高中数学教学论文从函数视角研究数列

从函数视角研究数列

沪教版高二年级第一学期课本中第6页写道：“从函数的观点看，数列可以看成是以正整数

集（或其子集）为定义域的函数。”数列是一个定义在正整数集（或其子集）上的特殊函数。

从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问

题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识。因

此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，

架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题。

一、数列通项公式、求和公式与函数关系

通过对数列中的通项公式以及前n项和公式等这些特殊的函数关系的概念理解与分析，引导

学生充分认识，和n的对应关系，从而利用概念，鼓励学生主动探究，挖掘出数列通

项公式、求和公式与函数的内在联系，使学生知识系统化，培养学生数学整体意识，用联系

发展的眼光学习数学。在教学实践过程中，通过学生的自主学习，发挥他们的主体作用，归

纳出数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

数列通项公式对应函数

等差数列

（时为一次函数）

等比数列

（指数型函数）

数列前n项和公式对应函数

等差数列

（时为二次函数）等比数列

（指数型函数）

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于

n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例1：等差数列中，，则

分析：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，一

次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成直

线斜率相等，即，得=0（图像如下），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例2:等差数列中，，前n项和为，若，n 为何值时最大？分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为

，即当时，最大。

例3：等差数列和等比数列首项均为1，且公差不等于1，公比，则集合{(n,an)|}一定含有元素

分析：等差数列，由于首项为1，即，所以它的图像是必过（1，1）的一条直线，而等比数列首项为1，公比为q，，故，

它表示指数函数图像向右平移一个单位得到，必过（1，1），所以此集合中必定含有元素（1，1）。

二、构建函数，揭示数列本质

新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法。而学会构建函数，一方面体现了学生在学

习过程中的体验、思考与参与，另一方面也培养了学生的思维品质和创新意识。在构建函数之后，我们需要利用函数的概念和性质来解决问题。函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性等等。在数列学习中渗透函数思想，不仅可以进一步巩固函数知识，而且可以拓宽学生解决数列问题的视野。

1、构造具体函数，成功“转化”

例4:递增数列，对任意正整数n，恒成立，求

分析：构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立，设，则只需求出的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：。

构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，，得

例5：数列通项,前30项中最大项和最小项分别是(C)

A B C D

分析:构造特殊函数，将数列通项整理，“脱去外衣”（分离常数），得.

该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例函数图像（如图）。根据函数图像特点,判断出答案应选(C).

2、构造抽象函数，成功“突围”

例6：已知数列满足，，则

分析：因为不清楚数列的具体类型，所以仅仅利用数列的知识不容易解决，而此时我们从函数视角去考虑，就容易联想到函数的周期性。

令，则

那么函数满足①，则②，

①+②，得，则，即函数周期为

12

…+…+=…-…-=0

所以……=……

+===

3、数列应用题中构造函数，成功“解决”

数列知识本身就是来源于实际问题，又被广泛应用于实际问题，带有情境的数列问题，不仅可以考察学生的综合能力，而且可以考察学生解决实际问题的能力。

例6：在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？分析：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月工资数分别为

其中

问题是该人在A公司比在B公司工资每月高出部分的最大值

故需要比较和

可设

所以问题转化为研究函数最大值

因为当时

即

所以当时，单调递增，而当时，单调递减，因而当时，

有最大值（计算器算出）。

故此人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出827元。

通过对以上实例的研究和分析，笔者发现，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用。因此，在教学实践过程中，教师应创设恰当的情境，让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在感悟的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法，理解用函数思想解决数列问题的本质。当学生理解并掌握之后，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决多种数列问题。同时，我们的学生的知识网络能够得以不断优化与完善，思维丰富并发散，对知识的掌握与运用能够驾轻就熟。