最优化方法练习题

最优化练习题1

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1写出凸集和凸函数的定义。并证明：水平集{}|,()S x x S f x αα

=∈≤是凸集，其中已知

S 为d R 中非空凸集，f 是定义于S 上的凸函数，α为实数。 写出凸函数的定义。并判断函数222123131212()3252489f x x x x x x x x x x =+++-+++ 是否为凸函数。

2写出精确一维搜索的黄金分割法与Fibonacci 法的主要异同点。

3写出精确一维搜索的黄金分割法的基本思想和算法步骤。

4写出下降方向的定义及两种无约束优化问题的微分方法的搜索方向，并证明它们均为下降方向。

5解释最速下降法中，产生锯齿现象的原因。

6计算函数2211221()2f x x x x x x =-+-的梯度与Hessian 矩阵，并证明：*2717x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

是函数的局部极小值点。

7用乘子法求解等式约束最优化问题⎧⎨⎩22121212min ()22..

10f x x x x x s t x x =+-+-=，取(1)1v =，2σ=。

8采用精确一维搜索的Newton 法求解下面无约束问题22121211min ()2f x x x x x x =

+--，取初始点(1)x =01⎛⎫ ⎪⎝⎭

。 9名词解释

1 凸集 2下降方向 3 梯度、Hessian 矩阵 4 单峰函数 5共轭 6 α阶收敛

10求与向量12-⎛⎫ ⎪⎝⎭

关于矩阵1225A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭共轭的向量。