微分几何发展简介.doc

几何学的未来发展

丘成桐

校长、院长、及各位同学：

今天很荣幸能够在这里演讲，尤其今年是交通大学一百年校庆纪念，能到一个比较注重工程的学校来讲数学，表示交通大学也注重理科方面的工作，这是很有意义的。因为基本科学对于工程学有很重要的启发性。今天我讲的题目是林松山教授给我的。但是学术的未来很难猜测，很多布•学问的人都曾经得出错误的结论。所以我不作任何猜测，我只能够根据以前的历史来做一些建议。

今天要讲的历史主要是从个人的体验来看。我不是一个历史学家，我讲的很可能是错误的。E是这不重要，因为我想讲的是我从做学问得出来的观念，希望能够以我自己的经验来做一些建议。清华大学跟交通大学都曾赠予杨振宁先生荣誉博士，我看过杨先生写的一篇文章，杨先生讲做物理好像画图画一样。我想做几何也跟画图画差不多，不过我们画的图画更广泛一点。物理学家要I而的基木上只有一张图冏i,就是自然界的现象。但是儿何学家可以随意去画，我们司.以画广告画，画工程学需要的画，也町以画印象派的画和写实的画。广告画可以在商业上有很大的用处，过儿年后可能成为收藏的对象。但是由于商业气氛浓厚，一般画家不大愿意认同它们的价值。广告画或工程画却时能对写实派的画和印象派的画产生相当的影响。不过I而印象派的wi或山水偷，一定要有很深的技术、功力和想法才能偷得好。出名的画家往往花很多时间在磨练、在猜测，将他的工具不停地推进，在好的气质修养下，才能够州出好的印象派的偷或山水时一般数学家和儿何学家也有同样的经验，有意义的工作即使是个很小的观察(observation),往往花了数学家很大的精力去找寻。找寻的方法不单是从大自然吸取，也从美学和工程学来吸取。怎样去寻找有意义的工作，跟我们气质的培养有密切的关系。

现在我想谈几何的历史，看看从前，再预测未来。因为我没有想到林松山教授给我这么长的时间，所以会讲长一点。从前我们念中学的时候，念国文、念文学批评，总会说一个时代有…•个时代的感慨。数学基本上也是一样，文学上有古文学、有诗经、有汉书、有唐诗、有宋词，从一个时代去学习一个时代，很少能够学得刚好一样。我们现在看诗经写得好得不得了，可是我们学不到诗经里面的情怀意念。时代不同，感慨也不同了。

随着时代的变迁，因为时代不同的需要，我们培养出不同的感情，取舍自然不一样。我们可以很羡慕从前大数学家做的工作，可是我们不可能也不一定要跟他们一模一样。就好像我们现在学苏东坡的诗和词，我们不可能也不需要学得一样，但是我们可以从他的诗词里得到想法，帮助我们去理解大自然，找寻表达白己感情的方法。从儿何来说，我们所要寻找的跟物理学一样，就是真和美这两个观念。还有一个很重要而容易忽略的动力，是由工程学对数学需求所产生的。这三个想法推动了几何学的发展。

美的观点在不停地改变，改变的方式跟我们当时认识的自然界有很大的关系。一、二千年前我们认识的自然界跟现在我们理解的自然界完全不同，所以数学或者几何学不停地受到这个变动的影响。在儿何学来说，美可分为两方面：静态的美和动态的美。静态的美，譬如一朵花或雅致的山水，我们大致知道怎样准确地去描述他们，甚至将我们的感受表达出来。如何描述动态的美对我们来说是一个很困难的问题，例如水在流或天在下雪，在不同的时间、空间，事物会产生激变，这是一个相*美的图画。町是到目前为止，激变的研究对理论物理学家、数学家跟几何学家都是-个很大的挑战。为了对时空作深入的描述，几何学家有不同的研究的路径：育人从物理学的角度去了解，有人从微分方程的角度去了解，这都成为几何学的重要课

题。

从古至今大家都讲美，但是没有很客观的标准来决定什么叫美或者不美。最重要的观念只有一个，就是简洁simplicity.这往往是我们审美的一个主要标准。在做儿何、做数学、做物理的研究时，我们都在描述一个很复杂的几何现象。假如我们没有办法将几何现象用很简洁的语言表达出来的话，我们不算有一个好的定理或者好的文章。用很简洁的语言来推导和描述繁杂的几何现象，在欧几里得的时代就归纳为用三段论证方法得出的过程。当时有很多定理，从希腊或埃及早期就发现了很多不同的平面几何现象，但是没有办法有系统地放在一起。欧氏很重要的贡献，就是能够将定理统一起来，用公理来解释所有当时发现的定理。例如两点之间可以用唯•的直线连接起来这个事实，可以推导出很多定理。追求用简洁的语言来解释复杂的几何现象，是几何学家的目标。物理学也是一样，物理上很复杂的现象也希望用统-场论来描述。从前中国也发展了平面几何，可是始终没有办法发展成完美的严格数学理论。这是中国数学不如西方数学的一个原因。公理化以后我们才能够统一处理和了解繁复的现象，也因此知道欧氏几何所能解释的只是很简单的理想化的几何现象。

我们在自然界里面发现的现象远比平面几何要复杂得多，阿基米得和牛顿开始用微积分的方法来描述变动的曲线和曲面。引进了微积分以后，几何学有长足的进步，我们升始知道一宜线或是圆以外的图形都可以用严格的数学来描述。牛顿从物理的观点来看质点怎么变动成一条曲线，从而发展了微积分。几何学家发现描述几何图形非靠微积分不可，几何学从希腊的公理化到牛顿的微积分是•个很大的进步。古典力学无论在阿基米得，牛顿或是现代，对几何学的影响力都是很深远的。它引进了变分法的观念，例如我们研究一个简单的问题：两点之间最短的线是宜线。这是平面几何要求的。可是假如中间有障碍，就不再是…条直线, 并且最短的路径并不唯一。这是简单的变分问题，问两点间最短的线是什么？怎么找这些曲线及它的分布情形，到现在为止•还是微分几何的一个有趣问题。我们知道在圆球上所有的测地线(geodesic)都是大圆。假设我们将圆球变形一下,变成凸曲面:convex surface,这问题就变成…个很复杂的数学问题。它的测地线分布状态并不明显，到目前为止没有办法处理这个问题，只有在简单的椭圆体时可以全部解决这个问题。古典力学帮忙我们发现很多不同的工具来解释测地线的问题。

到了二十世纪,我们又发觉古典力学和量又力学有密切的关系。-个重要的问题问,当普朗克常数趋IM于零的时候，古典力学和量子力学中间的关系如何描述，在这方而有很多重要的工作，例如:WKB的近似方法。它在几何上产生了有趣的影响。例如Hamiltonian Mechanics里面的classical path和光谱的关系，引起了微分几何学家和微分方程学家企图联系Laplace 算了的谱和测地线长度的工作。古典力学通过geodesic,量了力学通过 Laplace算了得到很多几何现象，如何将他们联系是一个很有趣的几何问题。我想这方而的研究会有很大的发展。从古典力学到量子力学，更进一步，就是量了场论，这里有无穷多个质点，相空间变成无穷维空间。由于在古典的量子力学里，有限维流形上的谱分析和 classical path有关，在无限维空间时，我们就期望某种极小曲面和量子场论出现的 partition function W关系。在这方面，弦理论1_2经得到相当大的进步。可是物理学家讨论场论的时候，遇到很多困难，起源于无穷维流形算了的谱分析不知如何处理。一个重要例了是loop space,这是将给定的流形上的所有封闭曲线放在一起的空间，我们要寻求在它上面的谱分析，这是-•个很困难的问题。量子场论还缺乏严格的数学基础。用 Renormalization的方法，出现很多无穷的cancellation问题。在物理上出现的问题在数学上会更为困难。因为物理学家愿意接受直观的证明的观念，而数学家难以接受。可是从量了力学，量了场论推导出来的数学，几何学家往往惊叹他们如魔术般的奇妙直觉

(intuition)。在有限维空间时，由物理学引起的几何，我们大致上都可以理解和证明。可是