3.6李代数

3.6
一、几组概念
生成元定义
g
李代数
D(A) j
D(A) 1 i jI j , I j i
j1
0
其中引入虚数单位，是为了使幺正表示生成元厄米
[I j , I k ] i Clj kIl 相应的代价是生成元对易关系中出现系数i
l
在数学文献中，通常取(-iIj)作为生成元
[I A , I B ] I D (Iad ) DB A
D
I
ad A DB
iC D AB
6
二、卡西米尔算子（符）
对紧致李群，选取适当参数，可以使结构常数完全反对 称，则可证明：生成元的平方和可与每一生成元对易

j
[I j I j , I k ] 0
生成元的平方和在不可约表示中常取常数矩阵，此常数 矩阵可以用来标记李群的不可约表示，由此引入 n阶卡西米尔算子 由生成元的n次齐次多项式（n次方之和）构成，可与 所有生成元对易的算符 n阶卡西米尔不变量 n阶卡西米尔算子在不可约表示中所取的常数
李代数线性表示或模：若李代数L '的元素是矩阵，且 L ' ≈L 或 L '~L，则 L '称为L 的线性表示或模 局域意义上，李群和李代数，实李代数和复李代数有共 同的线性表示 李代数的等价表示：两个表示的基（生成元）可通过同 一相似变换联系 李代数的不可约表示：李代数表示空间对此李代数不存 在非平庸不变子空间 李代数的伴随表示：表示的基（生成元）满足
[I ad , T ] jk ( I ad ) jq Tr (I I ) Tr (I I )( I ad ) qk p p q k j q p 0 q
Байду номын сангаас

由于 Tjk Tr (I I ) 与伴随表示的所有生成元对易，因此， j k jk T2 ( ) 它是常数矩阵（j=k时才不为零） 只需知道表示中一个生成元的具体形式，就可计算出 T2(λ)
可证：任李代数L 都可分解为一个可解李代数L1和一个 半单李代数L2的半直和；当L1=0时，L 是半单李代数；可 解李代数所有有限维不可约表示都是一维的 李代数同构：若李代数L '和L 的基及其线性组合一一 对应，且矢量乘积仍按同一规则一一对应，则L ' ≈L 同构的李代数在对应的基中结构常数相同，因此相应 李群局域同构 李代数同态：上述关系变成一多对应，则L ' ~L 此时，L 必可表示为两个子李代数的半直和，其中一 个子李代数L1是L 的理想，并与L '的零矢量对应，称为 5 同态核；另一子李代数 L2 ≈L '
李代数存在非平庸理想是李群存在非平庸不变子群的充 要条件 单纯李群：不存在非平庸不变子群的李群 单纯李代数：不存在非平庸理想的李代数 半单李群：不存在阿贝尔不变子群的李群 半单李代数：除零空间外，不存在阿贝尔理想的李代数 一阶李群：没有非平庸不变子群，必为单纯李群，但它 是阿贝尔李群，因此不是半单李群，相应的李代数为单纯 3 李代数，但不是半单李代数（如加法群）
[(iI j ), (iI k )] Clj k (iIl )
l
实李代数：在李群的真实表示中，(-iIj)生成元是线性无 关的，以它们作为基构成实线性空间，以生成元对易关系 为矢量乘积的定义，此实线性空间对矢量乘积封闭，构成 1 代数，称实李代数
紧致实李代数：紧致李群的实李代数
复李代数：生成元所有的复线性组合构成的线性空间关 于矢量乘积也封闭，构成的代数，简称李代数 复李代数称为相应实李代数的复化 实李代数称为相应复李代数的实化 （同一复李代数的实形不唯一） 利用这一点，有些紧致李群与相应非紧致李群的实李代 数不同，但复李代数相同，这样可以根据紧致李群来寻找 非紧致李群的不等价不可约表示
T2(λ )与C2(λ )是什么关系？
将 Tjk Tr (I I ) jk T2 () 取j=k，并对j求和 j k
Tr(I I ) T2 () g jj
j
不可约表示Dλ 的维数
将 I I C2 () I 取迹 j j
j
Tr(I I ) C2 () m jj
理想：设李群G有子群H，它们的李代数分别记作LG和LH， 则LH LG LH称为子代数；进一步，若对任意X∈LG， ， 2 Y∈LH，必有[X,Y]∈LH，则称LH是LG的理想
平庸理想：零和全体LG是李代数的两个平庸理想
阿贝尔理想：理想中的任意矢量乘积(生成元的对易关系) 可对易，即X,Y属于LH 且 [X,Y]=0
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对紧致李群，生成元的平方和是二阶卡西米尔算子，记 作 I I C 2 ( ) I jj
j
λ：对应第λ个表示； Iλj：不可约表示Dλ的生成元 C2(λ): Dλ表示中（二阶）卡西米尔不变量
如何计算二阶卡西米尔不变量？ 原则上，只需知道每一个生成元的具体形式即可；但对 参数较多的李群，这个计算比较复杂 另一种方法： 若紧致李群又是单纯李群，则其伴随表示是不可约表示 引入g×g矩阵 Tjk Tr (I I ) 可证明它与伴随表示的每一 j k 8 生成元Iadp都对易，即
子代数的半直和：若L1是L 的理想，L2不是，且L1+L2=L， L1∩L2=Ф，[L1,L2] L1，则L 称为两个子代数的半直和L 4 =L1 +s L2
可解李代数：由李代数L 可定义一系列子代数，且 L (1)=[L,L ],L (2)=[L (1),L (1)]...若对L 存在整数n，使L (1) =0成立，则L 称为可解李代数
j
则 gT2 () m C2 () C 2 ()
g T2 () T2(λ )也常被称作二 9 m 阶卡西米尔不变量
SO(3)群
二阶卡西米尔算子就是轨道角动量平方算符
[L , L z ] 0
2
二阶卡西米尔不变量
C2 () l (l 1)
练 习
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高于一阶的单纯李群：都半单李群，相应的李代数为半 单李代数 李群是单纯李群，李代数是单纯李代数的充要条件： 李群的伴随表示是不可约表示 如：SU(2)，SO(3)伴随表示是SO(3)自身表示，不可约， 因此SU(2)，SO(3)是单纯李群，相应李代数是单纯李代数 子代数的直和：若在李代数中，两个子代数L1和L2满足： L1+L2=L，L1∩L2=Ф，[L1,L2]=0，则L 称为两个子代数的直 和L =L1 + L2，显然L1，L2都是L 的理想