工程经济学3(答案)

3
二、利 息
2.3 利息的计算方法
①单利法：以本金为基数计算利息的方法。 I= P · n · i
②复利法：以本金和累积利息之和为基数 计算利息的方法。
F = P（1+i）n I = P（1+i）n －P
4
例1：李晓同学向银行贷款20000元，约定4年后一次归 还，银行贷款年利率为5%。问：
7
三、名义利率与实际利率
1. 名义利率in 一个计息周利率i与一年内的计息次
数n 的乘积： in = i×n
例如：月利息 i = 1%，一年计息12 次，
则 in = 1%×12 =12%
8
三、名义利率与实际利率
2. 实际利率ie 一年内按复利计息的利息总额与本
金的比值 ie=（1+i）m－1
例如：月利息 i =1%，一年计息12
F ⋅ i = G( 1 + i )n−1 − G( 1 + i )n−2 + L
+ L + G ( 1 + i ) 2 + G ( 1 + i )1 − ( n − 1 )G
24
F ⋅ i = G [( 1 + i ) n −1 − ( 1 + i ) n − 2 + L
L + ( 1 + i ) 2 + ( 1 + i ) 1 + 1 ] − nG
资金的时间价值要求人们用动态的 观点去看待资金的使用与占用，讲求资 金运动的经济效果。
2
二、利 息
2.1 资金的时间价值的衡量尺度 9 绝对尺度：利息、盈利 9 相对尺度：利率、收益率
2.2 影响资金时间价值的因素 9 资金本身的大小 9 投资收益率（或利率） 9 时间的长短 9 风险因素 9 通货膨胀
F
=
G i
⎡(1 + ⎢ ⎣
i )n i
−
1
−
⎤ n⎥
⎦
=
G
⎡( ⎢⎣
F
/
A,i,n ) − i
n⎤ ⎥⎦
6.等差系列现值公式
F
⋅1 (1 + i ) n
=
G i
⎡ (1 + i ) n
⎢ ⎣
i
−1
−
⎤ n⎥
⎦
1 (1 + i ) n
P
=
G i
⎡ (1 + i ) n − 1
⎢ ⎣
i(1 + i ) n
次，
则 ie=（1+1%）12 －1 = 12.68%
3. 两者关系
ie=（1+ in /m）m－1
9
源自文库
名义年利率为12%时,对应于不同复利周期的年实际利率 计息周期 1年中计息周期数 周期利率 年名义利率 年实际利率
年 半年 季 月 周 日 连续
1
12%
12%
12%
2
6%
12%
12.36%
4
3%
12%
16
3.已知年金A求现值P
F=P(1+i)n , 令两式相等，
F = A (1 + i ) n − 1 i
得
P
=
(1 + i ) n A
−1
i (1 + i ) n
P = A（P / A，i，n） （P/A，i，n) 称为等额分付现值系数。
例7 某工程项目初期投入一笔资金以后每年获净收益10万元，利 率为10%，项目可用每年获净收益在5年内回收初始投资，问初 始投资为多少？ 解：P = 10（P/A，10%，5）万元
现金流入和流出。
3000
3000
3000
(+)
(-)0
1
2
3
4
56 年末
6000
6
现金流量图
表示资金在一定时期内流动状况的图形。 注 意：
①水平线代表时间标度，时间的推移从左至右 每一格代表一个时间单位，其标度为该期的期 末，零点为第一期的始点； ②箭头表示现金流动的方向，向上为正（表示 现金流入），向下为负（现金流出），箭头的 长短代表现金流量的大小成比例； ③现金流量图与分析计算的立足点有关。
10年内要将总投资连本带息收回，每年净收益应为多 少？ 解：A = P（A / P，10%，10）
= 50×0.16275 = 8.1375 万元
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常用资金等值计算公式
现值与将来值之间的换算
0 1 2 n－1 n
012
n－1 n
P（现
值）
P = F (1+ )i −n
F（将来
值）
F = P(1+ i)n
其中 i 是反映资金时间价值的参数，称为“折现 率”。以上两式亦可记作：
P = F (P/F,i,n) F = P(F/P,i,n)
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常用资金等值计算公式
等额年值与将来值之间的换算
0 1 2 n－1 n
0 1 2 n－1 n
A A AA （等额年值）
A
=
F
(1 +
i
i)n
−1
F（将来
F = A (1+ i)值n ）−1
其中利息= 24310.125 – 20000= 4310.125 (元) 两种利息的比较：在资金的本金、利率和时间相等的情
况下，复利大于单利。
我国目前银行的现状：定期存款是单利。贷款是复利。 国库券利息也是单利。 5
二、利 息
2.4 现金流量图（Cash Flow Diagram) 现金流量：各个时点上实际发生的
F = A.[((1+i)n-1)/i]=A（F/A，i，n） (F/A,i,n)称为等额分付终值系数。
（注意：该公式是对应A在第1个计息期末发生而推导出来的） 例4 某厂从税后利润中每年提取20万元储备基金存入银行，若年 利率为10%，5年后有多少储备基金可用？ 解：F = 20 ×（F/A，10%，5） = 20 × 6.1051 = 122.10万元
12
（二）将来值F：指按某一收益率标准， 将某一时点的资金按比例换算到将来某 一时点的数值。 F = P（1+i）n = P（F/P，i，n）
（1+i）n 称为一次支付复利系数. 例3 某企业向银行借款10万元进行技术改造， 年利率10%，两年后一次还清，到期偿还本利 共多少万元 ？ 解：F = 10（1+10%）2 = 10（F/P，10%，2） = 10×1.21 = 12.1万元
= 4385元
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[例9]某工程项目计划3年建成,3年中每年年初分别贷款1000万 元,年利率为8%.若建成后分3年等额偿还全部投资贷款.问每年 应偿还多少?
解:
0
123
4
56
1000 ( 1 + 8%)( F / A ,8%,3 ) = A( P / A ,8%,3 ) A = 1000 ( 1 + 8%)( F / A ,8%,3 ) = 1360 .5万元 ( P / A ,8%,3 )
i
其中 A 是从第 1 年末至第 n 年末的等额现金流
序列，称为“等额年值”。以上两式亦可记作：
A = F (A/F,i,n)
F = A(F/A,i,n)
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常用资金等值计算公式
等额年值与现值之间的换算
0 1 2 n－1 n
0 1 2 n－1 n
A A AA
（等额年值）
A
=
P
i(1+ i (1+ i)n
15
2.已知未来值F，求年金 A
是等额分付终值公式的逆运算。
A = F（ A / F，i，n）
A=F
i
(1 + i ) n − 1
（A/F， i, n) 称为等额分付偿债基金系数。
例5 某公司5年后需一次性还一笔200万元的借款，存款 利率为10%，从现在起企业每年等额存入银行多少偿 债基金？ 解：A = 200 ×（A / F，10%，5） = 200 × 0.16380 = 32.76 万元
13
（三）年金A：任意一笔资金按某一收益 率标准可折算为若干年的资金，且每一 年的资金数额相等，该每一年的资金数 额即年金（年值）。
根据现值P、未来值F、年金A之间的换算 关系，有以下四个公式：
14
1.已知年金A，求未来值 F 等额分付终值
F = A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)3+···········+A（1+i)n-1 进行数学变换后得：
+ L + ( n − 2 )G ( 1 + i )1 + ( n − 1 )G
（1）式两边同乘以（1+i）:
F ( 1 + i ) = G ( 1 + i )n−1 + 2G ( 1 + i )n−2
（1）
+ L + ( n − 2 )G ( 1 + i ) 2 + ( n − 1 )G ( 1 + i ) 1 (2) （2）式-（1）式得：
另加大修费5000元,到第12年末设备残值为2000元.试计算设备
的年金费用.(i=6%) 解:
0
1 2 3…
11 12
A = 20000 ( A / P ,6%,12 )
2万
+ [ 5000 ( P / F ,6%, 7 )]( A / P ,6%,12 )
+ 150 ( A / G ,6%,12 ) − 2000 ( A / F ,6%,12 ) + 1000
（1）如果银行按单利计算，李晓4年后应还银行多少钱？ 还款中利息是多少?
（2）如果银行按复利计算，李晓4年后应还银行多少钱？ 还款中利息是多少?
解： （1）单利的本利和 = 20000 ×（1+4× 5% ) =24000(元)
其中利息= 20000 × 4× 5% = 4000(元) （2）复利的本利和 = 20000 ×（1+ 5%）4 = 24310.125(元)
22
等差系列现金流
0
1 2 3 … n-1 n
G 2G
0
1 2 3 … n-1 n
A1 A1 + G
(n-1)G
0
1 2 3 … n-1 n
A1 + (n −1)G
A1 − ( n − 1 )G
A1 − G
A1
23
5.等差系列终值公式
根据公式：
n
∑ F =
At ( 1 + i )n−t
t =1
F = G( 1 + i )n−2 + 2G( 1 + i )n−3
11
（一） 现值P：未来某一时点的资金按某 一收益标准贴现到现在的数值。
P = F/（1+i）n = F（P/F，i，n）
（1+i）-n 称为一次支付现值系数. 例2 某企业对投资收益率为12%的项目进行 投资，欲五年后得到100万元，现在应投资多 少？ 解：P = 100（1+12%）-5 = 100（P/F，12%，5） = 100×0.56743 = 56.743（万元）
−
n (1 + i ) n
⎤ ⎥ ⎦
P
=
G
⎡ ⎢⎣
(
P
/
A ,i , n
) − n( i
P
/
F
,i,n
)⎤ ⎥⎦
25
7.等差系列年值公式
把资本回收公式中的P用等差系列现值代入,得:
A
=
P
⎡ ⎢ ⎣
(
i( 1 1+
+i i )n
)n −
⎤ ⎥ 1⎦
A
=
G i
⎡( 1 + i )n −
⎢ ⎣
i( 1 + i )n
12.55%
12
1%
12%
12.68%
52
0.2308% 12%
12.736%
365
0.03288% 12%
12.748%
]
-
12%
12.749%
10
四、资金等值及计算
资金等值：将不同时点的几笔资金按同 一收益率标准，换算到同一时点，如果 其数值相等，则称这几笔资金等值。
影响因素：
– 金额大小、 – 金额发生的时间、 – 利率高低
1
−
n (1 + n
)n
⎤ ⎡ i( 1 + i )n
⎥ ⎦
⎢ ⎣
(
1
+
i )n
−
⎤ ⎥ 1⎦
化简后得：
A
=
G i
⎡ ⎢1 − ⎣
(1 +
in i )n
⎤
−
1
⎥ ⎦
A
=
G
⎡1 ⎢⎣
−
n(
A/ i
F
,i,n
)⎤ ⎥⎦
26
应用举例
[例8]某台设备价格为2万元,使用寿命为12年,第1年维修费用
1000元,以后逐年提高,每年增加150元,第7年要进行一次大修,
)n
−
1
P（现值）
P
=
A
(1+ i)n −1 i(1+ i)n
亦可记作：A = P(A/P,i,n) P = A(P/A,i,n)
若 n → ∞ 则： P = A i
21
小结：资金等值计算 倒数关系：
（P/F，i，n）= 1 /（F/P，i，n） （P/A，i，n）= 1 /（A/P，i，n） （F/A，i，n）= 1 /（A/F，i，n） 乘积关系： （F/P，i，n）·（A/F，i，n）=（A/P，i， n）
第三章 现金流量与资金等值
本章要点： 掌握现金流量图的绘制； 掌握资金时间价值的计算（利息公
式）； 掌握名义利率与实际利率； 掌握资金等值计算。
1
一、概 述
工程经济中的时间因素，主要指在 工程经济效果评价中所必须考虑的资金 的时间价值，即资金在扩大再生产及其 循环周转过程中，随着时间变化而产生 的资金增值和经济效益。
[例10]如果某人想从明年开始的10年中,每年年末从银行提取 600元,若按10%的年利率计复利,此人现在必须存入银行多少?
解:
P = [ A( P / A ,10 % 10 )]( P / F ,10 %,1 )
= 10×3.79079 万元 = 37.9079 万元
17
4.已知现值P，求年金 A
是等额分付现值公式的逆运算。
A = P i(1 + i)n = P( A / P, i, n) (1 + i) n − 1
（A/P，i ，n)称为等额分付资本回收系数。 例6 某工程初期总投资为50万元，利率为10%，问在