2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题

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2021年吉林普通高中会考数学模拟试题及答案

2021年吉林普通高中会考数学模拟试题及答案注意事项：1．答题前将自己的姓名、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡和试卷规定的位置上。

考试结束时.将试卷和答题卡一并交回。

2．本试题分两卷.第1卷为选择题.第Ⅱ卷为书面表达题。

试卷满分为120分。

答题时间为100分钟。

3．第1卷选择题的答案都必须涂在答题卡上。

每小题选出答案后.用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号。

选择题答案写在试卷上无效。

4．第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上.注意字迹清楚.卷面整洁。

参考公式：标准差：锥体体积公式： V= 31S底·h其中．s 为底面面积.h 为高,柱体体积公式V=s.h球的表面积、体积公式S= 24R π V=343R π其中．s 为底面面积.h 为高, V 为体积 .R 为球的半径第1卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共15小题.每小题的四个选项中只有一项是正确的.第1-10小题每小题3分.第11-15小题每小题4分.共50分）1.设集合M={－2.0.2}.N={0}.则( ). A ．N 为空集 B. N ∈M C. N M D. MN2．已知向量(3,1)=a .(2,5)=-b .那么2+a b 等于（） A (1,11)- B (4,7) C (1,6) D (5,4)-3．函数2log (1)y x =+的定义域是（）222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-A (0,)+∞B (1,)-+∞C (1,)+∞D [1,)-+∞4．函数sin y x ω=的图象可以看做是把函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标保持不变.横坐标缩短到原来的12倍而得到的.那么ω的值为（） A 14 B 12C 4D 25．在函数3y x =.2xy =.2log y x =.y =.奇函数是（）A 3y x = B 2xy = C 2log y x =D y =6.一个几何体的三视图如图所示.该几何体的表面积是（） A 3π B 8π C 12π D 14π7．11sin 6π的值为（）A 12-B 2-C 12D 28．不等式2320x x -+<的解集为（）A {}2x x > B {}1x x > C {}12x x << D {}12x x x <>或9．在等差数列{}n a 中.已知12a =.24a =.那么5a 等于（）A ．6B ．8C ．10D ．1610．函数45)(2+-=x x x f 的零点为()俯视图左（侧）视图主（正）视图22A ．(1,4)B ．(4,1)C ．(0,1),(0,4)D ．1,411．已知平面α∥平面β.直线m ⊂平面α.那么直线m 与平面β的关系是（） A 直线m 在平面β内 B 直线m 与平面β相交但不垂直 C 直线m 与平面β垂直 D 直线m 与平面β平行12. 在ABC ∆中.如果3a =2b =.1c =.那么A 的值是（）A 2πB 3πC 4πD 6π13.直线y= -12x+34的斜率等于（） A ．-12 B ．34 C ．12 D ．- 3414．某城市有大型、中型与小型超市共1500个.它们的个数之比为1:5:9．为调查超市每日的零售额情况.需要通过分层抽样抽取30个超市进行调查.那么抽取的小型超市个数为（）A 5B 9C 18D 2015, ．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩.则2z x y =+的最小值等于 ( )A. 2B. 3C.4D.52021年吉林省普通高中学业考试模拟试题（数学）注意事项：1．第Ⅱ卷共4页.用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题(word版含答案)

2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题:(本大题共15小题,每小题的四个选项中，只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题4分，共50分）1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A B=（） A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2}.2.函数5()log (1)f x x =-的定义域是（）A. (,1)(1,)-∞+∞B.[0,1)C.[1,)+∞D.(1,)+∞3函数f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ≤1－x ＋3，x>1，则f(f(4))＝( )A. 0B. -2C. 2D. 64.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（） A. B. C. D.5.的值为（）A. B. C. D. 6.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（）A.y=-4x-7B.y=4x-7C.y=-4x+7D.y=4x+77.已知向量若，则实数x 的值为（）A.-2B.2C.-1D.1314151614cos 4sin ππ2122422),1,(),2,1(-==x b a b a ⊥8.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) -4 -2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为（）A.（1，2）B.（2，3）C.(3,4)D. (4,5)9.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定10.下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）A. B.y=log 3x C. D.y=cosx11.．下列结论正确的是（）A ．平行于同一个平面的两条直线平行B ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行 12. 已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是( )A.27.5B. 28.5C. 27D. 2813. ）的最小值是（则若)2(),0,2(x x x +-∈A. 2-B. 23- C. 1- D. 21-14. 偶函数)(x f 在区间[]1,2--上单调递减，则函数)(x f 在区间[]2,1上( )A. 单调递增，且有最小值)1(fB. 单调递增，且有最大值)1(fC. 单调递减，且有最小值)2(fD. 单调递减，且有最大值)2(f∞x y )31(=x y 1=。

吉林省长春市普通高中2021届高三质量监测(二)数学(理)试题答案

长春市普通高中2021届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. D2. A3. B4. C5.C6. C7. D8. B9. D 10.C 11. C12. D简答与提示：1. 【试题解析】D 复数z 的虚部为2sin3π=D. 2. 【试题解析】A 易知阴影部分为集合()(1,2]U A B =-，故选A. 3. 【试题解析】B 若m 与n 不相交，则“直线l m ⊥且l n ⊥”不能推出“l α⊥”；反之，如果“l α⊥”，无论m 与n 是否相交，都能推出“直线l m ⊥且l n ⊥”，故“直线l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件，故选B.4. 【试题解析】C 由图易知①②③正确，④中位数应为1289（万），④错，故选C.5. 【试题解析】C 设事件A =“第1次抽到代数题” ，事件B =“第2次抽到几何题”，则321(|)342P B A ⨯==⨯，故选C. 6. 【试题解析】C 由题意533565,13S a a ===，所以142328a a a a +=+=，故选C.7. 【试题解析】D 由题意知，直线l 过点1(,1)2-，斜率为2，所以直线:220l x y -+=，故选D.8. 【试题解析】B 由题意知||1,0DC DC BC =⋅=，所以()1AD DC AB BC CD DC AB DC CD DC ⋅=++⋅=⋅+⋅=，故选B9. 【试题解析】D由题意，设ABC △为36A =︒的黄金三角形，有,a b c b ==，所以222cos362b c a bc +-︒==所以sin126cos36︒=︒=另外36A B ==︒，108C =，也可获得此结果，故选D.10. 【试题解析】C 由2FA AM =知A 为线段FM 上靠近F 的三等分点，所以0(,0),(,3)22p p F M y -，有22(2)2,12,2422p pp y x -=+==，故选C. 11. 【试题解析】C 由图知，125,221212πππωω⋅=+=，2()2,0,126k k ππϕπϕ⨯-+===，故①正确，②错误；③中，12,26x x π+=而直线6x π=是函数()f x 的对称轴，故③正确，④错误，故选C.12. 【试题解析】D 由题意化简，()1x xx xe ef x e e --+=+-，可知()f x 的图象与()g x 的图象都关于点(0,1)对称，又2224()0(1)xx e f x e -'=<-，所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递减，由2()3(4)g x x '=--可知，()g x 在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减，在(2,2)-上单调递增，由图象可知，()f x 与()g x 的图象有四个交点，且都关于点(0,1)对称，所以所求和为4，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 614. 例如x -15.16. 三、解答题17. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意，521885020400ˆ90,4,859080ii x x b =-⨯====-∑，ˆ40085460a=-⨯=，所以ˆ8560y x =+. （6分）（2）由（1）知，22171125585805()24w x x x =-+-=--+，所以当8x =或9x =时能获得总利润最大. （12分）18. (本小题满分12分) 【试题解析】解：（1）证明：11111111111A A ABC A A AC AC A ABB AC ABC AC B M AC B M AB AC B M A ABB ⎫⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面，即平面111111*********AC B M B M A BC A B B M B C M A BC B M B C M ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊥⇒⊥⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面平面平面. （6分）（2）以A 为原点，AB 方向为x 轴，AC 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴，建立空间直角坐标系.1(4,0,2)B ，1(0,4,2)C ，(3,0,0)M11(4,4,0)BC =- 1(1,0,2)B M =--平面11B C M 的法向量为1(2,2,1)n =- 平面11A ACC 的法向量为2(1,0,0)n =即平面11A ACC 与平面11B C M 所成锐二面角θ的余弦值为1212||2cos 3||||n n n n θ⋅==⋅，即平面11A ACC 与平面11B C M 所成锐二面角的余弦值为23. （12分）19. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意112112080a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，可知4q =，进一步解得14a =. 即{}n a 的通项公式为4n n a =. （6分）（2）22log log 42n n n b a n ===，212(1)22n S n n n n n =+-⋅=+，2221111111n n b n S n n n n==+++++，由*n ∈N ，利用基本不等式以及对勾函数的性质可得11203n n +≥得61123n n b S +≤则λ的最小值为623. （12分）20. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）当1a =时，令2()()()ln F x f x g x x x =-=-，1()2F x x x'=-（0x >） 2121()2x F x x x x -'=-=，令()0F x '=且0x >可得22x =，min 21111((ln 2)ln 222222F F ==--=+. （4分）（2）方法一：由函数()f x 和()g x 的图象可知，当()()f x g x >时，曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线.即2ln ax x >在(0,)+∞上恒成立，即2ln x a x>在(0,)+∞上恒成立，设2ln ()x h x x =，312ln ()xh x x -'=令312ln ()0xh x x -'==，x e =即max 1()2h h e e ==，因此，12a e >. （12分）法二：取两个函数相切的临界条件：20000ln 12ax x ax x⎧=⎪⎨=⎪⎩解得0x =，12a e =，由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，12a e>. （12分） 21. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由12e =可设2a t =，c t =，则b =，则方程化为2222143x y t t+=，又点3(1,)2P 在椭圆上，则22914143t t+=，解得1t =，因此椭圆C 的方程为22143x y +=. （4分）（2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 直线的方程为y kx m =+，联立直线AB 和椭圆C 的方程消去y 得，2234()120x kx m ++-=，化简得：222(34)84120k x kmx m +++-=，21111||||||||222AOB S m x x m m =⋅-==△222||2||3434m m k k =++==当221342m k =+时，S22234m k =+，又122834km x x k -+=+，121226()234my y k x x m k +=++=+，则1212(,)22x x y y M ++，即2243(,)3434km mM k k -++ 令22434334km x k my k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则221322x y +=，因此平面内存在两点G 、H使得||||GM HM +=当直线AB的斜率不存在时，设(2cos )A θθ，则(2cos ,)B θθcos 2AOB S θθθ==△，即当4πθ=此时AB 中点M的坐标为，满足方程221322x y +=，即||||GM HM +=（12分）22. (本小题满分10分)【试题解析】（1）曲线1C 的普通方程为cos sin 0y x αα⋅-⋅=，即极坐标方程为θα=（ρ∈R ）.曲线2C 的直角坐标方程为2223x y x +-=，即22(1)4x y -+=. （5分）（2）曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρθρ-⋅-=，代入θα=，可得123ρρ⋅=-，则12||||||3OA OB ρρ⋅==. （10分）23. (本小题满分10分) 【试题解析】（1）()(4)|1||3|8f x f x x x ++=-++≥，则(,5][3,)x ∈-∞-+∞. （5分）（2）要证()||()bf ab a f a>成立，即证|1|||ab b a ->-成立，即证22221b a b a +>+成立，只需证222(1)(1)0a b b --->成立即证22(1)(1)0a b -->成立，由已知||1,||1a b <<得22(1)(1)0a b -->显然成立.（10分）。

2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题(解析)

2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合A 1,0,1,2，B2,1,2，则AA ．1【答案】C【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】集合A 1,0,1,2，B 2,1,2，则AB ．2B（）D ．C ．1,22,0,1,2B1,2.故选：C2．函数f(x)log 5(x 1)的定义域是( )A ．(,1)(1,)B ．[0,1)【答案】D【分析】根据对数的真数部分大于0，列出不等式解出即可.【详解】要使函数有意义需满足x 10，解得x 1，即函数的定义域为(1,)，故选：D.【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域，属于基础题.C ．[1,)D ．(1,)x 1,x 13．函数f x 则f f 4（）x 3,x 1A ．0【答案】A【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.B ．-2C ．2D ．6x 1,x 1【详解】由f x ，x 3,x 1则f f 4f 1110.故选：A4．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（）.A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【解析】试题分析：抛一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求．解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，故所求概率为故选D.【解析】古典概率点评：本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m:n ．属基础题5．sin 1,64cos4的值为（）A ．12B ．22C ．24D ．2【答案】A【分析】利用二倍角公式求解即可.【详解】sin 故选：A.6．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y 4x 2平行，则直线l 的方程为（）A ．y4x 7【答案】D【分析】根据直线平行的斜率关系可得直线的斜率，再结合点斜式即可得解.【详解】因为与直线y4x 2平行，所以斜率相等，即k4；过点(0,7)，则由点斜式可知直线方程为y 74x ，即直线l 的方程为y 4x 7，故选：D.【点睛】本题考查了直线位置关系与斜率关系，点斜式求直线方程，属于基础题.7．已知向量a (1,2)，b (x,1)若a b ，则实数x 的值为（）A ．-2【答案】BB ．2C ．-1D ．1B ．y4x 7C ．y 4x 7D ．y4x 74cos11sin ；4222【分析】根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.【详解】因为a b ，所以a b0，所以x 20，即x 2.故选：B8．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：xf(x)1231445742在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为（）.A ．（1，2）【答案】B【解析】解：根据零点的概念可知，当x=2,x=3时，函数值出现异号，因此零点在该区间，选B 9．已知直线l:y x 1和圆C :x 2y 21，则直线l 和圆C 的位置关系为（）A ．相交【答案】A【分析】利用圆心0,0到直线的距离与半径比较大小，即可判断.【详解】圆C :x y 1的圆心0,0，半径r 1，22B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5）B ．相切C ．相离D ．不能确定则圆心0,0到直线l:y x 1的距离为d所以直线l 和圆C 的位置关系为相交，故选：A1121221r ，210．下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是（）.A ．y ()【答案】B【解析】试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A 的底数大于0小于1、C 是图象在一、三象限的单调减函数、D 是余弦函数，，在（0，+∞）上不单调，B 的底数大于1，在（0，+∞）上单调增，故13xB ．y log 3xC ．y1xD ．ycosx在区间（0，1）上是增函数,故选B 【解析】函数的单调性点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键．11．下列命题正确的是()A ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B ．平行于同一个平面的两条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行【答案】D【解析】A 错误；平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面；B 错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面；C 错误；与两个相交平面的交线平行的直线也可能在其中一个平面内；D 正确；设a //b,a ,b,a //;故a 做一平面，c,则a //c,又a //b ，b //c.又b,c.b //.故选D12．已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是（）A ．27.5【答案】AB ．28.5C ．27D ．28【分析】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义计算可得.【详解】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：16,17,19,22,25,27,28,30,30,32,36,40，所以这组数据的中位数是故选：A.【点睛】关键点点睛：理解茎叶图，掌握中位数的定义是本题的解题关键.13．若x (2,0)，则x(2x)的最小值是（）A ．2B ．272827.5.232C ．1D ．12【答案】C【分析】利用二次函数的单调性求最值即可.【详解】由题意得：令f xx(2x)x 22x x 11，则函数的对称轴为：x 1，又x(2,0)，所以函数f x 先减后增，当x 1时，函数f x 取最小值，则f11111，所以x(2x)的最小值是1；故选：C.14．偶函数f(x)在区间2,1上单调递减，则函数f(x)在区间1,2上（）A ．单调递增，且有最小值f(1)C ．单调递减，且有最小值f(2)【答案】A【分析】根据偶函数图象的特点可知f(x)在区间1,2上单调递增，即可得出最值.【详解】因为f(x)是偶函数，f(x)在区间2,1上单调递减，所以函数f(x)在区间1,2上单调递增，所以f(x)在区间1,2上最小值为f(1)，最大值为f(2)，故选：A15．已知函数y sin(x )的图象为C ，为了得到函数y sin(x )的图象，只要把C 上所有的点（）A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的1/3，横坐标不变【答案】A【分析】根据三角函数的伸缩变换可得到答案.B ．单调递增，且有最大值f(1)D ．单调递减，且有最大值f(2)22π413π4【详解】将y sin(x )图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，即可得π41πy sin(x )的图象，34故选：A.二、填空题16．函数y 3cos 【答案】4【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可【详解】解：函数y 3cos 1x 的最小正周期为________．621x 的最小正周期为62T2412故答案为：4【点睛】此题考查余弦型函数的周期，属于基础题.17．在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是____________【答案】40【分析】先利用频率分布直方图得到低于60分的学生的频率，再利用案.【详解】由频率分布直方图可得低于60分的学生的频率为：0.0050.01200.3，则该班学生人数是12即可得出答0.31240.0.3故答案为：40.18．已知扇形的圆心角为【答案】2，弧长为，则该扇形的面积为_________634π31lr 计算即可得解.22234.【详解】由扇形的圆心角为，弧长为，可得扇形半径为6361244π.从而有扇形面积为：2334故答案为π.3【分析】由扇形的弧长和圆心角可得半径，再由S 扇形=【点睛】(1)本题主要考查扇形的弧长、圆心角和面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)l 的半径，属于基础题.三、双空题19．.已知等差数列{a n }中，a 11，a35，则公差d ________，a5________.【答案】29【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】等差数列{a n }中，a 11，a35，则公差d r S 扇形=lr ，其中l 代表弧长,r 代表圆12a3a 12，2所以a5a14d 189.故答案为：2；9四、解答题20．在ABC中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2c 2a 2bc .（1）求角A 的大小；（2）若a3，b 1，求角B 的大小.【答案】（1）A3；（2）B6.【分析】（1）根据余弦定理计算可得结果；（2）根据正弦定理计算可得结果.【详解】（1）∵b2c2a2bc，∴b2c2a2bc，b2c2a2bc1∴cosA，2bc2bc2∵A是ABC的内角，∴A （2）∵3 .a b，sinA sin B3∴sin311∴sinB，，sin B2∵b a，∴B A，又因为0B，所以B6.【点睛】关键点点睛：在三角形中，根据正弦值求角时，由边的大小关系确定角是解题关键.21．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为DD1CC1的中点.（1）求证：AC BD1；（2）求证：AE//平面BFD1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结BD，证出AC D1D，AC BD，利用线面垂直的判定定理可得AC平面BDD1，进而可得AC BD1.（2）连结EF，证出AE//BF，再利用线面平行的判定定理即可证明.【详解】证明：（1）连结BD，由正方体ABCD A1B1C1D1得，D 1D平面ABCD .又AC 平面ABCD ，AC D 1D又四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ，而D 1D BDD ，∴AC平面BDD1，又BD 1平面BDD 1，∴ACBD 1.（2）连结EF ，由EF 分别为ABCDA 1B 1C 1D1ABCDA 1B 1C 1D 1的中点得，EF //AB 且EF AB∴四边形ABFE 是平行四边形，∴AE //BF又AE平面BFD 1，BF平面BFD 1，∴AE //平面BFD 1.22．已知数列{a n }满足a n 13a n(nN )，且a26．（1）求a 1及a n ．（2）设b nan2，求数列{b n}的前n 项和S n ．n 1n【答案】（1）2，an23；（2）S n32n 1.【分析】（1）根据题意知数列是等比数列，代入公式得到答案.（2）先把{b n }表示出来，利用分组求和法得到答案.【详解】解：（1）因为an 13a n(nN )，a26所以数列{a n}是以首项为2，公比n 1为3的等比数列，所以数列a n23；n1（2）bnan2232Snb1b2b3b n=2(3031323n 1)2n13n=2()2n 3n 2n 1.13【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和分组求和法，是数列的常考题型.23．已知圆C :x 2y 28y 120，直线l:ax y 2a 0.（1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且AB 22时，求直线的方程.【答案】（1）a3；（2）x y 20或7x y 140.4【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程.【详解】（1）圆C 的标准方程为x 2y 44，圆心C 的坐标为0,4，半径长为22，当直线l 与圆C 相切时，则2a 432，解得a；4a 212AB （2）由题意知，圆心C 到直线l 的距离为d222，2由点到直线的距离公式可得d 7.2a 4a 212，整理得a 28a 70，解得a 1或因此，直线l 的方程为xy 20或7x y 140.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.24．①f 15；②6f 211.已知函数f x ax 2x c a、c N 满足：2*（1）求a ，c 的值；（2）若对任意的实数x ,，都有f x 2mx1成立，求实数m 的取值范围.22【答案】（1）a 1，c2；（2）m139.4【分析】（1）把条件①f 15；②6f 211，代入到f x 中求出a、c 即可；（2）不等式f x2mx1恒成立，设g xf x2mxx 21m x 22则分21m21，21m21两种情况讨论，只需329g x max g 3m 1即可.24【详解】（1）∵f xax 2x c a,c N 2*，满足f(1)5，可得a2c 5，即ac 3，∵6f(2)11，∴64a 4c 11，即64a 43a 11，∴13a4，∴14a ，33∵a,c N *，∴a 1，c 2；（2）由（1）得f x x 2x 2，2设g x f x 2mxx 21m x 2，2①当21m 21，即m 2时，329g x max g 3m ，24293m 1，425解得m ，与m 2不合，舍去；12故只需②当21m 21，113m ，24即m 2时，g x max g13m1，49解得m，又m2，49故m4故只需综上，m的取值范围为m 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a f x恒成立(a f xmax 即可)或9.4a f x恒成立（a f xmin即可）；②数形结合(y f x图象在y g x上方即可)；③讨论最值f xmin 0或f xmax0恒成立.。

2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷含详解

2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一､选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分）1.设集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}2,3,4 D.{}22.若()()()1i 23i i ,a b a b ++-=+∈R ,其中i 是虚数单位,则,a b 的值分别等于（）A.3,2a b ==B.1,4a b =-= C.3,2a b ==- D.3,2a b =-=3.已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-4.不等式()20x x -<的解集是（）A.()(),02,-∞+∞B.()0,2C.()(),20,-∞-⋃+∞ D.()2,0-5.已知向量()1,a m = ，()1,2b =- ，若a b ⊥，则实数m 等于（）A.12B.12-C.-2D.26.设x ，R y ∈，则“1x >”是“0x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在空间，下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行8.下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.2y = B.u =C.y =D.2n m n=9.有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A.165B.168C.170D.17110.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.52-C.54D.1-11.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.在ABC 中，π3A =，BC =，AC =，则角B 为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π213.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A.3π2 B.3π4C.3πD.12π14.已知3log 2a =，4log 2b =，5log 2c =，则（）A.c b a>> B.c a b>> C.b a c>> D.a b c>>15.在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A.2133AB AC +B.1233AB AC +C.1122AB AC +D.1344AB AC +二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）16.若0x >，则4x x+的最小值为________________．17.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名.18.已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为___________.19.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的函数关系：2 1.02x y =⨯，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm ，体重为78kg 的未成年男性的体重状况为___________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：351.022≈）三､解答题（本大题共4小题，第20､21小题每小题8分，第22､23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）20.已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.21.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.（1）写出这个试验的样本空间Ω；（2）求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.22.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB =3，AC =4，BC =5.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求三棱柱111ABC A B C -的体积.23.已知函数2()31xf x a =+-.（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减；（2）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值.2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一､选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分）1.设集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}2,3,4 D.{}2【答案】D【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为{}1,2A =，{}2,3,4B =，所以{2}A B = ，故选：D2.若()()()1i 23i i ,a b a b ++-=+∈R ,其中i 是虚数单位,则,a b 的值分别等于（）A.3,2a b ==B.1,4a b =-= C.3,2a b ==- D.3,2a b =-=【答案】C【分析】将等式合并计算结果,求出,a b 即可.【详解】解:由题知()()1i 23i 32i i a b ++-=-=+,,a b ∈R ,3,2a b ∴==-.故选:C 3.已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-【答案】D【分析】直接根据同角三角函数关系得到答案.【详解】α为第二象限角，则3cos 5α===-.故选：D4.不等式()20x x -<的解集是（）A.()(),02,-∞+∞B.()0,2C.()(),20,-∞-⋃+∞ D.()2,0-【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】解：由()20x x -<，解得02x <<，所以不等式的解集为()0,2.故选：B5.已知向量()1,a m = ，()1,2b =- ，若a b ⊥，则实数m 等于（）A.12B.12-C.-2D.2【答案】A【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m 的值.【详解】由于a b ⊥，所以1120,2a b m m ⋅=-+== .故选：A6.设x ，R y ∈，则“1x >”是“0x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断，进而可得正确选项.【详解】若1x >可以得出0x >，但0x >得不出1x >，所以“1x >”是“0x >”的充分不必要条件，故选：A7.在空间，下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行【答案】C【分析】A.利用两直线的位置关系判断；B.利用两平面的位置关系判断；C.利用线面垂直的性质定理判断；D.利用两平面的位置关系判断.【详解】A.平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故错误；B.平行于同一直线的两个平面平行或相交，故错误；C.由线面垂直的性质定理知：垂直于同一平面的两条直线平行，故正确；D.垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故错误；故选：C8.下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.2y = B.u =C.y =D.2n m n=【答案】B【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.【详解】对于A ，函数[)20,y x x ==∈+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数；对于B ，函数R u v v ==∈，，与函数R y x x =∈，的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于C ，函数R s t t ==∈，，与函数R y x x =∈，的对应关系不同，不是同一个函数；对于D ，函数()()2,00,n m n n n==∈-∞⋃+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数.故选：B.9.有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A.165B.168C.170D.171【答案】C【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为1075%7.5⨯=，所以这组数据的第75百分位数是第8个数170，故选：C.10.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.52-C.54D.1-【答案】A【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】()112121222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A11.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；【详解】解：因为lg y x =与3y x =-在定义域上单调递增，所以()lg 3f x x x =+-在定义域()0,∞+上单调递增，又()1lg11320f =+-=-<，()2lg 2231lg 20f =+-=-+<，()3lg 333lg 30f =+-=>，即()()230f f ⋅<，所以()f x 的零点位于()2,3内；故选：C12.在ABC 中，π3A =，BC =，AC =，则角B 为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【答案】B【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】由正弦定理得=sin sin BC AC A B，即sin 32B =，解得sin B =由于BC AC >，所以π3B <为锐角，所以π4B =.故选：B13.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（） A.3π2B.3π4C.3πD.12π【答案】C【分析】先求得球的半径，进而求得球的表面积.，所以球的直径322R R ==，所以球的表面积为24π3πR =.故选：C14.已知3log 2a =，4log 2b =，5log 2c =，则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b a c>> D.a b c>>【答案】D【分析】根据对数函数在同一坐标系中作函数245log ,log ,log y x y x y x ===的图象，结合图象即可比较函数值大小.【详解】解：如下图，作函数245log ,log ,log y x y x y x ===的图象由图可知，当2x =时，345log 2log 2log 2>>，即a b c >>.故选：D.15.在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A.2133AB AC +B.1233AB AC +C.1122AB AC +D.1344AB AC +【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】23AD AB BD AB BC=+=+()212333AB AC AB AB AC =+-=+ .故选：B二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）16.若0x >，则4x x+的最小值为________________．【答案】4【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】40,4x x x >+≥=，当且仅当4,2x x x==时等号成立.故答案为：417.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名.【答案】98【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.【详解】由已知得，男生与女生的比例为：51:49，根据分层抽样的定义，女生应该抽取的人数为：4920098100⨯=（人）故答案为：9818.已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为___________.【答案】13【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】由于2ππ22c cos os 124αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22π1π1sin 22cos 1cos 4343ααα⎛⎫⎛⎫=--=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1319.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的函数关系：2 1.02x y =⨯，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm ，体重为78kg 的未成年男性的体重状况为___________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：351.022≈）【答案】偏胖【分析】根据题意得到身高为175cm 的未成年男性平均体重，然后得到平均体重的1.2倍，最后比较大小即可.【详解】由题意得身高为175cm 的未成年男性平均体重为()51753521.022 1.0264⨯=⨯≈kg ，而641.276.878⨯=<，所以该男性体重偏胖.故答案为：偏胖.三､解答题（本大题共4小题，第20､21小题每小题8分，第22､23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）20.已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.【答案】（1）π（2）()f x ，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）利用辅助角公式化简()f x 的解析式，然后根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.【小问1详解】()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】由（1）得()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当()πππ22π,πZ 428x k x k k +=+=+∈时，()f x 取得最大值，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.21.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.（1）写出这个试验的样本空间Ω；（2）求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.【答案】（1）()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .（2）310【分析】（1）直接写出样本空间即可；（2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率.【小问1详解】试验的样本空间Ω为：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .【小问2详解】抽取的2支圆珠笔都是一等品有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 3种情况，故概率310p =.22.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB =3，AC =4，BC =5.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求三棱柱111ABC AB C -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】(1)由1AA ⊥平面ABC 可得1AA AB ⊥，勾股定理可证AC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可证结论.(2)由异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求出1AA ，再由体积公式计算三棱柱111ABC AB C -的体积.【小问1详解】1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，有1AA AB ⊥.AB =3，AC =4，BC =5，有222AB AC BC +=，由勾股定理得AC AB ⊥.1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11ACC A ，∴AB ⊥平面11ACC A 【小问2详解】由11//BB AA ，异面直线1BB 与1AC 所成的角即为1∠AA C ，130AA C ∠= ，又1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴1AA AC ⊥，则1tan 30AC AA = ，得1AA =1134622ABC S AB AC =⋅=⨯⨯=△，所以三棱柱111ABC A B C -的体积16ABC V S AA =⋅=⨯= .23.已知函数2()31x f x a =+-.（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减；（2）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值.【答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）设任意12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，然后计算12()()f x f x -，通过化简变形从而确定符号，根据函数的单调性的定义可得结论；（2）先求函数的定义域，然后根据奇函数的定义建立等式关系，即可求出实数a 的值.【小问1详解】证明：设任意12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，则211212*********(33)()()31313131(31)(31)x x x x x x x x f x f x a a --=+--=-=------，因为12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，所以2121330,310,310x x x x -<-<-<，则21122(33)0(31)(31)x x x x -<--，也即12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，又因为12x x >，所以函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，【小问2详解】要使函数2()31x f x a =+-有意义，则有310x -≠，所以函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，若函数()f x 是奇函数，则()()0f x f x -+=，即22223031313113xx x x xa a a a -⋅+++=+++=----，解得：1a =，所以实数a 的值为1.。

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)07

2021年普通高中学业水平考试科合格性考试数学仿真模拟卷07（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知234x -=，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 1．【解析】由题意，可知234x-=，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．【答案】A2．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1，1} 2.【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ．【答案】C3．已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33.【解析】本题考查函数的奇偶性．令x ＝－1可得f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C ．【答案】C4．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3C ． 3D ．14.【解析】利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r ＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.【答案】B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 5.【解析】由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B ．【答案】B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．46.【解析】(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 【答案】C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b7.【解析】∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－A ． ∴－a <b <0<－b <A ．【答案】C8．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数8.【解析】因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A ．【答案】A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．149.【解析】由不等式组，作出可行域如下：在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9. 【答案】C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－710.【解析】利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 【答案】D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( ) A ．x ＋4x ≥4 B ．x ＋4x ≤4 C ．x ＋4x ≥8 D ．x ＋4x ≤8 11.【解析】由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A ．【答案】A12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．312.【解析】由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D ．【答案】D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．825 D ．92513.【解析】从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25. 【答案】B14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸14．【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5+a 6+a 7+a 8＝32，S 7所以解可得，a 1＝，d ＝﹣1．故a 10＝【答案】D ．15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.【解析】在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z ＝2x ＋y 过点B (2，0)时，z 最大，所以z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值4.故选D ．【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上) 16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________． 16.【解析】f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 【答案】－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 17.【解析】设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．【答案】2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．18.【解析】由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 【答案】97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．19.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.【答案】α2三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)S n ＝2(12)12n --＋n ×1＋(1)2n n -×2＝2n ＋1＋n 2－2. 21．(12分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ， (1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ． 21.证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又CD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面PAC ．(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2.∵CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB ． 22．(12分)如图是半径为1m 的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P ,按逆时针方向以角速度rad /s π(每秒绕圆心转动rad 3π)作圆周运动,已知点P 的初始位置为0P ,且06xOP π∠=,设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位:s )的函数,记为()y f t =.(1) 求()30,2f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,并写出函数()y f t =的解析式； (2) 选用恰当的方法作出函数()f t ,06t ≤≤的简图； (3) 试比较13131,,345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小(直接给出大小关系,不用说明理由). 22．解：(1)()10sin62f π==,()32sin cos 23662f πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭, ()sin 36y f t t ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,0t ≥.(2)用“五点法”作图,列表得：描点画图:说明:的变化过程也可给满分.(3) 13131345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)

2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)1.化简-(-1)的结果为()答案：B。

12.据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度XXX销售整车辆，数据用科学记数法表示为()答案：B。

7.006×1043.不等式2x−1>3的解集是()答案：B。

x>24.如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是()答案：B.5.如图，四边形ABCD内接于⊙x，D重合)连接xx.点P为边AD上任意一点(点P不与点A，若∠x=120°，则∠xxx的度数可能为()答案：D。

65°6.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.若设这个数是x，则所列方程为()答案：C。

3x+2x+7x+x=337.√9-1=______．答案：B。

28.因式分解：x2−2x=______．答案：x(x-2)9.计算：x−1/x−1=______．答案：110.若关于x的一元二次方程x2+3x+x=有两个相等的实数根，则c的值为______．答案：3/411.如图，已知线段xx=2xx，其垂直平分线CD的作法如下：(1)分别以点A和点B为圆心，xxx长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD．上述作法中b满足的条作为b______1.(填“>”，“<”或“=”)答案：=12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(4,0)，点P在直线y=x上，且AP=BP，过点P作直线CD交x轴于点E.若PE=2，则PE的坐标为______．答案：(2,2)增长量÷去年业务量×100%。

根据以上数据，回答以下问题：1)2016年快递业务量为______亿件；2)2018年快递业务量比2017年增长了______亿件；3)2019年快递业务量为______亿件；4)2020年快递业务量比2019年增长了______亿件；5)2016年至2017年，快递业务量的增长速度______；6)2018年至2020年，快递业务量的增长速度______．过25天完成全部接种，而乙地需要30天完成全部接种.已知甲地每天接种人数比乙地多200人，求甲地前5天平均每天接种人数.解：设甲地每天接种人数为x，乙地每天接种人数为x，则40万=5万+25x+(30−25)x40万=30x+5万解得：x=x+200则甲地前5天接种人数为5x=5(x+200)=5x+1000，平均每天接种人数为(5x+1000)/5=x+200，代入第二个式子得40万=30x+5万解得：x=所以甲地前5天平均每天接种人数为+200=人.解析】去括号与添括号是一种基本的代数运算，常用于化简和变形式子。

吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试数学(理)试题

纸刀．
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一个是符合题目要求．
1．已知集合 A x, y y 2x 1 ， B x, y y x ，则 A B （
）
A．
B．1
C．1,1
D． 1,1
2．若复数 z r cos i sin （ r 0 ， R ），则把这种形式叫做复数 z 的三角形式，其
A．2
B．1，2
C．
1 2
，2
D．
1 2
，1，2
4．已知向量
r a
1,
3
，
b
1,
3
，则下列结论错误的是（
）
A． a ∥b
C． a b 0
B． a 与 b 可以作为一组基底
D． b a 与 a 方向相反
2x y 0
5．若实数
x，y
满足
x
2
y
1
0
，则
x

y
的最小值为（
）
x 1
吉林市普通中学 2021—2022 学年度高中毕业班第二次调研测试
理科数学
本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答
题卡和试题卷一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
试卷第 3页，共 5页
16．已知函数 f x x ex 1 ln x ，则它的导函数 y f x 的零点个数为______．若存在
x 0, ，使得不等式 f x a 有解，则实数 a 的取值范围为______．

2021届吉林省普通高中学业模拟考试数学试题(五)

2020年吉林省普通高中学业考试数学试卷学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单项选择（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、设集合，则（）A ．B ．C ．D ．2、点到直线的距离是（）A ．B ．C ．D ．3、采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（）A ．B ．C ．D ．4、已知且则的终边落在( )A B ={}1,2,4,5,7{}3,4,5{}5{}2,5()1,1-10x y -+=15122325sin 0α<A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、已知，，且，则等于（）A ．B ．C ．D ．6、已知,则os 等于（）A ．B ．C ．D ．7、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A ．B ．C ．D ．8、中，若，则的面积为（）A ．B ．C ．1 D9、已知数列满足，且，那么（）A ．B ．C ．D ．10、在中,内角所对的边分别为,已知,,则（）A ．BCD ．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）()1,2a =-(),3b x =a b ⊥x 32-326-61y x =+2y x =-1y x =-y x x =ABC ∆︒===30,2,1B c a ABC ∆21233{}n a 1n n a a n +=+12a =3a =4567ABC ∆,,A B C ,,a b c o 105A =o45C =2c =b =123211、已知sinα=，则cos2α=______．12、已知向量，，，若，则__________．13、若圆锥底面半径为1，侧面积为,则该圆锥的体积是________．14、为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为______．15、已知，，，是以2为公比的等比数列，则______.三、解答题（本大题共5小题，16题6分，17题18题19题每题8分，20题10分，满分40分，解答须写出文字说明、证明过程和验算步骤）16、求满足下列条件的m 的值：(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行；(),1a x =()1,2b =()1,5c =-()2//a b c +a =[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100a b c d 22a bc d +=+(2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直．17、如图是函数的图像，求、、的值，并确定其函数解析式．18、如图，正方体中(1)求证：(2)求证：平面19、已知等差数列满足，且是的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭A ωϕ1111ABCD A B C D-1AC DB ⊥1DB ⊥1ACD {}n a 636a a =+31a -241,a a -{}n a ()11n n n b n a a *+=∈N {}n b nTn T20、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且. （1）求C ；（2）若△ABC 的面积为8，a ＝4，求b 的值.cos sin a C A参考答案1、【答案】A2、【答案】D3、【答案】D4、【答案】D5、【答案】D6、【答案】A7、【答案】D8、【答案】A9、【答案】B 10、【答案】A11、【答案】12、13、【答案】14、【答案】40 15、【答案】16、【答案】(1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等． ∴m 2－2＝－1．∴m ＝±1． (2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝.∴m ＝.14123417、【答案】，，，. 试题分析：本题首先可以根据周期计算出，然后根据最大值为以及最小值为得出，最后将点代入函数中即可求出并得出函数解析式.详解：因为周期，所以，，因为最大值为，最小值为，所以，，将点代入中，得，解得，因为，所以，. 【点睛】本题考查根据三角函数图像求函数解析式，可根据函数的周期、最值以及点的坐标来求解，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.18、【答案】试题分析：（1）利用线面垂直的结论，进而可得线线垂直结论；（2）利用线面垂直的判定定理，进而可得结论. 详解：证明：(1)连结、3A =2ω=3πϕ=3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭T π=2ω=33-3A =,312π⎛⎫⎪⎝⎭3πϕ=566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭222T ππωπ===sin 2φy A x 33-3A =()3sin 2y x ϕ=+,312π⎛⎫⎪⎝⎭()3sin 2y x ϕ=+π33sinφ6()23k k Z πϕπ=+∈2πϕ<3πϕ=3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭BD 11B D平面，平面又，，平面平面，又平面(2)由，即同理可得，又，平面平面【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的证明方法，属于基础题.19、【答案】（1）；（2）.试题分析：（1）由先求出公差，再由等比中项的性质可得，进而求出，得出通项公式；1DD ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1DD ∴⊥AC AC BD ⊥1BDDD D =1BD DD ⊂、11DBB D AC ∴⊥11DBB D 1DB ⊂11DBB D 1AC DB ∴⊥1AC DB ⊥1DB AC ⊥11DB AD ⊥1AD AC A =1,AD AC ⊂1ACD 1DB ∴⊥1ACD 21n a n =+()323nn +636a a =+()()232411a a a -=-⋅1a（2）由（1）再结合裂项公式得，采用迭加法即可求得数列的前项和详解：（1）设等差数列的公差为，所以，即，，，，又是，的等比中项，，即，解得. 数列的通项公式为.（2）由（1）得.. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，裂项法与迭加法求解数列前项和，属于中档题 20、【答案】（1）；（2）试题分析：（1）根据正弦定理得到，故，得到答案. （2），，得到答案. 详解：（1），根据正弦定理得到：，11122123n b n n ⎛⎫=-⎪++⎝⎭{}n b n T {}n a d 6336a a d -==2d =3113a a ∴-=+2111a a -=+416a a =+31a -21a -4a ()()232411a a a ∴-=-⋅()()()2111+3=16a a a ++13a =∴{}n a 21n a n =+()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭n 6π8sin cos sin A C C A =3tan C1sin 824ab S ab C ===32ab =cos sin a C A =sin cos sin A C C A =故，，故.（2），故，. 【点睛】本题考查了正弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.3tan 3C()0,C π∈6C π=1sin 824abS ab C ===32ab =8b =。

吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试(期中) 数学(理)含答案

纸刀。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题
目要求。
1. 已知集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
2. 下列函数中最小正周期为的函数的个数
①
；②
；③
A. 0
B. 1
3. 下列向量中不是单位向量的是
A.
C. 2 B.
D. 3
C.
D.
4. 为了得到函数 A. 向左平移个单位 C. 向左平移个单位
所以
是首项为，公比的等比数列.......................................8 分
所以
18【解析】（1）由题得，
...........................10 分
7
……………………………………………………4 分
令
，得
所以，函数的对称中心为
…………………………………6 分
（2）由（1）知
，因为
则两点间的最小距离为
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）
数列前项和为且
，
（I）求（II）求
的通项公式；值.
3
18．（本小题满分 12 分）
已知函数
，
（I）求函数
的对称中心；
（II）若存在
，使不等式
，成立，求实数的取值范围.
19．（本小题满分 12 分）
在
中，
分别是内⻆
的对边，
，
（I）求⻆的大小；
（II）若
，且

吉林省2021年中考数学真题试卷(解析版)

【解析】
【分析】（1）根据2016﹣2020年快递业务量统计图可得答案；
（2）根据中位数的意义，将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；
（3）利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．
【详解】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，
（2）如图②中，此时底，高，因此四边形即为所求．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．
20.2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．
2016﹣2017年快递业务量增长速度统计表
【答案】
【解析】
【分析】根据判别式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等实数根，
∴ ，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
∴半径长度，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．
12.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质可求得和的长度，进而可求得点的坐标．
【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为．

吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试文科数学试题含答

3
……………………………………………………4 分
32
令 2x − π = kπ (k ∈ Z ) ，得 x = kπ + π (k ∈ Z )
3
26
所以，函数 f (x) 的对称中心为 ( kπ + π , 3 ) (k ∈ Z ) …………………………………6 分 2 62
(2)
因为存在
x0
∈[π 4
D. 3
D.
|
aρ aρ
|
(|
aρ|≠
0)
4. 为了得到函数 y = cos(1 x + π ) 的图象，可将函数 y = cos 1 x 的图象
24
2
π
A. 向左平移个单位
4
π
B. 向右平移个单位
4
π
C. 向左平移个单位
2
π
D. 向右平移个单位
2
5. 设角α 的始边为 x 轴非负半轴，则“角α 的终边在第二、三象限”是“ cos α < 0 ”的Leabharlann 7C．25
D． 0
ln x,
12.
已知函数
f (x) =
xe
x
,
x x
≥1 , g(x)
<1
=
kx +
f
′(2) ，对 ∀x1 ∈ R, ∃x2
∈[−3,3] ，使得
f ( x1 ) ≥ g( x2 ) 成立，则 k 的取值范围是
A.
(−∞,−
1
−
1 ]
3e 6
B. [ 1 + 1 ，+ ∞) 3e 6
22. （本小题满分 12 分）

吉林市2021届数学高二上学期期末学业水平测试试题

吉林市2021届数学高二上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．若，则下列结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．2．某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（） A ．1260 B ．1230 C ．1200 D ．1140 3．已知点(2,0,1)A ，(4,2,3)B ，P 是AB 中点，则点P 的坐标为（）A.(3,1,2)PB.(3,1,4)PC.(0,2,1)P --D.(6,4,5)P4．已知集合，若，则为（）A ．B ．C ．D ．5．记集合(){}22,|16A x y x y =+≤，集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为（） A ．24ππ- B ．324ππ+ C ．24ππ+ D ．324ππ-6．设，则是的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在中，若，则是（）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.4,则本次比赛甲获胜的概率是（） A.0.216B.0.36C.0.352D.0.6489．与命题“若x 3=，则2x 2x 30--=”等价的命题是( ) A.若x 3≠，则2x 2x 30--≠ B.若x 3=，则2x 2x 30--≠ C.若2x 2x 30--≠，则x 3≠D.若2x 2x 30--≠，则x 3=10．函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（） A.6π B.3π C.4π D.23π 11．数学老师给出一个定义在R 上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质: 甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增; 丙:函数f(x)的图象关于直线x=1对称；丁: f(0)不是函数的最小值．老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁12．对于函教,以下选项正确的是( )A.1是极大值点B.有1个极小值C.1是极小值点D.有2个极大值二、填空题13．已知函数2()'(1)2x f x f e ex x =+-，则'(1)f =__________．14．如果正方形ABCD 的边长为1，那么等于______________15．已知函数122,2()(12),2x x f x log x x -⎧<-⎪=⎨-+-⎪⎩…，且()4f a =，则()f a -=___．16．已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若12.0MF MF <，则0y 的取值范围是_______________．三、解答题17．某高校进行社会实践，对岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在岁，岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的、. （1）求岁与岁年龄段“时尚族”的人数；（2）从岁和岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队．求领队的两人年龄都在岁内的概率。

吉林省长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第三学程考试(期末)数学试卷

长春市十一高中2021—2022学年度高二上学期第三学程考试数学试题注意事项：1.本试卷共22小题，满分150分.2.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共 80 分）一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法错误．．的是（） A. 设b a ,是两个空间向量，则b a ,一定共面B. 设b a ,是两个空间向量，则a b b a ⋅=⋅C. 设c b a ,,是三个空间向量，则c b a ,,一定不共面D. 设c b a ,,是三个空间向量，则c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(2.如果,0,0>>BC AB ，那么直线0=--C By Ax 不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若直线1=+by ax 与圆122=+y x 有两个公共点，则点),(b a P 与圆的位置关系是（）A.点P 在圆上B.点P 在圆外C.点P 在圆内D.以上都有可能4.河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的2倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是16，则该洞窟的浮雕像的总个数为（）A.1016B.512C.128D.1024 5. 若双曲线1422=+ky x （k 为非零常数）的离心率是5，则双曲线的虚轴长是（） A.6 B.8 C.12 D.166. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若48,24654==+S a a ，则{}n a 的公差为（）A.1B.2C.4D.87.已知平面{}0|0=⋅=P P n P α，其中点)3,2,1(0P ，法向量)1,1,1(=n ，则下列各点中不在平面α内的是（）A.)1,2,3(B.)5,4,3(-C.)4,5,2(-D.)8,4,2(-8.已知圆0626:22=+--+y x y x C 上存在两个关于直线)(01:R a ay x l ∈=-+对称的点，过点),3(a P -作圆C 的一条切线，切点为A ，则=||PA （）A.41B.34C.7D.1029. 已知数列{}n a 满足21=a ，n n n a a )1(1-=++，则数列{}n a 前2021项和为（） A.1011- B.1010- C.1011 D.101210.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 作一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，垂线l 与另一条渐近线相交于点B .若A 是线段FB 的中点，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.3D.2二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.11．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，下列结论一定成立的是（）A ．若30a >，则20210a >B ．若40a >，则20210a <C ．若30a >，则20210S >D ．若40a >，则20210S >12.已知A 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的上顶点，以A 为圆心，a 为半径的圆与E 的长轴相交于,B C 两点，与E 相交于,M N 两点.下列说法正确的是（）A ．22||2BC a b =-B ．||||||||BM BN AB AC +=+C ．若90BAC ∠=，则椭圆的离心率为22D ．若120BAC ∠=，且2b =，则NBC ∆的面积为233 第Ⅱ卷（共 70 分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，已知四面体,,OABC M N 分别是,BC OA 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，则用,,a b c 表示向量MN = .14.某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，一条木船宽4m ，木船露出水面上的部分高为0.75m .水面上涨到与抛物线拱顶相距米时，木船不能通过. 15.椭圆1204522=+y x 的一个焦点是F ，过原点O 作倾斜角为锐角的直线与椭圆相交于B A ,两点，若ABF ∆的面积是20，则直线AB 的方程是 .16.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}457,,10,0a S S ∈-，则n S 的最小值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上的点)52,(m P 到焦点F 的距离为6．（1）求m 的值及抛物线C 的标准方程；（2）若50<<p ，点Q 为抛物线C 上一动点，点M 为线段FQ 的中点，试求点M 的轨迹方程．18.（12分）某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.（1）若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润?（2）若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目?19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B BCC 为正方形，M ，N 分别是11A B ，AC 的中点，AB ⊥平面BCM . （1）求证：1//A N 平面BCM ；（2）若11A ABB 是边长为2的菱形，求直线1A N 与平面1MCC 所成角的正弦值.20．（12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2,111-==+n n a S a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log 12+=n n n a b ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T .21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的中心是坐标原点O ，左右焦点分别为12,F F 设P 是椭圆C 上一点，满足2PF x ⊥轴，212PF =，椭圆C（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求2ABF ∆内切圆半径的最大值.（参考公式：已知ABC ∆的三边分别是c b a ,,，且内切圆的半径是r ，则ABC ∆的面积 )(21c b a r S ABC ++=∆） 22．（12分）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意*N n ∈，都有323+=n n S a ，数列{}n b 是等差数列，131log a b =，且3,1,5642-++b b b 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记)(2,12,*2N k k n b k n a c n n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=-==，（i ）求数列{}n c 的前n 项和n T ；（ii ）求∑=+n k k k cc 211．。

吉林市名校高中2021届高一数学上学期期末学业水平测试试题

吉林市名校高中2021届高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．已知函数241y x x =-+的定义域为[]1,t ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t 的取值范围是（）A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2,3)2．若函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩单调递增，则实数a 的取值范围是（） A.9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.()2,3 C.()1,3 D.9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．若函数()()()()lg 1lg 3lg f x x x a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是A ．13a <?或134a =B ．1334a ≤<C ．1a ≤或134a =D ．134a > 4．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，侧面对角线1AB ，1BC 上分别有一点E ，F ，且11B E C F =，则直线EF 与平面ABCD 所成的角的大小为（）A.0°B.60°C.45°D.30° 5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角形有两解的为( )A ．a ＝8B ．a ＝9C ．a ＝10D ．a ＝116．已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．112-或 7．已知tan α=3，则2162cos cos αα+=（） A ．2B ．2-C ．3D ．3- 8．已知m ，n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，有以下四个结论：若，，则；若，，，则；若，，则；若，，则以上结论正确的个数 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图，网格纸上正方形小格边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A6B．8+C．6+D．6+10．已知0>ω,函数()sin f x x ω=在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有9个零点，则ω的取值范围是（） A ．[)16,20 B ．[)16,+∞ C ．(]16,20 D ．(0,20)11．设0.22a =，20.2b =，0.2log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<12．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）A ．至少有一次中靶B ．只有一次中靶C ．两次都中靶D ．两次都不中靶二、填空题13．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若过A 作AD BC ⊥于点D ，连接PD ，那么从P ，A ，B ，C ，D 这五个点中任取三点共能构成______个直角三角形．14．已知函数()21log x ,0x 42f x 11x ,x 42⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，若存在实数a ，b ，c ，满足()()()f a f b f c ==，其中0a b c <<<，则abc 的取值范围是______．15．若x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________． 16．在中，，，，则__________．三、解答题17．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AB AD =，记CAD α∠=,ABC β∠=.（1）证明sin cos 20αβ+=；（2）若AC =，求β的值.18．已知，且，（1）求，的值；（2），求的值。

吉林省长春市十一高中2021学年下学期高二年级第三学程考试数学试卷(理科)

A．5B．10C．50D．100
5．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种
A．48B．72C．78D．84
6．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为（）
∵ 平面，平面；
∴ 平面；
（2）以C为原点，，，分别为轴，y轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
，，，设，其中；
则，，，
平面的法向量，平面的法向量；
∴ ，．
19．
（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）表格答案见解析，有的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关
（2）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为标准式为（t为参数），
代入y2＝4，
得到：，
所以，．
故．
23．（1）；（2）
【解析】（1）由与围成的区域是，如图所示，
其中，，，
所以，到直线的距离为3，
故所求面积为
（2）因为，，且，
所以，即，
若不等式恒成立，则有，
A． B． C． D．
7．已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示：
1
2
3
4
5
若，则的值大约为（）
A．B．5.74C．D．
8已知平面向量，的夹角为，且对任意实数，恒成立，则（）
A． B． C． D．
9．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，可近似计算 ≈，发出的激光波长为（），某次检验中可测频移范围为（）至（），该高铁以运行速度（至）经过时，可测量的概率为（）