§8.4-解线性方程组的超松弛迭代法法

53
1.9
109
§4 解线性方程组的超松弛迭代法 © 2009, Henan Polytechnic University
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1) 1)
x(k) 1
x(k) 2
(1
4 x1(k )
x(k) 2
(1
x(k) 1
4 x2(k )
x(k) 3
x(k) 3
x4(k) ) / x4(k) ) /
4, 4,
x3( k
1)
x(k) 3
(1
x(k) 1
x(k) 2
4 x3(k )
x4(k) ) /
4,
x4( k
1)
x(k) 4
x(k1) i
x(k) i
(bi
aij
x(k1) j
aij
x
(k j
)
)
/
aii
.
j1
ji
i 1,2, , n
>0为松弛因子
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第八章 解线性方程组的迭代法
i 1
n
x(k1) i
x(k) i
(bi
aij
x(k1) j
aij
x
(k j
)
)
/
aii
.
j1
ji
i 1,2, , n
矩阵表示为：
Dx(k1) Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) Dx(k) ).
(D L)x(k1) [(1 )D U]x(k) b,
逐次超松弛法可写为矩阵形式
x(k1) (D L)1[(1 )D U ]x(k) (D L)1b.
其逐次超松弛迭代矩阵为
B (D L)1[(1 )D U ].
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第八章 解线性方程组的迭代法
(1) 显然，当=1时即为Gauss—Seidel 迭代法.
(2) SOR方法每迭代一次主要运算量是计算一次 矩阵与向量的乘法.
此即为解Ax=b的逐次超松弛迭代法 (Successive Over Relaxation Method，简称SOR方法).
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第八章 解线性方程组的迭代法
i 1
n
x(k1) i
x(k) i
22
第八章 解线性方程组的迭代法
x~i( k 1)
(bi
i 1
a x(k1) ij j
n
a
ij
x
(k j
)
)
/
aii
,
j1
ji1
x ( k 1) i
(1 )xi(k)
x~i( k 1)
x(k) i
( x~i(k1)
xi(k ) ),
( i 1 , 2 , , n ).
i 1
n
即
(3) 当>1时，称为超松弛法；当<1时，称为低
松弛法.
(4) 在计算机实现时可用
max
1 i n
xi
max
1 i n
x ( k 1) i
xi(k )
控制迭代终止，或用
r (k) b Ax(k)
控制迭代终止.
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第八章 解线性方程组的迭代法
例 用SOR方法解线性方程组Ax=b
4 1 1 1 x1 1
1
1
1
4 1 1
1 4 1
1 1 4
x2 x3 x4
1
1
1
.
它的精确解为x*=(-1, -1, -1, -1 )T.
解 取初始向量x(0)=0，迭代公式为
x1( k x2( k
(11) 0.46 105. 2
满足误差
(k) 105.
2
迭代次数k
对取其它值，迭代次数如表. 1.0
22
1.1
17
从此例看到，松弛因子选择
1.2
12
1.3
11(最少迭代次数)
得好，会使SOR迭代法的收
1.4
14
1.5
17
敛大大加速. 本例中=1.3是
1.6
23
1.7
33
最佳松弛因子.
1.8
(bi
aij
x(k1) j
aij
x
(k j
)
)
/
aii
.
j1
ji
i 1,2, , n 也可写作：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x(0) x(k1)
i
( x1(0) , xi(k )
, xn(0)
xi ,
)T
,
i 1
n
xi
(bi
aij
x
(k j
1)
j1
ji
aij
x
(k j
)
)
/
aii
(i 1,2, , n).
x~i(k1)
(bi
i 1
aij
x
(k j
1)
n
aij
x
(k j
)
)
/
aii
.
j 1
ji1
(2) 再由 xi(k )与 x~i(k1) 加权平均定义 xi(k1)，即
x(k1) i
(1 )xi(k)
x~i( k 1)
x(k) i
( x~i(k1)
xi(k) ).
建立迭代格式如下:
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第四节 解线性方程组的 超松弛迭代法
1
第八章 解线性方程组的迭代法
SOR迭代法是Gauss—Seidel 迭代法的一种修正， 可由下述思想得到.
设已知x(k)及已计算x(k+1)的分量xj(k+1) (j=1,2, ,i-1).
(1) 首先用Gauss—Seidel 迭代法定义辅助量 x~i(k1),
(1
x(k) 1
x(k) 2
x(k) 3
4x4(k) ) /
4.
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第八章 解线性方程组的迭代法
取=1.3，第11次迭代结果为
x(11) (0.99999646, 1.00000310, 0.99999953, 0.99999912)T ,