高中数学北师大版必修3 2.1 教学设计《算法的基本思想》(北师大)

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2024-2025学年高中数学第2章算数初步§1算法的基本思想(教师用书)教案北师大版必修3

4.算法的分析
-时间复杂度：评估算法执行时间与输入规模之间的关系。
-空间复杂度：评估算法执行过程中所需存储空间与输入规模之间的关系。
5.算法实例分析
-冒泡排序：通过相邻元素的比较和交换，实现数组的升序或降序排列。
-欧几里得算法：利用递推关系求解最大公约数。
-斐波那契数列：通过递推法求解斐波那契数列的第n项。
教师活动：
-发布预习任务：通过学校课程管理系统，发布关于算法基本概念的预习资料，明确预习目标和要求。
-设计预习问题：围绕算法的特征和描述方法，设计问题如“什么是算法？它有哪些基本特征？”引导学生自主思考。
-监控预习进度：通过系统跟踪和学生的反馈，确保学生按时完成预习任务。
学生活动：
-自主阅读预习资料：学生按照要求阅读预习资料，理解算法的定义和基本特征。
举例：通过分析不严谨的算法可能导致的问题，如重复计算、无法终止等，使学生体会严谨性的重要性。
（2）算法的时间复杂度与空间复杂度：学生在分析算法效率时，往往难以理解时间复杂度和空间复杂度的概念，以及它们对算法性能的影响。
举例：比较不同排序算法的时间复杂度，如冒泡排序、快速排序等，让学生了解复杂度对算法效率的影响。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑推理能力、数学建模能力以及数据分析能力。通过学习算法的基本思想，学生能够：
1.逻辑推理能力：学生能够运用逻辑思维分析问题，设计合理的算法步骤，理解算法的正确性与效率，从而提高解决问题的逻辑推理能力。
2.数学建模能力：学生能够将现实生活中的问题抽象为数学模型，运用算法思想对模型进行求解，从而培养数学建模的能力。
5.算法的应用
-排序算法
-查找算法
-图算法

211算法的基本思想教案北师大版必修三 .doc

教案必修三第二章第一节第一课时算法的基本思想一、学习目标1.了解算法的含义，体会算法的思想。

2.能够用自然语言叙述算法，掌握正确的算法应满足的要求。

3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.二、重点、难点重点：算法概念以及用自然语言描述算法计。

难点：用自然语言描述算法三、课前预习［情景材料］算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机己经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具.听咅乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域.那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学学习中己经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 阅读教材相关内容，填写下列空白：1.算法的概念算法是在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤。

在数学中，现代意义上的”算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成..2.算法的特点：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.3.上墮—的思想在算法设计中是一个最基本的思想，也是数学中思考的一个重要思想。

高中数学第二章算法初步 2.1 算法的基本思想教案北师大版必修3

第二章算法初步算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并融入社会生活的方方面面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养．需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想．在这一章中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验算法框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计算法框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力．算法作为新名词，在以前的数学教科书中没有出现过，但是算法本身，同学们并不陌生．解方程的算法、解不等式的算法、因式分解的算法，都是同学们熟知的内容．只是算法的基本思想、特点，学习算法的必要性等问题没有专门涉及．因此，本章中的算法的基本思想，将针对同学们熟悉的一些问题，分析解决这些具体问题的算理，整理出相应问题的解决步骤，然后抽象概括出更具一般意义的算法．通过这个过程，让学生体会算法的程序化思想．同时，针对同样的问题，我们给出不同的算法，让同学们意识到：同一个问题可能存在着多种算法，算法之间有优劣之分．接下来，通过求方程近似解，让同学们意识到学习算法的必要性——将问题的解决过程即算法交给计算机完成，能够极大地提高效率．接下来，介绍算法的基本结构．顺序结构和选择结构是学生比较容易接受的，循环结构则比较难以理解．分析造成理解困难的原因之一是变量以及对变量的处理——赋值．在循环结构的学习中，总结了循环结构的三个要素——循环变量、循环体和循环的终止条件，并提供了可供学生模仿、操作的算法算法框图．排序算法可以说是应用最广泛的算法了，而且又易于理解，便于接受，是算法教学的良好素材．教科书选择这个问题作为专题来讨论，给学生提供了一个完整的分析、设计算法的过程，也给了学生一个应用前面所学的关于变量和结构的知识的机会．在前面的学习中，我们分别用自然语言和算法框图来描述算法，这两种方式各有优缺点．要将算法最终交给计算机执行，需要用程序语言来表述算法，程序语言有很多种，但是有一些基本语句是这些语言都要用到的：输入输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，在本章的最后介绍了这几种基本语句．值得注意的是：1．注重对算法基本思想的理解．算法是高中数学课程中的新内容，其思想非常重要，但并不神秘．例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程本质上就是算法．本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表示算法，在条件允许的学校，使其能在计算机上实现．为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成算法框图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或算法框图翻译成计算机语言．本模块的主要目的是使学生体会算法的思想，提高逻辑思维能力．不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计．2．算法教学必须通过实例进行．使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句．有条件的学校，应鼓励学生上机尝试运行程序．在实例的选择中，我们要把握这样一些原则：亲和原则：选取的例子要贴近学生，或者来自学生的生活实践，或者是学生所学过的数学知识．趣味性原则：选取的实例一般要有丰富的背景，本身要有趣味性．基础性原则：问题本身的算理并不难，只要蕴涵丰富的算法思想即可．可操作性原则：所选取问题的算法一般能在计算机上实现．3.算法教学要注意循序渐进，先具体再抽象，先了解算理，再描述算法．通常，我们说一个算法越是抽象，有一般意义，应用就越广泛，越能体现算法本身的应用价值．但是，作为教学意义上的算法则不同，一定要从具体问题出发分析算法的算理及算法步骤，然后抽象概括出一般意义的算法，画出算法算法框图，并在这个过程中，学习使用变量、赋值，学习更好地表述算法，以便在计算机上操作执行．算法的教学中，变量的理解、赋值的应用、循环结构的理解是重点和难点，教师要注意分散这些难点．学生对算法思想的认识、概念的把握、知识的灵活应用及能力的形成不是一次完成的，而是要把这些作为教学目标渗透在整章的学习中．整体设计教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但其没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“算法是解决某一类问题的步骤和程序．”为了让学生更好地理解这一概念，教科书用5个例子来说明算法的实质．教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固．三维目标1．正确理解算法的概念，掌握算法的基本特点．2．通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路．3．通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：算法的含义及应用．教学难点：写出解决一类问题的算法．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物完好地转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法．思路 2.大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念．思路 3.算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算科学的重要基础．在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具．如听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据都能通过计算机实现，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．推进新课新知探究提出问题1．解二元一次方程组有几种方法？2．结合实例⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1，② 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤．3．结合实例⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1，② 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤．4．请写出解一般二元一次方程组的步骤．5．根据上述实例谈谈你对算法的理解．6．请同学们总结算法的特征．7．请思考我们学习算法的意义．讨论结果：1．代入消元法和加减消元法．2．回顾二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1②的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：第一步，①＋②×2，得5x ＝1.③第二步，解③，得x ＝15.第三步，②－①×2，得5y ＝3.④第四步，解④，得y ＝35.第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝35.3．用代入消元法解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1，②我们可以归纳出以下步骤：第一步，由①得x ＝2y －1.③第二步，把③代入②，得2(2y －1)＋y ＝1.④第三步，解④得y ＝35.⑤第四步，把⑤代入③，得x ＝2×35－1＝15.第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝35.4．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2， ①②其中a 1b 2－a 2b 1≠0，可以写出类似的求解步骤：第一步，①×b 2－②×b 1，得(a 1b 2－a 2b 1)x ＝b 2c 1－b 1c 2.③第二步，解③，得x ＝b 2c 1－b 1c 2a 1b 2－a 2b 1. 第三步，②×a 1－①×a 2，得(a 1b 2－a 2b 1)y ＝a 1c 2－a 2c 1.④第四步，解④，得y ＝a 1c 2－a 2c 1a 1b 2－a 2b 1. 第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝b 2c 1－b 1c 2a 1b 2－a 2b 1，y ＝a 1c 2－a 2c 1a 1b 2－a 2b 1.5．算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法，等等．在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．6．算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”．“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务．②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续．③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行．7．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法．也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法．算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果．因此算法是计算科学的重要基础．应用示例思路11在给定素数表的条件下，设计算法，将936分解成素因数的乘积．(4 000以内的素数表见教科书附录1)分析：1.查表判断936是否为素数：(1)如果936是素数，则分解结束；(2)如果936不是素数，则进行第2步．2．确定936的最小素因数：2. 936＝2×468.3．查表判断468是否为素数：(1)如果468是素数，则分解结束；(2)如果468不是素数，则重复上述步骤，确定468的最小素因数．重复进行上述步骤，直到找出936的所有素因数．解：算法步骤如下：1．判断936是否为素数：否．2．确定936的最小素因数：2. 936＝2×468.3．判断468是否为素数：否．4．确定468的最小素因数：2. 936＝2×2×234.5．判断234是否为素数：否．6．确定234的最小素因数：2 936＝2×2×2×117.7．判断117是否为素数：否．8．确定117的最小素因数：3. 936＝2×2×2×3×39.9．判断39是否为素数：否．10．确定39的最小素因数：3. 936＝2×2×2×3×3×13.11．判断13是否为素数：13是素数，所以分解结束．分解结果是936＝2×2×2×3×3×13.点评：以上步骤是解决素因数分解问题的一个过程，只要依照这一系列步骤，都能解决这个问题．我们把这一系列步骤称为解决这个问题的一个算法.变式训练设计一个算法，求840与1 764的最大公因数．分析：我们已经学习了对自然数进行素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的．解答这个问题需要按以下思路进行．首先，对两个数分别进行素因数分解：840＝23×3×5×7， 1 764＝22×32×72.其次，确定两数的公共素因数：2,3,7.接着，确定公共素因数的指数：对于公共素因数2,22是1 764的因数，23是840的因数，因此22是这两个数的公因数，这样就确定了公共素因数2的指数为2.同样，可以确定出公因数3和7的指数均为1.这样，就确定了840与1 764的最大公因数为22×31×71＝84.解：算法步骤如下：1．先将840进行素因数分解：840＝23×3×5×7；2．然后将1 764进行素因数分解：1 764＝22×32×72；3．确定它们的公共素因数：2,3,7；4．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1；5．最大公因数为22×31×71＝84.例2 一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元．你能用天平(不用砝码)将假银元找出来吗？分析：最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一列，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元都是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元．图1解：按照下列步骤，就能将假银元找出来：1．任取2枚银元分别放在天平的两边．如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第2步．2．取下右边的银元，放在一边，然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．这种算法最少要称1次，最多要称7次．是不是还有更好的办法，使得称量次数少一些？我们可以采用下面的方法：图21．把银元分成3组，每组3枚．2．先将两组分别放在天平的两边．如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里．3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．点评：经分析发现，后一种算法只需称量2次，这种做法要明显好于前一种做法．当然，这两种方法都具有一般性，同样适用于n枚银元的情形．这是信息论中的一个模型，可以帮助我们找出某些特殊信息．从上面的问题中可以看出，同一个问题可能存在着多种算法，其中一些可能要比另一些好．在实际问题和算法理论中，找出好的算法是一项重要的工作．思路2例1 (1)设计一个算法，判断7是否为质数；(2)设计一个算法，判断35是否为质数．分析：(1)根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．解：(1)①用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.②用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.③用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.④用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.⑤用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数．(2)类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：①用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.②用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.③用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.④用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数．点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1 997是否为质数就比较麻烦了，因此，我们需要寻找更实用的算法步骤.变式训练请写出判断n(n＞2)是否为质数的算法．分析：对于任意的整数n(n＞2)，若用i表示2～(n－1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n，得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行同样的操作．这个操作一直要进行到i的值等于(n－1)为止．解：1.给定大于2的整数n.2．令i＝2.3．用i除n，得到余数r.4．判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．5．判断“i＞(n－1)”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第3步.例2 写出用“二分法”求方程x2－2＝0 (x＞0)的近似解的算法．分析：令f(x)＝x2－2，则方程x2－2＝0 (x＞0)的解就是函数f(x)的零点．“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间[a，b]〔满足f(a)·f(b)＜0〕“一分为二”，得到[a，m]和[m，b]．根据“f(a)·f(m)＜0”是否成立，取出零点所在的区间[a，m]或[m，b]，仍记为[a，b]．对所得的区间[a，b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a，b]“足够小”，则[a，b]内的数可以作为方程的近似解．解：1.令f(x)＝x2－2，给定精度d.2．确定区间[a，b]，满足f(a)·f(b)＜0.3．取区间中点m＝a＋b 2.4．若f(a)·f(m)＜0，则含零点的区间为[a，m]；否则，含零点的区间为[m，b]．将新得到的含零点的区间仍记为[a，b]．5．判断[a，b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步．当d近似解．实际上，上述步骤也是求2的近似解的一个算法．点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”．数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法．如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……变式训练求方程f(x)＝x3＋x2－1＝0在区间[0,1]上的近似解，精度为0.01.解：根据上述分析，可以通过下列步骤求得方程的近似解：1．因为f(0)＝－1，f(1)＝1，f(0)·f(1)＜0，则区间[0,1]为有解区间，精度1－0＝1＞0.01；2．取[0,1]的区间中点0.5；3．计算f(0.5)＝－0.625；4．由于f(0.5)·f(1)＜0，可得新的有解区间[0.5,1]，精度1－0.5＝0.5＞0.01；5．取[0.5,1]的区间中点0.75；6．计算f(0.75)＝－0.015 625；7．由于f(0.75)·f(1)＜0，可得新的有解区间[0.75,1]，精度1－0.75＝0.25＞0.01；……当得到新的有解区间[0.75,0.757 82]时，由于|0.757 82－0.75|＝0.007 82＜0.01，该区间精度已满足要求，所以取区间[0.75,0.757 82]的中点0.753 91，它是方程的一个近似解.例3 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物转移过河？请设计算法．分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中应尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势．解：具体算法如下：算法步骤：1．人带两只狼过河，并自己返回．2．人带一只狼过河，自己返回．3．人带两只羚羊过河，并带两只狼返回．4．人带一只羚羊过河，自己返回．5．人带两只狼过河．点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的．这就要求我们在写算法时应精练、简洁、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性．本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的问题经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使问题变得简单，而且可以提高工作效率.变式训练喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．如何安排这几个步骤？请给出两种算法，并加以比较．分析：本题主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．解：算法一：1．洗刷水壶．2．烧水．3．洗刷茶具．4．沏茶．算法二：1．洗刷水壶．2．烧水，烧水的过程当中洗刷茶具．3．沏茶．上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.知能训练设计算法判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有实数根．解：算法步骤如下：1．输入一元二次方程的系数：a，b，c.2．计算Δ＝b2－4ac的值．3．判断Δ≥0是否成立．若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法．点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法，并且具有确定性、逻辑性、有穷性．拓展提升中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算．设通话时间为t (分钟)，通话费用为y (元)，如何设计一个程序，计算通话的费用？解：算法分析：数学模型实际上为y 关于t 的分段函数．关系式如下：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.22，0<t ≤3，0.22＋0.1t －3，t >3，t ∈Z ，0.22＋0.1[t －3]＋1，t >3，t ∉Z .其中[t －3]表示取不大于t －3的整数部分．算法步骤如下：1．输入通话时间t .2．如果t ≤3，那么y ＝ 0.22；否则判断t ∈Z 是否成立，若成立执行y ＝ 0.2＋0.1× (t －3)；否则执行y ＝ 0.2＋0.1×( [t －3]＋1)．3．输出通话费用y .课堂小结1．正确理解算法这一概念．2．结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法．作业课本本节练习1、练习2.设计感想本节的引入精彩独特，让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习．算法是本章的重点也是本章的基础，是一个较难理解的概念．为了让学生正确理解这一概念，本节设置了大量学生熟悉的事例，让学生仔细体会反复训练．本节的事例有古老的经典算法，也有几何算法等，因此这是一节很好的课例．备课资料备选习题中国古代有一个著名的算法案例：鸡兔49个头，100条腿往地里走，问鸡兔各多少？请写出计算鸡兔数的算法．分析：求解鸡兔的问题简单直观，却包含着深刻的算法思想．应用解二元一次方程组的方法来求解鸡兔同笼问题．解：算法如下：1．设有鸡x 只，兔y 只，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝49，2x ＋4y ＝100.①② 2．将方程组中的第一个方程两边乘以－2加到第二个方程中去，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝49，4－2y ＝100－49×2，解得y ＝1.3．将y ＝1代入①，得x ＝48.因此鸡有48只，兔有1只．。

高中数学 2.1.1 算法的基本思想导学案北师大版必修3

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
1．解二元一次方程组：
分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，请用加减消元法写出它的求解过程.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
提炼：
一、算法概念：
在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
二、算法的特点:
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
解：第一步：；
第二步：；
第三步：。
探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组的解的算法：
2．试写出求方程组的解的算法.
解：第一步：；
第二步：；
第三步：.
3.分析讨论课本“韩信点兵”问题，写出你所得到的启示：

高中数学必修三：2.1算法的基本思想1+教案

算法的基本思想1、教学目标（1）了解算法的含义，体会算法的思想；（2）能够用自然语言叙述算法；（3）掌握正确的算法应满足的要求；（4）会写出解线性方程（组）的算法；会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法2、教学重点算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计．3、教学难点把自然语言转化为算法语言4、教学过程一、复习引入章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”．算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念．但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。

如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现．广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序．菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法．在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序．古代的计算工具：算筹与算盘．20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具．二、新课讲授（一）算法概念在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．说明：1．“算法”没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性的说明．2.．算法的特点：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.（二）例题讲解例1：解二元一次方程组： ⎩⎨⎧=+-=-②y x ①y x 1212 分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写出它的求解过程.解：第一步：② - ①×2，得： 5y=3； ③第二步：解③得 53=y ；第三步：将53=y 代入①，得 51=x . 学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？老师评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。

高中数学教案2.1算法的基本思想教案北师大版必修3

第二章算法初步第一节算法的基本思想一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。

（2）能够用自然语言叙述算法。

（3）掌握正确的算法应满足的要求。

（4）会写出解线性方程（组）的算法。

（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

（6）会应用Scilab求解方程组。

2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。

由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。

二、重点与难点：重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

难点：把自然语言转化为算法语言。

三、学法与教学用具：学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具：电脑，计算器，图形计算器四、教学设想：1，创设情境：算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。

但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。

如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。

我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。

2.1算法的基本思想教学设计教案 (北师大必修3)

第二章算法初步第一课时 2.1算法的基本思想【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义.【教学目标】1.理解算法的概念与特点；2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想；3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法【教学难点】用自然语言描述算法【教学过程】一、序言算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学学习中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想.二、实例分析例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法.解：第一步：把水注入电锅；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶.（以上算法是解决某一问题的程序或步骤）例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法.解：算法1 按照逐一相加的程序进行．第一步：计算1+2，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．算法2 运用公式123n ++++=2)1(+n n 直接计算．第一步：取n =5；第二步：计算2)1(+n n ；第三步：输出运算结果．算法3 用循环方法求和．第一步：使1S =，；第二步：使2I =；第三步：使S S I =+；第四步：使1I I =+；第五步：如果5I ≤，则返回第三步，否则输出S ．点评：一个问题的算法可能不唯一．例3 给出求解方程组274511x y x y +=⎧⎨+=⎩的一个算法．解：用消元法解这个方程组，步骤是：第一步：方程①不动，将方程②中x 的系数除以方程①中x 的系数，得到乘数422m ==；第二步：方程②减去m 乘以方程①，消去方程②中的x 项，得到2733x y y +=⎧⎨=-⎩；第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到1y =-，4x =．所以原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．点评：通过例1再次明确算法特点：有限性和确定性例4.用二分法设计一个求解方程x 2–2=0的近似根的算法。

高中数学北师大版必修3教学案第二章 §1 算法的基本思想 Word版含解析

预习课本～，思考并完成以下问题()算法的概念是什么？()算法的特征有哪些？()设计算法需要注意哪些问题？．算法的概念可操作或在解决某些问题时，需要设计出一系列过实施这些步骤来可计算的步骤，通解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．这种描述不是算法的严格定义，但是反映了算法的基本思想．[点睛]算法与一般意义上数学问题的解法的联系和区别()联系：算法和解法是一般与特殊，抽象与具体的关系．例如，教材给出二分法求根的算法，根据这样的求解步骤可以求得任意方程的近似根．()区别：算法是解决一类问题的所需程序和步骤的统称，也可以理解为数学的“通法”，解法是解决一个具体问题的解题过程．．算法的主要特征()有穷性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的．()确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行和得到确定的结果，而不应当模棱两可．()有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都要准确无误，才能解决问题．()不唯一性：求解某一个问题的算法不是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法．()普遍性：很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决．．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()算法就是某个问题的解题过程．( )()解决某一个具体问题时，算法不同，结果不同．( )()算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施．( )答案：()×()×()×．下列描述不能看作算法的是( )．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤．洗衣机的使用说明书．从济南到台湾旅游，先坐火车，再坐飞机．解方程＋－＝时需先判断判别式的符号解析：选因为、、都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而只描述了一个事实，没说明如何解决问题，不是算法．．下列关于算法的说法正确的是( )．某算法可以无止境地运算下去．一个问题的算法步骤是可逆的．完成一件事情的算法有且只有一种．算法的每一步操作都是明确的解析：选根据算法的特征进行判断．选项中，由于算法具有有穷性，因此不可以无止境地运算下去；选项中，算法中的步骤是按顺序一步步进行下去的，因此是不可逆的；选项中，由于算法具有不唯一性，因此完成一件事情的算法不是只有一种；正确，算法中的每一个步骤应当是明确无误的，不应产生歧义．错误!算法的概念．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的．算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤．算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果．一个问题只能设计出一个算法[解析]由算法的特征可知，不正确．[答案]解答这类问题的方法为特征判断法，主要从以下三方面判断：()看是否满足顺序性．算法实际上就是顺序化的解题过程，是指可以用计算机来解决某。

北师大版高中数学必修三《算法的基本思想》教案-新版

算法的基本思想一、教学内容：新课程高中数学（北师大版）必修3第二章《算法初步》第一节：算法的基本思想。

二、教学目标：1、通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义及其基本特征；2、通过分析具体问题，抽象出算法的过程，培养抽象概括能力、语言表达能力和逻辑思维能力；3、通过算法的学习，进一步让学生体验到数学与现实世界的关系、数学与计算机技术的关系、提高学生学习数学的兴趣。

三、教学重点：1、了解算法的含义及其基本特征；2、掌握算法的表示形式。

四、教学难点：算法的表示形式。

五、教学过程：（一）情景导入：在与学生的寒暄中引入今天的课题，并让学生来猜猜老师衣服的价格，提出问题：“怎样才能在有限的次数范围内猜中衣服的价格呢？”师：采用对半价格区间去猜数比较合理，在数学上我们称这种方法为“二分法”下节课我们要重点学习这种方法的应用。

师：可见我们在处理一个问题时，若是有一个好的指导思想，我们在具体行动中就不会显得很盲目，按照既定的策略，在有限的步骤内就可以达到目的。

今天我们这节课的课题就是研究有关解决问题的基本思想方法，在数学上，我们称之为“算法”。

这里的“算法”不是指狭义上的计算方法，而是广义范围内一切解决问题的思想方法。

下面我们再通过几个实例来体会一下算法的基本思想及其算法具有哪些特征。

（二）新课：师：我们先看一下书上的例子例：请设计算法，将936分解成素因素的乘积。

师：请同学们在最短的时间内分解好，提问。

生：9362223313=⨯⨯⨯⨯⨯师：请用语言描述你的思路过程。

若是学生很难用语言描述，老师要及时引导。

解：算法步骤如下：1. 判断936是否为素数：否2. 确定936的最小素因数：2. 9362468=⨯3. 判断468是否为素数：否4. 确定468的最小素因数：2. 93622234=⨯⨯5. 判断234是否为素数：否6. 确定234的最小素因数：2. 936222117=⨯⨯⨯7. 判断117是否为素数：否8. 确定234的最小素因数：3. 936222339=⨯⨯⨯⨯9. 判断39是否为素数：否10.确定234的最小素因数：3. 9362223313=⨯⨯⨯⨯⨯11. 判断13是否为素数：是素数,分解结束.师：以上就是分解素因数的一个算法，其实算法就是解决问题的一系列步骤，依照这些步骤，按部就班就可以完成任务。

北师大版数学高一必修3教学案2.1算法的基本思想

[核心必知]1．算法的概念在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这一系列步骤来解决问题，我们把这一系列步骤称为解决这个问题的一个算法．2．算法的作用现代算法的作用之一是使计算机能代替人完成某些工作，这是学习算法的重要原因之一．[问题思考]1．是不是任何一个算法都有明确结果？提示：是，因为算法的步骤是明确的和有限的，有时可能需大量重复的计算，但只要按部就班地去做，总能得到确定的结果．2．一个具体问题的算法唯一吗？提示：解决一个具体问题的算法可有多个，但我们可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．讲一讲1.下列语句中是算法的有()①做饭需要刷锅、淘米、加水、加热这些步骤；②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；③方程x2＋2x－3＝0有两个实根；④求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最终结果是10.A．1个B．2个C．3个D．4个[尝试解答]①说明了做饭的步骤；②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方式；④中给出了求1＋2＋3＋4的一个过程，最终得出结果；对于③，并没有说明如何去算，故①②④是算法，③不是算法．[答案] C解答这类问题的方法为特征判断法，主要从以下三方面判断：(1)看是否满足顺序性．算法实际上就是顺序化的解题过程，是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤．(2)看是否满足明确性．算法的每一步都是确定的，而不是含糊的、模棱两可的．(3)看是否满足有限性．一个算法必须在有限步后结束．如果一个解题步骤永远不能结束，那么就永远得不到答案．因此，有始无终的解题步骤不是算法．此外，算法的不唯一性也要考虑到．练一练1．下列语句表达中是算法的有()①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；②12x＞2x＋4；③求M(1,2)与N(－3，－5)两点连线的方程，可先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C ①中说明了从济南到巴黎的行程安排，完成任务．对于②没有说明如何去做．③说明了求直线MN的方程的算法步骤．讲一讲2.给出解方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为实常数)的一个算法．[尝试解答]算法步骤如下：1．当a＝0，b＝0，c＝0时，解集为全体实数；2．当a＝0，b＝0，c≠0时，原方程无实数解；3．当a＝0，b≠0时，原方程的解为x＝－cb；4．当a ≠0且b 2－4ac ＞0时，方程有两个不等实根x 1＝－b ＋b 2－4ac2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a；5．当a ≠0，b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等实根x 1＝x 2＝－b2a ；6．当a ≠0且b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．设计算法的基本要求是：(1)设计的算法必须能解决一类问题并且能重复使用；(2)算法的过程需能一步步执行，每步执行的操作必须确切，不能含糊不清，而且经过有限步运算后能得出结果；(3)任何算法都必须输出结果，否则是无意义的算法；(4)如果需要分类讨论解决的问题，那么设计的算法中，要根据条件是否成立来决定执行任务的步骤；(5)如果需要重复做同一种动作，那么设计的算法要含有返回步骤．练一练2．写出解方程x 2－2x －3＝0的一个算法．解：法一：1.移项，得x 2－2x ＝3；① 2．①两边同时加1并配方，得(x －1)2＝4；② 3．②式两边开方，得x －1＝±2；③ 4．解③得x ＝3，或x ＝－1.法二：1.计算方程的判别式并判断其符号，Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0； 2．将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a ，得x 1＝3，x 2＝－1.【解题高手】【易错题】设计一个算法，求1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10的值． [错解] 1.计算1＋2的值为3；2．将3加到上一步的结果中，3＋3＝6； 3．将4加到上一步的结果中，6＋4＝10； …9．将10加到上一步的结果中，45＋10＝55； 10．输出结果为55.[错因]根据算法的确定性．算法的每一步都是明确具体的．当算法中出现类似步骤时，可以给出判定条件重复执行，不能由省略号代替．本题做错的根本原因在于对算法的确定性理解不到位．[正解]算法：1．令S＝0，n＝1；2．将n加给S；3．判断n是否为10，若不是，则n加1后，执行第二步；若n是10，则输出结果S 后结束．1．下列说法正确的是()A．“5＋6＝11”是一个算法B．“3是15与21的公约数”是一个算法C．判断15是否为素数的一个程序或步骤是一个算法D．用二分法求方程x2－2＝0的近似根(精确到0.01)是一个算法解析：选D 算法中的程序或步骤应是明确的，有效的，且在有限步之内能够解决问题．2．下列可以看成算法的是()A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题B．今天餐厅的饭真好吃C．这道数学题难做D．方程2x2－x＋1＝0无实数根解析：选A A是学习数学的一个步骤，所以是算法．3．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是()①S＝1＋2＋3＋ (100)②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，且n∈N＋)．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③解析：选B 算法的设计要求步骤是可行的，并且能在有限步之内完成任务． 4．以下有六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话．试写出打一个本地电话的算法________．(只写编号)解析：按照拨打电话的顺序设计，同时考虑所有可能的情况．答案：③②①⑤④⑥5．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最值的一个算法如下，请将其补充完整： 1．计算m ＝4ac －b 24a.2．________________________________________________________________________. 3．________________________________________________________________________. 解析：m 是最大值还是最小值由a 的正负确定，依据二次函数求最值的方法，确定第二、三步的内容．答案：如果a >0，则得到y min ＝m ，否则执行第三步得到y max ＝m 6．求半径r ＝2的圆的周长，写出算法．解：算法如下： 1．取r ＝2； 2．计算C ＝2πr ； 3．输出C .一、选择题1．想泡茶喝，当时的情况是：火已经生起了，凉水和茶叶也有了，开水没有，开水壶要洗，茶壶和茶杯要洗，下面给出了四种不同形式的算法过程，你认为最好的一种算法是( )A ．洗开水壶，灌水，烧水，在等待水开时，洗茶壶、茶杯、拿茶叶，等水开了后泡茶喝B ．洗开水壶，洗茶壶和茶杯，拿茶叶，一切就绪后，灌水，烧水，坐等水开后泡茶喝C ．洗开水壶，灌水，烧水，坐等水开，等水开后，再拿茶叶，洗茶壶、茶杯，泡茶喝D ．洗开水壶，灌水，烧水，再拿茶叶，坐等水开，洗茶壶、茶杯，泡茶喝解析：选A 解决一个问题可以有多种算法，可以选择其中最优、最简单、步骤尽可能少的算法．选项中的四种算法中都符合题意，但算法A 运用了统筹法原理，因此这个算法要比其余的三种算法科学．解析：选C 算法指的是解决一类问题的方法或步骤，选项C 只是一个纯数学问题，没有解问题的步骤，不属于算法．3．下列叙述能称为算法的个数为( ) ①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤．②顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100. ③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州． ④3x >x ＋1.⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，…. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B 根据算法的含义和特征：①②③都是算法．④⑤不是算法．其中④，3x >x ＋1不是一个明确的逻辑步骤，不符合逻辑性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有穷性矛盾．4．下列所给问题中：①二分法解方程x 2－3＝0(精确到0.01)；②解方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0；③求半径为2的球的体积； ④判断y ＝x 2在R 上的单调性．其中可以设计一个算法求解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C 由算法的特征可知①②③都能设计算法．对于④，当x ＞0或x ＜0时，函数y＝x2是单调递增或单调递减函数，但当x∈R时，由函数的图像可知在整个定义域R上不是单调函数，因此不能设计算法求解．5．已知算法：1．输入n；2．判断n是否是2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第3步；3．依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，若不能整除n，满足条件．上述满足条件的数是()A．质数B．奇数C．偶数D．4的倍数解析：选A 由质数的定义知，满足条件的是质数．二、填空题6．下列关于算法的说法，正确的个数有________．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．解析：由算法的特征(有限性、确定性、有序性等)可知②③④正确，但解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错．答案：37．给出下列算法：1．输入x的值．2．当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．3．计算y＝4－x.4．输出y.当输入x＝10时，输出y＝__________.解析：∵x＝10＞4，∴计算y＝x＋2＝12.答案：128．已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b，写出求斜边c的算法步骤．1．________________________________________________________________________；2．________________________________________________________________________；3．________________________________________________________________________.解析：先输入a 、b 的值，再根据勾股定理算出斜边c 的长，最后输出c 的结果．答案：输入两直角边长a 、b 的值计算c ＝a 2＋b 2 输出斜边长c 的值三、解答题9．请设计求18的所有正约数的算法．解：1.18＝2×9； 2．18＝2×32；3．列出18的所有正约数：1,2,3,32,2×3,2×32. 10．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 (x ≤－1)，log 2(x ＋1) (－1<x <2)，x 2 (x ≥2)，试设计一个算法，输入x 的值，求对应的函数值．解：算法如下： 1．输入x 的值．2．当x ≤－1时，计算y ＝2x －1；否则执行第三步． 3．当x <2时，计算y ＝log 2(x ＋1)，否则执行第四步． 4．计算y ＝x 2. 5．输入y .。

北师版数学高一-教学设计2.1算法的基本思想

§1 算法的基本思想三维目标1．知识与技能(1)通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义；(2)能够用语言叙述算法；(3)会写出将自然数分解成素因数乘积的算法；(4)会写出求两个自然数的最大公因数的算法和两个自然数的最小公倍数的算法．2．过程与方法通过对物品价格的猜测，体会猜测者的基本思路，得到一个一般步骤，而这个步骤就是一个算法．结合具体问题，模仿算法步骤，写出将自然数分解成素因数乘积的算法和求两个自然数的最大公因数的算法，从而体会算法的基本思想，了解算法的含义．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对算法的思想有一个初步的认识，体会算法的基本思想——程序化思想，在归纳概括中培养学生的逻辑思维能力，从而进一步体会算法与现实世界的密切关系．重点难点重点：体会算法的思想，了解算法的含义；难点：能够用语言来叙述算法教学建议学习是在原有知识的基础上，在新旧知识的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展．结合本节课的具体内容，采用启发式教学法，小组合作学习法，计算机辅助教学等教学法．本节课按照“提出问题—解决问题”的思路来设计教学程序，以学生为主体，在合作中学习和体会算法的基本思想，发展学生的创造性思维．同时考虑不同学生的个性差异和发展层次，让各层次学生都得到发展．通过多媒体演示提高课堂效率，进一步体现算法思想．教学流程创设问题情境，引出问题：如何用自然语言叙述用二分法求近似解的过程⇒引导学生回顾用二分法求近似解的步骤，并尝试用自然语言叙述⇒通过引导，让学生自主探究，发现算法的概念及特征⇒通过例1的讲解让学生进一步明确算法的特征⇒通过例2及例3的讲解，让学生进一步体会算法设计的关键及应注意的问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所掌握的知识，并进行反馈、矫正.【问题导思】电视娱乐节目中，有一种有趣的“猜数”游戏：竞猜者如在规定的时间内猜出某种商品的价格(或重量等)，就可获得该件商品．现有一商品，价格在0～8 000元之间，采取怎样的策略才能在较短的时间内猜出正确的答案呢？解决这个问题有多种途径，其中一种较好的方法是：第一步报“4 000”．第二步若主持人说：“高了”(说明答数在0～4 000之间)，就报“2 000”；否则(答数在4 000～8 000之间)报“6 000”．第三步重复第二步的报数方法，直至得到正确结果．1．竞猜者每一步的报价有一定的规则吗？【提示】有，报价为上一个有效范围的中间值．2．猜出这种商品的步骤是有限的吗？【提示】是．算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用计算机帮助完成的．需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．这种解决问题的思想方法称为算法的基本思想．1路径，对于相同的输入只能得出相同的输出．2．有穷性：一个算法必须在执行有穷次运算后结束．在所规定的时间和空间内，若不能获得正确结果，其算法也是不能被采用的．3．可行性：算法中的每一个步骤必须能用实现算法的工具——可执行指令精确表达，并在有限步骤内完成，否则这种算法也是不会被采纳的．4．输入：算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步骤．5．输出：算法一定能得到问题的解，有一个或多个结果输出，达到求解问题的目的，没有输出结果的算法是没有意义的．此外，还要求算法应具有通用性：算法应适用于某一类问题中的所有个体，而不是只能用来解决一个具体问题.例1①从济宁到乌鲁木齐旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；③方程x2－1＝0有两个实根；④求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最终结果是10.其中，算法的个数为()A．1B．2C．3D．4【思路探究】结合算法的概念和特征→逐一验证→得出结论【解析】①中说明了从济宁到乌鲁木齐的行程安排，完成任务；②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方法；④中给出了求1＋2＋3＋4的一个过程，最终得出结果；对于③这个问题，并没有说明如何去算．故①②④是算法，③不是算法．【答案】 C规律方法1．本题中的说法涉及生活中的方法和数学中的解题过程，①②④均体现了算法的特点，即符合“一系列步骤”．2．判断一个说法是否是算法，关键是看它有无步骤，且每步是否是明确、有效，能否在有限步之内完成．变式训练对算法的理解不正确的是()A．一个算法包含的步骤是有限的B．一个算法中每一步都是明确可操作的，而不是模棱两可的C．算法在执行后，结果应是明确的D．一个问题只可以有一个算法【解析】由算法的不唯一性可知D错．【答案】 D例2求18【思路探究】分别对1,2,3，…，18逐一检验或者对18进行因数分解，写出相关步骤即可．解法一 1.1是18的正约数，将1列出；2．2是18的正约数，将2列出；3．3是18的正约数，将3列出；4．4不是18的正约数，将4删除；…18．18是18的正约数，将18列出．法二 1.18＝2×9；2．18＝2×32；3．列出18的所有正约数，1,2,3,32,2×3,2×32.规律方法1．解决一个问题可以有多个算法，可以选择其中最优的，最简单的步骤的算法．2．本例两种算法都符合题意，但法二运用了因数分解原理，这样步骤就比法一少了许多，因此更为科学．本题体现了算法的特征：(1)一个算法往往具有代表性，能够解决一类问题；(2)算法不是唯一的；(3)两个算法里面各自体现了不同的思想内涵．变式训练设计一个算法，求出840×1 764的最大公约数．解算法步骤如下：1．将840进行质因数分解得840＝23×3×5×7；2．将1 764进行质因数分解得1 764＝22×32×72；3．确定它们的公共质因数：2,3,7；4．确定公共质因数2,3,7的指数分别为：2,1,1；5．最大公约数为22×31×71＝84.例3【思路探究】本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，只要把平时的固有解法有条理、清晰地写出来，即为解该方程的算法．下面分别用因式分解法、配方法和求根公式法写出这个问题的三个算法．解算法1：1．将方程左边因式分解，得(x－5)(x＋1)＝0；①2．由①，得x－5＝0或x＋1＝0；②3．由②，可得x＝5或x＝－1.算法2：1．移项，得x2－4x＝5；①2．①式两边同时加4并配方，得(x －2)2＝9；②3．②式两边开平方，得x －2＝±3；③4．解③式，得x ＝5或x ＝－1.算法3：1．计算方程的根的判别式，并判断其符号：Δ＝(－4)2－4×1×(－5)＝35＞0；2．将a ＝1，b ＝－4，c ＝－5代入求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a，得x 1＝5，x 2＝－1. 规律方法1．本题体现了算法的不唯一性．2．比较以上三个算法，可以看出算法3最简单，步骤最少，并且具有通用性．因此我们在设计算法时，首先考虑是否有公式可以利用．利用公式解决问题是最理想的方法，有时要综合各方面的因素选择一种比较好的算法．变式训练写出解方程组{ 2x －3y ＝8， ①x ＋y ＝－1 ②的一个算法．解算法1：1．将方程②的两边同时乘以3，得3x ＋3y ＝－3；③2．将方程①和③的两边分别相加，方程左、右两边再同时除以5，得x ＝1；④3．将x ＝1代入②，方程两边再同时加－1，得y ＝－2；4．输出结果{ x ＝1，y ＝－2.算法2：1．将方程②中的y 移项，用y 的式子表示x 得x ＝－1－y ；③2．将③代入①，并化简，得y ＝－2；④3．将④代入③，得x ＝1；4．输出结果{ x ＝1，y ＝－2.类型4 分步求和(积)问题的算法设计例4 【思路探究】可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1＋2＋…＋n ＝n n ＋12进行，也可以根据加法运算律简化运算过程．解算法1：1．计算1＋2得到3；2．将第1步中的运算结果3与3相加得到6；3．将第2步中的运算结果6与4相加得到10；4．将第3步中的运算结果10与5相加得到15；5．将第4步中的运算结果15与6相加得到21；算法2：1．取n ＝6；2．计算n （n ＋1）2； 3．输出运算结果．规律方法1．对于数值型计算问题的算法，可以借助数学公式采用数学计算的方法，将过程分解成清晰的步骤，使之条理化即可．2．应注意多个数进行四则运算时应分步计算，依次进行，直到算出结果．变式训练写出求2×4×6×8×10的一个算法．解算法步骤如下：1．计算2×4，得到8；2．将第一步的运算结果8与6相乘，得到48；3．将第二步的运算结果48与8相乘，得到384；4．将第三步的运算结果384与10相乘，得到3 840.无分类讨论或不全面致误典例设计一个解方程ax 2＋bx ＋c ＝0的算法．【错解】小华采用的算法描述如下：1．计算Δ＝b 2－4ac ；2．若Δ＜0，则输出“方程无实根”；3．若Δ＞0，则输出方程的根．【错因分析】上述算法中有两处错误：第一步是没有考虑a 是否为0，显然a ＝0时，方程无判别式，上述算法无效；第二步错误是漏掉了Δ＝0的情况．【防范措施】解方程时首先要考虑方程的类型，x 的最高次幂的系数是否为0，若是二次方程讨论Δ时一定要全面．【正解】 1.输入a ，b ，c 的值．2．若a ＝0，b ≠0，则输出方程的根x ＝－c b；若a ＝b ＝0，c ≠0，则输出“方程无实根”；若a ＝b ＝c ＝0，则输出“方程有无数个实根”．3．若a ≠0，计算Δ＝b 2－4ac ：若Δ＜0，则输出“方程无实根”；若Δ≥0，则输出方程的根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a. 课堂小结1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．算法设计的要求(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果.当堂检测1．下列关于算法的说法中，正确的是( )A ．算法就是某个问题的解题过程B ．算法执行后可以不产生确定的结果C ．解决某类问题的算法不是唯一的D ．算法可以无限地操作下去【解析】算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确的、有效的，而且能够在有限步内完成．算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般与特殊，抽象与具体的关系．解决某一问题的算法不是唯一的，故选C.【答案】 C2．下列语句表达中是算法的有( )①从济南到巴黎，可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；②利用公式S ＝12ah ，计算底为1、高为2的三角形的面积；③12x ＞2x ＋4；④求M (1,2)与N (－3，－5)两点连线所在直线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式求得方程．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ①②④表达的是算法，③表达的不是算法．【答案】 C3．比较两个实数a 与b 的大小的一个算法为：(1)若a －b >0，则a >b ；(2)________________；(3)若a －b <0，则a <b .请将上面的算法补充完整．【答案】若a －b ＝0，则a ＝b4．求两底半径分别为2和4，高为4的圆台的表面积及体积，写出该问题的算法．解算法步骤如下：1．取r 1＝2，r 2＝4，h ＝4；2．计算l ＝（r 2－r 1）2＋h 2；3．计算s ＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)·l 与V ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h ； 4．输出运算结果.。