识讲解(基础)(含答案解析)
中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（基础）责编：常春芳【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题： 1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）； 2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）； 3、几何计算问题； 4、动态几何问题等. 【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识： 1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题. 【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？D ABCQ P【思路点拨】⑴中应由△QAP 为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP ，由AQ=6－t ，AP=2t ，可求出t 的值；⑵中四边形QAPC 是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC 与△PBC 的面积求出； ⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论. 【答案与解析】 解：（1）对于任何时刻t ，AP=2t ，DQ=t ，QA=6-t ．当QA=AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6-t=2t ，解得：t=2（s ）， 所以，当t=2s 时，△QAP 为等腰直角三角形． （2）在△QAC 中，QA=6-t ，QA 边上的高DC=12，∴S △QAC =12QA •DC=12（6-t ）•12=36-6t ． 在△APC 中，AP=2t ，BC=6， ∴S △APC =12AP •BC=12•2t •6=6t ． ∴S 四边形QAPC =S △QAC +S △APC =（36-6t ）+6t=36（cm 2）．由计算结果发现：在P 、Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．（也可提出：P 、Q 两点到对角线AC 的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况，在矩形ABCD 中：①当QA APAB BC =时，△QAP ∽△ABC ，则有： 62126t t-=，解得t=1.2（s ）， 即当t=1.2s 时，△QAP ∽△ABC ； ②当QA APBC AB =时，△PAQ ∽△ABC ，则有： 62612t t-=，解得t=3（s ）， 即当t=3s 时，△PAQ ∽△ABC ；所以，当t=1.2s 或3s 时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC 的面积也可由△QAC 与△CAP 的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒 （1）直接写出梯形ABCD 的中位线长； （2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，使得MC=MN ．【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【答案与解析】解：（1）∵AD=3，BC=10，∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG，∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．∴=，即=．解得，t=；（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC，∴=，即=，解得：t=．综上所述，t=时，MC=MN．【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2016秋•泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边△ADE ，连接CE ．求证：①BD=CE ，②AC=CE+CD ；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．（2）如图2，在△ABC 中，∠BAC=90°，AC=AB ，点D 为BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等腰Rt △ADE ，∠DAE=90°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ，类比题（1），请你猜想线段BD 、CD 、DE 之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；（3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt △ADE ，∠D AE=90°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．①题（2）的结论还成立吗？请说明理由； ②连结BE ，若BE=10，BC=6，求AE 的长．【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ，进而就可以得出△ABD ≌△ACE ，即可得出结论；②由△ABD ≌△ACE ，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE ；（2）先判定△ABD ≌△ACE （SAS ），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE ，在Rt △DCE 中，根据勾股定理得出CE 2+CD 2=DE 2，即可得到BD 2+CD 2=DE 2；（3）①运用（2）中的方法得出BD 2+CD 2=DE 2；②根据Rt △BCE 中，BE=10，BC=6，求得CE=22106-=8，进而得出CD=8﹣6=2，在Rt △DCE 中，求得DE=2228+=，最后根据△ADE 是等腰直角三角形，即可得出AE 的长． 【答案与解析】 解：（1）①如图1，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ， ∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ， ∴∠BAD=∠EAC ． 在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴BD=CE ；②∵BD=CE ，AC=BC ， 又∵BC=BD+CD ， ∴AC=CE+CD ； （2）BD 2+CD 2=DE 2．证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 与△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠B=∠ACE=45°，BD=CE ，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°， ∴∠BCE=90°，∴Rt △DCE 中，CE 2+CD 2=DE 2，∴BD 2+CD 2=DE 2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ， 即∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 与△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE ，∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°， ∴∠BCE=90°=∠ECD ，∴Rt △DCE 中，CE 2+CD 2=DE 2，∴BD 2+CD 2=DE 2；②∵Rt △BCE 中，BE=10，BC=6， ∴22106-=8， ∴BD=CE=8， ∴CD=8﹣6=2，∴Rt △DCE 中，2228+68 ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴683422== 【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用. 举一反三：【变式】△ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA ，若0︒＜∠PBC ＜180°，且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP 在∠ABC 的内部时（如图2），求∠BPD 的度数；（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．【答案】（1）∠BPD= 30°；（2）如图3，连结CD ．∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，∴ ∠1=∠2．∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BA=BC=AC ，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA ， ∴ BP=BC ． ∵ BD= BD ， ∴ △PBD ≌△CBD ． ∴ ∠BPD=∠3．∵ DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ， ∴ △BCD ≌△ACD ． ∴ 134302ACB ∠=∠=∠=︒． ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150°.类型二、几何计算型问题【高清课堂：几何综合问题 例1 】4.如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E. (1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．【思路点拨】（1）由题意可得：DE是线段BC的垂直平分线，易证DE∥AC，即DE是△ABC的中位线，即可求得DE的长；（2）由DE∥AC，DE=12AC，易证△AOC∽△EOD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得OA：OE=2，然后求得△ACE的面积，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．【答案与解析】（1）根据题意得：DE⊥BC，CE=BE，∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴DE∥AC，∴AD=BD，∴DE=12AC=12×8=4；（2）∵DE∥AC，DE=12 AC，∴△AOC∽△EOD，∴OA：OE=AC：DE=2，∵CE=12BC=12×6=3，∵∠ACB=90°，AC=8，∴S△ACE=12CE•AC=12×3×8=12，∴S△OCE=13S△ACE=4，∴S△ADE+S△ODE=S△ABC-4-12=8，∴其中最小一块的面积等于4．【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题．举一反三【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2，∴S△ABE=1．由翻折的性质可知：△AB′E≌△ABE，∴EB′=EB=2∴B′C=BB′－BC=22－2，∵四边形ABCD是菱形，∴CF∥BA．∴∠ B′FC=∠B′AB=90°, ∠B′CF=∠B=45°∴CF=2'=2-22B C∴SB FC△'=221CF=3－22∴S阴=SB E′△A －SB FC′△=22－2．5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm，CD=4 cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10 cm， A点与N点重合， MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角△PMN沿AB所在直线以1 cm／s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.(1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形；(2)设当等腰直角△PMN移动x (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y 与x之间的函数关系式；(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；（2）可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN，AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，求出EH，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)．此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.综上，.(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，∴当x=4 (s)时，y=x2=×42=4.∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.【答案】(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x.∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30°.在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距离为(20-x).∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15.(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值，∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大据(1)，S△AMN=AM·NP=.∵＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.。
【复习专题】中考数学复习：几何综合题
几何综合题（旋转为主的题型）一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1 已知：如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边向线段AB 的同侧作正△APC和正△BPD ，AD 和BC 交于点M.（1）当△APC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数； （2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.例2 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD ”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..例3 已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．DCB AEMMEABCD图1 图2例4 在ABCD 中，A DBC ∠=∠，过点D 作DE DF =，且EDF ABD =∠，连接EF ，EC ，N 、P 分别为EC ，BC 的中点，连接NP . （1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及ABD ∠与MNP ∠满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.五、演练方阵A 档（巩固专练）1．（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE相交于点P ，求证： BE = AD .（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可）①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CPA =60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .2. 已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.3. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD 、BN,CD 的延长线交BN 于点F ． （1）当∠ADN 等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由；（2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，并说明理由．4. 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．图2AFAB 图1C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A5. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.6. 如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动．（1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为 __； （2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出11CD DD = _________； （3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．B 档（提升精练）1. 如图，△ABC 中，∠90ACB =︒, 2=AC ，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ． （1）如图24-1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转︒60，得到线段1AB ，联结1DB ，则与1DB 长度相等的线段为 （直接写出结论）；（2）如图24-2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,求ADQ ∠的度数； （3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,是否存在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．2. 如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD=CF ，BD ⊥CF 成立．（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD ⊥CF ； ②当AB=4，AD=时，求线段BG 的长．3. 已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，︒=∠=∠90COD AOB ．（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α (︒<<︒900α)．连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的 △COD 绕点 O 逆时针旋转到使 △COD 的一边OD 恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点．请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．4. 在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转． （1）当点O 为AC 中点时，①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC ，求OE OF的值．5. 如图1，四边形ABCD ，将顶点为A 的角绕着顶点A 顺时针旋转，若角的一条边与DC 的延长线交于点F ，角的另一条边与CB 的延长线交于点E ，连接EF ． （1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF －BE ．请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）； （3）如图3，如果四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明．（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果即可）．C 档（跨越导练）1. 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ． （1）如图1，当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当M A N ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．2. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线ACBD 相交于O .（1） 如图1，设 E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且∠EOF =90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设 E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且∠EOF =45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系，并证明.3. 问题：如图1， 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．4. 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
初中数学几何图形(三角形、四边形、圆)知识点梳理+真题
中考数学几何图形专题复习知识点梳理1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9.同位角相等，两直线平行10.内错角相等，两直线平行11.同旁内角互补，两直线平行12.两直线平行，同位角相等13.两直线平行，内错角相等14.两直线平行，同旁内角互补15.定理三角形两边的和大于第三边16.推论三角形两边的差小于第三边17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18.推论1直角三角形的两个锐角互余19.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21.全等三角形的对应边、对应角相等22.边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23.角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24.推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25.边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26.斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27.定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28.定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31.推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33.推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35.推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36.推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42.定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43.定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44.定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48.定理四边形的内角和等于360°49.四边形的外角和等于360°50.多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51.推论任意多边的外角和等于360°52.平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53.平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等55.平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56.平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57.平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58.平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59.平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60.矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61.矩形性质定理2矩形的对角线相等62.矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63.矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64.菱形性质定理1菱形的四条边都相等65.菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267.菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68.菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69.正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70.正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71.定理1关于中心对称的两个图形是全等的72.定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75.等腰梯形的两条对角线相等76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77.对角线相等的梯形是等腰梯形78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79.推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80.推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h83.(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84.(2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85.(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88.定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91.相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93.判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94.判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96.性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97.性质定理2相似三角形周长的比等于相似比98.性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101.圆是定点的距离等于定长的点的集合102.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104.同圆或等圆的半径相等105.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106.和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107.到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108.到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109.定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
中考数学几何图形专题训练50题含参考答案
中考数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图是一正方体展开图，则有、志、者三面的对面分别是（）A．事竟成B．事成竟C．成竟事D．竟成事2．下列四个图中，每个都是由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（）A．B．C．D．3．如图，下列说法正确的是（）A．直线OM与直线MN是同一条直线B．射线MO与射线MN是同一条射线C．线段OM与线段ON是同一条线段D．射线NO与射线MO是同一条射线4．如图是某同学在数学实践课上设计的正方体纸盒的展开图，每个面上都有一个汉字，其中与“明”字相对的面上的字是（）A．诚B．信C．友D．善5．图是一个正方体的表面展开图，将它折成正方体后，“法”字在上面，那么在下面的一定是（）A ．明B ．诚C ．信D ．制 6．如图，在直线l 上的点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D 7．如图，C 为线段AB 上一点，点D 为AC 的中点，且2AD =，10AB =．若点E 在直线AB 上，且1BE =，则DE 的长为（ ）A ．7B ．10C ．7或9D ．10或11 8．已知3725α∠=︒'，则α∠的补角是( )A ．14235︒'B ．15235︒'C ．14275︒'D ．15275︒' 9．能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”这实际问题的数学知识是（ ） A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间线段最短D ．同角的补角相等10．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）A ．90°B ．75°C ．65°D ．60° 11．用度、分、秒表示21.24为（ ）A ．211424'''B ．212024'''C ．21144'''D ．2114' 12．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图、左视图与俯视图都一样的是（ ）A ．正方体B ．正四棱台C ．有正方形孔的正方体D ．底面是长方形的四棱锥 13．有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，你不能选择图中A ，B ，C ，D 中的（ ）位置拼接正方形．A ．AB ．BC ．CD ．D14．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．下列图形中，不可以作为一个正方体的表面展开图的是A ．B ．C ．D ． 16．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：∠AC CD =；∠A BEC ∠=∠；∠AB EB ⊥；∠CD 平分ADE ∠；其中一定正确的是（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠17．下列说法中，正确的是（ ）∠射线AB 和射线BA 是同一条射线；∠等角的余角相等；∠若AB BC =，则点B 为线段AC 的中点；∠点C 在线段AB 上，M ，N 分别是线段AC ，CB 的中点，若5MN =，则线段10AB =．A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠ 18．已知射线OC 是∠AOB 的平分线，若∠AOC=30°，则∠AOB 的度数为（ ） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 19．用两把常用三角板不可能拼成的角度为（ ）A ．45B ．105C ．125D ．150 20．如图，在∠ABC 中，BF 平分∠ABC ，过A 点作AF∠BF ，垂足为F 并延长交BC 于点G ，D 为AB 中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=12，BC=20，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题21．已知2437α'∠=︒，那么α∠的补角等于______．22．已知∠α=60°，则∠α的余角等于____度．23．在空间搭4个大小一样的等边三角形，至少要_______根游戏棒.24．已知线段14cm AB =，点C 是直线AB 上一点，4cm BC =，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是___________cm ．25．下午12:20 分，钟表上时针与分针所夹角的度数为_____度（所求夹角小于180︒）．26．和都是 的余角，则______．27．图，∠AOC =∠BOD =90°，OB 在∠AOC 的内部，OC 在∠BOD 的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A ，B 两题中任选一题作答．A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为__________．B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为__________（用含α的代数式表示）．28．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC＝______度．29．对几何体分类时，首先确定标准，即：（1）从形状方面，按柱体、________、球划分；（2）从面的方面，按组成的面有无__________划分；（3）从顶点方面，按有无________划分．30．几个同学在公园玩，发现一个漂亮的“古董”. 甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形，这个长方形有八种颜色，挺好看. 通过这四个同学的对话，从几何体的名称来看，这个“古董“的形状是_____________.31．如图，一艘船由A港沿北偏东65︒方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C港，C港在A港北偏东20︒方向，则A，C两港之间的距离为______km．32．如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，字母B的对面是________．（用图中字母表示）33．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m /min ，甲客轮沿北偏东30°的方向航行15min 到达点A ，乙客轮沿南偏东60°的方向航行20min 到达点B ．则A 、B 两点的直线距离为______m ．34．平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 与点E ，且将BC 分成4cm 和6cm 两部分，则平行四边形ABCD 的周长为_____________．35．如图，AB 是∠O 的直径，点C 、D 是AB 两侧∠O 上的点，若∠CAB ＝34°，则∠ADC ＝_____°．36．点C 在直线AB 上，若AB ＝3，BC ＝2，则AC 为_____．37．由O 点引出的7条射线如图，若OA OE ⊥，OC OG ⊥，BOC FOG ∠>∠，则图中以O 为顶角的锐角共有________个．38．一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个正方体，把大正方体中相对的两面打通，结果如图，则图中剩下的小正方有______个．39．如图，∠α=120°，∠β=90°，则∠γ的度数是________ °．40．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=10，D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD+DE的最小值为______．三、解答题41．如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AC上，点F在BC上，连接BE交AD于点G，连接EF，∠1＝∠2.(1)求证：∠BEF与∠AGB互补；(2)若∠C＝75°，EF∠BC，求∠ABC的度数．42．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．求出∠D0E及其补角的度数.43．小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的∠和∠．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的∠重新粘贴到∠上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，请你帮助小明在∠上补全．(作图要求：先用尺和铅笔画图，再用黑色的签字笔描一遍)（3）小明说：已知这个长方形纸盒高为3cm ，底面是一个正方形，并且这个长方形纸盒所有棱长的和是92cm ，请计算，这个长方体纸盒的体积是___________cm 3．44．如图1，已知AB //CD ，点G 在AB 上，点H 在EF 上，连接CG 、CH ，CG CH ⊥，90CHE CGA ∠+∠=︒．(1)求证：AB //EF ；(2)如图2，若90BAE ∠=︒，延长HC 交BA 的延长线于点M ，请直接写出图2中所有与AGC ∠互余的角．45．如图，100AOB ∠=︒，射线OC 以2/s ︒的速度从OA 位置出发，射线OD 以10/s ︒的速度从OB 位置出发，设两条射线同时绕点O 逆时针旋转s t ．(1)当10t =时，求COD ∠的度数；(2)若015t ≤≤．∠当三条射线OA 、OC 、OD 构成的三个度数大于0︒的角中，有两个角相等，求此时t 的值；∠在射线OD ，OC 转动过程中，射线OE 始终在BOD ∠内部，且OF 平分AOC ∠，当110EOF ∠=︒，求BOE AOD∠∠的值． 46．如图：点A ，B ，E 在同一条直线上，AD AC ⊥，且BD AD AE EC ⊥⊥，，垂足分别为A ，D ，E ．(1)求证：ABD ∽CAE ；(2)若1356AB BD AC ===，，，求CE 的值．47．如图，AF BC ∥．72FAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，4CDE BCD ∠=∠．(1)求CDE ∠的度数．(2)求证：AED B ∠=∠．48．(1)如图1，已知点C ，D 在线段AB 上，P 是BD 的中点，线段AB ，CP 的长度m ，n 满足227(15)0m n -+-=，AD ：BC ＝5：7，求线段CD 的长度；(2)已知∠AOB ＝140°，将射线OB 绕着点O 逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜140°）得到射线OD ，作∠BOD 的平分线OP ，将射线OP 绕着点O 逆时针旋转60°得到射线OC ．∠AOD ：∠BOC ＝1：t ．∠如图2，若t ＜1，请直接用含有t 的式子表示出∠AOD 的度数；∠若∠COD ＝12∠AOC ，求t 的值． 49．问题提出（1）如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上作一点P ，使得AP BP +的值最小．问题探究（2）如图2，正方形ABCD 的边长为6，点M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一动点，则DN MN +的最小值是_________．问题解决（3）现在各大景区都在流行“真人CS ”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m 的正方形ABCD 场地中，游戏者从AB 边上的点E 处出发，分别先后赶往边,,BC CD DA 上插小旗子，最后回到点E ．求游戏者所跑的最少路程．50．如图，已知，在Rt ABC 中，斜边10AB =，4sin 5A = ，点P 为边AB 上一动点（不与A ，B 重合），PQ 平分CPB ∠交边BC 于点Q ，QM AB ⊥于M QN CP ⊥，于N ．(1)当AP=CP 时，求QP ；(2)若CP AB ⊥ ，求CQ ；(3)探究：AP 为何值时，四边形PMQN 与BPQ 的面积相等？参考答案：1．A【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“有”与面“事”相对，面“志”与面“竟”相对，“者”与面“成”相对．故选A．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．2．C【详解】试题解析：A、折叠后，没有上下底面，故不能围成正方体；B、折叠后，缺少一个底面，故也不能围成正方体；C、折叠后能围成正方体；D、折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体；故选C．考点：展开图折叠成几何体．3．A【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可【详解】解：同一条直线可由这条直线上任意两点的大写字母表示，选项A正确；同一条射线必须满足端点相同，延伸方向相同，选项B，D错误；同一条线段的两个端点相同，选项C错误.故选：A.【点睛】本题考查的知识点是线段、射线以及直线的概念，熟记概念定义是解题的关键. 4．B【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，在正方体盒子上与“明”字相对的面上的字是“信”．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．5．C【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，这一特点作答即可．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∠与“法”字相对的面上的汉字是“信”．故应选：C ．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键6．B【分析】根据图像点与线的关系可直接得出答案．【详解】解：由图像可知点A 、C 、D 在直线l 外，点B 在直线l 上故选B ．【点睛】本题考查了点线关系，比较简单．7．C【分析】由题意根据线段中点的性质，可得AD 、DC 的长，进而根据线段的和差，可得DE 的长．【详解】解：∠点D 为AC 的中点，且2AD =，∠2AD DC ==，∠10AB =，∠6BC AB AD DC =--=,∠1BE =，当E 在B 左侧，2617DE DC BC BE =+-=+-=,当E 在B 右侧，2619DE DC BC BE =++=++=.∠DE 的长为7或9.故选：C.【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是利用线段的和差以及线段中点的性质． 8．A【分析】根据互补两角之和180°计算即可．【详解】∠3725α∠=︒'∠α∠的补角=1803725︒-︒'=14235︒'，故选A ．【点睛】本题考查补角定义和角度计算，需要注意角度度分秒计算时进制时60． 9．B【分析】根据两点确定一条直线解答即可．【详解】解：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”这实际问题的数学知识是:两点确定一条直线，故选B ．【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键． 10．B【分析】根据平行线的性质可得∠FDC ＝∠F ＝30°，然后根据三角形外角的性质可得结果．【详解】解：如图，∠EF ∠BC ，∠∠FDC ＝∠F ＝30°，∠∠1＝∠FDC +∠C ＝30°+45°＝75°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知三角板各个角的度数是解本题的关键．11．A【分析】根据度、分、秒之间的进制，先将度中的小数部分转化为分，再将分的小数部分转化为秒即得．【详解】解：21.24210.2460︒'︒=+⨯2114.4︒'=+21140.460'''=︒++⨯211424'''=︒++211424'''=︒．故选：A ．【点评】本题考查了度、分、秒运算，熟练掌握度、分、秒之间的六十进制是解题关键，六十进制与十进制易混淆．12．A【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到三个图形一致的几何体即可．【详解】解：A、正方体的三视图是全等的正方形，符合题意；B、正四棱台的三视图分别为梯形，梯形，两个正方形的组合图形，不符合题意；C、有正方孔的正方体的左视图与主视图都是正方形里面有两条竖直的虚线，俯视图是两个正方形的组合图形，不符合题意；D、四棱锥的三视图分别是三角形，三角形，四边形及中心，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意看不到的棱用虚线表示．13．A【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．【详解】解：如图所示：根据立方体的展开图可知，不能选择图中A的位置接正方形．故选：A．【点睛】此题主要考查了应用与设计作图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．14．C【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．【详解】A ．俯视图与主视图都是正方形，故该选项不合题意；B ．俯视图与主视图都是矩形，故该选项不合题意；C ．俯视图是圆，左视图是三角形；故该选项符合题意；D ．俯视图与主视图都是圆，故该选项不合题意；故选C ．【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．15．B【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可．【详解】A ．可以作为一个正方体的展开图，B ．不可以作为一个正方体的展开图，C ．可以作为一个正方体的展开图，D ．可以作为一个正方体的展开图，故选B ．【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．16．A【分析】根据旋转的性质得到AC CD =，BC CE =，A EDC ∠=∠，故∠正确；得到ACD BCE ∠=∠，CBE BEC ∠=∠，根据三角形的内角和得到1802ACD A ADC ︒-∠∠=∠=，1802BCE CBE BEC ︒-∠∠=∠=，求得A BEC ∠=∠，故∠正确；由于A ABC ∠+∠不一定等于90︒，于是得到ABC CBE ∠+∠不一定等于90︒，故∠错误，可求得ADC EDC ∠=∠，故可判定∠．【详解】解：∠ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∠AC CD =，BC CE =，A EDC ∠=∠，ACB ECD ∠=∠，故①正确；∴A ADC EDC ∠=∠=∠，ACD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠，∠CD 平分ADE ∠，ACD BCE ∠=∠，故∠正确；∠BC CE =，∠CBE BEC ∠=∠，∠根据三角形内角和定理可知1802ACDA ADC︒-∠∠=∠=，1802BCECBE BEC ︒-∠∠=∠=，∠A BEC∠=∠，故∠正确；∠A ABC∠+∠不一定等于90︒，ABC CBE∴∠+∠不一定等于90︒，故∠错误．综上，正确的由①②④，故选：A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质、、三角形的内角和定理、角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．17．C【分析】根据射线及线段的定义及特点可判断各项，从而得出答案．【详解】∠射线AB和射线BA不是同一条射线，错误；∠同角的余角相等，正确；∠若AB=BC，点B在线段AC上时，则点B为线段AC的中点，错误；∠点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10，正确．故选：C．【点睛】本题考查射线及线段的知识，注意基本概念的掌握是解题的关键．18．D【分析】根据角平分线的定义即可求解．【详解】解：∠射线OC是∠AOB的平分线，∠AOC=30°，∠∠AOB=60°．故答案选：D．【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是熟练掌握角平分线的定义．19．C【分析】根据两个三角板可拼出的角度有15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°【详解】∠三角板的度数为30°,60°,90°;45°,45°,90°∠可拼出的角度有15°,30°,45°,60°,75°,90°105°,120°,135°,150°,180°.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是角的计算，解题的关键是熟练的掌握角之间的转换.20．CAB，由角平分线的定义可证得【分析】由直角三角形的性质可求得DF=BD=12DE∠BC，利用三角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长．【详解】解:∠AF∠BF，D为AB的中点，∠DF=DB=1AB=6，2∠∠DBF=∠DFB，∠BF平分∠ABC，∠∠DBF=∠CBF，∠∠DFB=∠CBF，∠DE∠BC，∠DE为∠ABC的中位线，∠DE=1BC=10，2∠EF=DE−DF=10−6=4，故选C.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得∠DBF 为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC，即DE为∠ABC的中位线，从而计算出DE，继而求出EF.21．155°23′【分析】根据补角的概念，直接作答即可．【详解】解：根据题意，∠α=24°37′，则∠α的补角=180°-24°37′=155°23′．故答案为：155°23′．【点睛】此题考查补角的问题．解题的关键是掌握补角的定义，涉及角度问题时，需要特别注意题干中是否带有单位．22．30【详解】∠互余两角的和等于90°，∠α的余角为：90°-60°=30°.故答案为：3023．6【分析】根据题意可知在同一平面内用游戏棒搭4个大小一样的等边三角形（两个菱形），至少要9根游戏棒，在空间搭4个大小一样的等边三角形，如三棱锥，至少要6根游戏棒．【详解】由题可知：因为4个等边三角形需12根游戏棒，但可共用3根，所以至少要9根游戏棒；因为空间可以共棱，所以至少要6根游戏棒．【点睛】此题涉及到规律型：数字的变化类．主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．24．7【分析】本题需要分两种情况讨论，∠当点C在线段AB上时，∠当点C在线段AB的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可．【详解】如图，当点C在线段AB上时，则14410AC=-=∠M是AC的中点，N是BC的中点，∠1152722MN MC CN AC BC=+=+=+=；如图，当点C在线段AB的延长线上时，则14418AC=+=，∠M是AC的中点，N是BC的中点，∠1192722MN MC CN AC BC=-=-=-=，综上所述，段MN的长度是7cm，故答案为：7【点睛】本题考查了两点间的距离，关键是利用了线段的中点的定义，分情况讨论．25．110【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．【详解】解：∠时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，∠钟表上12时20分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×20=10°，分针在数字4上．∠钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∠12时20分钟时分针与时针的夹角4×30°-10°=110°．故答案为：110．【点睛】本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（112）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．26．=【详解】解：∠α=90°-∠AOB ，∠β=90°-∠AOB ，故∠α=∠β．故答案为=． 27． 110°或130° 1203α⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭或21503α⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭ 【分析】A 、根据角的和差得到∠AOB =90°-30°=60°，根据OE 是∠AOB 的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE =13∠AOB =20°，∠当∠BOE ′=13∠AOB =20°，根据角的和差即可得到结论；B 、根据角的和差得到∠AOB ，根据OE 是∠AOB 的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE =13∠AOB ，∠当∠BOE ′=13∠AOB ，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：A 、如图，∠∠AOC =90°，∠BOC =30°，∠∠AOB =90°-30°=60°，∠OE 是∠AOB 的一条三等分线，∠∠当∠AOE =13∠AOB =20°， ∠∠BOE =40°，∠∠BOD=90°，∠∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，∠当∠BOE′=13∠AOB=20°，∠∠DOE′=90°+20°=110°，综上所述，∠EOD的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°；B、∠∠AOC=90°，∠BOC=α°，∠∠AOB=90°-α°，∠OE是∠AOB的一条三等分线，∠∠当∠AOE=13∠AOB=30°-13α°，∠∠BOE=90°-α-（30-13α）°=60°-23α°，∠∠BOD=90°，∠∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-23α°，∠当∠BOE′=13∠AOB=30°-13α°，∠∠DOE′=90°+30°-13α°=120°-13α°，综上所述，∠EOD的度数为150°-23α°或120°-13α°，故答案为：150°-23α°或120°-13α°；【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．28．75【分析】由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∠CD，所以∠BAE=∠D=30°，利用三角形的外角关系即可求出∠AEC的度数．【详解】解：∠∠BAC=∠ACD=90°，∠AB∠CD，∠∠BAE=∠D=30°，∠∠AEC=∠B+∠BAE=75°，故答案为：75.【点睛】此题主要三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，判断出AB ∠CD 是解本题的关键．29． 锥体 曲的面 顶点【分析】根据不同的分类标准的要求即可求解．【详解】解：（1）从形状方面，按柱体、__锥体______、球划分；（2）从面的方面，按组成的面有无____曲的面______划分；（3）从顶点方面，按有无____顶点____划分．故答案为（1）锥体，（2）曲的面，（3）顶点．【点睛】本题考查立体图形的不同分类方法，掌握各种分类标准及要求是解题关键． 30．八棱柱【分析】棱柱有两个面互相平行，其余各面都是多边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行；据此，再结合“这个‘古董’有8个面是正方形，2个面是多边形”，即可确定答案.【详解】根据甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形.可知它符合棱柱的特征，可知是一个八棱柱.故答案为八棱柱.【点睛】本题考查了认识立体图形，解题的关键是熟练掌握棱柱的特征.31．【分析】根据题意得，6520CAB ∠=︒-︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，652045CAB ∠=︒-︒=︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =， 过B 作BE AC ⊥于E ，90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒，30AB =，AE BE ∴== 在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒，CE ∴=AC AE CE ∴=+=∴，C两港之间的距离为km，A故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．32．D【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可．【详解】解：正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，所以字母B的对面是D．故答案为D．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．33．1000【分析】先画出草图，根据∠COA=30°，∠EOB=60°，∠EOC=180°，得到∠AOB=90°，根据路程=速度×时间，得到OA=40×15=600，OB=40×20=800，利用勾股定理计算AB即可．【详解】画出草图如下，∠∠COA=30°，∠EOB=60°，∠EOC=180°，∠∠AOB=90°，∠路程=速度×时间，∠OA =40×15=600，OB =40×20=800，∠AB =1000，故答案为：1000．【点睛】本题考查了方位角，勾股定理，正确理解方位角的意义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．34．32cm 或28cm【分析】根据角平分线性质，得BAE DAE ∠=∠；根据平行四边形及平行线性质，得BEA DAE ∠=∠，从而得BAE BEA ∠=∠；根据等腰三角形性质，得BA BE =；根据题意，分两种情况分析，通过计算即可得到答案．【详解】根据题意，如图：∠AE 平分∠BAD 交BC 与点E ，∠BAE DAE ∠=∠∠平行四边形ABCD∠//AD BC∠BEA DAE ∠=∠∠BAE BEA ∠=∠∠BA BE =AE 将BC 分成4cm 和6cm 两部分，当6cm BE =时，得6cm BA BE ==∠10cm BC BE EC =+=∠平行四边形ABCD 的周长为2232cm BA BC +=当4cm BE =时，得4cm BA BE ==∠平行四边形ABCD 的周长为2228cm BA BC +=故答案为：32cm 或28cm ．【点睛】本题考查了角平分线、平行四边形、平行线、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行四边形、等腰三角形的性质，从而完成求解．35．56【分析】先由圆周角定理得∠ACB ＝90°，求得∠ABC 的度数，然后由圆周角定理，即可求得∠ADC 的度数．【详解】解：∠AB 为∠O 的直径，∠∠ACB ＝90°，∠∠CAB ＝34°，∠∠ABC ＝90°﹣∠CAB ＝56°，∠∠ADC ＝∠ABC ＝56°．故答案为：56．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．36．1或5【分析】分为两种情况，画出图形，根据线段的和差即可得出答案．【详解】解：当C 在线段AB 上时，AC=AB-BC=3-2=1，当C 在线段AB 的延长线时，AC=AB+BC=3+2=5，即AC=1或5，故答案为：1或5．【点睛】本题考查了线段的和差，能求出符合的所有情况是解此题的关键，注意要进行分类讨论．37．15【分析】分别以OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 为一边，数出所有角，找出其中的非锐角，相减即可得答案．【详解】解：以OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 为始边，分别有角6个，5个，4个，3个，2个，1个，图中共有角21个，OA OE ⊥，所以以OA 为边的非锐角有3个，分别为,,AOG AOF AOE ，,OC OG ,BOC FOG∠∠COF +∠BOC ＞90°，∠∠FOB ＞90°．所以以OB 为边的非锐角有2个，分别为,BOG BOF ，以OC 为边的非锐角有1个，为COG ∠．于是图中共有锐角21-（3+2+1）=15个．故答案为15．【点睛】此题考查了角的数法，要以每条边为始边，数出所有角，要注意，不能漏数，也不能多数，要注意去掉非锐角．38．73【分析】根据题意：我们把相对面打通需要去掉的小正方体分三种情况，按一定的顺序数去掉的小正方体数量，如前后面，上下面，左右面分别去数数，然后用总数125减掉数出来的三部分即可，注意：前面数过的后面的一定去掉，否则会重复的．【详解】解：前后面少(3+2)×5＝25(个)，上下面少的(去掉与前后面重复的)(5-3)+2×3+1×5＝13(个)，左右面少的(去掉与前后，上下重复的)(5-3)+(5-1)+(5-2)+(5-2-1)+(5-2)＝14(个)， 125-(25+13+14)＝73(个)，答：图中剩下的小正方体有73个．故答案为：73．【点睛】本题考查了正方体的对面上的数字，要注意不能重复和遗漏．39．150.【分析】根据周角的定义，利用360度减去∠α和∠β即可求解．【详解】由题意可得，∠γ=360°-∠α-∠β=360°-120°-90°=150°．故答案是：150．【点睛】本题考查了角度的计算，正确得到图中三个角之间的关系是解决问题的关键．40．16【分析】作点C关于AB的对称点C'，过点C'作C'E∠AC，交AB于点D'，即可确定C'E 就是CD+DE的最小值，然后运用勾股定理和相似三角形的知识求解即可．【详解】作点C关于AB的对称点C'，过点C'作C'E∠AC，交AB于点D'，则CD+DE的最小值为C'E的长；∠∠ACB=90°，AC=20，BC=10，，∠∠A=∠C'，∠''C E AC CC AB，∠C'E=16；故答案为16；【点睛】本题考查了相似三角形、勾股定理和最短距离问题，其中运用作对称点确定最短距离是解答的关键．41．(1)证明见解析(2)∠ABC=75°【分析】（1）先利用角平分线的定义得到∠DAC=∠1，则∠DAC=∠2，于是可判断。
中考数学一轮复习 第48课 几何型综合问题
(2)证法一：延长 BA、CD 交于点 H， ∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90° ， ∴∠DBH＋∠H＝90° . ∵CE⊥AB 于 E，∴∠DCF＋∠H＝90° ， ∴∠DBH＝∠DCF. 又∵CD＝BD，∠CDF＝∠BDH， ∴△CDF≌△BDH(ASA)，∴DF＝DH, CF＝BH＝BA＋AH. ∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45° ，∠HDA＝∠DCB＝45° ， ∴∠ADF＝∠ADH. 又∵DF＝DH，DA＝DA，∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH. 又∵CF＝BH＝BA＋AH ，∴CF＝AB＋AF.
探究提高
(1)过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，
所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条
件才行；(2)运用转化的数学思想来解决几何证明问题， 运用方程的思想来解决几何计算问题，还要灵活运用数形
结合、分类讨论等数学思想方法．
知能迁移 3
如图，已知△ABC 内接于⊙O，过点 B 作
⊙O 的切线，交 CA 的延长线于 E，∠EBC＝2∠C. (1)求证：AB＝AC； 1 AB (2)若 tan∠ABE＝ ，求BC的值； 2 (3)当 AC＝2 时，求 AE 的值．
【例 3】
△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相
交于点E，点F是BE的中点．
(1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若AE＝14，BC＝12，求BF的长．
>> 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：(1)证明：连接 OD，AD. ∵AC 是直径，∴∠ADC＝90° ， ∴AD⊥BC. △ABC 中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C，BD＝CD.[2 分] 又∵∠BED 是圆内接四边形 ACDE 的外角，∴∠C＝∠BED. 故∠B＝∠BED，即 DE＝DB.[4 分] ∵点 F 是 BE 的中点，∴DF⊥AB. ∵OA＝OC，CD＝BD，∴OD∥AB， ∴OD⊥DF，DF 是⊙O 的切线．[6 分] (2)设 BF＝x，BE＝2BF＝2x. 1 又 BD＝CD＝ BC＝6，根据 BE· AB＝BD· BC，得 2x· (2x＋14)＝6×12.[8 分] 2 化简，得 x2＋7x－18＝0，解得 x1＝2，x2＝－9(不合题意，舍去)．即 BF 的长为 2.[10 分]
中考数学几何图形专题训练50题(含答案)
中考数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．下列四个图形中，不是正方体展开图的（）A．B．C．D．2．小军从A地沿北偏西60°方向走10m到B地，再从B地向正南方向走20m到C 地，此时小军离A地().A．B．10m C．15m D．3．如图，在直线l上有A，B，C三点，则图中线段共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条4．如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．5．下列四个立体图形中，是棱锥的是（）A．B．C ．D ．6．已知线段10cm AB =，点C 是直线AB 上一点，4cm BC =，点M 是线段AB 的中点，点N 是线段BC 的中点，则线段MN 的长度是（ ）A ．3cmB ．5cmC ．3cm 或7cmD ．5cm 或7cm7．下列说法正确的是( )A ．一个平角就是一条直线B ．连接两点间的线段，叫做这两点的距离C ．两条射线组成的图形叫做角D ．经过两点有一条直线，并且只有一条直线8．如图，OC 平分∠AOB ，若∠AOC ＝27°32′，则∠AOB ＝（ ）A ．55°4′B ．55°24′C ．54°14′D ．54°4′ 9．图，有一块含有30︒角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果242∠=︒，那么1∠的度数是（ ）A ．18︒B ．17︒C ．16︒D ．15︒ 10．下列各图都是由6个正方形组成的平面图形，其中不能看做是正方体表面展开图的是（ ）A．B．C．D．11．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“中”字所在的面相对的面上标的字是（）A．我B．的C．梦D．国12．如图所示，以O为顶点且小于180 的角有（）A．6个B．7个C．8个D．9个13．下列说法中，正确的是().A．平角是一条直线B．周角是一条射线C．两条射线组成的图形是角D．一条射线绕它的端点旋转而成的图形叫做角14．如图，是一个正方体骰子的表面展开图，将其折叠成正方体骰子（点数朝外），如果1点在上面，3点在左面，在前面的点数为（）A．2B．4C．5D．615．如图是一个小正方形的展开图，把展开图折叠成小正方形后，有“祝”字一面的相对面上的字是（）A．考B．试C．成D．功16．如图，点C，D在线段AB上，AC=13AB，CD=12CB，若AB=3，则图中所有线段长的和是（）A．6B．8C．10D．1217．下列几何体中，由曲面和平面围成的是（）A．三棱柱B．圆锥C．球体D．正方体18．已知：如图，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，AB＝20 cm，那么线段AD等于()A．15 cm B．16 cm C．10 cm D．5 cm19．下列说法中正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角；B．各边相等的多边形叫做正多边形；C．一个圆分割成圆心角度数比位1∠2∠3的三个扇形，则最小扇形的圆心角是60°；D．小于平角的角可分为锐角和钝角两类．20．A、B两辆汽车沿着笔直的公路行驶，A车从甲地出发，B车从乙地出发，行驶到途中两车相遇，各自仍朝前进的方向行驶，到了目的地后立即返回，过了某一时刻，两车又在原地点相遇，则两车必定是（）A．沿着同一条公路行驶B．沿着两条不同的公路行驶C．以上两种情况都有可能D．以上都不对二、填空题21．已知36a∠=︒,则a∠的补角的度数是__________．22．已知∠α＝65°30′，则∠α的余角大小是_______．23．图中以A 为端点的线段共有______条．24．计算：34°25′20″×3=_______________25．一个角的余角比它的补角的14还少12︒，则这个角的度数为_______． 26．如图，从A 处观测C 处仰角30CAD ∠=︒，从B 处观测C 处的仰角45CBD ∠=︒，从C 处观测A 、B 两处的视角ACB =∠______度．27．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC 与DM 、DN 分别交于点E 、F ，把∠DEF 绕点D 旋转到一定位置，使得DE=DF ，则∠BDN 的度数是_________ ．28．数轴上的点P 对应的数是1-，将点P 向右移动8个长度单位得到点Q ，则线段PQ 的中点在数轴上对应的数是____________．29．在∠ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，且∠BOC =110°，则∠A 的度数是____________．30．若∠α=20°40′，则∠α的补角的大小为_____．31．如图，A 岛在B 岛的北偏东30°方向，C 岛在B 岛的北偏东80°方向，A 岛在C 岛北偏西40°方向，从A 岛看B ，C 两岛的视角∠BAC 是______ 度．32．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14°方向，那么从B 观察A ，A 在B 的_____方向．33．已知线段AB=10cm ，直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，则线段BM 的长是_cm ．34．如图，O 的弦AB 长为2，CD 是O 的直径，30,15ADB ADC ∠=︒∠=︒．∠O 的半径长为_________．∠P 是CD 上的动点，则PA PB +的最小值是_________．35．如图，将一副直角三角尺按图∠放置，使三角尺∠的长直角边与三角尺∠的某直角边在同一条直线上，则图∠中的∠1=______°．36．如图，已知∠ABC 的内角∠A=α°，分别作内角∠ABC 与外角∠ACD 的平分线，两条平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…以此类推得到∠A 2014，则∠A 2014的度数是_______．37．一副直角三角板叠放如图，90C E ∠=∠=︒．现将含45°角的三角板ADE 固定不动，把含30°角的三角板ABC （其中30CAB ∠=︒）绕顶点A 顺时针旋转角α（0180α︒<<︒）．当旋转角在30°~180°的旋转过程中，使得两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）互相平行，此时符合条件的α=________．38．已知∠AOB ＝80°，OC 为从O 点引出的任意一条射线，若OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，则∠MON 的度数是_____．39．如图所示，若图中共有m 条线段，n 条射线，则m n +=__________________.40．如图，请你在有序号的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，你选择的两个正方形是____________ (填序号，任填一组即可)．三、解答题41．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，35BOD ∠=︒，OA 平分EOC ∠，求EOD ∠的度数．42．图中哪些图形是立体图形，哪些是平面图形？平面图形：_______________；立体图形：_______________．43．如图，已知长方形ABCD 的长AB x =米，宽BC y =米，x ，y 满足()2540x y -+-=，一动点P 从A 出发以每秒1米的速度沿着A D C B →→→运动，另一动点Q 从B 出发以每秒2米的速度沿B C D A →→→运动，P ，Q 同时出发，运动时间为t ．(1)x =______________，y =______________．(2)当 4.5t =时，求APQ △的面积；(3)当P ，Q 都在DC 上，且PQ 距离为1时，求t 的值44．如图1，已知A 、O 、B 三点在同一直线上，射线OD 、OE 分别平分∠AOC 、∠BOC ．（1）求∠DOE 的度数；（2）如图2，在∠AOD 内引一条射线OF OC ⊥，其他不变，设()090DOF αα∠=︒︒<<︒．∠求∠AOF 的度数（用含α的代数式表示）；∠若∠BOD 是∠AOF 的2倍，求∠DOF 的度数．45．如图，在77⨯的正方形网格中有一个格点ABC ．(1)在图中作出ABC 关于直线l 对称的111A B C △(2)在直线l 上找到一点D ，使得AD CD +的值最小（在图中标出D 点位置，保留作图痕迹）46．如图，直线,EF CD 相交于点,,O OA OB OC ⊥平分AOF ∠．（1）若40AOE ∠=︒，求∠BOD 的度数；（2）若30BOE ∠=︒，求∠DOE 的度数．47．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段AB 上，且13AD AB =．（1）若4cm AD =，求线段CD 的长．（2）若3cm CD =，求线段AB 的长．48．（1）如图1，将两个正方形的一个顶点重合放置，若40AOD ∠=︒，则COB ∠=______度；（2）如图2，将三个正方形的一个顶点重合放置，求∠1的度数；（3）如图3，将三个正方形的一个顶点重合放置，若OF 平分DOB ∠，那么OE 平分AOC ∠吗？为什么？49．如图，90,60AOB COD AOC ∠=∠=︒∠=︒，射线ON 以10度/秒的速度从OD 出发绕点O 顺时针转动到OA 时停止，同时射线OM 以25度/秒的速度从OA 出发绕点O 逆时针转动到OD 时停止，设转动时间为t 秒．(1)当OM ON 、重合时，求t 的值；(2)当ON 平分BOD ∠时，试通过计算说明OM 平分AOD ∠；(3)当t 为何值时，MON ∠与AOD ∠互补？参考答案：1．D【分析】由正方体展开图的特征即可判定出正方体的展开图．【详解】解：由正方体展开图的特征即可判定D不是正方体的展开图，故选：D．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，解题的关键是熟记正方体展开图的特征．2．D【详解】试题分析：根据题意可得：A、B、C三点构成直角三角形，BC为斜边，则根据直角三角形的性质可得：，故选D．3．B【详解】线段有：AB、AC、BC.故选：B.4．D【分析】根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案.【详解】面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．故选D．【点睛】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半.5．B【分析】逐一判断出各选项中的几何体的名称即可得答案．【详解】A是棱柱，不符合题意；B是棱锥，符合题意，C是球体，不符合题意；D是圆柱，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了几何体的识别，熟练掌握常见几何体的图形特征是解题的关键．6．C=-；点C在点B右侧时，【分析】根据题意知，点C在点B左侧时，MN BM BN+MN BM BN =，因为点M 是线段AB 的中点，点N 是线段BC 的中点，分别算出,BM BN 长度，代入计算即可．【详解】解：因为点C 是直线AB 上一点，所以需要分类讨论：（1）点C 在点B 左侧时，作图如下：∠10cm AB =，4cm BC =， ∠152BM AB cm ==，122BN BC cm ==， 又∠MN BM BN =-，∠=523MN cm -=．（2）当点C 在点B 右侧时，作图如下：由（1）知，152BM AB cm ==，122BN BC cm ==， ∠+MN BM BN =，∠+=5+2=7cm MN BM BN =，综上所述，MN 的长度是3cm 或7cm ．故选：C【点睛】本题考查线段长度的计算，根据题意分类讨论是解题关键．7．D【分析】根据平角、两点间的距离、角的定义和直线公理逐项进行解答即可得.【详解】A 、平角的两条边在一条直线上，故本选项错误；B 、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故此选项错误；C 、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误；D 、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确，故选：D ．【点睛】本题考查了平角、两点间的距离、角的概念以及直线公理的内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．8．A【分析】由OC 平分∠AOB 可得到∠AOB=2∠AOC ，代入计算可得解.【详解】解：OC 平分∠AOB ，则227322?554AOB AOC ∠=∠=︒'⨯=︒'， 故选：A【点睛】本题考查了角平分线和角的计算，比较基础.9．A【分析】如解图所示，依据60ABC ∠=︒，242∠=︒，即可得到18EBC ∠=︒，再根据BE CD ，即可得出118EBC ∠=∠=︒．【详解】：如图，∠60ABC ∠=︒，242∠=︒，∠18EBC ∠=︒，∠BE CD ，∠118EBC ∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】此题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解决此题的关键． 10．D【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【详解】解：正方体共有11种表面展开图，A 、B 、C 项都是正方体的展开图，D 出现了“田”字格，故不是正方体的展开图；故选择：D.【点睛】本题考查的是正方体的展开图，以及学生的立体思维能力．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．11．C【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“国”与面“我”相对，面“梦”与面“的”相对，“中”与面“梦”相对．故选：C．12．D【分析】根据图形，找出以O为顶点的所有小于180°的角即可.【详解】解：以O为顶点且小于180°的角有：∠AOC，∠COD，∠DOE，∠EOB，∠AOD，∠AOE，∠COE，∠COB，∠DOB.一共有9个；故选择：D.【点睛】本题考查了角的表示，解题的关键是要找到图中两两相交直线的交点，作为角的顶点，且找出的角要小于180°．13．D【分析】根据角的定义即可判断.【详解】如果一个角的终边继续旋转，旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做平角，故A错误；当终边旋转到与始边重合时，所成的角叫做周角，故B错误；有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角，故C错误；一条射线绕它的端点旋转而成的图形叫做角，故D正确.故选D.【点睛】此题考查了角的定义，掌握角的两种定义和周角、平角的定义是解题的关键. 14．A【分析】利用正方体及其表面展开图的特点可知“3点”和“4点”相对，“5点”和“2点”相对，“6点”和“1点”相对，当1点在上面，3点在左面，可知5点在后面，继而可得出2点在前面．【详解】这是一个正方体的表面展开图，共有六个面，其中面“3点”和面“4点”相对，面“5点”和面“2点”相对，面“6点”和面“1点”相对，如果1点在上面，3点在左面，可知5点在后面，2点在前面；故选A．【点睛】此题考查学生的空间想象能力，先找到每个面的对面，进而确定它们的位置. 15．D【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∠“祝”与“功”是相对面．故选：D．【点睛】本题主要考查了展开与折叠，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．16．C【详解】解：∠AB=3，∠AC=13AB=13×3=1，∠BC=3-1=2，∠CD=12CB=12×2=1，∠AD=1+1=2，CB=1+1=2，DB=2-1=1，即图中所有线段长的和是AC+AD+AB+CD+CB+DB=1+2+3+1+2+1=10．故选C．17．B【分析】三棱柱由平面组成、圆锥由曲面和平面组成、球体由曲面组成、正方体由平面组成，结合各图形的特点可得出答案．【详解】解：三棱柱由平面组成、圆锥由曲面和平面组成、球体由曲面组成、正方体由平面组成；故选：B【点睛】此题考查了认识立体图形的知识，熟练掌握是解题的关键.18．A【分析】根据C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，可知AC=CB=12AB，CD=12CB，AD=AC+CD，又AB=4cm，继而即可求出答案．【详解】∠点C是线段AB的中点，AB=20cm，∠BC=12AB=12×20cm=10cm，∠点D是线段BC的中点，∠BD=12BC=12×10cm=5cm，∠AD=AB-BD=20cm-5cm=15cm．故选A．【点睛】本题考查了两点间的距离的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．19．C【详解】A. 由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故不正确；B. 各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，故不正确；C. 一个圆分割成圆心角度数比位1∠2∠3的三个扇形，则最小扇形的圆心角是1360123⨯++=60°，正确； D. 小于平角的角可分为锐角，直角和钝角三类，故不正确．故选C ．【点睛】本题考查了角、正多边形、圆心角的定义，以及角的分类，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．20．A【详解】解：根据题意，两车必定沿着同一条公路行驶．故选A ．21．144°【分析】根据补角的定义即可求出a ∠的补角的度数．【详解】解: a ∠的补角的度数是180°－a ∠=180°－36°=144°故答案为: 144°．【点睛】此题考查的是求一个角的补角,掌握补角的定义是解决此题的关键．22．24°30′##24.5°【分析】如果两个角的和为90°，则这个两个角互为余角，根据互为余角的两个角的和为90°作答．【详解】解：根据定义∠α的余角度数是90°﹣65°30′＝24°30′．故答案为：24°30′．【点睛】本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．属于基础题，较简单． 23．3【分析】根据线段的定义分别写出各条线段即可【详解】解：图中以A 为端点的线段有线段AB ，线段AC ，线段AD ，共3条故答案为：3【点睛】本题考查了线段的定义，属于基础题，较简单24．10316'︒【分析】直接根据角的运算计算即可．【详解】160',1'60''︒==3425'20''310316'∴︒⨯=︒故答案为：10316'︒．【点睛】本题主要考查角的运算，掌握度分秒之间的关系是解题的关键．25．76︒【分析】设这个角为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-,根据题意列出方程即可求解．【详解】设这个角为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-()190180124x x ∴-=-- 19045124x x -=-- 3574x = 4573x =⨯ 76x =︒即这个角为76︒故答案为76︒．【点睛】此题主要考查角度的计算，解题的关键是根据题意列出方程求解．26．15【分析】根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∠CBD ∠是ABC 的外角，∠CBD CAD ACB ∠=∠+∠，∠453015ACB CBD CAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：15【点睛】本题考查了仰角的概念和三角形外角性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．27．120°【分析】根据等腰三角形的性质和特殊直角三角形的角度求得∠DFC ，进一步利用三角形外角的性质即可得到结果．【详解】解：如图，∠DE=DF ，∠EDF=30°， ∠∠DFC=12（180°-∠EDF ）=75°，∠∠C=45°，∠∠BDN=∠DFC+∠C=75°+45°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和与外角的性质是解题的关键．28．3【分析】利用数轴得到点Q表示的数，再根据线段中点定义可得答案．【详解】解：∠点P对应的数是-1，将点P向右移动8个长度单位得到点Q，∠点Q表示的数为：-1+8=7，∠线段PQ的中点对应的数是1713 2-+-=故答案为：3．【点睛】本题考查了数轴，掌握数轴上两点间的距离是解决此题的关键．29．40°【分析】根据三角形内角和定理列式求出∠OBC+∠OCB，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：如图，在∠BOC中，∠BOC = 110°，∴∠OBC + ∠OCB = 180°- 110°= 70°，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC = 2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠ABC +∠ACB = 2×70°= 140°，∴在∠ABC中，∠A = 180°-(∠ABC+∠ACB)= 180°- 140°= 40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．30．159°20′【详解】试题分析：根据∠α的补角=180°﹣∠α，代入求出即可．解：∠∠α=20°40′，∠∠α的补角=180°﹣20°40′=159°20′，故答案为159°20′．考点：余角和补角；度分秒的换算．31．70°【详解】由题意可知∠DBC=80°，∠DBA=30°，∠∠ABC=50°，又∠DB∠EC，∠ECA=40°，∠∠ECB=100°，∠∠ACB=60°，∠∠BAC=180°-60°-50°=70°32．南偏西14°．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解．【详解】由题意可知，∠1＝14°，∠AC∠BD，∠∠1＝∠2＝14°，根据方向角的概念可知，由点B测点A的方向为南偏西14°方向．故答案为：南偏西14°．【点睛】此题考查的知识点是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，即可解答．33．3或7【分析】根据线段的和差，可得BC的长，根据线段中点的性质，可得答案．【详解】当点C在线段AB上时，AC＝AB−BC＝10−4＝6，点M是线段AC的中点，AC＝3，MA＝12BM＝AB−AM＝10−3＝7；当点C在线段的反向延长线上时，AC＝AB＋BC＝10＋4＝14，点M是线段AC的中点，AM＝1AC＝7，2BM＝AB−AM＝10−7＝3，故答案为：3或7．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差、线段中点的性质是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．34． 2 【分析】∠连接,OA OB ，易证AOB 是等边三角形，弦AB 长为2，2OA OB ==，即可得到答案；∠先证90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，再用勾股定理求出AE 即可．【详解】解：∠连接,OA OB ，∠30,ADB ∠=︒ ∠60AOB ∠=︒, ∠OA OB =，∠AOB 是等边三角形， ∠弦AB 长为2， ∠2OA OB ==， 即O 的半径长为2， 故答案为：2 ∠∠15ADC ∠=︒， ∠230AOC ADC ︒∠=∠=, ∠90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，∠60BAO ∠=︒，∠2OA OE ==， ∠30OAE AEB ︒∠=∠=， ∠90BAE BAO OAE ∠=∠+∠=︒，∠AE ==即PA PB +的最小值是故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键． 35．105【分析】利用三角形外角性质求解． 【详解】如图，∠∠2=30︒，∠3=45︒， ∠∠4=∠2+∠3=75︒， ∠∠1=1804105︒-∠=︒， 故答案为：105．．【点睛】此题考查三角板的角度计算，三角形外角的性质，观察图形掌握各角度之间的位置关系是解题的关键． 36．201420141A 2α∠=【分析】由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC ，而∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ），即∠A 1=12∠A ，同理可得，∠A 2=12∠A 1，依此类推即可． 【详解】∠∠ACD 是∠ABC 的外角， ∠∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠1B A 平分∠ABC ，1CA 平分∠ACD ，∠112A BC ABC ∠=∠，112ACD ACD ∠=∠， ∠1A CD ∠是1A CB 的外角， ∠111ACD A BC A ∠=∠+∠， ∠11122ACD ABC A ∠=∠+∠， ∠()11122A ACD ABC A ∠=∠-∠=∠， 同理可得：1212A A ∠=∠， 根据规律可得：201420141A 2α∠=【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，找出规律是解答此题的关键．37．60°或105°或135°【分析】分类讨论：当//BC AD 时，当//AC DE 时，当//AB DE 时，利用角度之间的关系计算即可；【详解】解：如图当//BC AD 时，，90C CAD ︒∠=∠=∠903060a DAB ︒=-︒=∠=︒， 如图，当//AC DE 时，90E CAE ︒∠=∠=，则459030105DAB α︒=∠=︒+︒-︒=， 如图，当//AB DE 时，90A E B E ∠=∠=︒，∠4590135BAD α=∠=︒+︒=︒；综上：符合条件的α为60°或105°或135°， 故答案为：60°或105°或135°．【点睛】本题考查角度之间的计算，平行的性质，解题的关键是对平行的边进行分情况讨论．38．40°或140°【分析】根据角平分线的定义求得∠MOC ＝12∠AOC ，∠CON ＝12∠BOC ；然后根据图形中的角与角间的和差关系来求∠MON 的度数． 【详解】解：∠OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ．∠∠MOC＝12∠AOC，∠CON＝∠BON＝12∠BOC．如图1，∠MON＝∠MOC-∠CON＝12（∠AOC-∠BOC）=12∠AOB＝12×80°＝40°；如图2，∠MON＝∠MOC+∠CON＝12（∠AOC+∠BOC）＝12（360°﹣∠AOB）＝12×280°＝140°．如图3，∠MON＝∠MOC+∠CON＝12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB＝12×80°＝40°；故答案为：40°或140°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义．注意“数形结合”数学思想在解题过程中的应用．39．26【分析】根据射线、线段的定义进而判断得出m，n的值再代入计算即可．【详解】解：图中共有10条线段，共有16条射线，则m=10,n=16,所以m n+=10+16=26.故答案为26.【点睛】此题主要考查了射线、线段的定义，熟练掌握它们的定义是解题关键．40．∠∠或∠∠或∠∠或∠∠【分析】观察所给图形结合正方体的平面展开图的特点进行填涂即可．【详解】根据正方体的展开图的特点，按如下方式进行填涂后可以构成正方体表面的展开图：故答案为：∠∠或∠∠或∠∠或∠∠．【点睛】本题主要考查正方体展开图的2-3-1型和2-2-2-型，掌握正方体的展开图是解题关键．41．110EOD ∠=︒．【分析】根据对顶角相等先求出∠AOC 的度数，然后根据角平分线的定义求出∠COE 的度数，最后根据∠OCE 与∠EOD 互为邻补角即可得出答案． 【详解】35BOD ∠=︒，35AOC ∴∠=︒OA 平分EOC ∠，223570COE AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒ 180110EOD COE ∴∠=︒-∠=︒．【定睛】本题主要考查了角的和差运算，根据对顶角相等和角平分线的定义求出∠COE 是 解决此题的关键．42． ②③⑧ ①④⑤⑥⑦【分析】根据立体图形和平面图形定义分别进行判断． 【详解】解：∠∠∠是平面图形；∠∠∠∠∠是立体图形．【点睛】本题考查认识立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 43．(1)5，4(2)1APQ S =△平方米 (3)4t =【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解；（2）根据题意得：当t =4.5时，点P 在CD 上，DP =0.5米，点Q 刚好到达点D 处，可得12PQ =米，再由12APQ S PQ AD =⋅⋅△，即可求解； （3）当P ，Q 都在DC 上，可得4 4.5t ≤≤，然后分两种情况讨论：当P 左Q 右时，当Q 左P 右时，即可求解．【详解】（1）解∠∠()2540x y -+-=， ∠50,40x y -=-=， ∠x =5，y =4， 故答案为：5，4；（2）解：当t =4.5时，P 走过的路程为4.5米，此时点P 在CD 上，DP =0.5米，Q 走过的路程为9米，刚好到达点D 处， ∠12PQ =米， ∠11141222APQ S PQ AD =⋅⋅=⨯⨯=△平方米；（3）解：点P 在DC 上，49t ≤≤，点Q 在DC 上，2 4.5t ≤≤， ∠4 4.5t ≤≤，当P 左Q 右时，4DP t =-，24CQ t =-，∠()()5424133PQ CD DP CQ t t t =--=----=-， ∠1331t -=， 解得：4t =当Q 左P 右时，4DP t =-，24CQ t =-，∠()()4245313PQ DP CQ CD t t t =+-=-+--=-， ∠3131t -=， 解得144.53t =>，不符题意，舍去． 综上，满足题意的4t =．【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值．44．（1）90°；（2）∠90°-2α°∠18°【分析】（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可求解；（2）∠根据余角的性质得：∠COE=∠DOF=α°，根据角平分线的定义，可得∠BOC=2α°，进而即可求解；∠用α分别表示出∠BOD和∠AOF的度数，结合∠BOD是∠AOF的2倍，列出关于α的方程，即可求解．【详解】（1）∠点A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∠∠COD=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，∠∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12（∠AOC+∠BOC）=12×180°=90°，∠∠DOE=∠COD+∠COE=90°；（2）∠∠OE平分∠BOC，∠∠BOC=2∠COE，∠OF∠OC，∠∠COF=∠COD+∠DOF=90°，∠∠COE+∠COD=90°，∠∠COE=∠DOF=α°，∠∠BOC=2α°，∠∠AOF+∠BOC=90°，∠∠AOF=90°-2α°；∠∠∠BOE=∠COE=α°，∠∠BOD=∠BOE+∠DOE=90°+α°，∠∠BOD=2∠AOF=2（90°-2α°）=180°-4α°，∠90°+α°=180°-4α°，∠α=18，即：∠DOF=18°．【点睛】本题主要考查角的和差倍分，涉及余角的定义和性质，平角的定义，角平分线的定义，根据题意，列出一元一次方程，是解题的关键．45．(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点111A B C ，，即可； （2）连接1AA ，1CA 交l 于点D ，点D 即为所求． 【详解】（1）如图所示； （2）如图所示：【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，最短问题，解决本题的关键是熟练掌握基本知识．46．（1）20°；（2）60°【分析】（1）先求出∠AOF =140°，然后根据角平分线的定义求出∠AOC =70°，再由垂线的定义得到∠AOB =90°，则∠BOD =180°-∠AOB -∠AOC =20°；（2）先求出∠AOE =60°，从而得到∠AOF =120°，根据角平分线的性质得到∠AOC =60°，则∠COE =∠AOE +∠AOC =120°，∠DOE =180°-∠COE =60°． 【详解】解：（1）∠∠AOE =40°， ∠∠AOF =180°-∠AOE =140°， ∠OC 平分∠AOF ， ∠∠AOC =12∠AOF =70°， ∠OA ∠OB ， ∠∠AOB =90°，∠∠BOD =180°-∠AOB -∠AOC =20°；（2）∠∠BOE=30°，OA∠OB，∠∠AOE=60°，∠∠AOF=180°-∠AOE=120°，∠OC平分∠AOF，∠∠AOC=12∠AOF=60°，∠∠COE=∠AOE+∠AOC=60°+60°=120°，∠∠DOE=180°-∠COE=60°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．47．（1）2 cm；（2）18cm【分析】（1）先求出AB的长，再结合线段中点的定义求出AC的长，进而即可求解；（2）设AB=x cm，则13AD x=cm，根据线段的中点的定义，列出方程，进而即可求解．【详解】（1）∠13AD AB=，AD=4 cm，∠AB=3×4=12 cm，∠点C是线段AB的中点，∠AC=12AB=11262⨯=cm，∠CD=AC-AD=6-4=2 cm；（2）设AB=x cm，则13AD x=cm，∠点C是线段AB的中点，∠AB=2（AD+CD），即x=2（13x+3），解得：x=18，∠AB=18cm．【点睛】本题主要考查线段的和差倍分以及一元一次方程的应用，利用一元一次方程解决问题，是解题的关键．48．（1）140；（2）20°；（3）OE平分∠AOC，见解析【分析】（1）根据正方形各角等于90°，得出∠COD+∠AOB=180°，再根据∠AOD=40°，∠COB=∠COD+∠AOB-∠AOD，即可得出答案；（2）根据已知得出∠1+∠2，∠1+∠3的度数，再根据∠1+∠2+∠3=90°，最后用∠1+∠2+∠1+∠3-（∠1+∠2+∠3），即可求出∠1的度数；（3）根据∠COD=∠AOB和等角的余角相等得出∠COA=∠DOB，∠EOA=∠FOB，再根据角平分线的性质得出∠DOF=∠FOB=12∠DOB和∠EOA=12∠DOB=12∠COA，从而得出答案．【详解】解：（1）∠两个图形是正方形，∠∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠∠COD+∠AOB＝180°，∠∠AOD＝40°，∠∠COB＝∠COD+∠AOB－∠AOD＝140°故答案为：140；（2）如图，由题意知，∠1+∠2＝50°∠，∠1+∠3＝60°∠，又∠1+∠2+∠3＝90°∠，所以：∠+∠－∠得：∠1＝20°；（3）OE平分∠AOC，理由如下：∠∠COD＝∠AOB，∠∠COA＝∠DOB（等角的余角相等），同理：∠EOA＝∠FOB，∠OF平分∠DOB，∠12DOF FOB DOB∠=∠=∠，∠1122EOA DOB COA ∠=∠=∠，∠OE平分∠AOC．【点睛】本题考查了角的和差运算，与余角和补角的有关的计算，根据所给出的图形，找到角与角的关系是本题的关键．49．（1）307t =；（2）见解析；（3）247t =或367t = 【分析】（1）根据题意10,25150DON t AOM t AOD ∠=∠=∠=︒， ,当OM ON 、重合时，+DON AOM AOD ∠∠=∠，计算即可；（2）根据题意可得=60BOD AOC ∠∠=︒，由ON 平分BOD ∠可计算出3t =，故25375AOM ∠=⨯=︒,即可说明OM 平分AOD ∠；（3）根据题意可得30MON ∠=︒分两种情况说明，当OM ON 、重合之前和OM ON 、重合之后分别计算即可．【详解】由题意：10,25DON t AOM t ∠=∠=()190,60COD AOC ∠=∠=150AOD COD AOC ∴∠=∠+∠=当,ON OM 重合时，DON AOM AOD ∠+∠=∠1025150t t ∴+= 解得：307t = ()290AOB COD ∠=∠=90AOC BOC BOD BOC ∴∠+∠=∠+∠=60BOD AOC ∴∠=∠= ON 平分BOD ∠1302DON BOD ∴∠=∠= ∠30103t =÷= ∠1253752AOM AOD ∠=⨯==∠ OM ∴平分AOD ∠()3150,180AOD AOD MON ∠=∠+∠=30MON ∴∠=当OM 与ON 重合前150DON MON AOM ∠+∠+∠=103025150 t t++=解得：247 t=当OM与ON重合后150 DON AOM MON∠+∠-∠= 102530150t t+-=解得：367 t=∴当247t=或367t=时，MON∠与AOD∠互补【点睛】本题考查的是角的综合题，一元一次方程的解法，旋转的性质，有一定的难度，分情况讨论是难点．。
中考数学考前50天得分专练48
中考数学考前50天得分专练(48)一、选择题（每小题3分，共36分） 1．计算12-+的值是（ ） Ａ．3- Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．32．2007年5月2日，南京夫子庙、中山陵、玄武湖、雨花台四大景区共接待游客约518 000人，这个数可用科学记数法表示为（ ） Ａ．40.51810⨯Ｂ．55.1810⨯Ｃ．651.810⨯Ｄ．351810⨯3．计算3x x ÷的结果是（ ） Ａ．4xＢ．3xＣ．2xＤ．34．14的算术平方根是（ ） Ａ．12- Ｂ．12Ｃ．12±Ｄ．1165．不等式组2110x x >-⎧⎨-⎩，≤的解集是（ ）Ａ．12x >-Ｂ．12x <-Ｃ．1x ≤Ｄ．112x -<≤6．反比例函数2k y x=-（k 为常数，0k ≠）的图象位于（ ）Ａ．第一、二象限 Ｂ．第一、三象限 Ｃ．第二、四角限 Ｄ．第三、四象限7．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向黄色区域的概率是（ ）Ａ．16 Ｂ．13 Ｃ．12 Ｄ．238．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ） Ａ．等边三角形 Ｂ．正方形 Ｃ．正六边形 Ｄ．圆9．下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是（ ）Ａ．球体 Ｂ．长方体 Ｃ．圆锥体 Ｄ．圆柱体（第7题）10．如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（ ） Ａ．12Ｂ．2Ｃ．111．下列各数中，与 ）Ａ．2Ｂ．2Ｃ．2-12．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点， 则点P 的坐标是（ ）Ａ．(53)，Ｂ．(35)， Ｃ．(54)， Ｄ．(45)，二、填空题（每小题3分，共12分） 13．如果40a ∠= ，那么a ∠的补角等于．14．已知5筐苹果的质量分别为（单位：kg ）；5249505351，，，，， 则这5 筐苹果的平均质量为kg ．15．如图，⊙O 是ABC △的外接圆，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．16．已知点()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤，x y ，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标：．三、（每小题5分，共30分）17．解方程组42 5.x y x y +=⎧⎨-=⎩， 18．计算：221111a a a a a a -÷----．（第15题）19．某养鸡场分3次用鸡蛋孵化出小鸡，每次孵化所用的鸡蛋数、每次的孵化率 （孵化率=100%⨯孵化出的小鸡数孵化所用的鸡蛋数）分别如图1，图2所示：（1）求该养鸡场这3次孵化出的小鸡总数和平均孵化率；（2）如果要孵化出2000只小鸡，根据上面的计算结果，估计该养鸡场要用多少个鸡蛋？20．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，AC ，BD 相交于点O ， （1）求证：①ABC ADC △≌△；②OB OD =，AC BD ⊥；（2）如果6AC =，4BD =，求筝形ABCD 的面积．图1孵化出用的鸡蛋数统计图图2 孵化率统计图21．将A B C D ，，，四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人． （1）A 在甲组的概率是多少？（2）A B ，都在甲组的概率是多少？22．如图，A B ，两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A C B --行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知10km AC =，30A ∠= ，45B ∠= ，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km ）1.41≈1.73）ＣＡＢ30 45参考答案13．14014．5115．216．(13)-，，(12)-，，(11)-，，(21)-，，(22)-，，(31)-，六个中任意写出一个即可三、解答题 17．（本题6分）解：①＋②，得39x =． 解得3x =． ··············································································································· 3分 把3x =代入②，得1y =． ······················································································ 5分∴原方程组的解是31x y =⎧⎨=⎩，． ···················································································· 6分 18．（本题6分）解：原式221111a a a a a a -=---- ·················································································· 2分 (1)(1)11(1)1a a a a a a a -+=---- ························································································ 4分 1111a a a +=--- ············································································································· 5分 1a a =-． ···················································································································· 6分 19．（本题6分） 解：（1）该养鸡场这3次孵化出的小鸡总数为4082.550786080120⨯+⨯+⨯=％％％（只）． ·············································································································· 2分这3次的平均孵化率为12010080405060⨯=++％％． ············································ 4分（2）2000802500÷= ％ （个）．∴估计该养鸡场要用2 500个鸡蛋． ····································································· 6分 20．证明：（1）①在ABC △和ADC △中， AB AD =，BC DC =，AC AC =， ······································································ 2分ABC ADC ∴△≌△． ································································································ 3分 ②ABC ADC △≌△， EAO DAO ∴=∠∠． ································································································ 4分 AB AD = ，OB OD ∴=，AC BD ⊥． ························································································ 6分 （2）筝形ABCD 的面积ABC =△的面积＋ACD △的面积 1122AC BO AC DO =⨯⨯+⨯⨯ 116422AC BD =⨯⨯=⨯⨯ 12=． ························································································································ 8分 21．（本题6分）总共有6（1）所有的结果中，满足A 在甲组的结果有3种，所以A 在甲组的概率是12，2分（2）所有的结果中，满足A B ，都在甲组的结果有1种，所以A B ，都在甲组的概率是16．······································································ 6分 22．（本题7分）解：过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ． ··································································· 1分在Rt CAD △中，30A = ∠，10km AC =，15km 2CD AC ∴==，cos30AD AC == ． ··················································································· 3分 在Rt BCD △中，45B = ∠，5km BD CD ∴==，sin 45CDBC ==． ·························································································· 5分AB AD BD∴=+=，5)km∴+-=+105)AC BC AB=++⨯-⨯≈．···············································6分555 1.415 1.73 3.4(km)答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走约3.4km．·····························7分。
初中数学几何48个解题模型
以下是初中数学几何的一些解题模型，总共列出了48个：平面几何：
直线的性质
角的性质
三角形的性质
四边形的性质
平行线与角的关系
垂直线与角的关系
三角形的分类
三角形中的线段比例问题
三角形的相似性质
相似三角形中的线段比例问题
圆的性质
圆的切线与弦的关系
直角三角形的性质
等腰三角形的性质
正方形的性质
空间几何
空间几何体的性质（长方体、正方体、圆柱体、球体等）空间几何体的表面积和体积计算
平行面与角的关系
垂直面与角的关系
对称性质和投影性质
空间图形的相似性质
空间中的立体角
空间中的直线与平面的位置关系切线与切平面的关系
空间中的平行与垂直关系
空间中的正交、斜交关系
平行四边形的性质
空间中的平行四边形
坐标几何：
直线的方程与性质
两点间的距离公式
点到直线的距离公式
点关于坐标轴对称的性质
点关于另一个点对称的性质
点关于一条直线对称的性质
直线的斜率与倾斜角
平行线与垂直线的斜率关系
直线的截距方程
线段的中点公式
.二次函数的图像与性质
圆的方程与性质
双曲线的方程与性质
抛物线的方程与性质
椭圆的方程与性质
对数函数的图像与性质
指数函数的图像与性质
函数的复合与逆函数的性质
函数的最值与极值
平面几何与坐标几何的联系
这些模型覆盖了初中数学几何的基本知识点，可以帮助学生更好地理解和应用几何知识进行解题。
当然，具体应用哪些模型还需要根据具体题目的要求和条件来判断。
中考数学专题训练-几何知识点总结(K12教育文档)
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证明(一）1、本套教材选用如下命题作为公理：（1）、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（2)、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.（3）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（4）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
（5)、三边对应相等的两个三角形全等。
（6)、全等三角形的对应边相等、对应角相等。
此外,等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理。
2、平行线的判定定理公理两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
定理两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行。
3、平行线的性质定理公理两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单说成:两直线平行，同位角相等。
定理两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
定理两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
4、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180。
中考数学几何图形专题训练50题-含答案
中考数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）A ．三棱柱B ．三棱锥C ．球D ．圆锥 2．如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的表面展开图，在此正方体上与“爱”字相对的面上的汉字是（ ）A ．保B ．定C ．古D ．城 4．如图，已知AC BC ⊥，190A ∠+∠=︒，则2∠与A ∠的关系是（ ）A．2∠大C．相等D．无法确定∠大B．A5．若一个锐角的余角比这个角大30°，则这个锐角的度数是（）A．30︒B．150︒C．60︒D．155︒6．图中的立方体展开后，应是下图中的（）A．B．C．D．7．如图，直线与相交于点，，则与（）A．是对顶角B．相等C．互余D．互补8．如图由四个相同的小立方体组成的立体图像，它的主视图是（）．A ．B ．C ．D ． 9．如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 10．如图，将直角三角形绕其一条直角边所在直线l 旋转一周，得到的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．如图，在长方形ABCD 中，点E ，点F 分别为BC 和AB 上任意一点，点B 和点M 关于EF 对称，EN 是MEC ∠的平分线，若60BFE ∠=︒，则MEN ∠的度数是( )A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．50︒12．如图是正方形纸盒展开图，那么在原正方体中，与“沉”字所在面相对面的汉字是（）A．冷B．静C．应D．考13．如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（）A．正方体B．球C．圆锥D．圆柱体14．如图，用平面去截一个正方体，所得截面的形状应是（）A．A B．B C．C D．D15．如图，点O在直线AB上，∠COE=90°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠BOD=（）A．110°B．115°C．120°D．135°16．下列说法正确的是（）A．射线PA和射线AP是同一条射线B．射线OA的长度是3cmC．直线,AB CD相交于点P D．两点确定一条直线17．如图，一个底面直径为30cm，高为20cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A ．24cmB ．C ．25cmD ．30cm 18．如图，等边ABC 的边长为1，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC 与A BC ''△关于直线l 对称，D 为线段BC '上的一个动点，则AD CD +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，如图：（1）以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ；（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；（3）连结AP 并延长交BC 于点D ．根据以上作图过程，下列结论中错误的是（ ）A ．AD 是BAC ∠的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的中垂线上 D ．:1:3DAC ABD S S =△△20．如图，在Rt 直角△ABC 中，45B ∠=︒，AB =AC ，点D 为BC 中点，直角MDN ∠绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：△△DEF 是等腰直角三角形；△ AE =CF ；△△BDE △△ADF ；△ BE +CF =EF ，其中正确结论是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△二、填空题21．在_______内填上适当的分数：135等于________平角．22．如图，AB △CD ，CB 平分△ABD ，若△ABC ＝40°，则△D 的度数为_______．23．如果△α＝26°，那么△α的余角等于__________．24．如图，点A在点O北偏东32︒方向上，点B在点O南偏东43︒方向上，则AOB∠= ______．25．如图，是一副三角板拼成的图案，则AED=∠____．26．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是___________．27．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答（1）如果A面在长方体的底部，那么_________面会在上面；（2）这个长方体的体积为_________米3．28．若α∠的补角是它的3倍，则α∠的度数为________________．29．两根长度分别为8cm 和10cm 的直木条，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条中点之间的距离为________．30．已知，如图4090COD AOC BOD ∠∠∠=︒==︒，，则AOB ∠=_______度．31．若一个直棱柱共有10个面，所有侧棱长的和等于64，则每条侧棱的长为______．32．小红从O 点出发向北偏西32°17＇方向走到A 点，小明从O 点出发向南偏西54°28＇方向走到B 点，则∠AOB 的度数是_____．33．如图是一个正方体的展开图，它的六个面上分别写有“构建和谐社会”六个字，将其围成正方体后，与“社”在相对面上的字是_____．34．5400秒化成度数是____________度35．如图，OA 的方向是北偏东20°，OC 的方向是北偏西40°，若AOC AOB ∠=∠，则OB 的方向是______．36．已知，如图，A 、O 、B 在同一直线上，OF 平分AOB ∠，12∠=∠，3=4∠∠．（1）射线OD 是_______的角平分线；（2）AOC ∠的补角是_______；（3）AOC ∠的余角是_______；（4）_______是2∠的余角；（5）DOB ∠的补角是_______；（6）_______是COF ∠的补角．37．线段AB ＝12cm ，点C 在线段AB 上，且AC ＝13BC ，M 为BC 的中点，则AM 的长为_______cm.38．如图，在△O 中，AB 是△O 的直径，10,AB AC CD DB ===，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：△60BOE ︒∠=；△12CED DOB ∠=∠；△DM CE ⊥；△CM DM +的最小值是10．上述结论中正确的个数是_________．39．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AC 为边，作ACD ，满足AD AC =，点E 为BC 上一点，连接AE ，12BAE CAD ∠=∠，连接DE ．下列结论中正确的是__________．（填序号）△AC DE ⊥；△ADE ACB ∠=∠；△若//CD AB ，则AE AD ⊥；△2DE CE BE =+．40．如图，在△ABC 中，AB = AC = 8，S △ABC = 16，点P 为角平分线AD 上任意一点，PE △AB ，连接PB ，则PB+PE 的最小值为_____．三、解答题41．线段4AB =cm ，延长线段AB 到C ，使BC =14AB ，再反向延长AB 到D ，使AD=3cm ，E 是AD 中点，F 是CD 的中点，求EF 的长度．42．已知图为一几何体从不同方向看的图形．(1)写出这个几何体的名称；(2)任意画出这个几何体的一种表面展开图；(3)若长方形的高为10厘米，三角形的边长为4厘米，求这个几何体的侧面积． 43．如图△，点O 为直线MN 上一点，过点O 作直线OC ，使60NOC ︒∠=．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O 处，一边 OA 在射线OM 上，另一边OB 在直线AB 的下方，其中30OBA ︒∠=()1将图△中的三角尺沿直线OC 翻折至''A B O ∆， 求'A ON ∠的度数；()2将图△中的三角尺绕点O 按每秒10︒的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为()0360αα︒︒<<， 在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA 恰好平分锐角NOC ∠． ()3将图△中的三角尺绕点O 顺时针旋转；当点A 点B 均在直线MN 上方时(如图△所示)，请探究MOB ∠与AOC ∠之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．44．如图，在直线AB 上，线段20AB =，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB 上运动，M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，设点P 的运动吋间为t 秒．(1)若点P 在线段AB 上运动，当7MP =时，NP = ；(2)若点P 在射线AB 上运动，当2MP NP =时，求点P 的运动时间t 的值；(3)当点P 在线段AB 的反向延长线上运动时，线段AB 、MP 、NP 有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．45．已知：点M ，N ，P 在同一条直线上，线段MN a =，线段()PN b a b =>，点A 是MP 的中点．求线段MP 与线段AN 的长．（用含a ，b 的代数式表示） 46．如图所示，l 为河岸，B 处为草地，牧马人要将A 处的马牵到河边喝水，再牵到B 地吃草，问怎样走路程最短？47．如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒，求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．48．某产品的形状是长方体，长为8cm ，它的展开图如图所示，求长方体的体积．49．如图，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC△CD△DB ＝2△3△4，E ，F 分别为AC ，DB 的中点，EF ＝2.4 cm ，求线段AB 的长．50．综合与探究已知△AOB 、△BOC ，△AOB ＝90°，(1)若△BOC 为锐角，OE 、OD 分别平分△AOB 和△BOC ，△如图1，当射线OC 在△AOB 外部，△BOC ＝40°时，求△EOD 的度数；△当△BOC ＝α(090α︒<<︒)时，则△EOD 的度数是_____；(2)若△AOC 和△BOC 均为小于平角的角，OE 、OD 分别平分△AOC 和△BOC ，△当△BOC ＝40°，OC 位置如图2所示时，求△EOD 的度数．△当△BOC ＝α时（0°＜α＜180°），则△EOD 的度数是_____．参考答案：1．A【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，熟练掌握三棱柱的展开图，是解题的关键． 2．C【分析】根据三角板的角度，可得60A ∠=︒，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：30C ∠=︒，9060A C ∴∠=︒-∠=︒AC ∥EF ，160A ∴∠=∠=︒故选C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．3．A【分析】本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，据此作答．【详解】正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以在此正方体上与“爱”字相对的面上的汉字是“保”，故选A ．【点睛】本题考查正方体的展开图，解题的关键是掌握正方体相对两个面上的文字的知识．4．C【分析】由190A ∠+∠=︒，1290∠+∠=︒，可知2A ∠=∠，进而可得答案．【详解】解：△190A ∠+∠=︒，1290∠+∠=︒△2A ∠=∠故选C ．【点睛】本题考查了余角．解题的关键在于明确同角的余角相等．5．A【分析】根据余角的定义解决此题．【详解】解：设这个角的度数为x ．由题意得，9030x x -=+︒︒．△30x =︒．△这个角的度数为30︒．故选：A ．【点睛】本题主要考查余角，熟练掌握余角的定义是解决本题的关键．6．D【详解】由正方体的展开图可知，D 项符合题意，故选D ．7．C【详解】试题分析：因为CD 是一条直线，又，所以△AOE=90°所以△1+△2=180°-90°=90°，所以他们的关系是互余考点：角的互余关系点评：难度小，理解角与角的各种的关系是关键．8．A【分析】从正面看作出相应图象即可得.【详解】解：从正面看，共2列，左边是1个正方形，右边是2个正方形，且下齐．故选A.【点睛】题目主要考查小正方体的主视图的作法，理解题意，掌握视图的作法是解题关键. 9．B【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．【详解】解：△钟面分成12个大格，每格的度数为30°，△钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°故选B ．【点睛】考核知识点：钟面角.了解钟面特点是关键.10．B【分析】根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，即可解得．【详解】将直角三角形绕其一条直角边所在直线l 旋转一周，得到的几何体是圆锥；故答案为：B．【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．11．B∠的平分线，可算出△MEN 【分析】根据对称的性质可得△MEF的度数，再由EN是MEC的度数.【详解】解：由题意可得：△B=90°，△△BFE=60°，△△BEF=30°，△点B和点M关于EF对称，△△BEF=△MEF=30°，△△MEC=180-30°×2=120°，∠的平分线，又△EN是MEC△△MEN=120÷2=60°.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质和角平分线的性质，根据已知角利用三角形内角和、角平分线的性质计算相关角度即可，难度不大.12．B【分析】根据正方体的展开图的特点，确定出相对的面即可．【详解】解：根据正方体表面展开图可知，与“沉”字所在面相对面的汉字是“静”．故答案为B．【点睛】本题考查正方体的表面展开图的特征，掌握正方体展开图的对面的判定方法是解答本题的关键．13．D【分析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞．【详解】根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．故选D．【点睛】此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．14．B【详解】试题解析：正方体的截面，经过正方体的四个侧面，正方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为矩形．故选B．点睛：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．15．B【分析】先根据△COE=90°，△COD=25°，由角的和差关系求得△DOE=90°﹣25°=65°，再根据OD平分△AOE，由角平分线的定义得出△AOD=△DOE=65°，最后根据邻补角的定义得出△BOD=180°﹣△AOD=115°．【详解】△△COE=90°，△COD=25°，△△DOE=90°﹣25°=65°．△OD平分△AOE，△△AOD=△DOE=65°，△△BOD=180°﹣△AOD=115°．故选B．【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是运用角平分线以及直角的定义，求得△AOD的度数，再根据邻补角进行计算．16．D【分析】根据直线、射线、线段的性质对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：A、射线PA和射线AP不是同一条射线，故本选项错误；B、射线是无限长的，故本选项错误；C、直线AB、CD可能平行，没有交点，故本选项错误；D、两点确定一条直线是正确的．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的特性，是基础题，需熟练掌握．17．C【分析】根据题意首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．【详解】解：将此圆柱展成平面图得：△有一圆柱，它的高等于20cm ，底面直径等于30πcm ， △底面周长＝3030ππ⋅=cm ，△BC ＝20cm ，AC ＝12×30＝15（cm ），△AB 25=（cm ）．答：它需要爬行的最短路程为25cm ．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．18．B【分析】连接CA '交BC '于点E ，C ，A '关于直线BC '对称，推出当点D 与B 重合时，AD CD +的值最小，最小值为线段AA '的长2=．【详解】解：连接CA '交BC '于点E ，直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，A ∴，B ，A '共线，60ABC A BC ∠=∠''=︒，60CBC ∴∠'=︒，C BA C BC ∴∠''=∠'，BA BC '=，'BE CA ∴⊥，CD DA ='，C ∴，A '关于直线BC '对称，∴当点D与B重合时，AD CD+的值最小，最小值为线段AA'的长2=，故选B．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．19．D【分析】根据作图的过程可以判定AD是△BAC的角平分线；利用角平分线的定义可以推知△CAD=30°，则由直角三角形的性质来求△ADC的度数；利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：A、根据作图方法可得AD是△BAC的平分线，正确；B、△△C=90°，△B=30°，△△CAB=60°，△AD是△BAC的平分线，△△DAC=△DAB=30°，△△ADC=60°，正确；C、△△B=30°，△DAB=30°，△AD=DB，△点D在AB的中垂线上，正确；D、△△CAD=30°，△CD=12AD，△AD=DB，△CD=12DB，△CD=13 CB，S△ACD=12CD•AC，S△ACB=12CB•AC，△S△ACD：S△ACB=1：3，△S△DAC：S△ABD≠1：3，错误，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图—基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．20．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得△CAD=△B=45°，根据同角的余角相等求出△ADF=△BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出△正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出△正确；再求出AE=CF，判断出△正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出△错误．【详解】△△B=45°，AB=AC，△△ABC是等腰直角三角形，△点D为BC中点，△AD=CD=BD，AD△BC，△CAD=45°，△△CAD=△B，△△MDN是直角，△△ADF+△ADE=90°，△△BDE+△ADE=△ADB=90°，△△ADF=△BDE，在△BDE和△ADF中，CAD BAD BDADF BDE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△BDE△△ADF（ASA），故△正确；△DE=DF、BE=AF，又△△MDN是直角，△△DEF是等腰直角三角形，故△正确；△AE=AB-BE，CF=AC-AF，△AE=CF，故△正确；△BE+CF=AF+AE＞EF，△BE+CF＞EF，故△错误；综上所述，正确的结论有△△△；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．21．3 4【分析】根据一平角等于180°解答即可.【详解】△135÷180=34，△135等于34平角．故答案为3 4 .【点睛】本题考查了平角的定义，熟练掌握一平角等于180°是解答本题的关键. 22．100°【分析】根据角平分线定义和平行线的性质即可求出△D的度数．【详解】解：△CB平分△ABD，△ABC＝40°，△△ABD＝2△ABC＝80°，△AB△CD，△△ABD+△D＝180°，△△D＝180°﹣80°＝100°，则△D的度数为100°．故答案为：100°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．23．64°【详解】△△α＝26°，△△α的余角=90°-26°=64°．故答案为：64°【点睛】本题考查了余角的定义，是基础题，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．24．105°【分析】直接利用方向角结合互补的性质得出答案．【详解】解：如图所示：由题意可得，△1=32°，△2=43°，则△AOB=180°-△1-△2=105°．故答案为：105°．【点睛】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键．25．135°【详解】本题主要考查了三角板的知识及平角的定义根据三角板的知识可知△DEC的度数，再根据平角的定义即可求得结果．由题意得△DEC=45°，则△AED=180°-△DEC=135°.思路拓展：解答本题的关键是掌握好三角板的知识及平角的定义．26．明【分析】这种展开图是属于“1，4，1”的类型，其中，上面的1和下面的1是相对的2个面.【详解】由正方体的展开图特点可得：“建”和“明”相对；“设”和“丽”相对；“美”和“三”相对；故答案为：明.【点睛】此题考查正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键.27．F6【分析】（1）根据展开图，可得几何体，、、A B C 是邻面，D F E 、、是邻面，根据A 面在底面，F 会在上面，可得答案；（2）由体积计算公式解答．【详解】解：（1）如图所示，A 与F 是对面，所以如果A 面在长方体的底部，那么 F 面会在上面；故答案是：F ；（2）这个长方体的体积是：1236⨯⨯=（米3）．故答案是：6【点睛】本题考查了几何体的展开图，利用了几何体展开图组成几何体时面与面之间的关系．28．45︒##45度【分析】设α∠为x ，根据互为补角的两个角的和等于180︒表示出这个角的补角，然后列出方程求解即可．【详解】解：设α∠为x ，则α∠的补角为180x ︒-，根据题意得1803x x ︒-=，解得45x =︒，故答案为：45︒．【点睛】本题考查了互为补角的定义，根据题意表示出这个角的补角，然后列出方程是解题的关键．29．1cm 或9cm##9cm 或1cm【分析】设较长的木条为AB ，较短的木条为BC ，根据中点定义求出BM 、BN 的长度，然后分两种情况：BC 不在AB 上和BC 在AB 上时，分别代入数据进行计算即可得解．【详解】解：设较长的木条为AB =10cm ，较短的木条为BC =8cm ，△M 、N 分别为AB 、BC 的中点，△BM =5cm ，BN =4cm ，△如图1，BC 不在AB 上时，MN =BM +BN =5+4=9(cm)，△如图2，BC 在AB 上时，MN =BM −BN =5−4=1(cm)，综上所述，两根木条的中点间的距离是1cm 或9cm ，故答案为：1cm 或9cm ．如图，【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．30．140【分析】利用角的和差关系先求出50COB ∠=︒，，再利用角的和差关系求出AOB ∠的度数．【详解】解：△4090COD AOC BOD ∠∠∠=︒==︒，，△ 50COB BOD COD ∠∠∠=-=︒，△ 140AOB AOC COB ∠∠∠=+=︒．故答案为：140．【点睛】本题主要考查了角的和差，关键是熟练掌握角的运算中的和差关系．31．8【分析】先根据这个棱柱有10个面，求出这个棱柱是8棱柱，有8条侧棱，再根据所有侧棱的和为64cm ，即可得出答案．【详解】解：△这个棱柱有10个面，△这个棱柱是8棱柱，有8条侧棱，△所有侧棱的和为64cm ，△每条侧棱长为64÷8=8（cm ）；故答案为：8【点睛】本题主要利用了棱柱面的个数比侧棱的条数多２的关系求解，是一道基础题． 32．93°15＇【分析】利用平角的定义计算即可．【详解】△从O 点出发向北偏西32°17＇方向走到A 点，小明从O 点出发向南偏西54°28＇方向走到B 点，△∠AOB =180°-54°28＇-32°17＇=93°15＇．【点睛】本题考查了方位角，平角，角的和与差，熟练掌握方位角和平角的定义是解题的关键．33．和．【分析】本题考查了正方体的展开图，一般从相对面入手进行分析与解答；【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以“建”与“谐”是相对面，“社”与“和”是相对面，“会”与“构”是相对面，由此可知与“社”相对的面上的字是“和”．【点睛】本题主要考查学生对正方体展开图形的理解和掌握，解答本题的关键是根据相对的面相隔一个面得到相对的两个面．34．1.5【详解】试题解析：△5400÷60=90，90÷60=1.5，△5400″=1.5°．35．北偏东80°【分析】先根据角的和差得到△AOC 的度数，根据△AOC =△AOB 得到△AOB 的度数，再根据角的和差得到OB 的方向．【详解】解：△OA 的方向是北偏东20°，OC 的方向是北偏西40°，△△AOC =20°+40°=60°，△△AOC =△AOB ，△△AOB =60°，20°+60°=80°，故OB 的方向是北偏东80°．故答案为：北偏东80°．【点睛】考查了方位角，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．利用角的和差得出OB 与正北方的夹角是解题关键．36． AOC ∠ COB ∠ 3∠和4∠ DOF ∠ 1∠和2∠ EOA ∠【分析】由角平分线的定义，补角、余角的定义，分别进行计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，（1）△12∠=∠△射线OD 是AOC ∠的角平分线；（2）△180AOC BOC ∠+∠=︒，△AOC ∠的补角是COB ∠；（3）△OF 平分AOB ∠，180AOB ∠=︒，△90AOF BOF ∠=∠=︒，△390AOC ∠+∠=︒，△3=4∠∠，△490AOC ∠+∠=︒；△AOC ∠的余角是3∠和4∠；（4）△12∠=∠，190DOF ∠+∠=︒，△290DOF ∠+∠=︒，△DOF ∠是2∠的余角；（5）△1180DOB ∠+∠=︒，12∠=∠△2180DOB ∠+∠=︒，△DOB ∠的补角是1∠和2∠；（6）△4180AOE ∠+∠=︒，4COF ∠=∠，△180COF EOA ∠+∠=︒，△EOA ∠是COF ∠的补角．故答案为：AOC ∠；COB ∠；3∠和4∠；DOF ∠；1∠和2∠；EOA ∠．【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角、余角的定义，解题的关键是熟练掌握几何图形中角的运算．37．7.5【分析】可先作出简单的图形，进而依据图形分析求解．【详解】解：如图，△点C 在AB 上，且AC=13BC ， △AC=14AB=3cm ，△BC=9cm ，又M 为BC 的中点， △CM=12BC=4.5cm ，△AM=AC+CM=7.5cm ．故答案为7.5.【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．38．3【分析】△根据点E 是点D 关于AB 的对称点可知BD BE ，进而可得1180603DOB BOE COD ︒︒∠=∠=∠=⨯=； △根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得结论；△根据等弧对等角，可知只有当M 和A 重合时，60,30MDE CED ︒︒∠=∠=，DM CE ⊥； △作点C 关于AB 的对称点F ，连接CF ，DF ，此时CM DM +的值最短，等于DF 的长，然后证明DF 是O 的直径即可得到结论．【详解】解：AC CD DB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，BD BE ∴=， 1180603DOB BOE COD ︒︒∴∠=∠=∠=⨯=，△正确；1116030222CED COD DOB ︒︒∠=∠=⨯==∠，△△正确； BE 的度数是60°，AE ∴的度数是120°，△只有当M 和A 重合时，60,︒∠=MDE ，30︒∠=CED△只有M 和A 重合时，DM CE ⊥，△错误；作C 关于AB 的对称点F ，连接CF ，交AB 于点N ，连接DF 交AB 于点M ，此时CM DM +的值最短，等于DF 的长．连接,CD AC CD DB AF ===，并且弧的度数都是60°，1112060,6030,22︒︒︒︒∴∠=⨯=∠=⨯=D CFD 180603090,︒︒︒︒∴∠=--=FCDDF ∴是O 的直径，即10DF AB ==，△当点M 与点O 重合时，CM DM +的值最小，最小值是10，△△正确．故答案为：3．【点睛】本题考查了圆的综合知识，涉及圆周角、圆心角、弧、弦的关系、最短距离的确定等，掌握圆的基本性质并灵活运用是解题关键．39．△△△【分析】因为12BAE DAC ∠=∠，且90ABC ∠=︒，所以需要构造2倍的BAC ∠，故延长EB 至G ，使BE BG =，从而得到GAE CAD ∠=∠，进一步证明GAC EAD ∠=∠，且AE AG =，接着证明GAC EAD ≌，则ADE ACG ∠=∠，DE CG =，所以△是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出△是正确的，设BAE x ∠=，则2DAC x ∠=，因为//CD AB ，所以90BAC ACD x ∠=∠=︒-，接着用x 表示出EAC ∠，再计算出=90DAE ∠︒，故△是正确的，当CAE BAE ∠=∠时，可以推导出AC DE ⊥，否则AC 不垂直于DE ，故△是错误的．【详解】解：如图，延长EB 至G ，使BE BG =，设AC 与DE 交于点M ，90ABC ∠=︒，AB GE ∴⊥，AB ∴垂直平分GE ，AG AE ∴=，12GAB BAE DAC ∠=∠=∠， 12BAE GAE ∠=∠， GAE CAD ∴∠=∠，GAE EAC CAD EAC ∴∠+∠=∠+∠，GAC EAD ∴∠=∠，在GAC 与EAD 中，AG AE GAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GAC EAD ∴≌（SAS ），G AED ∴∠=∠，ACB ADE ∠=∠，故△是正确的；AG AE =，G AEG AED ∴∠=∠=∠，AE ∴平分BED ∠，当BAE EAC ∠=∠时，90AME ABE ∠=∠=︒，则AC DE ⊥，当BAE EAC ∠≠∠时，AME ABE ∠≠∠，则无法说明AC DE ⊥，故△是不正确的； 设BAE x ∠=，则2CAD x ∠=，1802902x ACD ADC x ︒-∴∠=∠==︒-， //AB CD ，90BAC ACD x ∴∠=∠=︒-，90902CAE BAC EAB x x x ∴∠=∠-∠=︒--=︒-，902290DAE CAE DAC x x ∴∠=∠+∠=︒-+=︒，AE AD ∴⊥，故△是正确的；GAC EAD ≌，CG DE ∴=，2CG CE GE CE BE =+=+，2DE CE BE ∴=+，DE BE BE CE ∴-=+，2DE CE BE ∴=+，故△是正确的．故答案为：△△△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角度的计算，构造两倍的BAE ∠，是本题解题的关键．40．4【分析】利用角平分线定理确定当BF△AC 时，PB+PE 的值最小，再利用三角形面积公式，即可求得.【详解】如图，△AB = AC = 8，AD 平分CAB ∠△'''P E P F =△当BF△AC 时，PB+PE 的值最小=BF1162ABC S AC BF ∆== △BF=4 △PB+PE 的最小值为4.【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，也可以用角平分线定理考虑，找到PE+PB 最小值的情况并画出图形，是解题的关键.41．2.5cm ．【分析】结合图形和题意，利用线段的和差知CD ＝AD ＋AB ＋BC ，即可求CD 的长度；再利用中点的定义，求得DF 和DE 的长度，又EF ＝DF−DE ，即可求得EF 的长度．【详解】△4AB =cm ，BC =14AB ， △BC=1cm ，△CD ＝AD ＋AB ＋BC ＝3＋4＋1＝8cm ；△E 是AD 中点，F 是CD 的中点，△DF ＝12CD ＝8×12＝4cm ，DE ＝12AD ＝12×3＝1.5cm ．△EF ＝DF−DE ＝4−1.5＝2.5cm ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，解题的关键是运用数形结合思想． 42．(1)直三棱柱(2)见解析(3)这个几何体的侧面积为120cm 2【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱；（2）画出三个长方形，两个三角形；（3）侧面积为长方形，计算出3个长方形的面积求和即可．【详解】（1）解：由主视图和左视图都是长方形，且俯视图是三角形，故该立体图形是直三棱柱；（2）解：展开图如图所示：；（3）解：这个几何体的侧面积23104120cm ⨯⨯＝．【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体、几何体的展开图、棱柱的侧面积等知识点，根据题意得到该几何体是直三棱柱是解答本题的关键．43．（1） '60A ON ︒∠=；（2）15秒或33秒；（3）30MOB AOC ︒∠-∠=或30MOB AOC ︒∠+∠=【分析】（1）如图△中，延长CO 到C′．利用翻折不变性求出△A′O′C′即可解决问题； （2）设t 秒时，直线OA 恰好平分锐角△NOC ．构建方程即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题，△当OB ，OA 在OC 的两旁时，△当OB ，OA 在OC 的同侧时，求出MOB ∠与AOC ∠之间的数量关系即可.【详解】解：（1）如图△中，延长CO 到C′，△三角尺沿直线OC 翻折至△A′B′O ，△△A′OC′=△AOC′=△CON=60°，△△A′ON=180°-60°-60°=60°；（2）设t 秒时，直线OA 恰好平分锐角△NOC ，由题意10t=150或10t=330，解得t=15或33s ，则第15或33秒时，直线OA 恰好平分锐角△NOC ；（3）△当OB ，OA 在OC 的两旁时，△△AOB=90°，△120°-△MOB+△AOC=90°，△△MOB-△AOC=30°；△当OB ，OA 在OC 的同侧时，△MOB+△AOC=120°-90°=30°.综上，30MOB AOC ︒∠-∠=或30MOB AOC ︒∠+∠=.【点睛】本题考查翻折变换，旋转变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．44．(1)3； (2)203或20； (3)12NP MP AB -=，理由见解析． 【分析】（1）由中点的含义先求解7AM MP ==，证明12PN BN BP ==，再求解6PB AB AB =-=，从而可得答案；（2）△当点P 在线段AB 上，2MP NP =， △当点P 在线段AB 的延长线上，2MP NP =，再建立方程求解即可；（3）先证明12MP AP t ==，()1102NP AB AP t =+=+，可得()1010NP MP t t -=+-=，从而可得结论．【详解】（1）解：△M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，7MP =，△7AM MP ==，12PN BN BP ==， △14AP =，。
初中数学48个几何模型解题技巧
初中数学48个几何模型解题技巧1.相似三角形定理：两个三角形中，三个对应的角相等，对应的边成比例。
2.相等三角形的性质：两个三角形中，三边分别相等，或者两边分别相等且夹角相等。
3.三角形中，一个内角和一边：根据一个三角形角度和一边的已知信息，可以推导出其他角度和边的关系。
4.三角形的面积计算公式：可以根据底边和高的关系来计算三角形的面积。
5.正方形的性质：四个内角都是直角，四条边相等。
6.正方形的对角线：两条对角线相等且垂直。
7.矩形的性质：四个内角都是直角，对角线相等。
8.矩形的面积：可以通过长和宽的长度相乘计算矩形的面积。
9.菱形的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分。
10.菱形的面积：可以通过对角线的乘积除以2来计算菱形的面积。
11.平行四边形的性质：对边平行，对角线互相平分。
12.平行四边形的面积：可以通过底边长度乘以高来计算平行四边形的面积。
13.梯形的性质：有两条平行边。
14.梯形的面积：可以通过上底和下底的和乘以高除以2来计算梯形的面积。
15.直角三角形的性质：有一个内角是直角。
16.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方之和等于斜边的平方。
17.直角三角形的正弦定理：直角三角形的斜边和对应的直角边之间的正弦值成比例。
18.直角三角形的余弦定理：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和减去两倍直角边的乘积。
19.直角三角形的正切定理：直角三角形的两个直角边的商等于对应的正切值。
20.平行线与横截线的性质：平行线与横截线之间的对应角相等。
21.平面镜映射的性质：物体与其镜像之间的对应角相等。
22.等腰三角形的性质：两个底角相等。
23.等边三角形的性质：三个内角都是60度。
24.角平分线的性质：角平分线可以将一个角分成两个相等的角。
25.外角的性质：外角等于其对应的内角的补角。
26.平面图形的旋转：点、线、图形按一定角度旋转后，与原来的点、线、图形相对应。
27.平行线的判定：两条直线的斜率相等即为平行线。
全国中考数学试题分知识点汇编：48 几何最值
全国中考数学试题分知识点汇编：48 几何最值一、填空题1. （2019江苏苏州，18，3分）如图，已知AB ＝8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP ＝60°．M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N 之问的距离最短为 （结果保留根号）． 【答案】23【解析】 本题解答时要连接MP ，PN ，利用菱形的性质，得出△PMN 为直角三角形，然后利用勾股定理，求出用PA 的长来表示的MN 的长，最后利用二次函数的性质求出MN 的最小值.连接PM ，PN ，∵四边形APCD ，PBFE 是菱形， ∴PA =PC ，∵AM =MC ，∴PM ⊥AC ，同理PN ⊥BE .∴∠CPM +∠CPN =119022APC BPE ∠+∠=゜，∵∠DAP =60゜，∴∠CAP ==∠NPB =30゜， 设AP =x ，则PB =8-x ， ∴PM =12x ，PN 3)x - ∴2222213()[(8)](6)1222PM PN x x x ++-=-+∴当x =6时，MN 有最小值，最小值为23③当4＜x ≤4.8时，M 、N 都在BC 上运动，作OG ⊥BC 于G ，易求OG ，再利用面积公式表示出△OMN 的面积（y 值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y 的最大值．【解题过程】解：（1）由旋转性质可知：OB =OC ，∠BOC =60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴∠OBC =60°． 故答案为60． （2）如图1中， ∵OB =4，∠ABO =30°， ∴OA =12OB =2，AB 33 ∴S △AOC =12•OA •AB =12×2×33 ∵△BOC 是等边三角形，∴∠OBC =60°，∠ABC =∠ABO +∠OBC =90°， ∴AC 22AB BC +7∴OP =24322127AOBS AC==（3）①当0＜x ≤83时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E ．则NE =ON •si n 60°=32x ，∴S △OMN =12•OM •NE =12×1.5x ×3， ∴33x 2．∴x =83时，y 有最大值，最大值83． ②当83＜x ≤4时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动． 作MH ⊥OB 于H ．则BM =8﹣1.5x ，MH =BM •si n 60°3（8﹣1.5x ），∴y=12×ON ×MH =﹣338x 23． 当x =83时，y 83，∴y 83， ③当4＜x ≤4.8时，M 、N 都在BC 上运动，作OG ⊥BC 于G ．MN =12﹣2.5x ，OG =AB 3∴y=12•MN •OG 3532x ， 当x =4时，y 有最大值，最大值3综上所述，y83．【知识点】图形的旋转；解直角三角形；函数的最值2.（2019广西柳州市，26，10分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于30)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA3，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线的一个动点，过点P作PF⊥x 轴垂足为F，交直线AD于点H.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；HC (3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12AQ＋EQ的为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求14最小值.第26题图【思路分析】(1)根据题意，先求出点B、C的坐标，运用待定系数求出抛物线的解析式；(2)用点m表示出FH和PF的长，再由FH＝HP列关于m 的方程求解；(3)连接AH，以AH为边构造相似三角形，将1AQ转化为4某一个固定点的线段，再由三点共线计算出14AQ＋EQ的最小值.【解题过程】(1)∵OB＝3OA3，30)，∴点B、C的坐标分别为(－30)，(－3，0).设抛物线的解析式为y＝a(x＋3x3，代入点C的坐标，得：－3＝a·3(3，解得：a＝13.故该抛物线的解析式为y＝13(x＋33x－3＝13x223x－3. ………………3分(2)在Rt△AOC中，由tan∠OAC＝OCOA3∴∠OAC＝60°.又∵AH是∠FAC的平分线，∴∠FAH＝30°，则AF3由点P的横坐标为m，则它的纵坐标为13m223m－3.∴AF3m，PF＝3－13m223.∴FH333m).∵FH＝HP，则PF＝2FH，∴233m)＝13m223－3.解得：m3舍去)或m3故m的值为－3.………………6分(3)连接CH.∵AF＝AC＝3FAH＝∠CAH，AF＝AF，∴△AHF≌△AHC(SAS)，∴FH＝CH＝2.故⊙H的半径为1.在HA上截取HM＝14，则AM＝4－14＝154.∴HMHQ ＝HQHA，且∠QHM＝∠AHQ，∴△QHM∽△AHQ，∴AQMQ ＝14，则14AQ＝MQ,∴14AQ＋QE＝QM＋QE.………………9分∵点E 、M 是定点，故当点M 、Q 、E 共线时，QM ＋QE的值最小，即最小值为线段ME 的长. 在Rt △AEM 中，由勾股定理可知：ME 22AE AM+()2215234⎛⎫+ ⎪⎝⎭417………………10分【知识点】二次函数与几何综合题3. （2019四川乐山，1，3） 在平面直角坐标系中，抛物线2y axbx c=++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C （0，43-），OA =1，OB =4，直线l 过点A ，交y 轴于点D ，交抛物线于点E ，且满足tan ∠OAD =34. （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿x 轴正方向以每秒2个单位xylPQ MH FEDCBAO长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【思路分析】本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.【解题过程】解：（1）∵OA =1，OB =4，∴A （1，0），B （-4，0）， ----------------------------------------- 1分 设所示抛物线的解析式为()()41y a x x =+-， ∵C （0，43-）在抛物线上， 解得13a =， ∴抛物线的解析式为()()1413y x x =+-或21433y xx =+-3分（2）存在t ，使得△ADC 与△PQA 相似，其理由如下： ①在Rt △AOC 中，OA =1，43OC =， 则3tan 4OA ACO OC ∠==， 又∵3tan 4OAD ∠=， ∴∠OAD =∠ACO ， --------------------------- 4分 ∵直线l 的解析式为()314y x =- ，∴D （0，34-）， 又∵C （0，43-），∴CD =4373412-= 由AC 2=OC 2+OA 2，得53AC =. ------------------ 5分 在△AQP 中，AP =AB -PB =5-2t ，AQ =t ， 由∠PAQ =∠ACD ，要使△ADC 与△PQA 相似，只需AP CD AQ AC =或AP AC AQ CD=， ------------------------- 6分 则有7521253t t-=或5523712t t-=， ------------------------ 7分解得110047t=，23534t=，∵t 1＜2.5，t 2＜2.5，∴存在10047t =或3534t =， 使得△APQ 与△PQA 相似 9分 ②存在t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大，其理由如下：作PF ⊥AQ 于点F ，CN ⊥AQ 于点N ， 如图6所示，在△APF 中，()3sin 525PF AP PAF t =⋅∠=-，在△AOD 中，由AD 2=OD 2+OA 2，得54AD =10分 在△ADC 中，由1122ADCS AD CN CD OA ∆=⋅=⋅，∴717125154CD OA CN AD ⨯⋅===----------------------------- 11分∴当139t =时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. 12分 图6【知识点】二次函数 ；勾股定理；三角形相似的判定与性质；三角形面积；待定系数法；转化思想；数形结合思想；分类讨论思想4.（2019黑龙江省齐齐哈尔市，题号24，分值14）如图1所示，直线y=x+c 与x 轴交于点A （-4,0），与y 轴交于点C ，抛物线y=-x ²+bx+c 经过点A ，C. （1）求抛物线的解析式；（2）点E 在抛物线的对称轴上，求CE+OE 的最小值；（3）如图2所示，M 是线段OA 上的一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点P 、N.①若以C ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，则△CPN 的面积为_________;②若点P 恰好是线段MN 的中点，点F是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D ，使以点D ，F ，P ，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.注：二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0）的顶点坐标为（24,24b ac b a a--）【思路分析】(1)根据一次函数求出c 的值，再将A （-4,0）和c 值代入抛物线解析式求得b 值，进而得出抛物线解析式;(2)先作对称确定最小值的情况，进而求出答案. （3）①根据直角与对顶角找出两种相似的情况，进而得出△CPN 的面积；②根据菱形的判定定理作出菱形，进而得出D 点坐标.【解题过程】解：（1）将A （-4,0）代入y=x+c ，得c=4.将A （-4,0）和c=4代入y=-x²+bx+c，得b=-3.∴抛物线的解析式为y=-x ²-3x+4.（2）如图所示，作点C 关于抛物线的对称轴直线l 的对称点C ’，连接OC 交直线l 于点E ，连接CE ，此时CE+OE 的值最小.∵抛物线额对称轴为x=332(1)2--=-⨯-， 则C ’C=3，在Rt △C ’CO 中，由勾股定理，得OC ’22(')CC OC +∴CE+OE 的最小值为5.（3）①∵抛物线解析式为y=-x ²-3x+4，∴A （-4,0），B （1,0），C （0,4），△APM 为等腰直角三角形.设M 为（a ，0），则N （a ，-a ²-3a+4），P(a ，a+4).当△AMP ∽△CNP 时，则AM MPCN NP=，得24434(4)a a a a a a ++=---+-+，解得a=-4（舍）或a=-3或a=0（舍）. ∴CN=3,PN=3.∴△CPN 的面积为12CN PN =92. 当△AMP ∽△NCP 时，则AM APNC NP=,得2222(4)(344)()a a a a +=--+-+-，解得a=0（舍）或a=-2. ∴2∴△CPN 的面积为12CN PC =4.故答案为92或4. ②存在.1D (2322-+,322),2D (2322--,-322),3D （-4,3）,4D （12，32）. 理由如下：当点P 是线段MN 的中点，则-a ²-3a+4=2（a+4），解得a=-4（舍），或a=-1. ∴M （-1,0），P （-1,3），N （-1,6）. 设F(f ，f+4)，过点M 作AC 的平行线，则此直线的解析式为 y=x+1.∵PM=3，当PM 为菱形的边时，作PF=PM ，过F 作FD 平行PM ，交AC 平行线于点D ， ∴D （f ，f+1）.∴3²=2（f+1）²，解得f=2322-±.则1D (2322-+,322),2D (2322--,-322).∵PM=AM=3,∴当点F 与点A 重合时，过点F 在x 轴上方作DF ∥PM ，且DF=PM ，连接DP ，可得出四边形DPMF 为菱形.∴点D 的坐标为（-4,3）. 当PM 为菱形的对角线时，作PM 的垂直平分线，交直线AC 于点F ，作点F 关于PM 的对称点D ，连接MF,MD,PD,此时四边形DMFP 为菱形.∴将32代入直线AC 的解析式可得，点F 的坐标为（-52，32）. ∵直线PM 为x=-1，∴点D 的坐标为（12，32）. 综上所述，1D (2322-+,322),2D (2322--,-322),3D （-4,3）,4D （12，32）. 【知识点】待定系数法，二次函数图象的性质，两点之间线段最短，对称图形的性质，勾股定理.5. （2019湖南省怀化市，24，14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线cx axy ++=22与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式； （2）请在y 轴上找一点M ，使∆BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在抛物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）利用待定系数法求二函数和直线的解析式；（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接1BD ，与对称轴y 轴的交点即为所求的点M ，然后求出直线的1BD 的解析式，再求解即可．（3）可分两种情况（○1以C 为直角顶点，○2以A 为直角顶点）讨论，然后根据两直线垂直的斜率的性质求出P 点所在直线的解析式，根据直线和抛物线的解析式联立求出点P 的坐标．【解题过程】（1）把点A （-1，0）和B （3，0）代入抛物线cx axy ++=22中，可得○1：2=+c a ，○2：69-=+c a○2-○1得：88-=a ，所以1-=a ．然后把1-=a 代入○1可得：3=c ．把1-=a 和3=c 代入cx axy ++=22，得出抛物线解析式：322++-=x x y因为抛物线与y 轴相交，令0=x ，则3=y ，所以，点C 的坐标为（0，3），设直线AC 的解析式为b kx y +=，则⎩⎨⎧==+-3b b k ， 解得⎩⎨⎧==33b k ． 所以，直线AC 的解析式为33+=x y ； （2）过点D 作y DD ⊥1轴于点F ，使F D DF 1=,则1D 为点D 关于y 轴的对称点．连接1BD 交y 轴于点M ，则点M 为所求，过点D 作y DD ⊥1轴于点F ，F D DF 1=，D 点为抛物线的顶点，根据抛物线顶点公式（ab ac a b 44,2-2-）可得D 点的坐标（1，4），则1D 的坐标为（-1，4）B 点的坐标为（3，0）．设直线1BD l 的解析式为b kx y +=，把B （3，0）和1D （-1，4）两点代入解析式中可得：⎩⎨⎧=+-=+43b k b k 即⎩⎨⎧=-=31b k ，则直线1BD l 的解析式为3+-=x y ，令0=x 可得3=y ，则点M 的坐标为（0，3）．（3）存在．当ACP ∆是以点为C 直角顶点时，如图，过点C 作CP 垂直于AC 于C 点，交抛物线于点P ，C点坐标为（0，3），则可得直线CP 的解析式为331+-=x y ． 直线CP 与抛物线交于P 点，联立解析式得：⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=323312x x y x y ，则⎪⎩⎪⎨⎧====920,373,01211y x y x ，P 点坐标即P（92037，） 当ACP ∆是以点A 为直角顶点时，如图，过点A 作AP 垂直于AC 于A 点，交抛物线于点P ，A点坐标为（-1，0），则可得直线AP 的解析式为3131--=x y ． 直线AP 与抛物线交于P 点，联立解析式得：⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=3231312x x y x y ，则⎪⎩⎪⎨⎧-===-=311,3100,12211y x y x ，P 点坐标即P （311-310，） 【知识点】二次函数综合题6.（2019贵州省毕节市，27，16分）如图,以D 为顶点的抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,直线BC 的表达式为3y x =-+．(1)求抛物线的表达式；(2)在直线BC 上有一点P ，使PO ＋PA 的值最小,求点P 的坐标；(3)在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．【思路分析】（1）先根据直线BC 的表达式为3y x =-+求出点B 和点C 的坐标，然后将点B 和点C 的坐标分别代入2y x bx c =-++即可求出抛物线的解析式；（2）如图（1），过点O 作OE ⊥BC 于点E ，延长OE ，使O 'E ＝OE ，则BC 是线段O O '的垂直平分线，连接O 'A 交BC 于点P ，则PA ＋PO ＝PA ＋P O '＝O 'A ，此时PA ＋PO 的值最小，且最小值为O 'A ，求出直线O 'A 的函数关系式，和直线的BC 关系式联立即可求出此时点P 的坐标；（3）先证明△BCD 是直角三角形，∠BCD ＝90°，则由题意可得∠ACQ ＝90°或∠AQC ＝90°，若∠ACQ ＝90°，则△BCD ∽△ACQ 或△BCD ∽△QCA ，根据相似三角形的性质即可求出点Q 的坐标；若∠AQC ＝90°，通过分析可知点Q 与点O 重合，从而得出点Q 的坐标．【解题过程】解：（1）当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标为（0，3），当y ＝0时，－x ＋3＝0，x ＝3，∴点B 的坐标为（3，0），将点B （3，0）和点C （0，3）分别代入2y x bx c =-++得， ()20330b c c =++=⎧⎪⎨⎪⎩ ，解得23b c ==⎧⎨⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）当y ＝0时，223x x -++＝0，解得x ＝3或x ＝－1，∴点A 的坐标为（－1，0），如图（1），过点O 作OE ⊥BC 于点E ，延长OE ，使O 'E ＝OE ，则BC 是线段O O '的垂直平分线，即点O 与点O '关于直线BC 对称，过点O '作O 'F ⊥y 轴于点F ，∵点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3），∴OB ＝OC ＝3，∴∠OBE ＝45°，则在Rt △OEB 中，∵∠OBE ＝45°，OB ＝3，∴OE ＝OB ·sin45°＝3×22＝322，∴OE＝O 'E ＝322，∴O O '＝2OE ＝32，∴O 'F ＝OF ＝O O '·sin45°＝32×22＝3，∴点O '的坐标为（3，3），故点B 与点F 重合，连接O 'A 交BC 于点P ，则PA ＋PO ＝PA ＋P O '＝O 'A ，此时PA ＋PO 的值最小，且最小值为O 'A 22(13)(30)--+-＝5，设直线O 'A 的关系式为y kx b =+，将点A （－1，0），O '（3，3）分别代入y kx b =+得：033k b k b =-+=+⎧⎨⎩，解得：3434k b ==⎧⎪⎨⎪⎩，∴直线O 'A 的解析式为：3344y x =+，联立33443y x y x =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩，解得：97117x y ==⎧⎪⎨⎪⎩，此时点P 的坐标为（97，117）； （3）由223y x x =-++得()214y x =--+，故顶点D 的坐标为（1，4），又∵点C 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（3，0），∴BC 2＝22(30)(03)-+-＝18，BD 2＝22(31)(40)-+-＝20，CD 2＝22(10)(43)-+-＝2， ∴BD 2＝BC 2＋CD 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD ＝90°，由函数图象可知，∠CAQ ＜90°，故分以下两种情况讨论：①如图（2），若∠ACQ ＝90°，则△BCD ∽△ACQ 或△BCD ∽△QCA ，设点Q 的坐标为（a ，0），则AC 2＝22(30)(10)-+--＝10，AQ ＝(1)1a a --=+，故AQ 2＝2(1)a +，∵BC ＝32，CD 2∴13BC CD =，当△BCD ∽△ACQ 时，BC CD AC QC =，则 13BC ACCD QC ==，即210123(1)a =+⎛⎫ ⎪⎝⎭，2(1)a +＝90，解得a ＝－1＋310a ＝－1－310点Q 的坐标为（－1＋3100）或（－1－3100）；当△BCD ∽△QCA 时，BC CD QC AC =，则 13BC QC CD AC ==，即22(1)1103a +=⎛⎫ ⎪⎝⎭，102(1)9a +=，解得a ＝－1＋103或a ＝－1－103，故点Q 的坐标为（－1＋103，0）或（－1－103，0）；②如图（3），若∠AQC ＝90°，∵点C 的坐标为（0，3），点A 的坐标为（－1，0），∴OA ＝1，OC ＝3，∴13OA OC =，又∵BC ＝32，CD 213BC CD=，∴此时点Q 与点O 重合，∴点Q 的坐标为（0，0）；综上所述，点Q 的坐标为（－1＋3100）或（－1－3100）或（－1103，0）或（－1103，0）或（0，0）．【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；两点间距离公式；勾股定理；解一元二次方程；二次根式的化简；相似三角形的性质；特殊角的三角函数值的应用7.（2019湖南娄底，26，10）如图，抛物线2y ax bx c与两坐标轴相交于点(1,0)(3,0)(0,3)、、，D是抛物线的顶点，E是A B C线段AB的中点.(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标;(2)(,)F x y是抛物线上的动点；①当1,0x y时，求BDF的面积的最大值；②当AEF DBE时，求点F的坐标.【思路分析】（1）已知与x轴交点坐标，可用交点式求函数表达式（2）①通过构造新二次函数求面积的最值②先通过几何作图，做出符合要求的点F，再求坐标。
2019年全国中考试题汇编知识点48 几何最值(通用版全解全析)
2019年全国中考试题汇编知识点48 几何最值（通用版全解全析）一、选择题12．（2019·长沙）如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+5 BD的最小值是【】A．25B．45C．53D．10【答案】B2.3.二、填空题16．（2019·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8.点M为AB的中点.若∠CMD＝120°，则CD的最大值是.【答案】14【解析】将△CAM沿CM翻折到△CA′M，将△DBM沿DM翻折至△DB′M，则A′M＝B′M，∠AMC＝∠A′MC，∠DMB＝∠DMB′，∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝∠A′MC+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝180°-（∠AMC+∠DMB+∠A′MC+∠DMB′）＝60°，∴△A′MB′是等边三角形，又∵AC＝2，BD＝8，AB＝8.点M为AB的中点，∴A′B′＝A′M＝B′M＝AM＝12AB＝4，CA′＝AC＝2，DB′＝DB＝8，又CD≤CA′+A′B′+DB′＝2+4+8＝14.三、解答题24．（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE＝EF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求△BEF面积的最大值．【解题过程】（1）证明：过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB⊥AD，∴MN⊥AD，MN⊥BC，∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE＋∠FEN，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠AEM＋∠FEN＝90°，∴∠AEM＝∠NFE，∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，∴BN＝EN＝AM.∴△AEM≌△EFN（AAS）.∴AE＝EF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE＝EF.（2）在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝，∴0≤x≤.由题意，得BE＝2x，∴BN＝EN x.由（1）知：△AEM≌△EFN，∴ME＝FN，∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10x，如图（1），当0≤x时，∴BF＝FN－BN＝10x x＝10－x.∴y＝12BF·EN＝1(102-＝－2x2＋（0≤x≤2）；如图（2），当2＜x≤ ∴BF ＝BN －FN－（10x）＝－10， ∴y ＝12BF ·EN＝12-＝2x 2－（2≤x≤.∴222(0);22(2x x y x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（1） （2） （3）y ＝－2x 2＋5x ＝－2（x－524）2＋254，∵－2＜0， ∴当x ＝524时，y 有最大值是；即△BEF 面积的最大值是；当2＜x ≤ y ＝2x 2－＝22(4x -－254， 此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x ＝4， ∵对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝y 最大值＝50.∴当x ＝BEF 面积的最大值是50.【知识点】四边形综合运用，二次函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形全等的判定. 25．（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择如图①，四边形ABCD 是OO 的内接四边形，连接AC ，BD .AB ＝BC ＝AC .求证：BD ＝AD ＋CD .小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ..…… 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN ＝AD …… 请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC .试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论. 【探究2】如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是. （3）拓展猜想如图④，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O 0的直径，BC ：AC ：AB ＝a ：b ：c ，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，由旋转全等得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，由旋转全等得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD 【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形，图①图②B图③BC 图④BC由旋转相似得BP，∴BD ＝PD ＋BP ＝2AD（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a bAD ＋c b CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，由旋转相似得=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝c b CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a bAD ＋c b CD【解题过程】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，可得△AMD 为等边三角形，可证△BAM ≌△CAD （SAS ）得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，∠BAN ＝∠CAD ，可证△BAN ≌△CAD （SAS ）得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形，∴=tan 30AP ABAD AC=︒，∠BAP ＝∠CAD ，可证△BAP ∽△CAD 得BPCD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝2ADCD答案图①答案图②B（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a bAD ＋c b CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，可得∠BAQ ＝∠CAD ，∠ABQ ＝∠ACD ，∠ADQ ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠QAD ∴△BAP ∽△CAD ，△ADQ ∽△ACB ∴=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝c b CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a bAD ＋cb CD26．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动. (1)当∠OAD=30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形 OMCD 的面积为221时，求OA 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值.第26题图 第26题备用图【解题过程】（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E.答案图③B答案图④BC第26题答图1∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ， ∴∠CDE+∠ADO=90°， 又∵∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠CDE=∠OAD=30°. 在Rt △CED 中，CE=21CD=2， ∴DE=32242222=-=-CE CD ; 在Rt △OAD 中，∠OAD=30°， ∴OD=21AD=3. ∴点C 的坐标为(2，323+). (2)∵M 为AD 的中点， ∴DM=3，6=DCM S △. 又∵221=OMCD S 四边形， ∴29=ODM S △， ∴9=OAD S △. 设OA=x ，OD=y ，则⎪⎩⎪⎨⎧==+9213622xy y x ， ∴xy y x 222=+， 即0)(2=-y x ，∴x=y.将x=y 代入3622=+y x 得182=x ， 解得23=x (23-不合题意，舍去)， ∴OA 的长为23.（3）OC 的最大值为8.理由如下： 如图2，第26题答图2 ∵M 为AD 的中点，∴OM=3，522=+=DM CD CM .∴OC ≤OM+CM=8,当O 、M 、C 三点在同一直线时，OC 有最大值8.连接OC ，则此时OC 与AD 的交点为M ，过点O 作ON ⊥AD ，垂足为N. ∵∠CDM=∠ONM=90°，∠CMD=∠OMN ， ∴△CMD ∽△OMN ， ∴OM CMMN DM ON CD ==， 即3534==MN ON ， 解得59=MN ，512=ON ， ∴56=-=MN AM AN . 在Rt △OAN 中， ∵55622=+=AN ON OA ， ∴55cos ==∠OA AN OAD .26．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵BP⊥PQ，∴2BP＝BQ即2（6－t）＝6＋t，解得t＝2．∴当t为2时，△BPQ为直角三角形；（2）存在．作射线BF，∵PE⊥AC，∴AE＝0.5t．∵四边形CQFE是平行四边形，∴FQ＝EC＝6－0.5t，∵BF 平分∠ABC，∴∠FBQ＋∠BQF＝90°．∵BQ＝2FQ，BQ＝6＋t，∴6＋t＝2（6－0.5t），解得t＝3．（3）过点P作PG∥CQ交AC于点G，则△APG是等边三角形．∵BP⊥PQ，∴EG＝12AG．∵PG∥CQ，∴∠PGD＝∠QCD，∵∠PDG＝∠QDC，PG＝PA＝CG＝t，∴△PGD≌△QCD．∴GD＝12GC．∴DE＝12AC＝3．（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝．由折叠，得BM′＝3．当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝3.过点B′作B′H⊥AP于点H，则cos30°＝AHAB',t，解得t＝9－∴t为9－AB′的值最小，最小值为－3．MMM QB C1.（2019·重庆A 卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交与点A ，B （点A 在点B 的左侧）交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．（1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN ⊥BD 交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH ⊥x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求HF ＋FP ＋13PC 的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值，HF ＋FP ＋13PC 取得小值时，把点P单位得到点Q ，连结AQ ，把△AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△A OQ ''，其中边A Q ''交坐标轴于点G ，在旋转过程中，是否存在一点G ，使得OG Q Q ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)，D (1，－4)，直线BD ：y ＝2x －6． 如答图1，连接DN 、BN ，则S △BDN ＝12BD •MN ，而BD 为定值，故当MN 最大时，S △BDN 取最大值．此时由S △BDN ＝S △DFN ＋S △BFN ＝12EH •FN ＋12BH •FN ＝12BE •FN ＝FN ，从而S △BDN 取最大值时，即为FN 有最大值．令N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，从而FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－m 2＋4m －3＝－(m －2)2＋1，此时，当且仅当m ＝2，FN 有最大值为1，于是N (2，－3)，F (2，－2)，H (2，0)． 在直角三角形中，设最小的直角边为a ，斜边为3a ，较长直角边为3，即可求出a＝4，于是在x 轴上取点M BK (0)，连接KC ，易求直线KC ：y ＝－x －3．如答图1，过点F 作FR ⊥CK 于点R ，交OC 于点P ，作FT ⊥OC ，交CK 于点T ，则∠OCK ＝∠TFR ，于是，由△PCR ∽△ACO ∽△TFR ，得133PR OK a PC KC a ===，从而PR ＝13PC ，因此由FH 为定值，再由定点F 到直线的垂直线最短，可知MN 取得最大值时，HF ＋FP＋13PC 最小值＝HF ＋FR ．在y ＝－x －3中，当y ＝－2，x ＝－4，于是FT ＝2＋4．在Rt △FTR中，由3FR FT =，得FR ＝3FT ＝3(2＋4)＝133+，故HF ＋FP ＋13PC 最小值＝2＋13+＝．（2）(，(，，． 2.（2019·重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线2y =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q .（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK ．当△PEF 的周长最大时，求PH +HKKG 的最小值及点H 的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记作D ’，N 为直线DQ 上一点，连接点D ’，C ，N ，△D ’CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）∵2y x =+与x 轴交于A ，B 两点， ∴当y=0时，即20=+，∴122,4x x =-=，即A （－2，0），B （4，0）， 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∵C （0，，B （4，0），∴40b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∴b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线BC的解析式为y =+设点2(,4),P m m +<< ∵PE ∥y 轴且点E 在直线BC上，∴(,E m +∠PEF =∠OCE ，∴2(04),PE m =<< ∵PF ⊥BC ，∴∠PFE =∠COB =90°，∴△PEF ∽△BCO ，设△PEF 的周长为1l ，△BCO 的周长为2l ， 则12l PEl BC=，∵B （4，0），C （0，，∴BC=24l =+ 备用图图1图2∴21)(04),l m =+<< ∴当m=2时，1l此时点P 的坐标为（2，， ∵A （－2，0），C （0，，∴∠ACO =30°，∠CAO =60°， ∵BG ∥AC ，∴.∠BGD =30°，∠OBG =60°，∴G （0，-， 直线BG解析式为y -PM解析式为y =，过点G 作GN ⊥BG ，过点P 作PM ⊥GN 于点M ，如图1，此时，点H 为PM 与对称轴的交点，K 为PM 与y 轴的交点，点K 与点O 重合， 则KM=OMKG ，PH +HKKG 的最小值为线段PM 的长.（此问题是胡不归问题）.解法一：（作一线三直角利用相似求解）如图2，过点P 作PQ ∥x 轴交对称轴于点T ， 过点M 作MQ ⊥y 轴交PT 于点Q ，过点G 作GJ ⊥MQ 交MQ 于点J.设点Q （n，，∴J （n，-，∴PQ =2－n ，2－n ）， ∵GJ =－n ，∴MJ=，∴MQ +MJ =CG=(--=2－n ）+()=n =-3，∴Q （－3，，∴PQ =5， ∴PM =2PQ =10，∴PH +HKKG 的最小值为10， ∵∠OGM =60°，∠PHT=30°，∠HPT=60°，∴PT =1，∴HTH （1.图1N解法二：由上面的解法可知MG ⊥BG ，直线MG的解析式为：y =- 如图3，过点P 作PR ⊥x 轴交MG 于点R ，∴R （2，， 由第一种解法可知∠PRG =60°，∴PMP R（）=10， ∴PH +HKKG 的最小值为10，同理可求H （1.（2）这样的N 点存在.当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .【提示】由（1）可知∠ACO=30°，∠OAC=60°,又∵221)y x =++=-D （1， ∵抛物线按射线AC的方向平移，设平移后顶点'(D a +，平移后的抛物线解析式为21)y x a =--++ 图2NN该抛物线经过原点，则201)a =--+∴2280a a --=，∴a =4或a =－2（舍去），即D .设点N （1，b ）'CD =CN ='ND 如图4，当△'CD N 为等腰三角形时，分三种情况：①当'CD CN ==，可得1N ,2N ；②当''CD D N ==3N ,4N ,③当'CN D N ==可得5N ,∴当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N 有：1N ,2N ，3N ,4N ,5N .3.（2019·天津）已知抛物线y=x 2-bx+c(b,c 为常数，b>0)经过点A （-1,0），点M(m,0)是x 轴正半轴上的动点， （1）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D(b,y D )在抛物线上，当AM=AD,m=5时，求b 的值； （3）点Q(1b ,2+y Q )2QM +的最小值为4时，求b 的值. 解：(1)∵抛物线y=x 2-bx+c 经过点A （-1,0）， ∴1+b+c=0，∴c=-1-b 当b=2时，c=-3,∴抛物线的解析式为y=x 2-2x-3， ∴顶点坐标为（1，-4） （2）由(1)知，c=-1-b ， ∵点D(b,y D )在抛物线上， ∴y D =-b-1，∵b>0,∴b 02b >>，-b-1<0,∴D(b,-b-1)在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧.如图，过点D作DE⊥x轴于E，则E（b，0），∴AE=b+1=DE,所以1) b+，∵m=5，∴AM=5-（-1）=6，∴1) b+∴b=（3）∵点Q(1b,2+y Q)在抛物线上，∴yQ=2113)()12224bb b b b+-+--=--（，∴点Q（1b,2+3-24b-）在第四象限，且在直线x=b的右侧，2QM+的最小值为4，A(-1，0)∴取点N(0，1)，如图，过点Q作QH⊥x轴于H，作QG⊥AN于G,QG与x轴交于点M，则H（1b,2+0），∠GAM=45°，∴GM= AM，∵M（m,0),∴AM=m+1,MH=1b2m+-,QH=324b+,∵MH=QH,∴1b 2m +-=324b +， ∴m=1-24b ， ∴AM=13-12424b b +=+，3)24b =+2QM +33)2())24244b b +++=，∴b=4. 4.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点. （1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标； （3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将A （-1，0）和B （2，3）代入抛物线解析式得{a −2+c =04a +4+c =3解得，{a =−1c =3∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3.（2）过M 作MH ∥y 轴，交AB 于H ，设直线AB 为y =kx +b ，将A ，B 坐标代入得，{−k +b =02k +b =3解得，{k =1b =1.∴直线AB 的解析式为y =x +1.设M 为（m ，-m 2+2m +3）,则H （m ，m +1） ∴MH =y M -Y H =(-m 2+2m +3)-( m +1)=-m 2+m +2. ∴S △ABM =S △AMH +S △BMH =12·MH ·（x B -x A ）=12·(-m 2+m +2)·(2+1) =-32(m 2-m )+3=-32(m -12)2+278.∵四边形MANB 是以MA 、MB 为相邻的两边的平行四边形， ∴△ABM ≌△BAN .∴S 四边形MANB =2 S △ABM =-3(m -12)2+274，∵a =-3＜0且开口向下，∴当m =12时，S 四边形MANB 的最大值为274. 此时，M 坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：过P 作直线y =174的垂线，垂足为T ，∵抛物线为y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x =1，顶点坐标为（1,4）. 当P 为顶点，即P （1.4）时， 设F 点坐标为（1，t ）， 此时PF =4-t ，PT =174-4=14.∵P 到F 的距离等于到直线y =174的距离， ∴4-t =14， 即t =154.∴F 为（1，154）设P 点为（a ，-a 2+2a +3）,由勾股定理，PF 2=(a -1)2+(-a 2+2a +3-154)2 =a 4-4a 3+132a 2-5a +2516.又∵PT 2=[174-(-a 2+2a +3)]2= a 4-4a 3+132a 2-5a +2516. ∴PF 2=PT 2，即PF =PT .∴当F 为（1，154）时，抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离 .27．（2019·淮安）如图①，在△ABC 中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D 是BC 的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB.将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转80°，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到△BPE.小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧. 请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： (1)当点E 在直线AD 上时，如图②所示. ①∠BEP=°；②连接CE ，直线CE 与直线AB 的位置关系是.(2)请在图③中画出△BPE ，使点E 在直线AD 的右侧，连接CE.试判断直线CE 与直线AB 的位置关系，并说明理由.(3)当点P 在线段AD 上运动时，求AE 的最小值.【解题过程】（1）①由题意得，PE=PB ，∠BPE=80°，∴∠BEP=︒=︒-︒50280180； ②如图所示，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∠BAC=100°，∴∠ABC=︒=︒-︒402100180，∵∠BEP=50°，∴∠BCE=∠CBE=40°， ∴∠ABC=∠BCE ， ∴CE ∥AB.答案：①50°；②平行（2）在DA 延长线上取点F ，使∠BFA=∠CFA=40°，总有△BPE ∽△BFC. 又∵△BPF ∽△BEC ， ∴∠BCE=∠BFP=40°， ∴∠BCE=∠ABC=40°， ∴CE ∥AB.(3)当点P 在线段AD 上运动时，由题意得PB=PE=PC ， ∴点B 、E 、C 在以P 为圆心、PB 为半径的圆上， 如图所示：∴AE 的最小值为AC=3.5.（2019·凉山州）如图，抛物线y = ax 2+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）. （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △P AM =S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题知⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-30390c c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2+2x +3；（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△P AC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P （1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2231+=10；在Rt △OBC 中，BC =2233+=32.∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A =PB ，∴△P AC 的周长=AC +PC +P A = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△P AC 的周长为10+32；（3）存在.由题知AB =4，∴S △P AC =S △ABC -S △P AB =21×4×3-21×4×2=2.设：AP :y =mx +n ，则⎩⎨⎧=+=+-20n m n m ，解得⎩⎨⎧==11n m ，∴AP :y =x +1. ①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由⎩⎨⎧++-=+=3232x x y x y 解得⎩⎨⎧==3011y x ，⎩⎨⎧==4122y x ，∴M （1,4）；②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △P AC =21×2×2=2=S △P AC .过点E 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由⎩⎨⎧++-=-=3212x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=2171217111y x （舍），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=2171217122y x ，∴M （2171+,2171+-）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（2171+,2171+-）.27．（2019·苏州，26，10）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M的运动速度为cm/s，BC的长度为cm；（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N 经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．图①图②图③（第27题）【解题过程】解：（1）∵t＝2.5s时，函数图象发生改变，∴t＝2.5s时，M运动到点B处，∴动点M的运动速度为52.52cm/s，∵t＝7.5s时，S＝0，∴t＝7.5s时，M运动到点C处，∴BC＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm），故答案为2，10；（2）①∵两动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），∴当在点C 相遇时，v 527.53==（cm/s ），当在点B 相遇时，v 5102.5+==6（cm/s ），∴动点N 运动速度v （cm/s ）的取值范围为23cm/s ＜v ≤6cm/s ； ②过P 作EF ⊥AB 于F ，交CD 于E ，如图所示：则EF ∥BC ，EF ＝BC ＝10，∴AF APAB AC=，∵AC==∴5AF =解得AF ＝2，∴DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，PF ==4， ∴EP ＝EF ﹣PF ＝6，∴S 1＝S △APM ＝S △APF +S 梯形PFBM ﹣S △ABM 12=⨯4×212+（4+2x ﹣5）×312-⨯5×（2x ﹣5）＝﹣2x +15，S 2＝S △DPM ＝S △DEP +S 梯形EPMC ﹣S △DCM 12=⨯2×612+（6+15﹣2x ）×312-⨯5×（15﹣2x ）＝2x ，∴S 1•S 2＝（﹣2x +15）×2x ＝﹣4x 2+30x ＝﹣4（x 154-）22254+，∵2.5154＜＜7.5，在BC 边上可取，∴当x 154=时，S 1•S 2的最大值为2254．第27题答图6.(2019·巴中)如图,抛物线y ＝ax 2+bx －5(a ≠0)经过x 轴上的点A(1,0)和点B 及y 轴上的点C,经过B,C 两点的直线为y ＝x+n.①求抛物线的解析式;②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 描,求t 为何值时,△PBE 的面积最大,并求出最大值.③过点A 作AM ⊥BC 与点M,过抛物线上一动点N(不与点B,C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q,若点A,M,N,Q 为顶点的四边形是平行四边形.求点N 的横坐标.第26题图分析:①由点A 和直线y ＝x+n 可得方程组,解出系数,求得二次函数的解析式;②根据题意表示出三角形面积,利用二次函数最值进行求解;③分析得到AM 平行且等于NQ,设出坐标,利用坐标关系列方程进行求解,并检验.解：①因为点B,C 在y ＝x+n 上,所以B(－n,0),C(0,n),因为点A(1,0)在抛物线上,所以250505a b an bn n ì+-=ïï--=íï=-ïî,解得,a ＝－1,b ＝6,所以抛物线的解析式为:y ＝－x 2+6x －5.②由题意得:PB ＝4－t,，BE ＝2t ，由①可知:∠OBC ＝45°,点P 到BC 上的高h ＝BPsin45(4－t), 所以S △PBE ＝12BE h 鬃＝)22t --+当t ＝2时,S取得最大值为③因为l BC :y ＝x －5,所以B(5,0), 因为A(1,0),所以AB ＝4,在Rt △ABM 中,∠ABM ＝45°,AMAB＝M(3,－3)， 过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P 交x 轴于点H, 设N(m,－m 2+6m －5),则H(m,0),P(m,m －5),易证△PQN 为等腰直角三角形,即NQ ＝PQ＝所以PN ＝4.当NH+HP ＝4时,即－m 2+6m －5－(m －5)＝4, 解之得,m 1＝1,m 2＝4.当m 1＝1时,点N 与点A 重合,故舍去;当NH+HP ＝4时,即m －5－(－m 2+6m －5)＝4, 解得,m 12因为m>5,所以m当NH －HP ＝4,即－(－m 2+6m －5)－[－(m －5)]＝4,解得,m 12因为m<0,所以m综上所述,要使点A,M,N,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点N 的横坐标为:4第26题答图7.（2019·淄博）如图，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． (3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA ＝OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．解：(1)将A 、B 两点坐标代入抛物线表达式,得933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩,解得12a b =-⎧⎨=⎩.∴y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)假设存在点P ，使△P AM 是直角三角形.当点M 为直角顶点，过M 作CD ⊥y 轴，过A 作AD ⊥x 轴，交CD 于D ，CD 交y 轴于C ，∵∠AMP ＝90°， ∴∠CMP ＋∠AMD ＝90，∴∠CMP ＝∠MAD ，又∵∠DM ＝∠PCM ，∴△CPM ∽△DMA ,∴CM AD ＝PCMD， ∴14＝2PC ，∴PC ＝12，∴P 1(0,72); 当点A 为直角顶点，过A 作CD ⊥x 轴，过M 作MD ⊥y 轴交AD 于D ，过P 作PC ⊥y 轴交CD 于C ，同上△CP A∽△DAM ，∴PC AD ＝AC MD ，∴34＝2AC ，∴AC ＝32，∴P 2(0,－32); 当点P 为直角顶点，过M 作CM ⊥y 轴于C ，∴△CPM ∽△OAP ，∴PC AO ＝CM PO ，∴3PC ＝14-PC，∴PC ＝1或3，∴P 3(0,3)，P 4(0,1).综上所述，使△P AM 是直角三角形的点P 的是P 1(0,72)，P 2(0,－32)，P 3(0,3)，P 4(0,1).(3)（方法1）由(1)得DA ＝OA ＝3，设D (x ,y )，△ADG 的内切圆半径为r ，则△ADG 的内心I 为(x ＋r ,r ), ∴DG ＝y ,AG ＝3－x由两点距离公式可得()2222339DA x y =-+==①图(2)答图1由等面积法得r ＝()33+22y x DG AG DA +---==2y x-② ∴()()2223CI x r r =++-③由①②③得(2229123124CI x y -⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，2CI 在3335=512105x y =--，最小，此时CI 也最小，()()min 912253=10-242CI -=（方法2）简解：如图，由内心易知：∠DIA ＝135°，∠DAI ＝∠OAI ，△DAI ≌△OAI （SAS ），∴∠DIA ＝∠OIA ＝135°，则I 在圆周角∠OIA ＝135°⊙T 的圆周上运动，且半径R ＝322，圆心T 为(32,32)，∴CI ＝3102在△CIA 中，CI ≥CT －IT ＝()310-22，当C 、I 、T 三点一线时，()min 3=10-22CI .8.(2019·枣庄)已知抛物线y ＝ax 2+32x+4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；(2)如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合)，是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.(3)如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标.Iy 12解：(1)抛物线y＝ax2+32x+4的对称轴为:x＝332224ba a a-=-=-＝3,∴a＝14-,∴抛物线的解析式为:y＝14-x2+32x+4,令y＝0,得14-x2+32x+4＝0,解之,得,x1＝－2,x2＝8,∵点B在点A的右侧,∴A(－2,0),B(8,0);(2)连接BC,在抛物线y＝14-x2+32x+4中,令x＝0,得y＝4,∴C(0,4),∴OC＝4,OB＝8,∴S△OBC＝16,∵B(8,0),C(0,4),设l BC：y＝kx+b，得0＝8k+b，4＝b，∴k＝12-,b＝4,l BC：y＝12-x+4,∴过点P作PD∥y轴交BC于点D,过点C作CE垂直PD于点E,过点B作BF⊥PD于点F,则S△PBC＝S△PCD+S△PBD＝12PD×CE+12PD×BF＝12PD×(CE+BF)＝12PD×(x B－x C)＝12PD×8＝4PD,∵点P在抛物线上,设点P(x,14-x2+32x+4),∵PD∥y轴,点D在直线BC上,∴D(x,12-x+4),∵点P在B,C间的抛物线上运动,∴PD＝y P－y D＝14-x2+32x+4－(12-x+4)＝14-x2+2x,S△PBC＝4PD＝4(14-x2+2x)＝－x2+8x＝－(x－4)2+16，∴当x＝4时，S△PBC取最大值16，∴此时S四边形OBPC＝S△OBC+S△PBC＝32;第25题答图(3)∵MN∥y轴,∴设M,N的横坐标为m,∵点M在抛物线上,设点M(m,n),其中n＝14-m2+32m+4,点N在直线BC上,∴N(m,12-m+4),∵点M是抛物线上任意一点,∴点M和点N的上下位置关系不确定,∴MN＝|14-m2+32m+4－(12-m+4)|＝|14-x2+2x|,∵MN＝3,∴|14-x2+2x|＝3,即14-x2+2x＝3或14-x2+2x＝－3,解这两个方程,得m1＝2,m2＝6, m3＝4+4＝4－∴n1＝6, n2＝4, n3－1, n4－1,∴M1(2,6), M2(6,4), M3(4+－1), M4(4－1).9.(2019·聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(－2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线,线段BC以及x轴于点P,D,E.(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标;(3)作PF⊥BC,垂足为F,当直线l运动时,求Rt△PFD面积的最大值.第25题图解：(1)由已知,将C(0,8)代入y ＝ax 2+bx+c,∴c ＝8,将点A(－2,0)和B(4,0)代人y ＝ax 2+bx+8,得428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解得12a b =-⎧⎨=⎩,∴抛物线的表达式为y ＝－x 2+2x+8; (2)∵A(－2,0),C(0,8),∴OA ＝2,OC ＝8,∵l ⊥x 轴,∠PEA ＝∠AOC ＝90°,∵∠PAE ≠∠CAO,只有当∠PAE ＝∠ACO 时,△PEA ∽△AOC.此时AE PECO AO=,∴AE ＝4PE.设点P 的纵坐标为k,则PE ＝k,AE ＝4k,∴OE ＝4k －2,P 点的坐标为(4k －2,k),将P(4k －2,k)代入y ＝－x 2+2x+8,得－(4k －2)2+2(4k －2)+8＝k,解得k 1＝0(舍去),k 2＝2316,当k ＝2316时,4k －2＝154,∴P 点的坐标为(154,2316). (3)在Rt △PFD 中,∠PFD ＝∠COB ＝90°,∵l ∥y 轴,∴∠PDF ＝∠OCB,∴Rt △PFD ∽Rt △BOC,∴2PFD=S PD S BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△BOC,∴S △PFD ＝2PD S BC ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭△BOC ,由B(4,0)知OB ＝4,又∵OC ＝8,∴BC 又S △BOC ＝12OB OC ⋅＝16,∴S △PFD ＝215PD ,∴当PD 最大时,S △PFD 最大.由B(4,0),C(0,8)可解得BC 所在直线的表达式为y ＝－2x+8,设P(m,－m 2+2m+8),则D(m,－2m+8),∴PD ＝－(m －2)2+4,当m ＝2时,PD 取得最大值4,∴当PD ＝4时,S △PFD ＝165,为最大值.10.（2019·济宁）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝10，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ． （1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN ＝∠DAM ，设AM ＝x ，DN ＝y ． ①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由折叠可得AF＝AD＝10,EF＝ED,矩形ABCD中，∠B＝90°，∴AB2＋BF2＝AF2,∴6, BF===∴CF＝BC－BF＝AD－BF＝10－6＝4．设CE＝x，则EF＝DE＝CD－CE＝AB－CE＝8－x，∵EF2＝CE2＋CF2．∴(8－x)2＝x2＋42．∴x＝3，∴CE＝3．（2）①∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠AGF,∵∠DAG＝∠F AG, ∠DAG＝∠AGF,∴∠F AG＝∠AGF,∴AF＝FG＝10，∴BG＝BF＋FG＝6＋10＝16．∵矩形ABCD中∠B＝90°，∴AB2＋BG2＝AG2,∴AG==∵AD＝FG，AD∥FG,∴四边形AFGE是平行四边形，又∵AD＝AF，∴平行四边形AFGE是菱形，∴DG＝DA＝10，∴∠DAG＝∠DGA,∵∠DMG＝∠DMN＋∠NAG＝∠DAM＋∠ADM, ∠DMN＝∠DAM，∴∠NMG＝∠ADM．在△ADM和△MNG中，∠ADM＝∠NMG, ∠DAG＝∠DGA,∴△ADM∽△GMN．∴AD AMMG NG=10xy=-，∴211010y x x=+，∵110＞0，∴当51210x=-=⨯时，y有最小值为214101021410⎛⨯⨯-⎝⎭=⨯．∴y关于x的函数解析式是：211010y x x=-+，当x=y有最小值为2．②在△DMN和△DMG中，∠DMN＝∠DGM，∠MDG＝∠MDG,∴△DMN和△DMG是相似三角形．当△DMG是等腰三角形时，△DMN也是等腰三角形．∵M 不与A 重合，∴DM ≠DG ,∴△DMG 是等腰三角形只有GM ＝GD 或DM ＝GM 两种情况：（1）如图3，当△DMG 中GM ＝GD ＝10时，△DMN 也是等腰三角形，即x ＝AG －MG ＝10;（2）如图4，当△DMG 中DM ＝GM 时，△DMN 也是等腰三角形，∴∠MDG ＝∠DGM ，∴∠DAG ＝∠MDG ＝∠MDG ,∴△ADG ∽△DMG ，∴AD AGMG DG =,=x综上：当x 的值为2△DMN 是等腰三角形． 11.（2019·滨州）如图①，抛物线y ＝－x 2+x +4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ．（1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 的距离为时，求sin ∠P AD 的值．解：（1）当x ＝0时，y ＝4，则点A 的坐标为（0，4），………………………………………1分当y ＝0时，0＝－x 2+x +4，解得x 1＝－4，x 2＝8，则点B 的坐标为（－4，0），点C 的坐标为（8，0），∴OA ＝OB ＝4，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°．∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0）．………………………………………………………………………2分设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝－x+4．……………………………………………………………4分（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，－t2+t+4），则点N的坐标为（t，－t+4），∴PN＝（－t2+t+4）－（－t+4）＝－t2+t，………………………………………………6分∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°．作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（－t2+t）＝t＝－（t－6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），………………………………8分即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是．………………9分②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得t1＝2，t2＝10，………………………………………………………………………10分则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，－）．当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；…………………………………………………………12分当P2的坐标为（10，－），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠P AD的值是或．……………………………………………14分。
中考数学复习50个知识点专题专练48几何型综合问题
中考数学50个知识点专练48 几何型综合问题一、选择题1．(2011·潜江)如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝46°，∠CEF ＝154°，则∠BCE 等于( )A ．23°B ．16°C ．20°D ．26°2．(2011·枣庄)如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致，那么应该选择的拼木是( )3．(2011·桂林)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3, AC ＝4，则sin A 的值为( )A.34B.43C.35D.454．(2011·福州)如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD ，若BD ＝6，DF ＝4，则菱形ABCD 的边长为( )A ．4 2B ．3 2C ．5D ．75.(2011·鸡西)如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE ＝3，ED＝4，则AB的长为()A．3 B．2 3 C.21 D．3 5二、填空题6．(2011·盐城)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是__________．7．(2011·黄石)有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图．将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为__________．8．(2011·宁波)如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.9．(2011·呼和浩特市)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE＝2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为__________．10．(2011·盐城)如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm，灯罩BC长为30 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE________cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.732)12．(2011·南京)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．(1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点；(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C.①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．13．(2011·天津)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(0,4)．以点A 为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD.记旋转转角为α，∠ABO为β.(1)如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；(2)如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；(3)当旋转后满足∠AOD＝β时，求直线CD的解析式．(直接写出结果即可)。
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中考数学50个知识点专练48 几何型综合问题
一、选择题 1．(2011·潜江)如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝46°，∠CEF ＝154°，则∠BCE 等于( )
A ．23°
B ．16°
C ．20°
D ．26°
2．(2011·枣庄)如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致，那么应该选择的拼木是( )
3．(2011·桂林)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3, AC ＝4，则sin A 的值为( )
A.34
B.43
C.35
D.45
4．(2011·福州)如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD ，若BD ＝6，DF ＝4，则菱形ABCD 的边长为( )
A ．4 2
B ．3 2
C ．5
D ．7
5.(2011·鸡西)如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE
＝3，ED＝4，则AB的长为()
A．3 B．2 3 C.21 D．3 5
二、填空题
6．(2011·盐城)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是__________．
7．(2011·黄石)有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图．将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为__________．
8．(2011·宁波)如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.
9．(2011·呼和浩特市)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE＝2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为__________．
10．(2011·盐城)如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm，灯罩BC长为30 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE________cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.732)
12．(2011·南京)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
(1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点；
(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C.
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
13．(2011·天津)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(0,4)．以点A 为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD.记旋转转角为α，∠ABO为β.
(1)如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
(2)如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；
(3)当旋转后满足∠AOD＝β时，求直线CD的解析式．(直接写出结果即可)。