最优化方法练习题
小学奥数 最优化问题 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展.小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？
拓展.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟？
课后作业
1.用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？
2、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？
3、甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？
例3、五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？
拓展．甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？
例1、 用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，煎一个展.烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？
拓展.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟，他是怎样烙的？
重庆大学最优化方法习题答案
s.t.x1 + 2x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在 A 点取得最优值， 最优值 z=5
（2） min z = x1 − 6x2 2x1 + x2 ≤ 1
s.t.− x1 + x2 ≤ 7 x1, x2 ≥ 0
解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点 A 处取得最优值，最优值 z=-6.
（3） max z = 3x1 + 2x2
− x1 + x2 ≤ 1 s.t.x1 − 2x2 ≥ −4
x1, x2 ≥ 0
解：如图 所示，可行域为图 中阴影部 分，易得 原线性规 划问题 为无界 解。
所以 x(2) , x(4) , x(6) 是原问题的基可行解， x(6) 是最优解，最优值是 z = −3 。
（2） max z = x1 + x2 − 2x3 + x 4 − x5
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 s.t.− x1 + 2x2 + x5 = 4
xi ≥ 0,i = 1,2,3,4,5
解：易知
x1
的系数列向
量
p1
= 1− 1
，
x2
的系数列向
量
p2
=
1
2
，
x3
的系
数列向量
1
1
0
p3
=
0
，
x4
的系数列向量
p4
=
0
，
x5
的系数列向量
最优化复习题及答案
最优化复习题及答案一、选择题1. 最优化问题中，目标函数的值随着决策变量的变动而变动，我们称之为：A. 约束条件B. 可行域C. 目标函数D. 决策变量答案：C2. 在线性规划问题中，如果所有约束条件和目标函数都是线性的，则该问题被称为：A. 非线性规划B. 整数规划C. 线性规划D. 动态规划答案：C3. 以下哪个算法是用于求解无约束最优化问题的？A. 单纯形法B. 梯度下降法C. 拉格朗日乘子法D. 分支定界法答案：B二、填空题4. 在最优化问题中，满足所有约束条件的解称为________。
答案：可行解5. 当目标函数达到最大值或最小值时的可行解称为________。
答案：最优解6. 拉格朗日乘子法主要用于求解带有等式约束条件的________问题。
答案：最优化三、简答题7. 简述单纯形法的基本思想。
答案：单纯形法是一种用于求解线性规划问题的算法。
它通过在可行域的顶点之间移动，逐步逼近最优解。
在每一步中，选择一个进入基的变量，使得目标函数值增加最多，同时选择一个离开基的变量，使得目标函数值不降低。
通过这种方法，单纯形法能够找到线性规划问题的最优解。
8. 解释什么是局部最优解和全局最优解。
答案：局部最优解是指在目标函数的邻域内没有其他解比当前解更优的解。
而全局最优解是指在整个可行域内没有其他解比当前解更优的解。
局部最优解不一定是全局最优解，但全局最优解一定是局部最优解。
四、计算题9. 假设有一个生产问题，需要最小化成本函数 C(x, y) = 3x + 4y，其中 x 和 y 分别表示生产两种产品的产量，且满足以下约束条件： - 2x + y ≤ 12- x + 2y ≤ 18- x, y ≥ 0请求解该最优化问题。
答案：首先，我们可以画出约束条件所形成的可行域。
然后，检查可行域的顶点，这些顶点分别是 (0,0), (0,9), (6,0), (3,6)。
计算这些顶点处的成本函数值，我们得到：- C(0,0) = 0- C(0,9) = 36- C(6,0) = 18- C(3,6) = 30成本函数的最小值为 18，对应的最优解为 (x, y) = (6, 0)。
最优化方法练习题(答案)
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。
练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。
确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。
确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。
最优化方法习题答案
最优化方法习题答案最优化方法习题答案最优化方法是数学中一门重要的学科，它研究如何找到使函数取得最大值或最小值的方法。
在实际问题中，最优化方法被广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域。
本文将为读者提供一些最优化方法习题的答案，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一学科。
一、单变量函数的最优化问题1. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[0, 3]上的最小值。
解：首先，我们需要找到函数f(x)的驻点。
计算f'(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到x = 1。
然后，我们计算f''(x) = 2，发现在x = 1处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。
接下来，我们需要检查区间的端点和驻点，找到函数f(x)在这些点的函数值。
f(0) = 1，f(1) = 0，f(3) = 4。
由于f(1)是最小的函数值，因此函数f(x)在区间[0, 3]上的最小值为0。
2. 求函数f(x) = e^x - 2x在整个实数轴上的最小值。
解：首先，我们计算f'(x) = e^x - 2，并令其等于零，得到x = ln(2)。
然后，我们计算f''(x) = e^x，发现在x = ln(2)处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。
接下来，我们需要检查整个实数轴上的函数值。
由于函数f(x)在x趋近负无穷大时趋于负无穷大，而在x趋近正无穷大时趋于正无穷大，因此函数f(x)在整个实数轴上没有最小值。
二、多变量函数的最优化问题1. 求函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y在闭区域D={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y≤3}上的最小值。
解：首先，我们需要找到函数f(x, y)的驻点。
计算f_x(x, y) = 2x - 2和f_y(x, y) = 2y - 4，并令它们同时等于零，得到x = 1和y = 2。
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï+£ïí+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï-+£ïí+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++£ìï+£íï³î7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+£ìï£ïí+£ïï³î二．对偶单纯性法二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++£ìï+³ïí£ïï³î 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++£ìï+³ïï-³íï³ïï³î4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 124123412341234min 262335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++£ìï-+-³íï³î5.运用对偶单纯形法解下列问题（共运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）分） 12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+³íï³î6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î三．0-1整数规划整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-³ìï+--+³ïí--+++³ï=î 2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+£ì++³ïí+³ïï=î 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++£ìï++++£ïí++++£ïï=î或 4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+£ìï-+-+£íï=î或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++³ì-+++³ïí+-+³ïï=î或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++£ìï+-+£ïí-+-³ï 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-£ìï++£ïï+£íï+£ïï=四.K-T 条件条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共）条件求解以下问题（共 15 分）分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+£ìï+£íï³î2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
最优化练习题一
最优化练习题1．设A 为m n ⨯阶矩阵，nb R ∈，试证集合{|,,0}n S x x R Ax b x =∈=≥为凸集。
2．试证平面上椭圆22221x y a b+=所包围的区域为凸集。
3．判断下列函数为凸函数或凹函数或严格凸函数或严格凹函数：（1）221212(,)23f x x x x =+；（2）2221231231231(,,)22712f x x x x x x x x x x =+++--+4．设()f x 为定义在凸集D 上的凸函数，试证()f x 的任何局部极小点同时也必为全局极小点。
5．设n 阶矩阵0T Q Q =>，非零向量12,,,()n n p p p R m n ∈≤为Q 共轭的，证明：（1）12,,,n p p p 线性无关；（2）若n 维向量x 和12,,,n p p p 为Q 共轭的，则x=0。
6．设()TTf x x Ax b x =-，2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，(3,3)T b =，取1(0,0)Tx =，1(1,0)T p =，2(1,2)T p =-，试证由共轭方向法产生的3x 为()f x 的最优解。
7．设1()2TT f x x Qx b x c =++，0T Q Q =>，试证由精确线搜索的共轭梯度法中，有 T k k k T k kg dd Qd λ=-8．取初始点0(0,0)T x =，并且设定净度误差0.01ε=，试利用最速下降法求解下面的优化问题：222112212min 243x Rx x x x x x ∈-++-9．考虑极小化问题1min ()2nTT x Rf x x Ax b x ∈=+，其中0T A A =>，n b R ∈。
记函数()()g x f x Ax b =∇=+。
设从k x 点出发，利用精确搜索的最速下降法求出改进点1k x +，证明：（1）最速下降法的迭代公式形如1T k k k k k T k k g gx x g g Ag +=-，其中()k k g g x =；（2）一步迭代中引起目标函数的下降量为21()()()2T k k k k Tk kg g f x f x g Ag +-=。
最优化练习题二
最优化练习题二一、解释下列概念：（1）线性规划的基本可行基，基本可行解。
（2）Q共轭向量组。
（3）无约束优化下降算法的基本思想。
H满足的三个性质。
（4）在DFP算法中要求矩阵k（5）凸集，凸规划。
二、（1）设问题（P ）为⎩⎨⎧=≥∈mi x g t s R x x f i n,,2,1;0)(.);(min 若规划（P ）是凸规划，证明：（P ）的任何局部极小点都是全局极小点。
（2）判断函数312221211052)(x x x x x x x f -+--=为凸函数或凹函数或严格凸函数或严格凹函数（3）求函数2143)(221x x e x x x f +=的梯度和Hesse 矩阵。
三、写出一维搜索0.618法的基本思想和算法框图。
四、设A 为n 阶对称正定矩阵，C x b Ax x x f T T ++=21)(，若n p p p ,,,21 为非零A 共轭向量组，证明：由任意初始点1x 出发，按迭代格式)()(min 0k k k k k p x f p x f λλλ+=+≥； k k k k p x x λ+=+1 至多迭代n 次必达到最优点。
五、设C x b Ax x x f T T ++=21)(，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1113A ，0=b ，14=c ，试任意选择最速下降法、牛顿法，共轭方向法或DFP 算法从初始点T x )1,1(=开始求)(x f 的最小值点和最小值。
六、用单纯形法求解下面线性规划的最优解和最优值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥≤++=0,21265.2max 21212121210x x x x x x x x t s x x x七、设有线性规划（P ）12121212min 2.1200x x s t x x x x x x -+⎧⎪+≥⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎪≥⎩ 写出该线性规划的对偶规划（D ），任取一个基，写出单纯形表，并用图解法求出对偶规划（D ）的最优解和最优值。
《最优化方法》复习题(含答案)
附录5 《最优化方法》复习题1、设n n A R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2TT f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 2(),()f x Ax b f x A ∇=+∇=．2、设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ϕ''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+．3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令()()()()()T TT Tdd f x f x H I d f x f x f x ∇∇=--∇∇∇， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-∇也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ∇<，从而()()()T T f x p f x H f x ∇=-∇∇()()()()()()()()T TTT T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ∇∇=-∇--∇∇∇∇()()()0T T f x f x f x d =-∇∇+∇<，所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ⊆是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ∀≥∀∈的一切凸组合都属于S ．证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令11k i i i x x λ+==∑，其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+，且111k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈，结论成立），记111kii i k y x λλ=+=-∑，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，又1110,1,2,,,111kiii k k i k λλλλ=++≥==--∑，则由归纳假设知，y S ∈，而1k x S +∈，且S 是凸集，故x S ∈．5、设n R S ⊆为非空开凸集，R S f →:在S 上可微，证明：f 为S 上的凸函数的充要条件是2112112()()()(),,T f x f x f x x x x x S ≥+∇-∀∈．证明 必要性．设f 是S 上的凸函数，则12,x x S ∀∈及(0,1)λ∈，有2121((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，于是121121(())()()()f x x x f x f x f x λλ+--≤-，因S 为开集，f 在S 上可微，故令0λ+→，得12121()()()()T f x x x f x f x ∇-≤-，即2112112()()()(),,T f x f x f x x x x x S ≥+∇-∀∈．充分性．若有2112112()()()(),,T f x f x f x x x x x S ≥+∇-∀∈， 则[0,1]λ∀∈，取12(1)x x x S λλ=+-∈，从而11()()()()T f x f x f x x x ≥+∇-，22()()()()T f x f x f x x x ≥+∇-，将上述两式分别乘以λ和1λ-后，相加得1212()(1)()()()((1))T f x f x f x f x x x x λλλλ+-≥+∇+--12()((1))f x f x x λλ==+-，所以f 为凸函数．6、证明：凸规划min ()x Sf x ∈的任意局部最优解必是全局最优解．证明 用反证法．设x S ∈为凸规划问题min ()x Sf x ∈的局部最优解，即存在x 的某个δ邻域()N x δ，使()(),()f x f x x N x S δ≤∀∈．若x 不是全局最优解，则存在x S ∈，使()()f x f x <．由于()f x 为S 上的凸函数，因此(0,1)λ∀∈，有((1))()(1)()()f x x f x f x f x λλλλ+-≤+-<．当λ充分接近1时，可使(1)()x x N x S δλλ+-∈，于是()((1))f x f x x λλ≤+-，矛盾．从而x 是全局最优解．7、设n R S ⊆为非空凸集，R S f →:是具有一阶连续偏导数的凸函数，证明：x 是问题min ()x Sf x ∈的最优解的充要条件是：()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．证明 必要性．若x 为问题min ()x Sf x ∈的最优解．反设存在x S ∈，使得()()0T f x x x ∇-<，则d x x =-是函数()f x 在点x 处的下降方向，这与x 为问题min ()x Sf x ∈的最优解矛盾．故()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．充分性．若()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．反设存在x S ∈，使得()()f x f x <．(())()((1))()f x x x f x f x x f x λλλλλ+--+--=()(1)()()()()0((0,1)f x f x f x f x f x λλλλ+--≤=-<∀，因S 为凸集，f 在S 上可微，故令0λ+→，得()()()()0T f x x x f x f x ∇-≤-<，这与已知条件矛盾，故x 是问题min ()x Sf x ∈的最优解．8、设函数()f x 具有二阶连续偏导数，k x 是()f x 的极小点的第k 次近似，利用()f x 在点k x 处的二阶Taylor 展开式推导Newton 法的迭代公式为 211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇．证明 由于()f x 具有二阶连续偏导数，故21()()()()()()()()2T T k k k k k k f x x f x f x x x x x f x x x ϕ≈=+∇-+-∇-．且2()k f x ∇是对称矩阵，因此()x ϕ是二次函数．为求()x ϕ的极小点，可令()0x ϕ∇=，即2()()()0k k k f x f x x x ∇+∇-=，若2()k f x ∇正定，则上式解出的()x ϕ的平稳点就是()x ϕ的极小点，以它作为()f x 的极小点的第1k +次近似，记为1k x +，即211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇，这就得到了Newton 法的迭代公式.9、叙述常用优化算法的迭代公式．（1）0.618法的迭代公式：(1)(),().k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--⎧⎨=+-⎩（2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)()n k kk k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+⎧=+-⎪⎪=-⎨⎪=+-⎪⎩．（3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1()()k k k k t t t t ϕϕ+'=-''． （4）最速下降法用于问题1min ()2TT f x x Qx b x c =++的迭代公式： 1()()()()()T k k k k k Tk k f x f x x x f x f x Q f x +∇∇=-∇∇∇ （5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇． （6）共轭方向法用于问题1min ()2TT f x x Qx b x c =++的迭代公式： 1()T k kk k k Tk kf x d x x d d Qd +∇=-． 10、已知线性规划：123123123123123min ()2;..360,2210,20,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x =-+⎧⎪++≤⎪⎪-+≤⎨⎪+-≤⎪⎪≥⎩（1）用单纯形法求解该线性规划问题的最优解和最优值； （2）写出线性规划的对偶问题； （3）求解对偶问题的最优解和最优值．解 （1）引进变量456,,x x x ，将给定的线性规划问题化为标准形式：123123412351236126min ()2;..360,2210,20,,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+⎧⎪+++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎪≥⎩所给问题的最优解为(0,20,0)T x =，最优值为20f =-． （2）所给问题的对偶问题为：123123123123123max ()601020;..32,21,21,,,0.g y y y y s t y y y y y y y y y y y y =---⎧⎪---≤⎪⎪-+-≤-⎨⎪--+≤⎪⎪≥⎩（1） （3）将上述问题化成如下等价问题：123123123123123min ()601020;..32,21,21,,,0.h y y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪---≤⎪⎪-+-≤-⎨⎪--+≤⎪⎪≥⎩引进变量456,,y y y ，将上述问题化为标准形式：123123412351236126min ()601020;..32,21,21,,,,0.h y y y y s t y y y y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪---+=⎪⎪-+-+=-⎨⎪--++=⎪⎪≥⎩ （2）问题（2）的最优解为(0,0,1)T y =，最优值为20h =（最小值）． 问题（1）的最优解为(0,0,1)T y =，最优值为20g =-（最大值）．11、用0.618法求解 2min ()(3)t t ϕ=-，要求缩短后的区间长度不超过0.2，初始区间取[0,10]． 解 第一次迭代： 取11[,][0,10],0.2a b ε==． 确定最初试探点11,λμ分别为11110.382() 3.82a b a λ=+-=，11110.618() 6.18a b a μ=+-=．求目标函数值：21()(3.823)0.67ϕλ=-=，21()(6.183)10.11ϕμ=-=． 比较目标函数值：11()()ϕλϕμ<． 比较11 6.1800.2a με-=->=． 第二次迭代：212121210, 6.18, 3.82,()()0.67a a b μμλϕμϕλ========．2222220.382()0.382(6.180) 2.36,()(2.363)0.4a b a λϕλ=+-=-==-=．2222()(), 3.82a ϕλϕμμε<-=>．323232320, 3.82, 2.36,()()0.4a a b μμλϕμϕλ========．2333330.382()0.382(3.820) 1.46,()(1.463) 2.37a b a λϕλ=+-=-==-=．3333()(), 3.82 1.46b ϕλϕμλε>-=->． 第四次迭代：434343431.46, 3.82, 2.36,()()0.4a b b λλμϕλϕμ========．444440.618() 1.460.0.618(3.82 1.46) 2.918,()0.0067a b a μϕμ=+-=+-==． 4444()(), 3.82 2.36b ϕλϕμλε>-=->． 第五次迭代：545454542.36, 3.82, 2.918,()()0.0067a b b λλμϕλϕμ========．555550.618() 3.262,()0.0686a b a μϕμ=+-==． 5555()(), 3.262 2.36a ϕλϕμμε<-=->． 第六次迭代：656565652.36, 3.262, 2.918,()()0.0067a a b μμλϕμϕλ========．666660.382() 2.7045,()0.087a b a λϕλ=+-==．6666()(), 3.262 2.7045b ϕλϕμλε>-=->． 第七次迭代：767676762.7045, 3.262, 2.918,()()0.0067a b b λλμϕλϕμ========．777770.618() 3.049,()0.002a b a μϕμ=+-==． 7777()(),b ϕλϕμλε>->． 第八次迭代：878787872.918, 3.262, 3.049,()()0.002a b b λλμϕλϕμ========．888880.618() 3.131,()0.017a b a μϕμ=+-==． 8888()(),a ϕλϕμμε<->．989899982.918, 3.131, 3.049,()()0.002a a b μμλϕμϕλ========．999990.382() 2.999,()0.000001a b a λϕλ=+-==． 9999()(), 3.049 2.918a ϕλϕμμε<-=-<． 故993.0242x λμ+==．12、用最速下降法求解 22112212min ()2243f x x x x x x x =++--，取(0)(1,1)T x =，迭代两次．解 1212()(224,243)T f x x x x x ∇=+-+-， 将()f x 写成1()2TT f x x Qx b x =+的形式，则224,243Q b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 第一次迭代：(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)()()()()()T T f x f x xxf x f x Q f x ∇∇=-∇∇∇ 0(0,3)1013220131/4(0,3)243⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 第二次迭代：(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)()()()()()T T f x f x xx f x f x Q f x ∇∇=-∇∇∇ 3/2(3/2,0)13/27/40223/21/401/4(3/2,0)240-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 13、用FR 共轭梯度法求解222123123123min ()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++-，取(0)11(,1,)22T x =，迭代两次．若给定0.01,ε=判定是否还需进行迭代计算． 解 222123121323()3()2()f x x x x x x x x x x =++-++，再写成1()2T f x x Gx =，622262226G --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，()f x Gx ∇=．第一次迭代：(0)()(0,4,0)T f x ∇=，令(0)0()(0,4,0)T d f x =-∇=-，从(0)x 出发，沿0d 进行一维搜索，即求(0)200min ()21648f x d λλλλ≥+=-+的最优解，得(1)(0)0001/6,(1/2,1/3,1/2)T x x d λλ==+=．第一次迭代：(1)()(4/3,0,4/3)T f x ∇=．2(1)02(0)()29()f x f x α∇==∇， (1)100()(4/3,8/9,4/3)T d f x d α=-∇+=---．从(1)x 出发，沿1d 进行一维搜索，即求(1)10142362214181418min ()(,,)262233923392261423f x d λλλλλλλλ≥⎛⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪+=------ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭的最优解，得(2)(1)1111/24/333,1/38/9(0,0,0)881/24/3T x x d λλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．此时(2)(2)()(0,0,0),()00.01T f x f x ε∇=∇=<=．得问题的最优解为(0,0,0)T x =，无需再进行迭代计算．14、用坐标轮换法求解 2212112min ()242f x x x x x x =+--，取(0)(1,1)T x =，迭代一步．解 从点(0)(1,1)T x =出发，沿1(1,0)T e =进行一维搜索， 即求(0)210min ()43f x e λλλλ≥+=--的最优解，得(1)(0)0012,(3,1)T x x e λλ==+=．再从点(1)x 出发，沿2(0,1)T e =进行一维搜索， 即求(1)220min ()227f x e λλλλ≥+=--的最优解，得(2)(1)1121/2,(3,3/2)T x x e λλ==+=．15、用Powell 法求解2212112min ()3f x x x x x x =+--，取(0)(0,0)T x =，初始搜索方向组01(0,1),(1,0)T T d d ==，给定允许误差0.1ε=（迭代两次）． 解 第一次迭代：令(0)(0)(0,0)T y x ==，从点(0)y 出发沿0d 进行一维搜索，易得(1)(0)0000,(0,0)T y y d λλ==+=；接着从点(1)y 出发沿1d 进行一维搜索，得(2)(1)11133,(,0)22T y y d λλ==+=由此有加速方向 (2)(0)23(,0)2T d y y =-=．因为23/2d ε=>，所以要确定调整方向．由于 (0)(1)(2)9()0,()0,()4f y f y f y ===-，按（8.4.17）式有(1)(2)()(1)()()max{()()|0,1}j j f y f y f y f y j +-=-=，因此1m =，并且()(1)(1)(2)9()()()()4m m f y f y f y f y +-=-=． 又因(2)(0)(2)0f y y -=，故（8.4.18）式不成立．于是，不调整搜索方向组，并令(1)(2)3(,0)2T x y ==．第二次迭代：取(0)(1)3(,0)2T y x ==，从点(0)y 出发沿0d 作一维搜索，得(1)(0)000333,(,)424T y y d λλ==+=．接着从点(1)y 出发沿方向1d 作一维搜索，得(2)(1)1113153,(,)884Ty y d λλ==+=． 由此有加速方向(2)(0)233(,)84T d y y =-=．因为2d ε=>，所以要确定调整方向．因(0)(1)(2)945189(),(),()41664f y f y f y =-=-=-， 故按（8.4.17）式易知0m =，并且()(1)(0)(1)9()()()()16m m f y f y f y f y +-=-=． 由于(2)(0)45(2)16f y y -=-， 因此（8.4.18）式成立。
最优化方法习题答案
习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题： （1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。
（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。
1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。
（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。
①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。
利用微积分求解最优化问题优化练习题
利用微积分求解最优化问题优化练习题在应用微积分的数学领域中，最优化问题是一个重要的研究方向。
最优化问题旨在寻找一个函数的最大值或最小值，以满足一定的约束条件。
通过运用微积分的相关知识和技巧，我们能够有效地解决这类问题。
本文将通过一些优化练习题来演示如何通过微积分来解决最优化问题。
优化练习题1：求解函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x 的最小值。
解答：为了找到这个函数的最小值，我们首先需要找到函数的极值点。
为此，我们计算函数的导数 f'(x) = 6x^2 - 18x + 12。
接下来，我们将导数 f'(x) 置于零，以求解得到函数的极值点。
即：6x^2 - 18x + 12 = 0将方程进行因式分解，我们有：6(x^2 - 3x + 2) = 0进一步进行因式分解，得到：6(x - 2)(x - 1) = 0解得 x = 1 或 x = 2。
现在，我们需要判断这两个极值点是函数的极大值还是极小值。
为此，我们可以通过计算 f''(x) = 12x - 18 的值来判断。
当 x = 1 时，f''(1) = 12(1) - 18 = -6，为负值，说明函数 f(x) 在 x = 1处取得极大值。
当 x = 2 时，f''(2) = 12(2) - 18 = 6，为正值，说明函数 f(x) 在 x = 2处取得极小值。
所以，函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x 的最小值为 f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) = 4。
综上所述，函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x 在 x = 2 时取得最小值为 4。
优化练习题2：求解函数 g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x 的最大值。
解答：同样地，我们需要找到函数的极值点。
计算函数的导数 g'(x) = 3x^2 - 12x + 9，并将其置于零来求解极值点。
最优化方法习题答案
x3
-M
0
0
0
5
-1
1
2
x4
x5
1+ 2 M
0
3
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
1 3
1
x5
2 3
0
以 x1 为换入基， x5 作为换出基有
-1- M 3
1 3 1
3
-M
0
0
0
5
3
-1
1
1
3
x1
x2
x3
x4
x5
0
x2
0
x1
1
0
1
2
1
1
2
0
1
2
3
3 M
-5.5
2
2
1
1
1.5
2
2
3 3
0.5
22
以 x 4 换入， x 2 换出有
⑤因为 p2 , p4 线性相关， x 2 , x 4 不能构成基变量；
⑥因为 p3, p4 线性无关，可得基解 x(6) (0,0,1,1) ， z6 3 ；
所以 x(2) , x(4) , x(6) 是原问题的基可行解， x(6) 是最优解，最优值是 z 3 。
（2） max z x1 x2 2x3 x4 x5
x1 2x2 3x3 4x4 7 s.t.2x1 x2 x3 2x4 3
x1, x2 , x3, x4 0
解：易知
x1 的系数列向量
p1
1
2
，x 2
的系数列向量
p2
2
1
最优化习题集
习 题 一1．已知优化问题的数学模型为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=≥=≥+--=≥--=-+-=．，，，，0)(0)(05)(025)(..)4()3()(min 24132122112221x X g x X g x x X g x x X g t s x x X f试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出其最优值； （2）约束最优点，并求出其最优值；（3）如加上一个等式约束0)(21=-=x x X h ，其约束最优解是什么？2．当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S ，怎样设计可使油箱的容量最大？ 试列出这个优化问题的数学模型，并回答： （1）属于几维的优化问题？（2）是线性规划还是非线规划问题？ 3．用图解法求例1.3的最优解．习 题 二1．用矩阵符号表示下列二次型：（1）3223312221213214244)(x x x x x x x x x x x x f +++++=，，； （2）3231212322213214427)(x x x x x x x x x x x x f ----+=，，． 2．判别下列二次型是否正定：；，，，41434231212423222143212126421993)()1(x x x x x x x x x x x x x x x x x x f +--+-+++= （2）32312123222132148455)(x x x x x x x x x x x x f --+++=，，． 3．计算一般二次函数cX b AX X X f T T ++=21)(的梯度．4．计算二元函数65)(122121-+-=x x x x X f 在点T X ]11[0，=处沿方向Tl ]2,1[-=的方向导数)(X X lX f =∂∂和沿梯度方向)(00X f g ∇=的方向导数)(X X g X f =∂∂．5．求下列函数的梯度和Hesse 矩阵：（1）31232221432)(x x x x x X f -++=； （2）212213)(x x e x x X f +=．6．判断下列函数是凸函数、凹函数，还是既不凸也不凹：（1）2122212132)(x x x x x x f ++-=，； （2）65342)(122212121--+-=x x x x x x x f ，； （3）21232221321432)(x x x x x x x x f --+=，，． 7．设约束优化问题的数学模型为⎩⎨⎧≥+---=≥+-=+-++=．，，022)(02)(..1044)(min 2122212211222121x x x x X g x x X g t s x x x x X f 试用T K -条件判别点TX ]11[，-=是否为最优点． 8．设约束优化问题⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=≤-=≤-=+-=．，，，01)(0)(0)(..)2()(min 221312112221x x X g x X g x X g t s x x X f 它的当前迭代点为Tk X ]01[，=，试用T K -条件判定它是不是约束最优解．习 题 三1．对下列线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解．1231234123516(1)max ()3212363984210..300(126)j f X x x x x x x x x x x x s t x x x j =+++++=⎧⎪+-+=⎪⎨-=⎪⎪≥=⎩，，，，，，，；123412341234(2)min ()52322347..22230(1234)jf X x x x x x x x x s t x x x x x j =-++⎧+++=⎪+++=⎨⎪≥=⎩，，，，，，． 2．用单纯形法求解下列线性规划问题：12121212(1)max ()105349..5280f X x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，，； 12121212(2)max ()254212..32180f X x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩，，，，，．3．分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题：1234123412341234(1)min ()52362347..2230f X x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+++=⎧⎪+++=⎨⎪≥⎩，，，，，，；12121231241234(2)min ()433436..240f X x x x x x x x s t x x x x x x x =++=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，；123123123123123(3)max ()101512539561515..250f X x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，．4．某糖果厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙，已知各种牌号糖果中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示．问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建5．写出下列线性规划问题的对偶问题：123123123123123(1)min ()2242352373..4650f X x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩，，，，，，；123123123123123(2)max ()56322553..473800f X x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++=⎧⎪-+-≥⎪⎨++≤⎪⎪≥≤⎩，，，，无约束，，．6．用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：1231323123(1)min ()4121833..2250f X x x x x x s t x x x x x =+++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，，，，，；12341234123412341234(2)min ()32424503722..526150f X x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =++++++≥⎧⎪-+-≥⎪⎨+++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，．7．已知线性规划问题12312312123max ()26..240f X x x x x x x s t x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，，，，，，先用单纯形法求出最优解，再分别就下列情况进行分析：（1）目标函数中变量321x x x ，，的系数分别在什么范围内变化，问题的最优解不变；（2）两个约束条件的右端项分别在什么范围内变化，问题的最优解不变．习 题 四1．用加步探索法确定一维最优化问题12)(min 30+-=≥t t t t ϕ的搜索区间，要求选取21000===α，，h t ． 2．用对分法求解)3()(min -=t t t ϕ，已知初始单谷区间]53[][，，-=b a ，按精度1.0=ε计算． 3．用Newton 法求解12)(m in 3+-=t t t ϕ，用第１题求得的区间，按精度01.0=ε计算．４．用黄金分割法求解)2()(min +=t t t ϕ，已知初始单谷区间]53[][，，-=b a ，按精度001.0=ε计算． ５．用抛物线插值法求解3728)(m in 23+--=x x x x f ，已知初始单谷区间001.0]20[][==ε，，，b a ．习 题 五1．用最速下降法求解22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==，，，． 2．用Newton 法求解22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-，初始点0[00]0.01T X ε==，，．3．用修正Newton 法求解221212min ()4(1)2(1)10f X x x x x =++-+++，初始点0[00]0.01T X ε==，，．4．用共轭梯度法求解得)4min(2221x x +，取初始点TX ]11[0，=，01.0=ε．5．用共轭梯度法求解221212min ()2f X x x x x =+-，自定初始点 ，01.0=ε． 6．用DFP 法求解2212min ()4(5)(6)f X x x =-+-，初始点，，T X ]98[0=01.0=ε． 7．用坐标轮换法求解60410)(m in 21212221+---+=x x x x x x X f ，取初始点0[00]0.1T X ε==，，．8．用单纯形法求解5842)(min 212221+--+=x x x x X f ，给定初始单纯形顶点为123[00][0.9650.259][0.2590.965]T T T X X X ===，，，，，．1.0=ε， 1.1α=，1=β，5.0=γ．习 题 六1．用外点罚函数法求解⎩⎨⎧≥=≥+-=+=．，，0)(0)(..)(min 12221121x X g x x X g t s x x X f2．用外点罚函数法求解．，01)(..)(min 12221≤-=+=x X g t s x x X f3．用外点罚函数法编程计算⎩⎨⎧=-+=≥=+-=，，，01)(0ln )(..)(min 2112121x x X h x X g t s x x X f取终止限510-=ε．4．用内点罚函数法求解⎩⎨⎧≥=≥-=++=．，，0)(01)(..)1(31)(min 2211231x X g x X g t s x x X f 5．用内点罚函数法求解⎩⎨⎧≥≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++．，，001..)1(31min 21231x x t s x x6．用内点罚函数法编程计算⎩⎨⎧≥≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++．，，001..)1(31min 21231x x t s x x 取初始点TX ]43[0，=，初始障碍因子10=u ，缩小系数取1.0=c ，终止限510-=ε．7．分别用内点罚函数法和混合罚函数法编程计算⎩⎨⎧=-+=≥=+-=，，，01)(0ln )(..)(min 2112121x x X h x X g t s x x X f取终止限510-=ε．8．用约束坐标轮换法编程计算⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥=≥--=+--+=，，，，0)(0)(09)(..15842)(min 231222211212221x X g x X g x x X g t s x x x x X f取终止限1.0=ε．a9．用复合形法编程计算⎩⎨⎧≤≤≤≤+--+=，，，35.031..15842)(min 21212221x x t s x x x x X f取终止限2.0=ε．习 题 七1．用动态规划求解⎩⎨⎧=≥≤++=．，，，，，)321(04..max 3212321i x x x x t s x x x z i2．设有5个城市，编号从1到5，记第i 个城市与第j 个城市的距离为d ij ，记⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯03572301525105.05755.00622560)(55ij d D ， 试分别用函数迭代法和策略迭代法求出各城市到第5个城市的最短距离．习 题 八1．试求无约束多目标规划T x x x x V ])1(3)2(3m in[22212221-+++-，的有效解集． 2．用理想点法求解多目标规划⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++--．，，，，，0103212..]34min[2121212121x x x x x x t s x x x x V T3．用线性加权和法求解第2题的多目标规划． 4．用分层求解法求解⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+-，，，，，，，，012..)]()(min[21221212211x x x x x t s x x f x x f V T假定目标11212()2f x x x x +，＝－比212122)(x x x x f +＝，重要．5．某农场有甲、乙、丙三块地，分别为200公顷、400公顷和600公顷，计划种植三种农作物A 、B 、C ．已知生产A 、B 、C 的费用为3000、2250和1500(单位：元/公顷，种请制定种植计划，使得总收成最大，而总成本最小．。
最优化习题
min 2 x1 + 2 x 2 ⎧ x1 − x 2 ≥ 1 ⎪ s.t.⎨− x1 + 2 x 2 ≤ 0 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 min x1 + x 2 ⎧− 2 x1 + x 2 ≤ 1 ⎪ （4） ⎪− x1 + 2 x 2 ≥ 2 s.t.⎨ ⎪ x1 + x 2 ≥ 2 ⎪ ⎩ x1 , x 2 ≥ 0 min x1 + βx 2 ⎧− x1 + x 2 ≤ 1 ⎪ s.t.⎨− x1 + 2 x 2 ≤ 4 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
9． 用两阶段法解下列问题：
max 2 x1 + 3x 2 + 4 x3 + 7 x 4
（1）
min 4 x1 + x 2 + x3
（2）
⎧2 x1 + 3x 2 − x3 − 4 x 4 = 8 ⎪ s.t.⎨ x1 − 2 x 2 + 6 x3 − 7 x 4 = −3 ⎪x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 min − 3x1 + x 2 + x3
最优化理论与算法复习题
1． 求以下函数的梯度和 Hesse 矩阵： （1） f ( x) = 3 cos( x1 + x 2 ) + 4 x1 x 2 （2） f ( x ) = x1 + x1 x 2 + (1 + x 2 ) 2 2． 已知 f ( x ) = 3． 设 f ( x ) =
4
α
4
⎧2 x1 + x 2 + 2 x3 = 4 ⎪ s.t.⎨3 x1 + 3 x 2 + x3 = 3 ⎪x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 min 2 x1 + 3x 2 + 4 x3
最优化理论与方法习题
x (1 ) 2 3 ,x (2 ) 4 3 ,x (3 ) 3 0 1 0 x (4 ) 3 0 1 0
记目标函数和约束函数分别为f x ,g x ,h x ,他们在 点x处的梯度分别是 f(x ) 1 0 , g (x ) 6 (x 1 1 3 ) , h (x ) 2 (x 2 1 x 2 3 ) Lagrange函数是
2 f
x12
2 f
H
(
f
)
x 2 x1
2 f
x
n
x1
2 f
x1x2 2 f
x
2 2
2 f
x n x 2
2 f
x1xn
2 f
x 2 x n
2 f
x
2 n
例 求目标函数
f(x ) x 1 4 2 x 2 3 3 x 3 2 x 1 2 x 2 4 x 2 x 3 x 1 x 3 2
取点x(1) (1,1,1)T,验证s(1) (1,0,-1是) f x 在点 x (1处) 的一个
下降方向 证明： f( x ) ( 2 x 1 ,3 x 2 2 2 x 3 1 ,4 x 3 2 x 2 1 ) T
f(x1)(2,4,5)T
2 s(1)f (x1) (1,0,-14) 30 5
第一章习题课
二次型
n个变量的二次齐次多项式
f(x 1 ,x2, ,xn) a 1x 1 1 2 2 a 1x 2 1 x2 2 a 1 nx 1 xn a 2x 2 2 2 2 a 2 nx2xn a nx n n 2
称为一个n元二次型, 简称二次型
x 1 2 2 x 1 x 2 3 x 1 x 3 x 2 2 5 x 2 x 3 2 x 3 2
最优化计算方法课后习题集答案解析
解：取 ， 时，DFP法的第一步与最速下降法相同
， ，
，
以下作第二次迭代
，
其中，
，
所以
令 ， 利用 ，求得
所以 ，
以下作第三次迭代
，
，
所以
令 ， 利用 ，求得
所以 ， 因为 ，于是停止
即为最优解。
习题四
包括题目： P95页 3；4；8；9(1)；12选做；13选做
3题解如下
3.考虑问题 ，其中
X1,x2,x3≥0 （3）
求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向.
解：首先检查在点（1,1,0）处哪些约束为有效约束。检查易知（1），X3≥0为有效约束。设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T。根据可行方向d的定义，应存在a>0，使对∀t∈（0，a）能有
X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T
（1）
s.t.
（2）
s.t.
（1）解：非线性规划的K-T条件如下：
（1）
（2）
（3）
再加上约束条件 （4）
为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑：
①若（4）式等号不成立，即 ，那么由（2）式得 ，将 代入（1）式解得 ， ，所得值不满足 的条件，故舍去。
②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得 ， ，代入（4）式有：
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
0
-5/6
-1/6
1
10/6
4
0
0
38/6
2
0
1
-9/6
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)天津大学《最优化方法》复习题（含答案）第一章 概述(包括凸规划)一、 判断与填空题1 )].([arg)(arg min maxx f x f n nR x Rx -=∈∈ √2 {}{}.:)(m in :)(m ax nnR D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯ 3 设.:R R D f n →⊆ 若nR x∈*，对于一切nR x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的全局最优解. ⨯4 设.:R RD f n→⊆ 若Dx∈*，存在*x 的某邻域)(*x Nε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的严格局部最优解. ⨯5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √6 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √7 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯ 9 函数RR D f n→⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √10 设RRD f n→⊆:为凸集D 上的可微凸函数，Dx ∈*.则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T⨯ 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n是凸集。
√12 设{}kx 为由求解)(minx f Dx ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，则对{}Λ,2,1,0∈∀k ，恒有)()(1kk x f x f ≤+ .13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。
14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
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最优化练习题1
第 1 页 共 1 页 练习题1
1写出凸集和凸函数的定义。
并证明：水平集{}|,()S x x S f x αα
=∈≤是凸集，其中已知
S 为d R 中非空凸集，f 是定义于S 上的凸函数，α为实数。
写出凸函数的定义。
并判断函数222123131212()3252489f x x x x x x x x x x =+++-+++ 是否为凸函数。
2写出精确一维搜索的黄金分割法与Fibonacci 法的主要异同点。
3写出精确一维搜索的黄金分割法的基本思想和算法步骤。
4写出下降方向的定义及两种无约束优化问题的微分方法的搜索方向，并证明它们均为下降方向。
5解释最速下降法中，产生锯齿现象的原因。
6计算函数2211221()2f x x x x x x =-+-的梯度与Hessian 矩阵，并证明：*2717x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
是函数的局部极小值点。
7用乘子法求解等式约束最优化问题⎧⎨⎩22121212min ()22..
10f x x x x x s t x x =+-+-=，取(1)1v =，2σ=。
8采用精确一维搜索的Newton 法求解下面无约束问题22121211min ()2f x x x x x x =
+--，取初始点(1)x =01⎛⎫ ⎪⎝⎭。
9名词解释
1 凸集 2下降方向 3 梯度、Hessian 矩阵 4 单峰函数 5共轭 6 α阶收敛
10求与向量12-⎛⎫ ⎪⎝⎭
关于矩阵1225A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭共轭的向量。