题3 答案

第三章 复变函数的积分
一、选择题：
1．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z z c
⎰+-2)1)(1(为( D ) （A ）2i π （B ）2
i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 根据c 是否包含奇点1与1-，有不同结果。

2．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c 23)1(21
cos
( B ) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-
奇点1，2都在c 外。

Cauchy-Goursat
3．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c ⎰+'+'')
()()(2)( ( C ) （A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定
)(z f 处处解析则)()(z f n 处处解析
4．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a z z 2
)
(cos ( C ) （A ）ie π2 （B ）e
i π2 （C ）0 （D ）i i cos i a -是常数，0cos )()(cos 22=-=-⎰⎰c
c zdz z i a dz i a z z 。

5．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)
(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( C )
（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定
两解析函数)(z f 与2)(≡z g 在曲线c 上重合，则他们就是同一个解析函数，即在其他点取
值一样。

来自解析函数的唯一性定理。

6．下列命题中，正确的是( C )
（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =。

可以相差一个常数。

（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。

反过来是对的。

（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则x
u ∂∂为D 内的调和函数。

)(z f 处处解析则)()(z f n 处处解析, 解析函数x x iv u z f +=')(由两调和函数组成。

（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。

不一定满足CR 方程。

7．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( B )
（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -
（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）x
v i x u ∂∂-∂∂ ),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数意思是iv u z f +=)(解析，所以
v iu z if +-=-)(也解析。

二、填空题
1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰
c dz z 2 2 2．设c 为正向圆周14=-z ，则i dz z z z c π10)4(232
2=-+-⎰ 留数或高阶导数公式 3．设c 为正向圆周3=z ，则
i dz z
z z c π6=+⎰
i dz z dz z z dz z z z z dz z dz z z dz z z dz z z z c
c c c c c c π6303==+=⋅⋅+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4．设c 为负向圆周4=z ，则i dz i z e c
z 12)(5ππ=-⎰。

注意正向和负向积分正好差一个符号。

5．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为 c y x y x v +--=2
),(2
2 已知实部xy y x =),(ϕ，计算解析函数的虚部。

6．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a -3 解Laplace 方程
7．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为),(y x u -.见一(7B)。