数学基础常用函数

p x
a
sinc(x) 1
-1 1
特点:
0
x
最大值：sinc(0)=1；lim
sinc(x)=0
曲线下面积: S=1，偶x函数
0点位置:x=n (n=1, 2, 3…)等间隔
两个一级0点之间的主瓣宽度=2
1
a+x0
x
x0 -a+x0
§0-1 常用函数
五.sinc函数(续)
Sinc函数的重要性:
附: sinc2函数 sinc2(x)=[sinc(x)]2
• 数学上,sinc函数和rect函 数互为傅里叶变换
sin2(px)
• 物理上,单一矩形脉冲
(px)2
rect(t)的频谱是sinc函数; 单缝的夫琅和费衍射花
sinc2(x)
sinc (x) 1
样是sinc函数
0
-1 1
x
二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)
sinc2(0)=1, S = 1 与sinc(x)相比,曲线形状不同, 但曲线下面积相同,为什么?
§0-1 常用函数 (续)
三.矩形函数 Rectangle Function
定义
re(x c) t 1, 0,
x其 1 2,标 它准 :re(型 x c- a tx0) 1 0 ,,
x-x01 a2 其它
原型特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数
rect(x) 1
x -1/2 0 1/2
快门; 单缝, 矩孔,区域限定
y
x0
0
a
x
rect(x-x0 ) a
y
a x0, y0 b
0
x
a
rec (xt-x0)rec (yt-y0)
a
b
§0-1 常用函数 (续)
四、三角形函数 Triangle Function
原 :t型 ( rx )i 1 0 - ,x,其 x 1 ,标 它 :准 t( rx- ia x 0 型 ) 1 0 - ,x- a x 0,
§0-1 常用函数—变型（例）
例:
f(x)={
x, 0
0<x<1 其它
f(x) 0 1x
求 f(-2x+4)
解： f(-2x+4)= f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移
先折叠
再压缩
最后平移
f(-x)
f(-2x)
f[-2(x-2)]
-1 0
x
-1/2 0 x
0 3/2 x
练习：f(x)={cos(x),
七、圆域函数 Circular Function
定义: circ(r) = cir(cx2y2)1,
0,
x2y2 1 其它
circ函数是不可分离变量的二元函数
描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率
1y
0
x
a 0
circ
x2 y 2
a
wk.baidu.com
§0-1 常用函数 (续)
八、复指数函数 Complex exponential function
课堂练习(要求写在作业本上)
0-3. 画出下列函数的图形 (1) f(x)recxt-recxt
4 2
(2) g(x)2trix-trix()
2
(3)
h(x)2trix-2trix() 2
(4) p(x)trix()stex)p(
再扩展, 最后平移
x
-p/2
0 p/2
注意：曲线下面积:
S f(x)dx -
在缩放前后的变化
§0-1 常用函数
注意:1.函数在时域和空域各代表什么物理对象 2. 一维向二维扩展,各代表什么物理对象
一. 阶跃函数 Step Function
1 , x>0 定义: Step(x)={ 1/2, x=0
Aexp(jq)=Acosq +jAsinq
w = 2pn
A
q
0
对于简谐振动，q = 2pn t
q：振子的位相角
推广到二维：
Aexp[j 2p (fxx+fyy)]
注意
以上定义的函数,其宗量均无量纲. 在处理 实际问题时,要根据所取的单位采用适当的 缩放因子.
例: 以 rect(x) 代表单缝. 若x单位为cm, 则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝.若x单位 为mm,则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝.
§0-1 常用函数 (续)
六、高斯函数 Gaussian Function
Gaus(x) = exp(-px2)
Gaus(0) = 1
S=1 是非常平滑的函数,即
各阶导数均连续.
Gaus(x)
x
0
二维情形: Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)] 可代表单模激光束的光强分布
§0-1 常用函数 (续)
0
|x|p/2 其它
求 f(-x/2+p/4)
§0-1 常用函数—变型（练习）
f(x)={
cos(x), 0
|x|p/2 其它
求 f (-x/2+p/4) -p/2
f(x)
x
0
p/2
解： f(-x/2+p/4)= f[- (x- p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移
先折叠， 偶函数折叠后不变
f(-x)
课堂练习(要求写在作业本上)
0-1. 已知函数
U(x)=Aexp(j2pf0x)
求下列函数，并作出函数的图形 (1) | U(x) |2 (2) U(x) + U*(x) (3) | U(x) + U*(x) |2 0-2. 已知函数 f(x)=rect(x+2)+rect(x-2) 求下列函数，并作出函数的图形. (1) f(x-1) (2) f(x)sgn(x)
0, x<0
Step(x) 1
0
x
0
x
代表：开关, 无穷大半平面屏
§0-1 常用函数 (续)
二. 符号函数 Signum
{ 1 , x>0
定义: Sgn(x)= 0, x=0
-1, x<0
原型
Sgn(x) 1
与 Step函数的关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1
0 -1
x
代表“p”相移器、反相器
x- x 0 1 a 其它
tri(x) 1 -1 0 1 x
1 -a+x0
x x0 a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
又写成：L(x)
要关注它和矩形函数的关系
§0-1 常用函数 (续)
五、sinc函数
原 :s型 i(x n ) s cip x n ), (标:s 准 i(x n - x 型 0 c )