概率统计实验

§13.6概率统计实验[学习目标]1． 会用Mathematica 求概率、均值与方差；2． 能进行常用分布的计算；3． 会用Mathematica 进行期望和方差的区间估计；4． 会用Mathematica 进行回归分析。

概率统计是最需要使用计算机的领域，过去依靠计算器进行统计计算，由于计算机的普及得以升级换代。

本节介绍Mathematica 自带的统计程序包，其中有实现常用统计计算的各种外部函数。

一、 样本的数字特征1. 一元的情况Mathematica 的内部没有数理统计方面的功能，但是带有功能强大的数理统计外部程序，由多个程序文件组成。

它们在标准扩展程序包集的Statistic 程序包子集中，位于目录D ：\Mathematica\4.0\AddOns\StandardPackages\Statistics下。

通过查看Help ，可以找到包含所需外部函数的程序文件名。

在程序文件DescriptiveStatistics.m 中，含有实现一元数理统计基本计算的函数，常用的有：SampleRange[data] 求表data 中数据的极差（最大数减最小数）。

Median[data] 求中值。

Mean[data] 求平均值∑=ni i x n 11。

Variance[data] 求方差（无偏估计）∑=--ni i x x n 12)(11。

StandardDeviation[data] 求标准差（无偏估计）∑=--ni i x x n 12)(11。

VarianceMLE[data] 求方差∑=-ni i x x n 12)(1。

StandardDeviationMLE[data] 求标准差∑=-ni i x x n 12)(1。

实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help 浏览。

例1 给出一组样本值：6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3，计算样本个数、最大值、最小值、均值、方差、标准差等。

解：In[1]：= << Statistics `DescriptiveStatistics`In[2]：= data = {6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3}；In[3]：=Length[data]Out[3]=7In[4]：=Min[data]Out[4]= 3.8In[5]：=Max[data]Out[5]= 6.6In[6]：=SampleRange[data]Out[6]= 2.8In[7]：=Median[data]Out[7]= 6.In[8]：=Mean[data]Out[8]= 5.75714In[9]：=Variance[data]Out[9]= 0.962857In[10]：=StandardDeviation[data]Out[10]= 0.981253In[11]：=VarianceMLE[data]Out[11]= 0.825306In[12]：= StandardDeviationMLE[data]Out[12]= 0.908464说明：在上例中，In[1]首先调入程序文件，求数据个数、最大值和最小值使用内部函数。

2. 多元的情况在程序文件MultiDescriptiveStatistics.m 中，含有实现多元数理统计基本计算的函数，常用的有：SampleRange[data] 求表data 中数据的极差。

Median[data] 求中值。

Mean[data] 求平均值。

Variance[data] 求方差（无偏估计）。

StandardDeviation[data] 求标准差（无偏估计）。

VarianceMLE[data] 求方差。

StandardDeviationMLE[data] 求标准差。

Covariance[xlist ，ylist] 求x ，y 的协方差（无偏估计）∑=---n i i i y y x x n 1))((11。

CovarianceMLE[xlist ，ylist] 求x ，y 的协方差∑=--n i i i y y x x n 1))((1。

Correlation[xlist ，ylist] 求x ，y 的相关系数∑∑∑===----n i n i n i i i i i y y x x y y x x11122)()(/))((。

实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help 浏览。

例2 给出4个样本值：{1.1，2.0，3.2}，{1.3，2.2，3.1}，{1.15，2.05，3.35}，{1.22，2.31，3.33}，计算样本个数、均值、方差、标准差等。

解：In[1]：= << Statistics `MultiDescriptiveStatistics `In[2]：= data = {{1.1，2.0，3.2}，{1.3，2.2，3.1}，{1.15，2.05，3.35}，{1.22，2.31，3.33}}；Length[data]Out[3]=4In[4]：=SampleRange[data]Out[4]= {0.2，0.31，0.25}In[5]：=Median[data]Out[5]= {1.185，2.125，3.265}In[6]：=Mean[data]Out[6]= {1.1925，2.14，3.245}In[7]：=Variance[data]Out[7]= {0.00755833，0.0200667，0.}In[8]：=VarianceMLE[data]Out[8]= {0.00566875，0.01505，0.010325}In[9]：=CentralMoment[data ，2]Out[9]= {0.00566875，0.01505，0.010325}In[10]：=x=data[[All ，1]]；y=data[[All ，2]]；z=data[[All ，3]]；In[11]：=Covariance[x ，y]Out[11]=0.0093In[12]：=Covariance[z ，z]Out[12]=0.In[13]：=CovarianceMLE[y ，y]Out[13]=0.01505In[14]：=Correlation[y，z]Out[14]=0.In[15]：=Correlation[x，x]Out[15]=1.二、常用分布的计算在计算机出现以前，统计计算总是依赖一堆函数表。

使用本节介绍的函数可以取代查表，为实现各种统计计算的自动化做好了底层准备工作。

1.离散分布程序文件DiscreteDistributions.m中，含有用于离散分布计算的函数。

其中常用的离散分布有：BernoulliDistribution[p] 贝努利分布。

BinomialDistribution[n，p] 二项分布。

GeometricDistribution[p] 几何分布。

HypergeometricDistribution[n，M，N] 超几何分布。

PoissonDistribution[λ] 泊松分布。

DiscreteUniformDistribution[n] 离散的均匀分布。

NegativeBinomialDistribution[n，p] 负二项分布。

以上函数中的参数，既可以是数值的，也可以是符号的。

使用这些函数只能按用户给出的参数建立一个表达式，并不能返回任何其它结果。

真正进行计算的是下面的求值函数，它们使用以上的分布表达式作为一个参数。

常用的求值函数有：Domain[dist] 求dist的定义域。

PDF[dist，x] 求点x处的分布dist的密度值。

CDF[dist，x] 求点x处的分布函数值。

Quantile[dist，q] 求x，使CDF[dist，x]达到q。

Mean[dist] 求分布dist的期望。

Variance[dist] 求方差。

StandardDeviation[dist] 求标准差。

ExpectedValue[f，dist，x] 求E f（x）。

CharacteristicFunction[dist，t] 求特征函数φ（t）。

Random[dist] 求具有分布dist的伪随机数。

RandomArray[dist，dims] 求维数为dims的伪随机数的数组。

例3观察下面二项分布的各种基本计算。

In[1]：= << Statistics `DiscreteDistributions`In[2]：= b=BinomialDistribution[n，p]In[3]：=Mean[b]Out[3]=npIn[4]：=Variance[b]Out[4]= n （1-p ）pIn[5]：=CharacteristicFunction[b ，t]Out[5]= (1-p+e it p ）nIn[6]：=b=BinomialDistribution[10，0.3]Out[6]= BinomialDistribution[10，0.3]In[7]：=Domain[b]Out[7]= {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}In[8]：=PDF[b ，4]Out[8]= 0.200121In[9]：=CDF[b ，3.9]Out[9]= 0.649611In[10]：=CDF[b ，4]Out[10]= 0.849732In[11]：=Variance[b]Out[11]= 2.1说明：在上例中，首先调入程序文件。

In[2]用b 表示具有符号参数的二项分布，这一步只是为了后面输入时方便，并非必需的，也可以使用嵌套省略这一步。

In[3]~In[5]进行的是符号运算，可以得到期望、方差等的一般公式。

这是本程序与一般统计软件的不同之处，充分体现了Mathematica 的特色。

接下来给出具体的参数值，进行数值计算，这些计算取代了查表。

以下是一些更广泛、深入的例子。

例4 观察下面离散分布的各种计算。

In[1]：= << Statistics `DiscreteDistributions`In[2]：= h=HypergeometricDistribution[n ，M ，N]；Mean[h]Out[3]=NMn In[4]：=Variance[h]Out[4]=N N N n N M Mn )1())(1(+-+--PDF[p ，2]Out[6]=5225eIn[7]：=N[%]Out[7]=0.0842243In[8]：=PDF[p ，20] //NOut[8]=2.64121×10-7In[9]：=N[CDF[p ，20]，20]Out[9]=0.999999912In[10]：=ExpectedValue[x^2，p ，x]Out[10]=30In[11]：=RandomArray[p ，{2，10}]Out[11]={{3，4，6，10，2，5，7，2，5，5}，{4，3，2，11，5，4，2，2，4，6}}说明：在上例中表明，超几何分布的参数按我国教科书的习惯来表示，这里求出的期望和方差公式就与教科书上的相同了。