题型最全的递推数列求通项公式的习题

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题型最全的递推数列求通项公式的习题之欧阳体创编

高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

变式:已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

例2:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+)1(≥n ，求n a 。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥类型3q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________ 变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈ 类型4n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

.专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。

三、典例精析1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。

常用的公式有 a nS 1 S nSn 1等差数列和等比数列的通项公式。

例 1已知数列 { a n } 中 a 1 2 ， s nn 2+2 ，求数列 { a n } 的通项公式n 1及n 2评注在运用 a n s n s n 1 时要注意条件 n 2 ，对 n=1 要验证。

2、累加法：利用恒等式 a n a 1 a 2 a 1 +......+ a n a n 1 求通项公式的方法叫累加法。

它是求型如an 1a n +f n 的递推数列的方法（其中数列 f n 的前 n 项和可求）。

例2已知数列{ a n } 中 a 1 1 a n +1 ，求数列 { a n } 的通项公式， a n 12 +3n2 n 2评注此类问题关键累加可消中间项，而f ( n ）可求和则易得 a n 3 、 . 累乘法：利用恒等式 a n a 1a 2a 3 a n a n 0 求通项公式的方法叫累乘法。

它是求型如a 1 a 2a n1an 1g n a n 的递推数列的方法数列 g n可求前 n 项积例 3已知数列{a n} 中s n 1 na n，求数列{ a n} 的通项公式评注此类问题关键是化a ng n ，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。

a n14、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。

专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

三、典例精析1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。

常用的公式有 a nS 1 S nSn 1等差数列和等比数列的通项公式。

例 1已知数列 { a n } 中 a 1 2 ， s nn 2+2 ，求数列 { a n } 的通项公式n 1及n 2评注在运用 a n s n s n 1 时要注意条件 n 2 ，对 n=1 要验证。

2、累加法：利用恒等式 a n a 1 a 2 a 1 +......+ a n a n 1 求通项公式的方法叫累加法。

它是求型如an 1a n +f n 的递推数列的方法（其中数列 f n 的前 n 项和可求）。

a n14、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。

题型最全的递推数列求通项公式的习题

高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

例2:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题k=1，则an+1=an+f(n)为一阶线性递推数列，可用递推公式或特征方程求解。

例如已知a1=1，an+1=an+1/n，则有：an+1-an=1/nan-an-1=1/(n-1)an-a1=1+1/2+。

+1/n-1an=1+1/2+。

+1/n当k≠1时，设an+1+m=k(an+m)，则有：an+1=kan+km-m比较系数得km-m=b，解得m=b/(k-1)an+m=b/(k-1)k^(n-1)+(a1-b/(k-1))k^n-1即为通项公式。

例2]an+1=kan+f(n)型。

当k=1时，an+1-an=f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法求得通项公式。

例如已知a1=1，an+1-an=1/(n(n+1))，则有：an+1-an=1/n-1/(n+1)an-an-1=1/1-1/2-1/2+1/3+。

+1/(n-1)-1/n-1/(n+1)an-a1=1-1/(n+1)an=2-1/n当k≠1且f(n)=an+b时，可设an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B)，解得A=a/(k-1)，B=(2k-1)/(k-1)b-a，即可得通项公式。

例3]an+1=f(n)an型。

若f(n)=q(n+1)/n，则有：Cn=qCn-1Cn=q^nC0an=Cn/n!=q^nC0/n!即为通项公式。

1.已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}$，求 $a_n$。

解：根据递推式，可以列出 $a_2=3$，$a_3=7$，$a_4=15$，$a_5=31$，$a_6=63$，$a_7=127$，$\cdots$，可以猜测 $a_n=2^n-1$。

可以用数学归纳法证明：当 $n=1$ 时，$a_1=1=2^1-1$，假设 $a_k=2^k-1$，则 $a_{k+1}=a_k+2a_{k-1}=2^k-1+2\cdot 2^{k-1}-2=2^{k+1}-1$，所以 $a_n=2^n-1$。

由递推关系求数列通项公式的几种方法

∴ an +1 = 3an + 2 x与已知an +1 = 3an + 1 比较得
1 1 解：Qan+1 = 3an +1 ∴an+1 + =（an + ） 3 2 21 an+1 + 1 2 =3 Qan + ≠ 0 ∴ 1 2 1 an + ∴{an + }是等比数列 , 2 2 1 1 n−1 3n −1 ∴an + = (a1 + ) ⋅ 3 ∴an = (n ∈N*) 2 2 2
然后用数学归纳法证明
小结: 小结
到了什么? 1.这节课我学 2.我还有哪些疑问? 3.我有什么新想法新发现? ,
作业:1.复习作业复习 2.进行等差数列等比数列的知识梳理进行等差数列,等比数列的知识梳理 3.做卷子其中例做卷子.其中例其中例1(3)(8)选做选做
1.形如an+1 − an = d(d为常数）等差型
a2 2 解： = a1 1 a3 3 = a2 2 a4 4 = a3 3
5 .形 an+1 = f（） n 如 n ⋅a
迭乘法
an 2 3 4 n −1 n ∴ = ⋅ ⋅ L ⋅ a1 1 2 3 n − 2 n −1
Mn an × a = n − 1 (n ≥ 2) ∴an = n (n ∈N*) n −1
2.形如an+1 = q ⋅ an (q为常数）
等比型
5 2 课课练P 44 / 12同学们做到 an = an −1 (n ≥ 2) 3 3
an 2 Q an −1 ≠ 0 ∴ = ( n ≥ 2) an −1 5
3 2 ∴{an }是等比数列, 首项a1 = , 公比q = 5 5

用递推公式求数列通项公式的方法及数列求和的方法精讲与练习(含答案)

数列的通项公式的求法一、观察法（即猜想法，不完全归纳法）观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系例1：根据数列的前4，写出它的一个通项公式：9,99,999,9999，......二、公式法若已知数列的前n 项和与项数n 的关系，求数列的通项公式可用公式法求解。

)1()2(111==≥-=-n S a n S S a n n n例2：}{n a 的前n 项和n S ，求}{n a 的通项公式。

三、由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。

1.迭加法已知递推关系)(),(*1N n n f a a n n ∈=-+例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.迭乘法已知递推关系是)(),(*1N n n f a a nn ∈=+ 例4：已知数列}{n a 中，n n a nn a a 1,211+==+，求}{n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、待定系数法例5 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、数学归纳法例6 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =，得 2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯ 由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。

由递推公式求数列通项公式常见题型及解法

由递推公式求数列通项公式常见题型及解法对于由递推公式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推公式变形,转化成等差数列或等比数列加以解决,也可以通过构造法把问题转化后予以解决.下面分类举例说明.一,%+l=%+-厂(n)型累加法:%=(一%～1)+(n一l一%一2)+…+(oa一.I)+nl=-厂(n一1)+_厂(n一2)+…+f(1)+01.例1在数列{}中,已知+=,=2,求通项公式.解:已知递推式化为…_l__一:+%+12+I’又tan(a+c)=号,tanAtanC=2+厂,tanA+tanC=3+,/一.由IanA+tanc=+,[tanAtanC=2+,v/3.解得tanA=1,tanC=2+,/丁或tanA=2+,/,tanC=1.所以A=45.,B=60.,C=75.或A=75o.B=60..C=45..当=45咐,.=8c==8,6=Ac=每=4,c=4+4_当=75.时,.=8,b=4,厂一(x/一1),c=8(,/一1).【解题反思】此题将三角形,正弦定理,三角形内角和,方程思想等知识巧妙24基础教育论坛[2011年第2期j即一--1=1,%+1’所以一1=1,l:1,啦Z啦Z111111啦劬一2’’一l一2n’将以上(n一1)个式子相加,得1一1=_2211l+..’1,—_22”‘即an=争++寺++…+一(一一.21一所以=一=.2练习:已知数列{%}满足n.=1,+.=n+2n(孔∈N).求血,结合,对学生的综合能力的运用是一个很大的考验,只有熟练掌握了三角的基本公式和基本方法技巧,才能运用自如,完整解答问题.三,有益的启示《考试说明》明确提出:要在”突出数学基础知识,基本技能,基本思想方法的考查”的同时,”重视数学基本能力和综合能力的考查”,”注重数学应用意识和创新意识的考查”,由此可见,坚持和加强在知识的交汇点处命题势在必行.在知识的交汇处命题,一方面数学学科知识之间的纵横交融,渗透综合的鲜明特点,将正,余弦定理与向量,解析几何,立体几何,数列,不等式,数列,方程等重要知识有效交汇于一体;另一方面,可有效考查学生的各类方法技能和重要数学思想的合理运用,把对学生的数学思维能力和综合应用能力的考查融合在对学生双基考二,+l=_厂(n)?型累积法:=—旦L?上…??塑?c—l(一2nl.,所以=-厂(n一1(n一2(n一3)一1)01.例2求数列.t=_『1,%=_}.%一(n≥2)的通项公式.解:当n≥2时,=堕?盟?a4…??L.al0l啦%一1【即%=面可×}:一4,l2—1’当n=l,=}=所以r(n∈N+)?查之中,因此我们必须高度重视,积极应对.数学知识交汇题,一般具有背景清晰且内涵丰富,新颖脱俗且思路灵活的特点,这就需要我们在熟练掌握数学基础知识和基本技能的基础上,深刻理解题意, 洞察内在联系,准确选择方法,要依据题设条件,合理进行变换,灵活进行转化,严谨完善解题.正弦定理,余弦定理在高考中,一般不单设试题,而是融于其他知识当中去考查,学生学习中应重视四大数学思想方法的培养.在运用定理时,要注重与其他知识的交汇,多角度联想,观察和分析问题,教师要教给学生学习的方法, 让学生学会学习,真正做到与其他知识融会贯通,切实提高学生分析问题,解决问题的能力,,促进其思维能力的发展和提高.练习:已知数列{吼}满足土上_=n (11,∈N+),ot=l,求n,1.三,%+I--,pa~+叮型方法:1)+小t?),.’,再根据等比数列的相关知识求(2)+.～%=p(%一an一)再用累加法求.(争一,先用累加法求争,再求?例3在数列{}中,a.=1,当n≥2时,有%=3一1+2,求.解法1:设+A=3(%l+A),即有=3～1+2A,对比=3l+2,得A=1.于是%+I=3(1+1),数列{+}是以a.+l=2为首项,以3为公比的等比数列,所以有=2?3一1.解法2:由已知递推式,得%+l=3%+2,%=3a.一l+2(n≥2).上述两式相减,得%+l～:3(%一%一1),因此,数列{%+.一nJl}是以o.2一a=4. 为首项,以3为公比的等比数列.所以+l一=4?3’,即3一%=4?3,所以%=2?3’1.练习:已知{}的首项n.=n(a为常数),;2a.一1(n∈N+,n≥2),求‰四,%+l=p%+/(n)型例4设数列{}满足,a=1,=一一J+2n一1(n≥2),求通项公式%.解:设6=+An,+曰,则%=b一An—B,%一l=6一l—A(一1)一B,所以b一An—B=an=1[6-I--A(n一1)一B]+2n一1,即b=1b—j+(A+2)n+(}A+一-).设所以b=16且b=%一4n+6.厶由于il6}是以3为首项,以为公比的等比数列,所以有b=3丁._由此得:一;:十4n.6.【说明】通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构,经过变形与比较,把问题转化成基本数列(等差或等比数列). 五,+f:p%+q型例5已知b≠O,b≠士1,伪=,=了’+-+(n≥2),写出用/1,和b表示%的通项公式,解:将已知递推式两边乘以(1+6)”,得(1+6)=6(1+6)’an+l+,又设‰=(1+6),于是,原递推式化为n=bxT,仿类型三,可解得%=b—b=‘故%:.【说明】对于递推式+.=p+g,可两边除以q’,得争+上争’争,引入辅助数列6争,得n+争6n+,然后可归结为类型三.g六,+2p%+j+口型方法:待定系数法,设%+.一衄(一一%),构造等比数列.例6已知数列{}中,=1啦=2,+=++,求%.解:在%+2=%+l+两边减去+l,得%+2一+I:一一(+l一).所以{%+一%{是以02一n.=l为首项,以一为公比的等比数列.所以%+一=(一})..令E式=1,2,3,:一.(一1),再把这(n一1)个等式累加,得%一o=1 (一})+(_丁1)+?+(一})一=囊[1(一】.以;1哼((一}-11..t:,线性分式型..例7.(倒数法)已知数列{}中,a.: },+J=打,求{}的通项公式-解:j一::+2,所以{}是以为-NN,公差为2的等差数列,即l_:丁5+2(一1):,jj所以丁?练习:已知数列{}中,a.=1,=精,求{%}的通项公式?解.=}:击,所以f专}是以1为首项,公差为2的等差数列.所以=l+2(一1)_2,卜l,即Sn?所以=一一丁一1一=一fl(,n=1),删{2n1一2n3(.1一一…等差,等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而考查的目的在于测试学生灵活运用知识的能力,这个”灵活”往往集中在”转化”的水平上.转化的目的是化陌生为熟悉,当然首先是等差,等比数列,根据不同的递推公式,采用相应的变[2011年第2期]基础教育论坛●_’r4:=A得解Il,l0一扛一2++A一2A一2。

由递推公式求通项公式练习

高三数学——由数列的递推公式求通项公式课堂例题：例题1. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1n +2＋n +1，求a n .例题2. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1a n= nn +1，求a n .反馈练习：1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n (n ∈N 且n ≥2)，则通项a n ＝．2. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝ ________．3. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1a n=2n ，则通项a n ＝ ________．4.已知数列{a n }满足a 1＝254，a n ＋1－a n ＝2n ，当n ＝________时，a nn 取得最小值．课堂例题：例题3. （1）已知a 1=1，a n =3a n -1+2，则a n = ；（2）已知a 1＝1，a n ＝a n －13a n －1＋1(n ∈N 且n ≥2)，求a n 。

例题4.已知数列{a n }中，a 1=2,前n 项和S n ，若S n =n 2a n ，求a n .反馈练习：1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝23a n －1＋1 (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝________．2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n =2a n -1＋2n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝________．3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1a n －1＋2(n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝________．高考演练：1．（2018，全国卷Ⅰ，17）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． ⑴求123b b b ，，；⑵判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； ⑶求{}n a 的通项公式．2．（2017，全国卷Ⅲ，17）（12分）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.（1）求{}n a 的通项公式；3.（2016，全国卷Ⅲ，17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列满足，.（I ）求；（II ）求的通项公式.4. （2014，大纲卷，17）（本小题满分10分）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.{}n a 11a =211(21)20n n n n a a a a ++---=23,a a {}n a。

数列专题1递推公式求通项公式(练习)

递推公式求通项公式作业1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（）A ．14-=n a nB ．223++-=n n n a nC ．12++=n n a nD ．不存在 2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3-3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，*n N ∈都有2123n a a a a n ⋅⋅= ，则35a a +=（）A.1661B.925C.1625D.1531 4．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是（）A ．289B ．1024C ．1225D ．1378 6．数列}{n a 中，)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（） A ．231-n B ．231+n C ．321-n D ．321+n 7．数列}{n a 中，若)(2)13(1+∈-=N n a S n n ，且544=a ，则1a 的值是________. 8．已知数列}{n a 满足21=a ，+∈∀N n ，0>n a ，且0)1(2112=-++++n n n n na a a a n ，则数列}{n a 的通项公式是=n a ____ __。

9．已知数列}{n a 的首项11=a（1）若11n n a a n +=++，则n a =_________；（2）若112n n n a a ++=⋅，则n a =_______ （3）若1)1(++=n n a n na ，则n a =______；（4）若)2(231≥+=-n a a n n ，则n a =________；（5）若11nn n a a a +=+，则n a =_______;（6）122(2),_______.nn n n a a n a -=+≥=若则10.设正数数列{}n a 满足21=a，n a =n ≥2），求数列{}n a 的通项公式。

递推法(迭代法)求数列通项

1 高二数学递推法（迭代法）求数列通项例1、设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()()22*11n+10n n n n a na a a n N ++-+=∈，求数列的通项公式.解：由题意知11,0n a a =>，将条件变形，得()()1110n n n n a a n a na ++++-=⎡⎤⎣⎦，又0n a >，得10n n a a ++≠，所以11n n n a a n +=+，即11n n a n a n +=+，到此可采用: 法一（递推法）：121112121112n n n n n n n n a a a a n n n n n -------==⋅==⋅⋅⋅--，从而1n a n =. 法二（叠成法）：12121121,12n n n n a a a n n a a a n n -----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-所以1n a n= . 法三（构造法）：由11n n a n a n +=+，得()1n+11n na na +=，故{}n na 是常数列，1111,n n na a a n =⨯=∴=. 点拨：解法一是迭代法，这是通法；解法二是叠乘法，适合由条件()1n n a f n a -=求通项的题型；解法三是构造法（简单+经典），根据条件特点构造特殊数列求通项，技巧性较强，体现了转化思想.例2、已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．解：由已知，得（两边除以1n 3+），得1n n n 1n 1n 31323a 3a +++++=，即1n n n 1n 1n 31323a 3a ++++=-，故11221122111()()()333333n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ------=-+-++-+122121213()()()3333333n n -=+++++++ 1)3131313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=-- ， ∴n 1n n n n 321213n 2131)31(313)1n (23a ⋅-+=+--⋅+-=-，即213213n 32a n n n -⋅+⋅⋅= 练习：已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +=-=，求通项公式n a .（尝试叠加法）解：由已知，得()()()12112n n n a a n a n n --=+-=+-+-()()()21n n-1n n+2121122a n n -==+-+-++=+=．。

递推数列求通项公式的求法及习题演练

高考递推数列题型分类归纳解析类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

例2:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）。

《递推公式求通项公式—累加法》进阶练习(一)

《递推公式求通项公式—累加法》进阶练习一．选择题1.已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=（）A． B．C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n+22.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=（）A．1024 B．1023C．2048 D．20473.已知数{a n}满a1=0，a n+1=a n+2n，那a2016的值是（）A．2014×2015 B．2015×2016C．2014×2016 D．2015×2015二．填空题4.已知数列{a n}中，，则a n=______．5.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+（n∈N*），则a n=______．参考答案1.A2.B3.B4.5.解析1.【分析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力.利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【解答】解：数列{a n}满足：a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），可得a1=1a2﹣a1=2a3﹣a2=3a4﹣a3=4…a n﹣a n﹣1=n以上各式相加可得：a n=1+2+3+…+n=n（n+1），故选A．2.【分析】正确理解递推式，熟练掌握“累加求和”方法及等比数列的前n项和公式是解题的关键. 由已知递推式，利用累加求和及等比数列的前n项和公式即可求出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（n∈N*）．∴a10=210﹣1=1023．故选B．3.【分析】本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，通过a n+1=a n+2n 可知a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…，a2﹣a1=2，累加计算，进而可得结论．【解答】解：∵a n+1=a n+2n，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…a2﹣a1=2，累加得：a n﹣a1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]=2•=n（n﹣1），又∵a1=0，∴a n=n（n﹣1），∴a2016=2016（2016﹣1）=2015×2016，故选B．4.【分析】本题主要考查了利用裂项及累计法求解数列的通项，解题的关键是对递推公式的变形=由已知可得，，=，然后利用累计法可求通项【解答】解：∵∴=∴…以上n﹣1个式子相加可得，∵∴a n==故答案为.5.【分析】本题主要考查数列项的求解，根据数列的递推关系，以及利用累加法和裂项法是解决本题的关键.根据数列的递推关系，利用累加法和裂项法即可得到结论．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+（n∈N*），∴a n+1﹣a n==﹣，（n∈N*），则a2﹣a1=1﹣，a3﹣a2=，…a n﹣a n﹣1=﹣，等式两边同时相加得a n﹣a1=1﹣，故a n=，故答案为.。

2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)4-3 利用递推公式求通项(精练)(含详解)

4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）1．（2022·陕西·无高三阶段练习）若数列{}n a 满足11lg 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭且11a =，则数列{}n a 的第100项为（） A ．2B ．3C ．1lg99+D ．2lg99+2．（2022·四川·树德中学）已知数列{}n a 满足128a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为（） A ．293B ．471-C ．485D ．2743．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（） A ．14n +B ．14n -C ．12n +D ．12n-4．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．20171009B ．40322017C ．40282015D ．201510085．（2022·全国·高三专题练习）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则通项公式a n ＝________． 6．（2022·全国·高三专题练习）已知110,21n n a a a n +==+-，求通项n a = . 7．（2022·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*112,22n n n a a a n n +-+=+∈N . (1)求证：{}1n n a a +-是等差数列； (2)若121,2a a ==，求{}n a 的通项公式. 1．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，求数列{an }的通项公式.2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，*12,n n na n a n +=+∈N ，求数列{}n a 的通项公式.3．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122n n n n a a n +++-=-∈N ，求{}n a 的通项公式 .题组一累加法题组二累乘法4．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，求数列{}n a 的通项公式 .5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为12，且满足()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈.求{}n a 的通项公式. 1．（2022·全国·高三专题练习）已知n a 为数列{}n S 的前n 项积，若121n nS a -=，则数列{}n a 的通项公式n a =（） A ．3-2nB ．3+2nC ．1+2nD ．1-2n2．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）(多选）数列{}n a 的前n 项为n S ，已知2421n n n S a a =++，下列说法中正确的是（） A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 为等差数列或等比数列D ．{}n a 可能既不是等差数列也不是等比数列3．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足112a =,212323n n a a a na n a +++⋯+=,则2017a =______ ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-.数列{}n a 的通项公式 .5．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．6．（2022·安徽宿州）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______． 7．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列{}n a 满足()212n a a a n n n *+++=+∈N ，则n a =____.8．（2022·山西太原·二模（文））已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且()12n n nS n S +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =___________. 1．（2022·全国·课时练习）在数列{}n a 中，若111,12n n naa a a +==+，则n a =________.题组三公式法题组四构造等差数列2．（2022·湖北·荆州中学）已知数列{}n a 满足11a =，且11nn n a a a +=+．则数列{}n a 的通项公式为n a =_______． 3．（2022·全国·课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式；4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，213a =，112n n n n a a a a ++=+．求数列{}n a 的通项公式； 5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，11a =，133nn n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式 .1．（2022·四川师范大学附属中学二模）已知数列{}n a 满足1122n n a a +=+，且{}n a 前8项和为761，则1a =______．2．（2022·山西）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 3．（2021·全国·专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+()n N +∈，则6a =( ) A ．131B ．132C ．163D ．1644．（2022·黑龙江）已知数列{}n a 的通项公式为135a =，1321nn n a a a +=+求数列{}n a 的通项公式 .题组五构造等比数列4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）1．（2022·陕西·无高三阶段练习）若数列{}n a 满足11lg 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭且11a =，则数列{}n a 的第100项为（） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+【答案】B【解析】由题意，因为()111lg 1lglg 1lg n n n a a n n n n ++⎛⎫-=+==+- ⎪⎝⎭，所以10099lg100lg99a a -=-， ⋯⋯32lg3lg2a a -=-， 21lg2lg1a a -=-，以上99个式子累加得1001lg100a a -=， 100lg10013a =+=．故选：B ．2．（2022·四川·树德中学）已知数列{}n a 满足128a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为（） A ．293B ．471-C ．485D ．274【答案】C【解析】因为12n n a a n +-=，所以()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，，2121a a -=⋅，1n -式相加可得()()()()()11112121212n n n a a n n n +---=+++-=⋅=-，所以228n a n n =-+，2812281471n a n n n=+-≥-=-，当且仅当27n =取到，但*n N ∈，()275,6∈，所以5n =时5284851555a =+-=，当6n =时，6282961663a =+-=，482953<，所以n a n 的最小值为485.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（）A ．14n+B ．14n-C ．12n+D ．12n-题组一累加法【答案】B【解析】由题意可得()111111n n a a n n n n +-==-++，所以21112a a -=-，321123a a -=-，…，1111n n a a n n--=--，上式累加可得()()()121321--=-+-++-n n n a a a a a a a a111111112231=-+-++-=--n n n，又13a =，所以14=-n a n.故选：B .4．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．20171009B ．40322017C ．40282015D ．20151008【答案】A【解析】∵11n n a a n +-=+，111n n a a n --=-+，…，2111a a -=+， ∵()1112n n n a a n ++-=+，即()1112n n n an ++=++， ∵()()1122n n n n n a n -+=+=，2n ≥． ∵11a =符合上式，∵()12n n n a +=． ∵11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 122017111111112122320172018a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 1212018⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，20171009=．故选：A ．5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则通项公式a n ＝________．【答案】2n －1【解析】由题意得a n ＋1－a n ＝2n ，把n ＝1，2，3，…，n －1(n ≥2)代入，得到(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(an －an －1)＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以()1121212n n a a ---=-，即a n －a 1＝2n －2，所以a n ＝2n －2＋a 1＝2n －1．当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1．故答案为：2n －1 6．（2022·全国·高三专题练习）已知110,21n n a a a n +==+-，求通项n a = .【答案】()()2*1n a n n N =-∈【解析】 121n n a a n +-=-，∴ 211a a -=，323a a -= ，435a a -=，123n n a a n --=- ()2n ≥，以上各式相加得1n a a -()()21357...231n n =+++++-=-()2n ≥，又10a =，所以()21n a n =- ()2n ≥，而10a =也适合上式， ∴ ()()2*1n a n n N =-∈.7．（2022·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*112,22n n n a a a n n +-+=+∈N . (1)求证：{}1n n a a +-是等差数列； (2)若121,2a a ==，求{}n a 的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)2254n a n n =-+【解析】(1)由题1124n n n a a a +-+=+，即114n n n n a a a a +--=-+，{}1n n a a +∴-是公差为4的等差数列. (2)()()211211,42472n n a a a a a a n n n --=∴-=-+-=-12411n n a a n ---=-⋯⋯，累加可得()()()()()21471147411125322n n n a a n n n n n-+--=-+-++==-+()22542n a n n n =-+，当1n =时1a 也满足上式2254n a n n ∴=-+.1．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，求数列{an }的通项公式.【答案】1n a n=【解析】因为a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，所以-11n n a n a n -=，所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋯⋅⋅⋅123··12n n n n n n ---=--·…·21·32·1=1n. 题组二累乘法又因为当n=1时，a 1=1，符合上式，所以a n =1n.2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a满足1a =*1,n n n +∈N ，求数列{}n a 的通项公式.【答案】)*n a n ∈N1n n +，得1n n a a += 所以当2n ≥时，32123451112321n n a a a n n aa a n n +⋅=⋅⋅⋅=---，因为1a)2n a n =≥，又因为1n =时，1a )*n a n ∈N3．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122n n n n a a n +++-=-∈N ，求{}n a 的通项公式 .【答案】()()122121nn nn a +=-- 【解析】由()()2112122n n n n a a +-+-=-得，1122222122121n n n n n n a a ++++--==⋅--，1231122113123121212121222221212121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a -----+--------⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----()()11322121n n n -+--，即()()111322121n n n n a a -+⋅=--，所以()()122121nn nn a +=--.4．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，求数列{}n a 的通项公式 . 【答案】()2211nn -+【解析】依题意，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，即()()()2221121,2111211n n n n n a n a n a a n ++⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤+=+=-⎣⎦+，所以当2n ≥时13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅()()()()22222222211201222212311121111n n n n ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-+-+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=⋅⋅⋅⋅⋅++()2211nn =-+当1n =时也满足上式所以()2211nn a n =-+5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为12，且满足()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈.求{}n a 的通项公式. 【答案】()11n a n n =+.【解析】由()()111n n n a n a -+=-，得111n n a n a n --=+，又112a =，所以当2n ≥时，123211232112321······1143n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+-()1121n n ⋅=+，又1n =也满足上式，所以()11n a n n =+；1．（2022·全国·高三专题练习）已知n a 为数列{}n S 的前n 项积，若121n nS a -=，则数列{}n a 的通项公式n a =（） A ．3-2n B ．3+2nC ．1+2nD ．1-2n【答案】D【解析】当n =1时，1111211a a a -=⇒=-；当2n ≥时，11112212n n n n n n n n a a a a a a a a ----=-=⇒-=-，于是{}n a 是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以()12112n a n n =---=-.故选：D.2．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）(多选）数列{}n a 的前n 项为n S ，已知2421n n n S a a =++，下列说法中正确的是（） A ．{}n a 为等差数列 B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 为等差数列或等比数列D ．{}n a 可能既不是等差数列也不是等比数列题组三公式法【答案】BD【解析】依题意，2421n n n S a a =++，当1n =时，22111111421,210,1a a a a a a =++-+==，当2n ≥时，2421n n n S a a =++，2111421n n n S a a ---=++，两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，()()()11120n n n n n n a a a a a a ---+--+=，()()1120n n n n a a a a ----+=，当10n n a a -+=时，1n n a a -=-，则数列{}n a 是首项为1，公比为1-的等比数列. 当120n n a a ---=时，12n n a a --=，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，当10n n a a -+=，120n n a a ---=交替成立时，{}n a 既不是等差数列也不是等比数列. 故选：BD3．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足112a =,212323n n a a a na n a +++⋯+=,则2017a =______ ．【答案】122017【解析】2212121331(1)((23231))2)1(,n n n n n a a a na n a a a a na n a n a +++++⋯+=+++⋯+++⇒+=(2)(1)-得,122111)1)((1n n n n n a n a n a nn a a n +++-⇒+==++, 所以有324123111123112234n n n a a a a n n a a a a a a n a --=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=,因此2017122017a =. 故答案为1220174．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-.数列{}n a 的通项公式 . 【答案】1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 【解析】1231111(1)231n n a a a a a n n -=++++>-，11a =当2n =时，211a a == 当2n >时，112311111231n n n a a a a a a n n+-∴=+++++-，两式相减得：11n n n a a a n+-=，即11n n n a a n++=，∴11n n a n a n ++=， 11n n a na n -∴=-，1212n n a n a n ---=-，2323n n a n a n ---=-，3434n n a n a n ---=-⋯3232a a =，累乘得：22nana =，所以2n n a =，()2n >1,1,22n n a n n =⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩故答案为：1,1,22n n a nn =⎧⎪=⎨≥⎪⎩. 5．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．【答案】2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ 【解析】当1n =时，211312112a S ==⨯-⨯+=，当2n ≥时，()()()22132********n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦经检验当1n =时不符合，所以2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为：2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，6．（2022·安徽宿州）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______．【答案】112n -⎛⎫⎪⎝⎭【解析】当1n =时，112a S +=，得11a =，当2n ≥时，由()2n n a S n ++=∈N ，得112n n a S --+=，所以110n n n n a S a S --+--=，所以120n n a a --=，所以112n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：112n -⎛⎫⎪⎝⎭7．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列{}n a 满足()212n a a a n n n *+++=+∈N ，则n a =____.【答案】2n 【解析】因为212(1)n n a a a n +++=+，所以当2n ≥时，有2121(11)(2)n a a n n a -+++=--+，(1)(2)-，得2n a n =，当1n =时，12a =也适合2n a n =，故答案为：2n8．（2022·山西太原·二模（文））已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且()12n n nS n S +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =___________. 【答案】n【解析】∵1(2)n n nS n S +=+，∵12n n S n S n ++= 当2n ≥时，121121n n n n n S S S S S S S S ---=⨯⨯⨯⨯， 1126543112344321n n n n n n n n +--=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯----(1)2n n +=当1n =时，111212S a ⨯===成立， ∵(1)2n n n S +=，当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=，当1n =时，11a =满足上式， ∵n a n =. 故答案为：n1．（2022·全国·课时练习）在数列{}n a 中，若111,12nn naa a a +==+，则n a =________.【答案】121n - 【解析】取倒数得:1112n na a +=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，题组四构造等差数列所以112(1)21n n n a =+-=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 2．（2022·湖北·荆州中学）已知数列{}n a 满足11a =，且11nn n a a a +=+．则数列{}n a 的通项公式为n a =_______．【答案】1n【解析】因为11n n n a a a +=+，所以11111,1111n n n n n n a a a a a a ++=-+=+=，所以数列1na 是首项为1，公差为1 的等差数列，所以11,nn n a a n ==故答案为：1n. 3．（2022·全国·课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式；【答案】()213nn a n =-⋅．【解析】由11323n n n a a ++=+⨯，得：111123333n n n n n n a a ++++⋅=+，∵11233n n n na a ++-=，即数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，∵213n n a n =-，得()213n n a n =-⋅． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，213a =，112n n n n a a a a ++=+．求数列{}n a 的通项公式；【答案】121n a n =- 【解析】因为112n n n n a a a a ++=+，213a =所以令1n =，则12122a a a a =+，解得11a =，对112n n n n a a a a ++=+两边同时除以1n n a a +，得1112n na a +-=，又因为111a ，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，所以112(1)21n n n a =+-=-，所以121n a n =-； 5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，11a =，133nn n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式 .【答案】13n n a n -=⋅【解析】∵133nn n a a +=+，∵111333n n n n a a ++-=，∵数列3n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为13，又1133a =， ∵11(1)3333n na nn =+-⨯=，∵13n n a n -=⋅. 题组五构造等比数列1．（2022·四川师范大学附属中学二模）已知数列{}n a 满足1122n n a a +=+，且{}n a 前8项和为761，则1a =______．【答案】52【解析】数列{}n a 满足1122n n a a +=+，整理得1112()22n n a a ++=+，若112a =-，则12n a =-，显然不符合题意，所以12n a ≠-，则121212n n a a +++=（常数）；所以数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112a +为首项，2为公比的等比数列；所以1111222n n a a -⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭，整理得1111222n n a a -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；由于前8项和为761，所以187811111121()(12...2)842554761222122S a a a -⎛⎫⎛⎫=+⋅+++-⨯=+⨯-=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得152a =．故答案为：52． 2．（2022·山西）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 【答案】1117344n -⋅- 【解析】由已知可得1732n n a a +=+，设()13n n a x a x ++=+，则132n n a a x +=+，所以，722x =，可得74x =，所以，177344n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且171144a +=，由题意可知，对任意的n *∈N ，704n a +≠，则174374n n a a ++=+，所以，数列74n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，且该数列的首项为114，公比为3，所以，1711344n n a -+=⋅，因此，1117344n n a -=⋅-.故答案为：1117344n -⋅-. 3．（2021·全国·专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+()n N +∈，则6a =( ) A ．131B ．132C ．163D ．164【答案】C【解析】由题意，12121n n n n a a a a ++==+，即+11112(1)n na a +=+，故111211n n a a ++=+，又因为1112a +=，所以数列1{1}n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，从而561122a +=⨯，解得6163a =.故选：C. 4．（2022·黑龙江）已知数列{}n a 的通项公式为135a =，1321nn n a a a +=+求数列{}n a 的通项公式 .【答案】332nn na =+ 【解析】因为1321n n n a a a +=+，所以121121333n n n n a a a a ++==+，则1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11213a -=，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以23为首项，13为公比的等比数列，所以112121333n n n a --=⨯=，所以1323n n n a +=，所以332nn na =+.。