八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷测试与练习(word解析版)

八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷测试与练习（word 解析版）

一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

1．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.

理解：

（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；

（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；

在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；

应用：

（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.

【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°

【解析】

【分析】

（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；

【详解】

解：（1）∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C ，

∵BD=BC=AD ，

∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，

设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=

°180-

2

x

可得

°

180-2

2

x x

∴x=36°

则∠A=36°；

（2）如图所示：

（3）如图所示：

①当AD=AE时，

∵2x+x=27°+27°，

∴x=18°；

②当AD=DE时，

∵27°+27°+2x+x=180°，

∴x=42°；

综上所述，∠C为18°或42°的角．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．再读教材:

宽与长的比是5-1

约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.

世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)

第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.

第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.

第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，

第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，

问题解决:

（1）图③中AB=________(保留根号);

（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;

（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.

（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.

【答案】（1）5；(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.

【解析】

分析：（1）由勾股定理计算即可；

（2）根据菱形的判定方法即可判断；

（3）根据黄金矩形的定义即可判断；

（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．

详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB=22

+=22

AC BC

+=5．

12

故答案为5．

（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：

如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．

∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．

（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．

∵AD =5．AN =AC =1，CD =AD ﹣AC =5﹣1．

∵BC =2，∴

CD BC =512-，∴矩形BCDE 是黄金矩形． ∵MN DN =215+=512

-，∴矩形MNDE 是黄金矩形． （4）如图④﹣1中，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使得四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所求是黄金矩形．

长GH =5﹣1，宽HE =3﹣5．

点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．

3．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，ABC ∆是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ∆的一条特异线，则BDC ∠= 度．

（2）如图2，ABC ∆中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，求证：AE 是ABC ∆的一条特异线；

（3）如图3，若ABC ∆是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．

【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B 度数为：135°、112.5°或140°.