安徽省淮南市寿县第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题

安徽省淮南市寿县第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题

第I卷（选择题60分）

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)

1.在中，若，则

A. B. C. D.

2.如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n项之和为S n，则S21的值为

A.66

B.153

C.295

D.361

3. 如图，△ADC是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD与AC交于E点．若AB＝2，则AE的长为

A．－ B． (－) C．＋ D． (＋)

4.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4，设，则数列{b n}的前项和T n为

A. B. C. D.

5.等差数列{a n}的公差为2，若a2， a4， a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=

A.n（n+1）

B.n（n﹣1）

C.

D.

6.已知等比数列{a n}中，a1+a2+a3+a4+a5=31，a2+a3+a4+a5+a6=62，则通项a n等于

A.2n﹣1

B.2n

C.2n+1

D.2n+2

7.当满足不等式组时,目标函数最小值是

A.-4

B.-3

C.3

D.

8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若 =3，则 =

A. B. C.2

D.3

9.等比数列{a n}中，a3=5，a8=2，则数列{lga n}的前10项和等于

A.2

B.5

C.10

D.lg50

10.关于的不等式只有一个整数解，则的取值范围是

A. B.

C. D.

11.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，

则 =

A. B.3 C.或3

D.3或

12.设正实数x，y满足x+y=1，则的最小值为

A.4

B.5

C.6

D.

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)

13.，时，若，则的最小值

为．

14.在中，内角所对应的边分别为，已知，若

，则的值为．

15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4=18﹣a6﹣a5，则

S8= ．

16.今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列，已知，，且，则这30天因病请假的人数共有人.

三、解答题(共6小题,共70分)

17.（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．（1）求sinB的值；

（2）求c的值．

18. （12分）已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinC= ．

（1）判断△ABC的形状；

（2）设三边a，b，c成等差数列且S△ABC=6cm2，求△ABC三边的长．

19. （12分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=2，a n+1=S n+2．

（1）求数列{a n}的通项公式．

（2）令b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．

20. （12分）已知在等差数列{a n}中，a2=11，a5=5．

（1）求通项公式a n；

（2）求前n项和S n的最大值．

21. （12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}

（1）求实数a、b的值；

（2）解关于x的不等式＞0（c为常数）

22. （12分）“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100 米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．

（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；

（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？

参考答案

1.A

2.D

3.A

4.B

5.A

6.A

7.B

8.B

9.B 10.C 11.C 12.B

13.4 14. 15.36

16.

17.（1）解：∵△ABC中，cosA= ＞0，

∴A为锐角，sinA= =

根据正弦定理，得，

∴，

∴

（2）解：根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴9=4+c2﹣2×2c× ，

∴3c2﹣4c﹣15=0

解之得：c=3或c=﹣（舍去），

∴c=3

18.（1）解：法1：sinC= =tan = = ，

∵sinC≠0，∴cosC=0，

∵0°＜C＜180°，∴C=90°，

∴△ABC为直角三角形；

法2：由已知等式变形得：cosA+cosB= ，

∴利用正弦、余弦定理化简得： + = ，

整理得：（a+b）（c2﹣a2﹣b2）=0，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC为直角三角形

（2）解：由已知得：a2+b2=c2①，a+c=2b②， ab=6③，

由②得：c=2b﹣a，代入①得：a2+b2=（2b﹣a）2=a2﹣4ab+4b2，即3b2=4ab，

∴3b=4a，即a= b，代入③得：b2=16，

∴b=4cm，a=3cm，c=5cm

19.（1）解：∵a1=2，a n+1=S n+2．

∴a2=4，n≥2时，a n=S n﹣1+2，可得a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，n=1时也满足．

∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2．

∴a n=2n．

（2）解：b n=（2n﹣1）•a n=（2n﹣1）•2n．

∴数列{b n}的前n项和T n=2+3×22+…+（2n﹣1）•2n，

2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，

∴﹣T n=2+2（22+23++…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=2× ﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，

∴T n=（2n﹣3）•2n+1+6

20.（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，

则，解得

∴a n=13+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+15

（2）解：由（1）可得S n=13n+

=﹣n2+14n=﹣（n﹣7）2+49

当n=7时，S n有最大值，为S7=49