函数恒成立存在性问题
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函数恒成立存在性问题
1
()f x >恒成立⇒()max a f x >
；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立
2
()f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立
3
()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨
≤⎪⎩在
上恒成立在上恒成立
A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，
若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .
4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则
()()x g x f min min ≥
5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则
()()x g x f max max ≤
6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥
7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤
8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；
9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；
例 题 讲 解：
1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，x
a
x g =
)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在
]1,4
1
[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．
3、已知两函数2
)(x x f =，m x g x
-⎪⎭
⎫
⎝⎛=21)(，对任意[
]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，
则
的取值范围为
(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)
1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。
2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，
(Ⅰ)求a 的值；
若[]2
()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；
1、当)1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .
） x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________
()2
22f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围。
D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上
max f x A >；
若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的
()min f
x B <.
1、存在实数x ，使得不等式2
313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______。
2、已知函数()
()2
1ln 202
f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围
以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价
课后作业：
1、设
1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（ ）
（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}
2、若任意满足05030x y x y y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
的实数,x y ，不等式222()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值
是 ___ .
3、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是
4、不等式ax ≤[]0,3x ∈内恒成立，求实数a 的取值范围。
5、已知两函数()2
728f x x x c =--，()322440g x x x x =+-。
（1）对任意[]3,3x ∈-，都有)成()()f x g x ≤立，求实数c 的取值范围；
（2）存在[]3,3x ∈-， 使成立()()f x g x ≤，求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()1
2
f x
g x ≤，求实数c 的取值范围；
6、设函数322
1()23(01,)3
f x x ax a x b a b R =-+-+<<∈.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立，求a 的取值范围。 7、已知A 、B 、C 是直线 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：()[]()01x ln 1f 2y =⋅++⋅'+-. （1）求函数y ＝f(x)的表达式； （2）若x ＞0，证明：f(x)＞2x x ＋2； （3）若不等式()3bm 2m x f x 2
1222--+≤时，[]1,1x -∈及[]1,1b -∈都恒成立，求实数m 的取
值范围．
8、设()x ln 2x q
px x f --=，且()2e
p qe e f --=（e 为自然对数的底数）
(I)求 p 与 q 的关系； (II)若()x f 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； (III)设()x
e
2x g =，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立, 求实数 p 的取值范围.
2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．
简解：（1）由1
2012232
++<⇒>-+-x x
x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即
可
．对1
2)(23++=x x
x x ϕ求导，0)12(12)(2
224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数， 2)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是2