线性代数同济六版知识点总结

1。

二阶行列式——-----—对角线法则 :2. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列. 所有排列的种数用 表示， = n!逆序数:对于排列…，如果排在元素前面,且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列:逆序数为奇数的排列。

偶排列：逆序数为偶数的排列。

n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。

4. 其中： 是1，2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5。

下三角行列式： 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6。

行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等。

（转置：行变列，列变行）。

D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论 :两行（列）相同的行列式值为零。

互换两行:③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。

第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。

如:333231232221131211a a a a a a aa a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn2121)n(n λλλ1)( --=1n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a +1n1j 12111n 1j 1211a c a a a c a a a b a aa b a a⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。

如第j 列的k 倍加到第i 列上:7。

重要性质:利用行列式的性质或,可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶行列式的值。

（P11页例7)8. 行列式按行（列)展开法则（＊＊＊重要*＊＊） ①重要概念：余子式：在 n 阶行列式中,把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的（ n −1 )2个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做a ij 的余子式，记为M ij代数余子式：记 A ij = （ −1 ) i+jM ij 为元素 a ij 的代数余子式 . ②重要性质，定理1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。

2）行列式按行（列)展开法则：行列式等于它的任意一行（列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即:推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 或使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素a ij ，并将该行其他元素 通过性质化为0，则D = a ij A ij 9。

利用Cramer 法则求解n 个n 元线性方程组：①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。

等于0,则无解其中（j=1,2…n ） 是把系数行列式中的第j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n 阶行列式即：②对于齐次线性方程组，如果系数行列式D ≠ 0，则该方程组只有零解,若D = 0，则存在非零解.n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a+++n nn j n i n 12n2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a =in in i2i2i1i1A a A a A a D +++= njnj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++= j i 0A a A a A a j n i n j 2i 2j 1i 1≠=+++ j i 0A a A a A a n j n i 2j 2i 1j 1i ≠=+++ 或 0a a a a a a a a a D nn n2n12n22211n1211≠= D D x ,,D D x ,D D x n n 2211=== n.,1,2,j a a b a a a a b a a a a b a a D nn 1j n,n 1j n,n12n1j 2,21j 2,211n1j 1,11j 1,11j ==+-+-+-第二章1. 矩阵相关的概念：矩阵:由 m ×n 个数(i=1，2，…,m ； j=1，2，…，n ）排成的 m 行 n 列的数表（是一组数）。

行（列)矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列)向量。

同型矩阵:行数，列数均相等的两个矩阵A=B : 矩阵A 和矩阵B 为同型矩阵，且对应的元素相等.零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O ，不同型的零矩阵是不相等的. 对角矩阵:对角线元素为12,,,nλλλ，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵,()1212diag ,,,n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Λ111⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E2. 矩阵的运算1）加法:只有两个矩阵为同型矩阵时,才能进行加法运算。

A+B 等于对应元素相加起来.满足交换律和结合律 2）数与矩阵相乘①()()A A λμλμ=，②()λμλμ+=+A A A ，③()λλλ+=+A B A B3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数,列数为后一个矩阵的列数；11221si j i j is ij sj k k k i jc a b a b a b a b ==+++=∑即:乘积矩阵的第i 行，第j 列元素为前一个矩阵的第i 行元素与后一个矩阵的第j 行元素对应相乘再相加。

注意:一般情况下：AB ≠ BA. 但是满足结合律和分配律。

EA = AE = A4）矩阵的幂:若 A 是 n 阶方阵,则：显然:22222()()2()()k k kAB A B A B A AB B A B A B A B =+=+++-=-3. 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作A T. 如：A 、B 可交换时才成立, ()k l k l k l klA A A A A +==122,458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1425;28TA ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭111212122211nn m m mn a a a a a a A A a a a λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭性质：设A 为n 阶方阵,如果满足 ，即，则A 为对称阵如果满足，即，则A 为反对称阵4。

方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式,叫做方阵 A 的行列式，记作|A ｜或det A .性质：①T||||=A A ,②||||nλλ=A A ,③||||||=AB A B .5. 伴随矩阵：其中是的代数余子式,*A 称为A 的伴随矩阵.（特别注意符号）6. 逆矩阵：对于n 阶方阵 A ，如果有 n 阶方阵 B ，使得AB = BA = E ，则称A 可逆，B 为A 的逆矩阵，记为。

且A 的逆矩阵是唯一的. 判断方阵A 是否可逆: ≠ 0A 可逆，且逆矩阵推论：若 ≠ 0，则。

此时称A 为非奇异矩阵.若，则称A 为奇异矩阵. 二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调,副对角线两数反号。

单位矩阵E 是可逆的。

零矩阵是不可逆的。

对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数.推论：如果 n 阶方阵A 、B 可逆，那么、、 λA (λ≠0)、AB 也可逆且：用逆矩阵求解线性方程组：已知，若AB 可逆，则（A 在X 左边，则必须在C 左边，B 也如此）7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块;每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

分块矩阵的运算：(其运算与矩阵运算基本一致）1）加法：要求矩阵A 和B 是同型矩阵,且采用相同的分块法（即相对应的两个子块也是同型的)2）分块矩阵A 的转置：除了A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。

8. 分块对角矩阵： 设 A 是 n 阶矩阵，若：①A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， (3) ();T T A A λλ=(4) ().T T T AB B A =112111222212n n n nnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭注意：元素的代数余子式是位于的第j 行第i 列（类似于转置） 性质：A = ----->11(),A A --=11()(),T T A A --=111(),A A λλ--=111().AB B A ---=（5）12A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪②其余子块都为零矩阵③对角线上的子块都是方阵则称A 为分块对角矩阵.性质:①｜ A | = | A 1 | ｜ A 2 | … ｜ A s |②若｜ A s ｜ ≠0，则 | A ｜ ≠0,并且分块副对角矩阵:A = O 的充分必要条件:第三章1. 初等行变换：(运算符号：）—-—— 注意与行列式的运算加以区分①互换两行，记做②第i 行乘以非0常数k ，记做③第j 行的k 倍加到第i 行上,记做2。

若矩阵A 经过有限次初等变换成矩阵B ，则称A 与B 等价，记做的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B3。

矩阵之间等价关系的性质：①反身性: ②对称性：若,则 ③传递性：若，,则4. 行阶梯形矩阵：1）可画出一条阶梯线,线的下方全为零; 2）每个台阶只有一行;3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素. 行最简形矩阵：4）非零行的首非零元为1；5）首非零元所在的列的其它元素都为零.5。

初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

（是可逆的） 1）单位矩阵对换i ，j 行，记作2）以常数 k ≠0 乘单位矩阵第 i 行(列）， 记作3)以 k 乘单位矩阵第 j 行加到第 i 行,记作性质1：左行右列设A 是一个 m ×n 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.性质2:方阵A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P 1, P 2， …, P l ,使 A = P 1 P 2 …, P l ．推论：方阵 A 可逆的充要条件是如果 ，则存在可逆矩阵P,使PA = B.⇔ ：即当A 变换成B 是时，E 变为P(求P)求方阵A 的逆矩阵 方法总结：方法1：①判断A 可不可逆：若⇔ A 可逆 --— 书中P41页111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪⎪⎪⎝⎭~rA E r r②：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号方法2：本身蕴含了判断A 可不可逆的条件，即 ⇔ A 可逆 -—— 书中P64页例2：即对矩阵 (A,E) 进行初等行变换，当A 变成E 时，E 就变成了所求的求：该方法用来求方程组⇔ -—— 若，可先化为方法: ：即对矩阵 （A ，B ） 进行初等行变换，当A 变成E 时，B 就变成了所求的二、 矩阵的秩1. k 阶子式:在 m ×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列（ k ≤ m ,k ≤ n )，位于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变它 们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．m ×n 矩阵A 的k 阶子式共有 个2。