2016年高考试题分类汇编(数列)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(集合)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全（集合）一、选择题：1. （2016北京文）已知集合={|24}A x x <<，{|3B x x =<或5}x >，则AB =（ ）A.{|25}x x <<B.{|4x x <或5}x >C.{|23}x x <<D.{|2x x <或5}x > 【答案】C考点： 集合交集【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合)}(|{x f y x =，)}(|{x f y y =，)}(|),{(x f y y x =三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．2.（2016北京理）已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则AB =（ ）A. {0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}- 【答案】C考点：集合交集.【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合)}(|{x f y x =，)}(|{x f y y =，)}(|),{(x f y y x =三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．3. （2016全国Ⅰ文）设集合{}1,3,5,7A =,{}25B x x =,则AB = （ ）（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】B考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.4.（2016全国Ⅰ理）设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.5.（2016全国Ⅲ文）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ＝（ ） （A ）{48}, （B ）{026}，,（C ）{02610}，，,（D ）{0246810}，，，，,【答案】C【解析】试题分析：由补集的概念，得C {0,2,6,10}A B =，故选C ． 考点：集合的补集运算．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．6.（2016全国Ⅲ理）设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2] [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0， 2][3,+∞）【答案】D考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．7.（2016全国Ⅱ理）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C【解析】 试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.8.（2016全国Ⅱ文）已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =（ ）（A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，，（C ）{123}，，（D ）{12}，【答案】D考点： 一元二次不等式的解法，集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.9.（2016山东文）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()UA B =（ ）（A ）{2,6} （B ）{3,6}（C ）{1,3,4,5}（D ）{1,2,4,6}【答案】A【解析】 试题分析：由已知，{13,5}{3,4,5}{1,3,4,5}A B ⋃=⋃=，，所以(){1,3,4,5}{2,6}U U C A B C ⋃==，选A.考点：集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.10.（2016山东理）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =（ ）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.11.（2016四川文） 设集合{|15}A x x =≤≤,Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（ ）(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.12．（2016四川理）集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】试题分析：由题意，{2,1,0,1,2}A Z =--，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般 是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.13.（2016天津文）已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则AB =（ ）（A ）}3,1{ （B ）}2,1{（C ）}3,2{（D ）}3,2,1{【答案】A【解析】试题分析：{1,3,5},{1,3}B AB ==,选A.考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.14.（2016天津理）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则AB =（ ）（A ）{1}（B ）{4}（C ）{1,3}（D ）{1,4}【答案】D【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D . 考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.15.（2016浙江文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）=（ ）A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5} 【答案】C考点：补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．16. （2016浙江理）已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．二、填空题：1. （2016江苏）已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________. 【答案】{}1,2- 【解析】试题分析：{1,2,3,6}{|23}{1,2}A B x x =--<<=-考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(01 集合)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（01集合）一、选择题：1. （2016北京文）已知集合={|24}A x x <<，{|3B x x =<或5}x >，则AB =（ ）A.{|25}x x <<B.{|4x x <或5}x >C.{|23}x x <<D.{|2x x <或5}x > 【答案】C考点： 集合交集【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合)}(|{x f y x =，)}(|{x f y y =，)}(|),{(x f y y x =三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．2.（2016北京理）已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则AB =（ ）A. {0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}- 【答案】C考点：集合交集.【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合)}(|{x f y x =，)}(|{x f y y =，)}(|),{(x f y y x =三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．3. （2016全国Ⅰ文）设集合{}1,3,5,7A =,{}25B x x =,则AB = （ ）（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】B考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.4.（2016全国Ⅰ理）设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.5.（2016全国Ⅲ文）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ＝（ ） （A ）{48}, （B ）{026}，,（C ）{02610}，，,（D ）{0246810}，，，，,【答案】C【解析】试题分析：由补集的概念，得C {0,2,6,10}A B =，故选C ． 考点：集合的补集运算．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．6.（2016全国Ⅲ理）设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2][3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0， 2][3,+∞）【答案】D考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．7.（2016全国Ⅱ理）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C【解析】 试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C. 考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.8.（2016全国Ⅱ文）已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =（ ）（A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，，（C ）{123}，，（D ）{12}，【答案】D考点： 一元二次不等式的解法，集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.9.（2016山东文）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()UA B =（ ）（A ）{2,6} （B ）{3,6}（C ）{1,3,4,5}（D ）{1,2,4,6}【答案】A【解析】 试题分析：由已知，{13,5}{3,4,5}{1,3,4,5}A B ⋃=⋃=，，所以(){1,3,4,5}{2,6}U U C A B C ⋃==，选A.考点：集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.10.（2016山东理）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =（ ）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.11.（2016四川文） 设集合{|15}A x x =≤≤,Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（ ）(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.12．（2016四川理）集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】试题分析：由题意，{2,1,0,1,2}A Z =--，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般 是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.13.（2016天津文）已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则AB =（ ）（A ）}3,1{ （B ）}2,1{（C ）}3,2{（D ）}3,2,1{【答案】A【解析】试题分析：{1,3,5},{1,3}B AB ==,选A.考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.14.（2016天津理）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则AB =（ ）（A ）{1}（B ）{4}（C ）{1,3}（D ）{1,4}【答案】D【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D . 考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.15.（2016浙江文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）=（ ）A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5} 【答案】C考点：补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．16. （2016浙江理）已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．二、填空题：1. （2016江苏）已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________. 【答案】{}1,2- 【解析】试题分析：{1,2,3,6}{|23}{1,2}A B x x =--<<=-考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.。
2016年高考真题(理科数学)分类汇编与详解-高清-亲自整理
2016年高考真题(理科数学)分类汇编与详解模块1集合与常用逻辑用语 (2)模块2函数 (2)模块3导数及其应用 (4)模块4三角函数与解三角形 (6)模块5平面向量、数系的扩充与复数的引入 (8)模块6数列 (8)模块7不等式、推理与证明 (10)模块8立体几何 (11)模块9平面解析几何 (14)模块10计数原理、概率、随机变量及其分布 (17)模块11统计、统计案例及算法初步 (19)模块12 坐标系与参数方程 (21)模块13不等式选讲 (22)参考答案与解析 (23)模块1集合与常用逻辑用语 (23)模块2函数 (23)模块3导数及其应用 (24)模块4三角函数与解三角形 (28)模块5平面向量、数系的扩充与复数的引入 (31)模块6数列 (32)模块7不等式、推理与证明 (34)模块8立体几何 (36)模块9平面解析几何 (40)模块10计数原理、概率、随机变量及其分布 (43)模块11统计、统计案例及算法初步 (46)模块12坐标系与参数方程 (47)模块13不等式选讲 (48)模块1 集合与常用逻辑用语1．(2016·高考全国卷乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，32．(2016·高考全国卷甲)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}3．(2016·高考全国卷丙)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2，3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)4．(2016·高考山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)5．(2016·高考浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 26．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量．则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件模块2 函 数1．(2016·高考全国卷乙)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则( ) A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c2．(2016·高考全国卷甲)已知函数f(x)(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m3．(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b4．(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A.2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年5．(2016·高考全国卷乙)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图像大致为( )6．(2016·高考浙江卷)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝______，b ＝____．7．(2016·高考浙江卷)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围；(2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．模块3 导数及其应用1．(2016·高考全国卷甲)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．2．(2016·高考全国卷丙)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．3．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.4．(2016·高考全国卷甲)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x ＋x ＋2＞0；(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x ＞0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．5．(2016·高考全国卷丙)设函数f(x)＝αcos 2x＋(α－1)(cos x＋1)，其中α＞0，记|f(x)|的最大值为A.(1)求f′(x)；(2)求A；(3)证明|f′(x)|≤2A.6．(2016·高考北京卷)设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x ＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．模块4 三角函数与解三角形1．(2016·高考全国卷甲)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－7252．(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.16253．(2016·高考全国卷丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－310104．(2016·高考天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．(2016·高考四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度6．(2016·高考全国卷甲)若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )7．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，||φ≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．58．(2016·高考全国卷丙)函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．9．(2016·高考全国卷甲)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．10．(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．11．(2016·高考江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．12．(2016·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．13．(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．模块5 平面向量、数系的扩充与复数的引入1．(2016·高考全国卷乙)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．(2016·高考全国卷甲)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 3．(2016·高考全国卷甲)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8 4．(2016·高考全国卷丙)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i5．(2016·高考山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－946．(2016·高考全国卷丙)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°7．(2016·高考全国卷乙)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________． 8．(2016·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．模块6 数 列1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．972．(2016·高考天津卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．(2016·高考全国卷乙)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．4．(2016·高考浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．5．(2016·高考全国卷甲)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．6．(2016·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.7．(2016·高考四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n 3n －1.模块7 不等式、推理与证明1．(2016·高考全国卷丙)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个2．(2016·高考北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多3．(2016·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．174．(2016·高考浙江卷)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．65．(2016·高考全国卷丙)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____．6．(2016·高考全国卷乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．7．(2016·高考全国卷甲)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．模块8 立体几何1．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n2．(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π3．(2016·高考全国卷甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π4．(2016·高考全国卷丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．815．(2016·高考全国卷丙)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π36．(2016·高考全国卷乙)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22 C.33 D.137．(2016·高考全国卷甲)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)8．(2016·高考全国卷乙)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C-BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；(2)求二面角E -BC -A 的余弦值．9．(2016·高考全国卷甲)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．10．(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．11．(2016·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F 在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.模块9 平面解析几何1．(2016·高考全国卷甲)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．22．(2016·高考全国卷乙)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)3．(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．84．(2016·高考全国卷甲)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．25．(2016·高考全国卷丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.346．(2016·高考天津卷)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1 7．(2016·高考全国卷丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．8．(2016·高考浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．9．(2016·高考全国卷乙)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．10．(2016·高考全国卷甲)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．11．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C 于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．12．(2016·高考北京卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．模块10 计数原理、概率、随机变量及其分布1．(2016·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.342．(2016·高考全国卷甲)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．93．(2016·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n4．(2016·高考全国卷乙)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)5．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．6．(2016·高考天津卷)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 7．(2016·高考山东卷)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .8．(2016·高考全国卷乙)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？9．(2016·高考全国卷甲)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．模块11统计、统计案例及算法初步1．(2016·高考全国卷乙)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x2．(2016·高考全国卷甲)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝()A．7 B．12C．17 D．343．(2016·高考全国卷丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个4．(2016·高考全国卷丙)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()A．3 B．4C．5 D．65．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．6．(2016·高考全国卷丙)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32,∑i ＝17y i ＝40.17,∑i ＝17（y i －y ）2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n（t i －t ）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2∑i ＝1n（y i －y ）2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n（t i －t ）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2，a ^＝y －b ^t .模块12 坐标系与参数方程1．(2016·高考北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________．2．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .3．(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．4．(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．5．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．模块13不等式选讲1．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．2．(2016·高考全国卷甲)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.3．(2016·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．4．(2016·高考江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .参考答案与解析模块1 集合与常用逻辑用语1．解析：选D.由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32，则A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫32，3.选D. 2．解析：选C.由已知可得B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C.3．解析：选D.集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞)．4．解析：选C.法一：(通性通法)集合A 表示函数y ＝2x 的值域，故A ＝(0，＋∞)．由x 2－1＜0，得－1＜x ＜1，故B ＝(－1，1)．所以A ∪B ＝(－1，＋∞)．故选C.法二：(光速解法)由函数y ＝2x 的值域可知，选项A ，B 不正确；由02－1＜0可知，0∈B ，故0∈A ∪B ，故排除选项D ，选C.5．解析：选D.根据含有量词的命题的否定的概念可知．6．解析：选D.取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |, 得|a ＋b|2＝|a －b |2，整理得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |, 故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D.模块2 函 数1．解析：选C.对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c ，因为c ＞0，所以y ＝x c 为增函数，又a ＞b ＞1，所以a c＞b c，A 错．对于选项B ，ab c＜ba c⇔⎝⎛⎭⎫b a c＜b a ，又y ＝⎝⎛⎭⎫b a x是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C.2．解析：选B.因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图像都关于点(0，1)对称，所以∑i ＝1mx i =0, ∑i ＝1my i ＝m2³2＝m ，故选B.3．解析：选A.因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .4．解析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130³1.12n －1.由130³1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.5．解析：选D.当x ≥0时，令函数f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x ，易知f ′(x )在[0，ln 4)上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又f ′(0)＝－1＜0，f ′⎝⎛⎭⎫12＝2－e ＞0，f ′(1)＝4－e ＞0，f ′(2)＝8－e 2＞0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12是函数f (x )的极小值点，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D.6．解析：由于a ＞b ＞1，则log a b ∈(0，1)，因为log a b ＋log b a ＝52，即log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝12或log a b ＝2(舍去)，所以a 12＝b ，即a ＝b 2，所以a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a ，所以a ＝2b ，b 2＝2b ，所以b ＝2(b ＝0舍去)，a ＝4.答案：4 27．解：(1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)①设函数f (x )＝2|x －1|， g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以由F (x )的定义知 m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)， 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.模块3 导数及其应用1．解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 22．解析：由题意可得当x ＞0时，f (x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －13．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． (ⅰ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点．(ⅱ)设a ＞0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b ＞0，故f (x )存在两个零点．(ⅲ)设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时f (x )＜0， 所以f (x )不存在两个零点．若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)不妨设x 1＜x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2＜2等价于f (x 1)＞f (2－x 2)，即f (2－x 2)＜0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )．所以当x ＞1时，g ′(x )＜0，而g (1)＝0，故当x ＞1时，g (x )＜0. 从而g (x 2)＝f (2－x 2)＜0，故x 1＋x 2＜2.4．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝（x －1）（x ＋2）e x －（x －2）e x （x ＋2）2＝x 2e x（x ＋2）2≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞f (0)＝－1. 所以(x －2)e x ＞－(x ＋2)，(x －2)e x ＋x ＋2＞0. (2)g ′(x )＝（x －2）e x ＋a （x ＋2）x 3＝x ＋2x3(f (x )＋a )．由(1)知，f (x )＋a 单调递增．对任意的a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1＜0，f (2)＋a ＝a ≥0.因此，存在唯一x a ∈(0，2]，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0＜x ＜x a 时，f (x )＋a ＜0，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ＞x a 时，f (x )＋a ＞0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e xa －a （x a ＋1）x 2a ＝e xa ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a＝e xax a ＋2. 于是h (a )＝e xa x a ＋2，由⎝⎛⎭⎫e xx ＋2′＝（x ＋1）e x （x ＋2）2＞0，得e x x ＋2单调递增． 所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2＜h (a )＝e xa x a ＋2≤e 22＋2＝e 24.因为e x x ＋2单调递增，对任意的λ∈⎝⎛⎦⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ，所以h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24. 5．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x . (2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)| ≤α＋2(α－1) ＝3α－2＝f (0)． 因此A ＝3α－2.当0＜α＜1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝－α2＋6α＋18α.令－1＜1－α4α＜1，得α＞15.(i)当0＜α≤15时，g (t )在[－1，1]内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|＜|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15＜α＜1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)＞0，知g (－1)＞g (1)＞g ⎝⎛⎭⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α＞0，所以A ＝⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0＜α≤15，α2＋6α＋18α，15＜α＜1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0＜α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α)＝2A .当15＜α＜1时，A ＝α8＋18α＋34＞1，所以|f ′(x )|≤1＋α＜2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .6．解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．模块4 三角函数与解三角形1．解析：选D.因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D.2．解析：选A.法一：(通性通法)由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎨⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎨⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：(光速解法)cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425.3．解析：选C.设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22³102c ³c＝－1010，故选C.4．解析：选A.设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.5．解析：选D.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，所以只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度即可，故选D.6．解析：选B.函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，令2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.7．解析：选B.因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以π2＝kT2＋T 4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.8．解析：函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π3个单位长度得到． 答案：2π39．解析：法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝2113. 法二： 因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝2113.法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113.法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213.又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613.故b ＝AD ＋DC ＝2113.答案：211310．解：(1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.11．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4 ＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此， cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 12．解：(1)证明：由正弦定理得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以， B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ， 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.13．解：(1)证明：由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π.所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立． 故cos C 的最小值为12.模块5 平面向量、数系的扩充与复数的引入1．解析：选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.2．解析：选A.由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A.3．解析：选D.由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.4．解析：选C.4i z z －1＝4i （1＋2i ）（1－2i ）－1＝i.5．解析：选B.由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0， 即t m·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m·n ＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m |³|n |³13＝－3³|n ||m |＝－3³43＝－4.故选B.6．解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →²BC →|BA →|²|BC →|＝12³32＋32³121³1＝32，则∠ABC ＝30°.7．解析：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2得a ⊥b ，则m ＋2＝0，所以m ＝－2. 答案：2模块6 数 列1．解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.2．解析：选C.由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.3．解析：设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.答案：644．解析：由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，得S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＋12＝32³3n －1，即S n ＝3n －12，所以S 5＝121.答案：1 1215．解：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1³90＋2³900＋3³1＝1 893. 6．解：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.7．解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，得2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q >0，故q ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）. 由e 2＝1＋q 2＝53得q ＝43.因为1＋q 2(k－1)>q 2(k－1)，所以1＋q 2（k －1）>q k －1(k ∈N *)．于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋qn －1＝q n －1q －1，。
专题八：数列2013-2016高考数学全国卷(文)
1、（2016全国I 卷17题）（本题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和.【答案】（I ）；（II ）考点：等差数列与等比数列 2、（2015全国I 卷7题）已知是公差为1的等差数列，则=4，=（A ） （B ） （C ）10 （D ）12解析：18141110(1)1119,82844(46),,92222n n n S na S a S a a a -=+=+==+==+=，故答案选B.3、（2015全国I 卷13题）在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和。
若S n =126，则n=.答案：6 解析：由a 1=2,a n+1=2a n ,可得1172,22126,22,6n n n n n a S n ++==-===4、（2014全国I 卷17题）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【解析】：（I ）方程2560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，设数列{}n a 的公差为 d ,，则422a a d -=，故d=12，从而132a =， 所以{}n a 的通项公式为：112n a n =+ …………6 分 (Ⅱ)设求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n nn a n ++=， 则：23413451222222n n n n n S +++=+++++ 34512134512222222n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得 341212131112311212422224422n n n n n n n S ++++++⎛⎫⎛⎫=++++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以1422n n n S ++=-………12分 5、（2013全国I 卷6题）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-6、（2013全国I 卷17题）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-。
2016年高考数学理试题分类汇编：数列(含解析)
2016年高考数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（2016年上海高考）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 【答案】B【解析】试题分析：由题意得：11112,(0|q |1)11n q a a q q -<<<--对一切正整数恒成立，当10a >时12n q >不恒成立，舍去；当10a <时21122n q q <⇒<，因此选B. 考点：1.数列的极限；2.等比数列的求和.2、（2016年全国I 高考）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.考点：等差数列及其运算3、（2016年全国III 高考）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个 （B ）16个（C ）14个（D ）12个【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：0[1 1 1 1[1 0 1 1 10 11 01 00 1 1111 01 00 11 01 00 1 110 11 01 00 11 0考点：计数原理的应用．4、（2016年浙江高考）如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n nA A A A A A n++++=≠∈*N，1122,,n n n n n nB B B B B B n++++=≠∈*N，（P Q P Q≠表示点与不重合）.若1n n n n n n nd A B S A B B+=，为△的面积，则A．{}nS是等差数列 B．2{}nS是等差数列C．{}nd是等差数列 D．2{}nd是等差数列【答案】A【解析】nS表示点nA到对面直线的距离（设为nh）乘以1n nB B+长度一半，即112n n n nS h B B+=，由题目中条件可知1n nB B+的长度为定值，那么我们需要知道nh的关系式，过1A作垂直得到初始距离1h，那么1,nA A和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tann n nh h A Aθ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan)2n n n nS h A A B Bθ+=+⋅，111111(tan)2n n n nS h A A B Bθ+++=+⋅，作差后：1111(tan)2n n n n n nS S A A B Bθ+++-=⋅，都为定值，所以1n nS S+-为定值．故选A．二、填空题1、（2016年北京高考）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.. 【答案】6 【解析】试题分析：∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6． 考点：等差数列基本性质.2、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4【解析】试题分析：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数组成. 考点：数列的项与和.3、（2016年全国I 高考）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 . 【答案】64【解析】由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩． 故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()()21174932 (472)22412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64． 考点：等比数列及其应用4、（2016年浙江高考）设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .【答案】1 121三、解答题1、（2016年北京高考） 设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a . 【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析.如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G.考点：数列、对新定义的理解.2、（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n.【解析】(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，所以111=a ，当2≥n 时，56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21． 当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722， 解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n ． (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ， 于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ， 两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ，两式相减，得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T2222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法3、（2016年上海高考）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）316a =．（2）{}n a 不具有性质P ．（3）见解析． 【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到678332a a a a ++=++，结合67821a a a ++=求解． （2）根据{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，写出通项公式，从而可得520193n n n n a b c n -=+=-+． 通过计算1582a a ==，248a =，63043a =，26a a ≠，即知{}n a 不具有性质P ． （3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 试题解析：（1）因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==． 于是678332a a a a ++=++，又因为67821a a a ++=，解得316a =． （2）{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13， 所以()12012019n b n n =+-=-，1518133n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．520193n n n n a b c n -=+=-+． 1582a a ==，但248a =，63043a =，26a a ≠， 所以{}n a 不具有性质P ． （3）[证]充分性：当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=． 充分性得证． 必要性：用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ，使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠． 设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =．取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==， 依此类推，得121k a a a c +==⋅⋅⋅==．但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠． 所以{}n a 不具有性质P ，矛盾． 必要性得证．综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.4、（2016年四川高考）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .（I ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求a n 的通项公式；(ii)设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析.试题解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q +q -=，由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率 22(1)11n n n e a q -=+=+ . 由2513q q =+=解得43q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->，所以2(1)1*1+k k q q k -->?N （）. 于是11211+1n n n q e e e q q q --++鬃?>+鬃?=-， 故1231433n nn e e e --++鬃?>. 考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.5、（2016年天津高考）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等比中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【解析】⑴22112112n n n n n n n n C b b a a a a d a +++++=-=-=⋅21212()2n n n n C C d a a d +++-=-=为定值． ∴{}n C 为等差数列⑵2213211(1)nk n k n k T b C C C -==-=++⋅⋅⋅+∑21(1)42n n nC d -=+⋅212(1)nC d n n =+-（*） 由已知22212123122122()4C b b a a a a d a d a d d =-=-=⋅=+= 将214C d =代入（*）式得22(1)n T d n n =+ ∴2111112(1)nnk k kT d k k ===+∑∑212d <，得证 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和6、（2016年全国II 高考）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵ 记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.7、（2016年全国III 高考）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ． 【答案】（Ⅰ）1)1(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-． 【解析】考点：1、数列通项n a 与前n 项和为n S 关系；2、等比数列的定义与通项及前n 项和为n S ．8、（2016年浙江高考）设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ； （II ）若32n n a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ． 【试题分析】（I ）先利用三角形不等式得1112n n a a +-≤，变形为111222n n n n na a ++-≤，再用累加法可得1122n n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）可得11222n m n m n a a --<，进而可得3224m n n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭，再利用m 的任意性可证2n a ≤．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >， 1121112122222222n m n n n n m m n m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m n n n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭ 11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 3224m n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭． 从而对于任意m n >，均有。
2016年高考数学文试题分类汇编：数列
2016年高考数学文试题分类汇编数列一、选择题1、（2016年浙江高考）如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列【答案】A二、填空题1、（2016年江苏省高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 【答案】20.2、（2016年上海高考）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ÎN ，{23}n S Î，则k 的最大值为 .【答案】4三、解答题1、（2016年北京高考）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解：（I ）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===， 所以211b b q==，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==， 所以11327d +=，即2d =．所以21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）． （II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=． 因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-学科网2312n n -=+．2、（2016年江苏省高考）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0TS=;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+kT t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C DD S S S +≥.（1）由已知得1*13,n n a a n N -=∙∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k kk r k S a a a -≤+++=+++=-<. 因此，1r k S a +<.（3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C C DC D D D D S S S S S S S +=+≥+=. ②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E CC D =，U F D C C =则E φ≠，F φ≠，EF φ=.于是C E C DS S S =+，D F CDS S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-， 从而11121131311332222l k l k E F l a S S a a a ------≤+++=+++=≤=≤， 故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C C DD S S S +≥.3、（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】（Ⅰ）由题意得⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，解得3,41==d b ，得到13+=n b n 。
十年真题(2010-近年)高考数学真题分类汇编专题07数列理(含解析)(最新整理)
故选:C．
4．【2017 年新课标 1 理科 12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为
激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码"的活动．这款软件的激活
码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2,1，2，4，1,2,4，8，1，2,4，8，16,…，其中
第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20，21，22,依此类推．求满足如下条件
9a5．
∴a100＝a5+95d＝98， 故选:C．
6．【2013 年新课标 1 理科 07】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm﹣1＝﹣2，Sm＝0,Sm+1＝
3，则 m＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解:am＝Sm﹣Sm﹣1＝2，am+1＝Sm+1﹣Sm＝3，
所以公差 d＝am+1﹣am＝1，
故选:D．
9．【2019 年新课标 1 理科 14】记 Sn 为等比数列{an｝的前 n 项和．若 a1 ，a42＝a6，则 S5 ＝． 【解答】解：在等比数列中，由 a42＝a6，得 q6a12＝q5a1＞0， 即 q＞0,q＝3，
则 S5
，
故答案为：
10．【2018 年新课标 1 理科 14】记 Sn 为数列｛an}的前 n 项和．若 Sn＝2an+1，则 S6
m(a1+am）＝0， （m+1）（a1+am+1)＝3，
可得 a1＝﹣am,﹣2am+am+1+am+1
0,
解得 m＝5．
故选：C．
7．【2013 年新课标 1 理科 12】设△AnBn∁ n 的三边长分别为 an，bn,cn，△AnBn∁ n 的面积为 Sn，
2015,2016年数列真题
2015、2016高考数列真题回放（2）1、（2015.新课标1）已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和。
则 =4 ， =（ ）（A ）（B ）（C ）10 （D ）122.（2015.新课标2）设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。
若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 =（ ）（A ） （B ） （C ）9 （D ）11 3.（2015.新课标2）已知等比数列{}n a 满足114a =，a 3a 5 = 44(1)a -，则a 2 = （ ） A ） （B ） （C ）12 （D ）184.（2016浙江）如图，点列分别在某锐角的两边上，且，.(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若，为的面积，则（ ）A. 是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列5.（2015.新课标1）（13）在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和。
若-S n =126，则n= ．6.（2015.广东）13. 若三个正数，，成等比数列，其中，，则．7.（2016上海）14.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ÎN ，{23}n S Î，则k 的最大值为 .8.（2015.天津）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.{}{},n n A B *1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N *1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N n n n d A B =n S 1n n n A B B +△{}n S {}2n S {}n d {}2n d9.（2015.山东）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为. （I ）求数列的通项公式；（II ）设，求数列的前项和.10.（2015.广东）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．求的值；证明：为等比数列；求数列的通项公式．11.（2015.北京）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？{}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭n 21nn +{}n a ()12n an n b a =+⋅{}n b n n T12.（2016浙江）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，. （I ）求通项公式；（II ）求数列{||}的前项和.13.（2016天津）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123112,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nnb -的前2n 项和.14.（2016新课标1）已知是公差为3的等差数列，数列满足.（I ）求的通项公式；（II ）求的前n 项和.15.（2016新课标2）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+= （I ）求{n a }的通项公式； (II)设n b =[n a ]，求数列{n b }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2n a n n S 2S 1n a +n S *N n ∈n a 2n a n --n16.（2016山东）已知数列的前n 项和，是等差数列，且.（I ）求数列的通项公式； （II ）令.求数列的前n 项和.17.（2016上海） 对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*N n ∈}，B ={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N AB =，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式.{}n a 238n S n n =+{}n b 1n n n a b b +=+{}n b 1(1)(2)n n n nn a c b ++=+{}n c n T。
2016年全国高考数学试题分类汇编5数列(理)
1.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ） A ．100 B ．99 C ．98 D ．972.公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年3.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4.无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得2n S S<（*n N ∈）恒成立的是( ) A ．10a >, 0.60.7q << B ．10a <, 0.70.6q -<<- C ．10a >，0.70.8q <<D ．10a <，0.80.7q -<<-5.“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ）A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个6.点列{}n A ，{}n B 分别在某锐角的两边上，且112||||n n n n A A A A +++=，2n n A A +≠，n N *∈，112||||n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，n N *∈．（P Q ≠表示点P 与Q 不重合）若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +∆的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．{}2n S 是等差数列C ．{}n d 是等差数列D ．{}2n d 是等差数列7.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.8.已知{}n a 是等差数列，{}n S 是其前n 项和，若2123a a +=-，5=10S ，则9a 的值是 . 9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，n N *∈，则1a = ，5S = .10.设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 . 11.数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意的n N *∈，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为 .4 三、解答题：12.（2016年高考新课标Ⅱ卷）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1=1a ，728S =．记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（1）求111101b b b ，，；（2）求数列{}n b 的前1 000项和．13.（2016年高考新课标Ⅲ卷）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若53132S = ，求λ．14.（2016年高考山东卷）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .15.（2016年高考四川理）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q >，*n N ∈.（1）若22a ，3a ，22a +成等差数列，求{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>16.（2016年高考天津理）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n N *∈，n b 是n a 和1n a +的等差中项.（1）设221n n n c b b +=-，*n N ∈，求证：{}n c 是等差数列；（2）设 1a d =，()2211nnn n k T b ==-∑，*n N ∈，求证：2111.2nk kT d =<∑17.（2016年高考浙江卷理）数列{}n a 满足112n n a a +-≤，*n N ∈． （1）证明：()1122n n a a -≥-，*n N ∈；（2）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，*n N ∈，证明：2n a ≤，*n N ∈．答案：一、选择题：C B C ；B C A二、填空题：6、20.、1与121、64、4 三、解答题：12.答：（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 13.答：（Ⅰ）1)1(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-． 14.答：（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T . 15.答：（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析. 16.答：（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 17.答：（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．。
高考数学试题分类汇编 数列
历年高考数学试题分类汇编数列(理)一． 选择题：1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．232.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．543.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）156.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．1208.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为A.63B.64C.127D.1289.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16B ．24C ．36D ．4810.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n --21） 11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A. 2B. 4C.152D.172二． 填空题：1.（四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为___________。
2016年高考数学(文)五年真题 考点分类汇编：考点28 数列的综合应用
考点28 数列的综合应用1．(E ，浙江，6分)已知}{n a 是等差数列，公差d 不为零若732,,a a a 成等比数列，且1221,a a +=则 =1a ____=d _____2．(A ，江苏，5分)设,1721a a a ≤≤≤= 其中,,31a a 75,a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 ________3．(A ，浙江，4分)若数列2{(4)()}3n n n +中的最大项是第k 项，则k=________4．（E ，福建，4分）若a ，b 是函数q Px x x f +-=2)()0,0(>>q P 的两个不同的零点，且a ，b ，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于________5．(C ，江苏，5分)在正项等比数列}{n a 中，,21=as .376=+a a 则满足n n a a a a a a 2121>+++ 的最大正整数n 的值为_______.6．(E,天津，13分)已知}{n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2,a b b b a ==+= .7325=-b a(I)求}{n a 和}{n b 的通项公式；(Ⅱ)设,,n n n c a b n N *=∈求数列}{n c 的前n 项和．7．(D ，陕西，12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为.,,c b a(I)若c b a ,,成等差数列，证明：=+C A sin sin );(2c A ms + (Ⅱ)若a ，b ，c 成等比数列，且,2a c =求cosB 的值．8．(D ，四川，12分)设等差数列}{n a 的公差为d ，点),(n n b a 在函数x x f 2)(=的图象上*).(N n ∈ (I)证明：数列}{n b 为等比数列；(Ⅱ)若,11=a 函数)(x f 的图象在点),(22b a 处的切线在x 轴上的截距为,2ln 12-求数列}{2n n b a 的前n项和⋅n T9．(B ，湖南，13分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50℅,预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为πa 万元．(I)用d 表示,,21a a 并写出1n a +与n a 的关系式；(Ⅱ)若公司希望经过)3(≥m m 年使企业 的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示、）.10．(C ，江苏，16分)设}{n a 是首项为n ，公差为d 的等差数列n s d ),0(=/是其前n 项的和．记,2cn ns b n n += *,N n ∈其中c 为实数．(I)若,0=c 且421,,b b b 成等比数列，证明：=rk s *);,(2N n k S n k ∈(II)若}{n b 是等差数列，证明：.0=c11. (C ，天津，14分)已知首项为23的等比数列}{n a 的前n 项和为*),(N n s n ∈且4324,,2s s s -成等差数列． (I)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)证明：113(*).6n n s n N s +≤∈12．(E,湖北,12分)设等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为,n s 等比数列}{n b 的公比为q ，已知11,b a = 2102,,100b q d S ===(I)求数列}{},{n n b a 的通项公式；(Ⅱ)当1>d 时，记,n n na cb =求数列}{nc 的前n 项和⋅n T13．(A ．安徽，13分)在数1和100之间插入n 个实数，使得这n 十2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作,n T 再令.1,lg ≥=n T a n n(I)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)设1tan tan ,n n n b a a +=⋅求数列}{n b 的前n 项和⋅n s14. (A ，全国新课标，12分)已知等比数列}{n a 中，=1a ,31公比⋅=31q (I)n s 为}{n a 的前n 项和，证明：;21n n a s -= (Ⅱ)设,log log 3log 3231n n a a a b +++= 求数列}{n b 的通项公式，15．(A,陕西,12分)如图，从点)0,0(1P 作x 轴的垂线交曲线x e y =于点),1,0(1Q 曲线在1Q 点处的切线与x轴交于点⋅2p 再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：,1P 122;,;...;,,n n Q P Q P Q 记k p 点的坐标为(,0)(k x k =).,,2,1n ⋅⋅⋅(I)试求k x 与1-k x 的关系);2(n k ≤≤ (Ⅱ)求112233|||||||.n n PQ p Q p Q PQ ++++16．(E ，江苏，16分)设4321,,,a a a a 是各项为正数且公差为)0(=/d d 的等差数列，(I)证明：31242,2,2,2a a a a依次构成等比数列;(Ⅱ)是否存在,,1d a 使得4433221,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由； (Ⅲ)是否存在d a ,1及正整数n ，k ，使得,,21k n n a a +2334,n k n k a a ++依次构成等比数列？并说明理由．17．（D,江苏,16分）设数列}{n a 的前n 项和为⋅n s 若对任意的正整数n ，总存在正整数m 使得=n s ,m a则称}{n a 是“H 数列”．(I)若数列}{n a 的前n 项和),(2⋅∈=N n s n n 证明：}{n a 是“H 数列”；(Ⅱ)设}{n a 是等差数列，其首项,11=a 公差.0<d 若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； (Ⅲ)证明：对任意的等差数列},{n a 总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得*)(N n c b a n n n ∈+=成立．18．(C,山东，12分)设等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 且.12,4224+==n n a a S s （I ）求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列}{n b 满足,2112211n n n a b a b a b -=+⋅++ *,N n ∈求}{n b 的前n 项和⋅n T答案。
2016年高考真题解答题专项：数列(理科)
2016年高考真题解答题专项：数列（理科）1．（山东）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；求数列{}n c 的前n 项和T n .2．（四川）已知数列{n a }的首项为1， n S 为数列{n a }的前n 项和， 11n n S qS +=+，其中q>0， *n N ∈.（Ⅰ）若2322,,2a a a +成等差数列，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明： 121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.3．（天津）已知{n a }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*n N ∈， n b 是n a 和1n a +的等比中项.（Ⅰ）设22*1,,n n n c b b n N +=-∈求证：数列{n c }是等差数列；（Ⅱ）设()22*11,1,,n k n k k a d T b n N ===-∈∑求证： 2111.2nk k T d =<∑4．（新课标三卷）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；，求λ．5．（新课标二卷）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和.2017年高考真题解答题专项：数列（理科）6．（天津）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N ∈， {}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0， 2312b b +=,3412b a a =-， 11411S b =.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()*n N ∈.2018年高考真题解答题专项：数列（理科）7．（浙江）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项，数列{b n }满足b 1=1，数列{，b n +1−b n ，a n }的前n 项和为2n 2+n ， ，Ⅰ）求q 的值；，Ⅱ，求数列{b n }的通项公式，8．，2018年天津卷理）设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是等差数列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.，I）求{a n}和{b n}的通项公式；，II）设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N∗)，，i）求T n，9．（新课标三卷）等比数列{a n}中，a1=1 ， a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．10．（新课标二卷）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15，，1）求{a n}的通项公式；，2）求S n，并求S n的最小值．。
【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编 专题06 数列(含解析)理
专题06 数列1. 【2006高考北京理第7题】设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）（A ）2(81)7n- （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +-（D ）42(81)7n +- 【答案】D2. 【2008高考北京理第6题】已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165- B ．33-C ．30-D ．21-【答案】C考点：数列3. 【2010高考北京理第2题】在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】C考点：等比数列的通项公式.4. 【2014高考北京理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.5. 【2007高考北京理第10题】若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．6. 【2008高考北京理第14题】某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 【答案】(1,2) (3, 402)考点：数列的通项7. 【2009高考北京理第14题】已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0考点：周期数列等基础知识.8. 【2011高考北京理第11题】在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则公比q =________；12||||||n a a a +++=________.【答案】2- 1122n --9. 【2012高考北京理第10题】已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。
完整版)全国卷高考数学真题数列
完整版)全国卷高考数学真题数列高考数学——数列在高考数学中，数列是一个非常重要的知识点。
下面我们来看一些数列相关的题目。
17年全国I卷17题，给定一个数列，求它的通项公式和前n项和。
如果这个数列是等差数列，还需要判断一下。
如果是等比数列，还需要求出它的通项公式和前n项和。
17年全国II卷17题，已知一个等差数列的前n项和为S，如果它的第一项是a1，公差是d，那么当S等于某个值时，求a1和d。
同样地，如果这个等差数列的第一项是a1，前n项和为Sn，那么当Sn等于某个值时，求a1和d。
17年全国III卷17题，给定一个数列，求它的通项公式和前n项和。
如果这个数列满足某个条件，还需要在此基础上求数列的某些值。
16年全国I卷17题，已知一个公差为3的等差数列，数列满足某个条件，求它的通项公式和前n项和。
同样地，如果这个等差数列的前n项和为Sn，其中Sn表示不超过x的最大整数，那么求它的前10项和。
16年全国II卷17题，给定一个公差为1的等差数列，求它的通项公式和前n项和。
如果这个等差数列满足某个条件，还需要在此基础上求数列的某些值。
16年全国III卷17题，给定一个数列，它的各项都为正数，求它的通项公式和前n项和。
如果这个数列满足某个条件，还需要在此基础上求数列的某些值。
15年全国I卷7题，已知一个等差数列的前n项和为Sn，如果它的第一项是a1，公差是d，那么当Sn等于某个值时，求a1和d。
15年全国I卷13题，给定一个数列，求它的前n项和。
如果这个数列满足某个条件，还需要在此基础上求数列的某些值。
15年全国II卷5题，给定一个公差为d的等差数列，求它的通项公式和前n项和。
如果这个等差数列满足某个条件，还需要在此基础上求数列的某些值。
15年全国II卷9题，已知一个等比数列的前n项和为Sn，公比是q，求它的通项公式和前n项和。
如果这个等比数列满足某个条件，还需要在此基础上求数列的某些值。
14年全国I卷17题，给定一个等差数列，求它的通项公式和前n项和。
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2016年高考试题分类汇编（数列）
考点1 等差数列
1.（2016·北京·理科）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，
350a a +=，则6S =_____.
2.（2016·全国卷Ⅰ·理科）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = A. 100 B. 99 C. 98 D. 97
3.（2016·江苏）已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.若2123a a +=-，5=10S ，则9a 的值是 .
4.（2016·全国卷Ⅱ·文科）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=， （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=,[]2.62=.
5.（2016·全国卷Ⅱ·理科）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记
[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=. （Ⅰ）求111101b b b ，，；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和. 考点2 等比数列
1. （2016·全国卷Ⅲ·理科）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠. （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若531
=
32
S ，求λ. 2.（2016·全国卷Ⅲ·文科）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，
211(21)20n n n n a a a a ++---=.
（Ⅰ）求23,a a ；
（Ⅱ）求{}n a 的通项公式.
3.（2016·全国卷Ⅰ·理科）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则
12n a a a 的最大值为 . 考点3 等差数列与等比数列的综合
1.（2016·北京文科）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，
11a b =，144a b =.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和.
2.（2016·全国卷Ⅰ文科）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足1=b 1，
21
=3
b ，11n n n n a b b nb +++=.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和.
3.（2016·山东文科）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1)(2)n n n n
n a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .（错位相减法）
4.（2016·四川文科）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，
11n n S qS +=+ ，其中0q >，*n N ∈ .
（Ⅰ）若2a ，3a ，23a a +成等差数列，求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线2
2
21n y x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋅⋅⋅+.
5. （2016·四川理科）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，
11n n S qS +=+ ，其中0q >，*n N ∈ .
（Ⅰ）若22a ，3a ，22a +成等差数列，求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线22
21n y x a -=的离心率为n e ，且25
3e =，证明：121
433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>
6.（2016·天津文科）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且
6123
112
,63S a a a -==. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的n N *∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){
}
21n
n b -的前2n 项和.
7.（2016·天津理科）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n N *∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项.
（Ⅰ）设22
1n n n
c b b +=-，*n N ∈，
求证：{}n c 是等差数列；
（Ⅱ）设
()22
*
11
,1,n
n
n n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2n
k k
T d =<∑
8. （2016·浙江文科）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知24S =，121n n a S +=+，
n N *∈
（Ⅰ）求通项公式n a ；
（Ⅱ）求数列{}2n a n --的前n 项和.。