复合函数的单调性

复合函数的单调性 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

函数的值域与函数的单调性

我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分内容．

通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法．

[知识要点]

一．函数的值域

求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等．

二．函数的单调性

1．定义

如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1

f(x1)f(x2)，那么就称f(x)在这个区间上是减函数．如果y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间．

注：在定义域内的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题．

2．函数单调性的运算规律

在共同的定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则：（1）f1(x)+f2(x)是增函数；

（2）g1(x)+g2(x)是减函数；

（3）f(x)-g(x)是增函数；

（4）g(x)-f(x)是减函数．

[典型例题]

一．函数值域的求法

（一）配方法

例1．

解：

例2求函数y=2x+2-3×4?x(-1≤x≤0)?的值域

解y=2x+2-3·4x

=4·2x-3·22x

令2x=t

例3．

解：

∴函数定义域为[3,5]

例4．若实数x、y满足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域

解：∵4y2=4x-x2≥0

∴x2-4x≤0，即0≤x≤4

∴当x=4时，S max=16

当x=0时，S min =0

∴值域0≤S ≤16

例5．已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a 的值．

分析：

2

)(a x x f y -==称轴的抛物线，由于它的对的图象是一条开口向上因为的位置取决于a ，而函数的自变量x 限定在[-1，1]内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．

解：

综合（1）（2）（3）可得：a=±7

（二）判别式法

例6．

解由已知得(2y-1)x 2-(2y-1)x+(3y-1)=0(*)

（2）若2y-1≠0，则∵x ∈R

∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0

即(2y-1)(10y-3)≤0

例7．

解由已知得(y-1)x 2+(y-4)x-(6y+3)=0(*)

①若y=1，代入（*）式-3x-9=0

∴x=-3，此时原函数分母x 2+x-6的值为0

∴y ≠1

②若y≠1，则∵x∈R

∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0

化简可得(5y-2)2≥0，则y∈R

说明：

m(y)x2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x∈R，由Δ≥0求出y的取值范围，但需注意两点：

（1）要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式；

（2）在求出y的取值范围后，要注意“=”能否取到．

（三）换元法

例8．

解：

∴y max=1，y min=-23

∴原函数值域?-23≤y≤1

例9．

解：

（四）利用函数的单调性

例10．

解：

例11．

解：

调递减

说明在利用函数的单调性求值域时，应注意如下结论：在共同定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则（1）f1(x)+f2(x)是增函数；（2）

g1(x)+g2(x)是减函数；（3）f(x)-g(x)是增函数；（4）g(x)-f(x)是减函数．但当两个单调函数之间的运算符号为“x”、“÷”时，则不具有这种规律．

（五）基本不等式法

这种方法是利用如下的“基本不等式”和与“复数的模”有关的不等式求函数值域．

例12．

解：

例13．

解：

∵y≥0

例14．

解：

又y是x的连续函数

（六）利用原函数的反函数

如果一个函数的反函数存在，那么反函数的定义域就是原函数的值域．

例15．

解y·10x+y·10-x=10x-10-x

即y·102x+y=102x-1

∴1+y=(1-y)·102x

（七）利用已知函数的值域

例16．

解利用三角函数的值域来求值域，把函数式去分母变形得：ycosx-sinx=1-3y

（八）图象法

例17．

解：

由图象知：值域为y ≥3

（九）利用导数求值域

此种方法在本学期学习导数的应用时已作了详尽的阐述，这里就不再多说了．

二．函数的单调性

（一）函数单调性的判定

1．利用已知函数的单调性

例1若y=(2k+1)x+b 是R 上的减函数，则有（）

解：选D

说明：函数y=kx+b ，当k>0时是增函数；k=0时是常函数；k<0时是减函数．

例2．

的单调递；函数的单调递减区间是函数x

y x y +==11______________1减区间是__________________．