人教版新课程《5.5 三角恒等变换》优秀导学案(2课时)

【新教材】5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（人教A

版）

1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用;

2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题．

1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；

2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；

3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.

4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。

重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系； 难点：求值过程中角的范围分析及角的变换.

一、 预习导入

阅读课本215-218页，填写。

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝______________________________； cos(α∓β)＝______________________________； tan(α±β)＝______________________________. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝________________；

cos 2α＝________________＝________________＝________________； tan 2α＝2tan α

1－tan 2α.

提醒： 1．必会结论

(1)降幂公式：cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α

2.

(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2 α，1－cos 2α＝2sin 2 α.

(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． (4)辅助角公式：asin x ＋bcos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中sin φ＝

b a 2＋b 2，cos φ＝a

a 2＋

b 2

. 2．常见的配角技巧

2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫

α2＋β等．

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β

可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角

α，β都成立．( )

(4)当α是第一象限角时，sin α

2

＝

1－cos α

2

.( ) (5)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( ) (6)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) 2．sin 20°cos 10°－cos160°sin10°＝( )

A ．－

32

B ．

32

C ．－12

D ．12

3．若sin α2＝3

3

，则cos α＝( )

A ．－23

B ．－13

C ．13

D ．23

4．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

题型一 给角求值

例1 利用和（差）角公式计算下列各式的值.

(1)sin 72cos 42cos 72sin 42;(2)cos 20cos 70sin 20sin 70;1tan15

(3)

.

1tan15

--+-

跟踪训练一 1.cos 50°=( )

A.cos 70°cos 20°-sin 70°sin 20°

B.cos 70°sin 20°-sin 70°cos 20°

C.cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°

D.cos 70°sin 20°+sin 70°cos 20° 2.cos 5π

12

cos π

6

+cos π

12

sin π

6

的值是( )

A.0

B.1

2

C.√22

D.√32

例2 45sin ,,,cos ,cos().5213πααπββαβ⎛⎫

=

∈=-- ⎪⎝⎭

已知是第三象限角，求的值 例3 3sin ,sin(),cos(),tan().5

444

π

ππ

ααααα=--+-已知是第四象限角，求的值 跟踪训练二

1.(1)已知α为锐角,sin α=3

5,β是第四象限角,cos β=45

,则sin(α+β)= . (2)若sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=3

5,且α∈(π

2,π),则tan (α-3π

4) = . 题型三 给值求角

1.若tan α=1

2

,tan β=13

,且α∈(π,3π2),β∈(0,π

2),则α+β的大小等于( )

A.π

4

B.5π

4

C.7π4

D.9π

4

题型四 二倍角公式应用 例5 5sin 2,,sin 4cos 4tan 4.1342ππ

ααααα=<<已知求，，的值