直线的倾斜角斜率知识点例题

直线的倾斜角和斜率（一）
一、知识点：
1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线
在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率
2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按_______方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.
当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为_____ 因此，根据定义，我们可以得到倾斜
角的取值范围是___________
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_______叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 倾斜角是_____的直线没有斜率
二、范例：
例1 如图，直线1l 的倾斜角1α＝30°，直线1l ⊥2l ，求1l 、2l 的斜率.
例2 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
(1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）α＝4
3π
例3、判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （ ） ②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β（ ） ③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（ ）
④因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在 （ ）
A.4π
B. 45π
C.4π或45π
D.－4
π
2.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )
A.1
B.4
C.1或3
D.1或4
3.已知A (2，3)、B (－1，4)，则直线AB 的斜率是 .
4.已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 .
5.已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 .
6.已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为 ,倾斜角为 . 思考：
如图中的直线123,,l l l 的斜率的大小关系为
一、知识点
1.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式： )(211
21
2x x x x y y k ≠--=
推导：设直线21P P 的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是),(1212y y x x --.过原点作向量
21P P OP =，则点P 的坐标是),(1212y y x x --，而且直线OP 的倾斜角也
是α，根据正切函数的定义，
1
21
2tan x x y y --=
α)(21x x ≠ 即)(211
212x x x x y y k ≠--=
同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.
当2121,y y x x ≠=（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角α＝︒90，没有斜率
二、范例：
例1求经过A （－2，0）、B （－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.
例2求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α ①)3,2(1-P 、)8,2(2-P ; ②)2,5(1-P 、)2,2(2--P ; ③)2,1(1-P 、2(3,4)P --
例3 若三点)3,2(A ，)2,3(-B ，),2
1
(m C 共线，求m 的值
例4 已知三角形的顶点)5,0(A ，)2,1(-B ，),6(m C -，BC 中点为D ，当AD 的斜率为1时，求m 的值及AD 的长
例5 若直线l 的倾斜角(,)43
ππ
α∈，则其斜率k 的范围为___________
变式：直线l 过(4,1)A 2
,(3,)()B a a R ∈两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 。

例6.已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )
A.k ≥43或k ≤－4
B.－4≤k ≤43
C. 43≤k ≤4
D.－4
3
≤k ≤4
四、课堂练习：
1.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为
2.已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2为________.
3.已知直线l 过A (－2,(t +t
1
)2
)、B (2,(t －t
1)2)两点，则此直线斜率为 ,倾斜角为___
4.已知两点A (x ,－2),B (3,0),并且直线AB 的斜率为2
1
，则x =
五、课后作业： 1、若直线l 的倾斜角α=4
π
，则其斜率k=_____________
2、若直线l 的斜率k=α=____________
3、若直线l 过（1，2）和（3，4），则其倾斜角α=____________
4、已知三点A （3，1）B （－2，K ）C （8，11）共线，则K 的取值为_______
5.斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值是( ) A.a =4,b =0 B.a =－4,b =－3 C.a =4,b =－3 D.a =－4,b =3
6.已知两点A (－3,4)、B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点.
(1)求直线l 的斜率k 的取值范围. (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围.
7.如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线
l 的斜率.8.过P (－1,2)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线的斜
率和倾斜角
直线的倾斜角和斜率&直线的方程
一、知识点
（一）直线的倾斜角
一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l 和x 轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x 轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．
按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系．
(二)直线的斜率
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 倾斜角是︒90的直线没有斜率
对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．
（三）直线的方程
1. 直线的点斜式方程--已知直线l 经过点),(111y x P ，且斜率为k ，直线的方程：)(11x x k y y -=-为直线方程的点斜式.
直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =.
2．直线的斜截式方程－已知直线l 经过点P （0,b ），并且它的斜率为k ，直线l 的方程：b kx y +=为
⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.
⑵斜截式b kx y +=在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当0≠k 时，斜截式方程才是一次函数的表达式.
⑶斜截式b kx y +=中，k ，b 的几何意义
3. 直线方程的两点式
当21x x ≠，21y y ≠时，经过),(11y x A B （),22y x 的直线的两点式方程可以写成：
1
21
121x x x x y y y y --=--.
倾斜角是0
0或0
90的直线不能用两点式公式表示.若要包含倾斜角为00或090的直线，两点式应变为
))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.
4．直线方程的截距式
定义：直线与x 轴交于一点（a ,0）定义a 为直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交于一点（0,b ）定义b 为直线在y 轴上的截距.
过A(a ,0) B(0, b ) （a ,b 均不为0）的直线方程
1=+b
y
a x 叫做直线方程的截距式. a ,
b 表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0.当截距为零时，不能用截距式. 5. 直线方程的一般形式：
点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成
0=++C By Ax (其中A 、B 、C 是常数，A 、B 不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式
若0≠B 方程可化为B
C x B A y --=，它是直线方程的斜截式，表示斜率为B A -，截距为B C
-的直
线； 二、典型例题
1. 设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A. 1=+b a B. 1=-b a
C. 0=+b a
D. 0=-b a
2. 已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限 3. 直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A. 0
B. 0
4. 若方程014)()32(2
2=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A. 0≠m B. 2
3
-
≠m
C. 1≠m
D. 1≠m ，2
3
-
≠m ，0≠m 5. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ） A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）
6.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ） （A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0 7．下列说法的正确的是 （ ）
A ．经过定点()
P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程
x a y
b
+=1表示 D ．经过任意两个不同的点()
()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程 ()()()()y y x x x x y y --=--121121表示
8．若直线ax ＋by ＋c=0在等一，二，三象限，则 （ ）
A ．ab ＞0，bc ＞0，
B ．ab ＞0，bc ＜0．
C ．ab ＜0，bc ＞0，
D ．ab ＜0，bc ＜0．
9．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ ）
（A ）2x －3y ＝0;
（B ）x ＋y ＋5＝0;
（C ）2x －3y ＝0或x ＋y ＋5＝0
（D ）x ＋y ＋5或x －y ＋5＝0
10．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为（ ）
（A ）－;3
1
（B ）－3;
（C ）;3
1
（D ）3
11．直线,31k y kx =+-当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）
（C）（3，1）（D）（2，1）
12．过点Ｐ（１，２）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是 .。