菱形的性质练习题及其详解

菱形的性质
01 基础题
知识点1 菱形的性质
1．(2016·莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)
A ．对边相等
B ．对角相等
C ．对角线互相平分
D ．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是(B )
A ．∠AD
B ＝∠CDB B ．A
C ＝B
D C ．AC ⊥BD D ．AB ＝AD
第2题图 第3题图
3．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB ＝60°，则对角线BD 的长为(C ) A ．1 B .3 C ．2 D ．23
4．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是(D )
A ．10
B ．8
C ．6
D ．5
5．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长是16．
6．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，AF.AE 和AF 有什么样的数量关系？说明理由．
解：AE ＝AF.
理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，BC ＝CD. 又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点， ∴BE ＝12BC ，DF ＝1
2CD.
∴BE ＝DF.
∴△ABE ≌△ADF(SAS )． ∴AE ＝AF.
知识点2 菱形的面积
7. (2016·宁夏)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为(A)
A ．2 2 B. 2 C ．6 2 D ．82
第7题图 第8题图
8．(2017·宜宾)如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝6，BD ＝8，则菱形ABCD 的面积是24． 9．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，且∠ACD ＝30°，BD ＝4，求菱形ABCD 的面积．
解：∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝4，
∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝1
2BD ＝2，AC ⊥BD.
∵在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°，
∴CD ＝2OD ＝4，
OC ＝CD 2－OD 2＝42－22＝2 3. ∴AC ＝2OC ＝4 3.
∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝1
2
×43×4＝8 3.
02 中档题
10．如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD ＝60°，则花坛对角线AC 的长等于(A )
A ．63米
B ．6米
C ．33米
D ．3米
第10题图 第11题图
11．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于(A )
A ．3.5
B ．4
C ．7
D ．14
12．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点
O ，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为(C )
习题解析
A ．28°
B ．52°
C ．62°
D ．72°
13．(2017·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D)
A ．2 B.5 C ．3 D ．4 14．(2017·东营)如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为A
B 的中点，若P
为对角线BD 上一动点，则EP ＋AP 的最小值为
15．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E.
(1)求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长．
解：(1)∵在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.
(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4，
又∵O 为BD 的中点，∴OB ＝2. 又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝1
2
OB ＝1.
16．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
∴AE∥CD.
又∵DE⊥BD，
∴DE∥AC.
又∵AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝AO2＋DO2＝5.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.
∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
03综合题
17．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
证明：(1)连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD.
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
又∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°.
∴∠FEC＝∠EFC.∴CE＝CF.
又∵BC＝CD，
∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
(2)连接AC，由(1)，得△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC.
∵∠BAE＋∠EAC＝60°，
∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF.
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴∠ACF＝1
2∠BCD＝60°＝∠B.
∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．。