八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷培优测试卷

八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷培优测试卷

一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．

【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜

103)；（2）1769

或32 【解析】

【分析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．

【详解】

（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H

∵∠C=45°，DH ⊥BC

∴△DHC 是等腰直角三角形

∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°

∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8

∴BH=BC －HC=6

∴AD=6

（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G

∵EF ∥AD,∴EF ∥BC

∴∠EFP=∠C=45°

∵EP ⊥PF

∴△EPF 是等腰直角三角形

同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形

∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x

∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162

x + 同理，PR=

12y ∵AB=8，∴EB=8－x

∵EB=QR

∴8－x=

()11622

x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103

当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值

则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1

∴1≤x ＜103

（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=

83=AE

∴188176662339

ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：

与（2）相同，可得y=3x －10

则当y=2时，x=4，即AE=4

∴()16644322

ABCD S =

⨯++⨯=梯形 【点睛】

本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．

2．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.

(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；

(2)如图2，若点A 的坐标为()

23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-化，请说明理由；

(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-；（3）EN=

12

(EM-ON)，证明见详解. 【解析】

【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；

（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-.

（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出

∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12

(EM-ON).

【详解】

（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,

∴∠AQC=90°

, ∵ABC △为等腰直角三角形，

∴AC=AB,∠CAB=90°

, ∴∠QAC+∠OAB=90°,

∵∠QAC+∠ACQ=90°,

∴∠ACQ=∠BAO,

又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,

∴AQC BOA ≅(AAS),

∴CQ=AO,AQ=BO,

∵OA=2,OB=4,

∴CQ=2,AQ=4,

∴OQ=6,

∴C(-6,-2).

(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,

∴∠B PD=90°,

∵ABD △是等腰直角三角形，

∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°,

∴∠ABO=∠BDP ,

又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,

∴AOB BPD ≅

∴AO=BP ,

∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()23,0-,

∴OA=3

∴m+n=23

∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23

∴整式2253m n +-3-

（3）()12

EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.