高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体几何

高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立

体几何 综合测试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．

1. 若非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则必有S a ∈-6，则所有满足上述条件的集合S 共有

A ．6个

B ．7个

C ．8个

D ．9个

2. 命题P ：若函数()f x 有反函数，则()f x 为单调函数；命题Q ：

111

222

a b c a b c == 是不等式21110a x b x c ++>与2

2220a x b x c ++>(121212a a b b c c ，，，，，均不为零)同解的充要条件，则以下是

真命题的为

A ．P ⌝且Q

B ．P 且Q

C ．P ⌝或Q

D ．P 或Q

3. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =

A ．

42B ．22 C ．41D ．2

1 4. 如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为

32

D. 3

左视图

主视图俯视图

5. 已知函数bx x x f +=2

)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线0223=+-y x 平行，若数列})

(1

{

n f 的前n 项和为n S , 则2012S 的值为

A ．20102009

B ．20112010

C ．20122011

D ．2013

2012

6. 若m b a m a f 2)13()(-+-=，当]1,0[∈m 时，1)(≤a f 恒成立，则b a +的最大值为

A ．

31 B ．32 C ．35

D ．3

7

7. 已知a 、b 是不共线的向量，()AB AC R λμλμ=+=+∈，，a b a b ，那么A B C 、、

三点共线的充要条件为 A ．1λμ=B ．1λμ=-C ．1=-μλD ．2λμ+=

8. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+则ABC ∆的形状是

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

9. 设函数()(sin cos )(02011),x

f x e x x x π=-≤≤则函数()f x 的各极大值之和为

A.20122(1)

1e e e πππ

－－ B. 1006(1)1e e e πππ－－

C. 10062(1)1e e e πππ－－

D.20102(1)

1e e e

πππ

－－ 10. ()x f y =的定义域为R ，且()(),22x f x f -=+()()x f x f -=+77在[]7,0上只有()()031==f f ，则()x f 在

]2012,2012[-上的零点个数为

A ．403

B ．402

C ．806

D ．805

11. 函数()22x x

f x -=-的反函数为)(1

x f -，则使不等式1()2f x ->成立的x 的取值范围为

A ．15

(,)4-

+∞ B ．15[0,

)4

C ．15(,0)4-

D ．15(,)4-∞- 12. 已知函数32

()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪---≤⎩

，关于方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的根

的叙述有下列四个命题

①存在实数a ，使得方程恰有3个不同的实根； ②存在实数a ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数a ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数a ，使得方程恰有6个不同的实根；

其中真命题的个数是

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．

13. 定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于)0,1(成中心对称，若,s t 满足不等式

22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t

s

的取值范围．

14. 已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，设

122,n n n n b a b b b =++

+则的结果为．

15. 已知正项数列{}n a )0*,(>∈n a N n 的前n 项和n S 满足：12+=n n a S ；设392+-=n n a b ，则数列{}

n b 的前n

项和的最大值为___________．

P

A

C 16. 如图，直线l α⊥平面，垂足为O ，已知长方体

1111ABCD A B C D -中，

15,6,8AA AB AD ===该长方体做符合以下条件

的自由运动：（1）A l ∈;

（2）C α∈,则1,C O 两点间的最大距离为. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程

书写在答题纸上，并写

出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本题满分10分）已知集合{

}

2

150A x x px ⊆-+=，

{}

250B x x x q ⊆-+=，{}2,3,5A B =，{}3A B =，求集合A 和B .

18. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,21=a ,点(1+n S ,n S )在直线n n y n nx +=+-2

)1((*

N n ∈)

上.a1=2

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设,211-+=

++n n n n n S S S S T 证明：.33

4

321<++++≤n T T T T 19. （本题满分12分）

阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①

sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②

由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③

令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A B

αβ+-=

=

代入③得 sin sin 2sin cos

22

A B A B

A B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

cos cos 2sin

sin

22

A B A B

A B +--=-； (Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos2cos21cos2A B C -=-,试判断ABC ∆的形状.(提示:如果需要，

也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

20. （本题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，

22,4======BC AB AC PC PB PA .

（1）求证：平面ABC ⊥平面APC ；

（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；