试题1答案

运筹学答案与评分标准（试题1）
一、（30分）已知线性规划问题：
max
3212x x x z +-=
st.⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≤++0,,4226
3
2121321x x x x x x x x
先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况下最优解的变化。

（1）目标函数变为 max
32132x x x z ++= ；
（2）约束右端项由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛46变为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛42；
（3）增添一个新的约束条件2231≥+x x 。

解：先将问题改写为： max
54321002x x x x x z +++-='
st.⎪⎩⎪
⎨⎧≥=++-=+++0,,,,42265
43215214321x x x x x x x x x x x x （3分）
列出单纯形表，并用单纯形法求解步骤进行计算，其过程如下：（5分）
因2≥1≥014
得最优解为：（（1）目标函数变为 max
32132x x x z ++= 时，直接反映到最终单纯形表中得：
因x 2的检验数2x 5出基，则
得
得最优解为：（（2）约束右端项由⎪⎪⎭⎫
⎝⎛46变为⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛42时；有Δb ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-04 b Δ' =
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-840412011
Δb B
将上述结果反映到单纯形表中得：
（3）增添一个新的约束条件2231
≥+x x 。

将原最优解（6，0，0）代入新的约束条件2231≥+x x 。

，得知：原最优解满足新的约束条件，
所以原最优解还是此时的最优解。

（5分）
评分标准：1. 单纯形法求最优解15分，若结果不正确，但步骤正确可得10分。

2.（1）、（2）（3
）小题各5分。

3. 其他情况酌情给分。

二、（15分）某地区有三个化肥厂，记为A 、B 、C ，其年产量分别为7万吨, 8万吨和3万吨。

有四个产粮区需要该种化肥，记为甲、乙、丙、丁，其化肥需求量分别为6万吨, 6万吨, 3万吨和3万吨。

已知从各化肥厂到各产粮区的每吨化肥的运价如下表所示(表中单位：元/吨)，试求使总运费最小的运输方案。

解：由题意知：该问题为产销平衡的运输问题，其运输表如下表。

（5分）
，得下表。

（8分）
在表中，由于所有检验数均大于等于 0 ，所以表中的解就是最优解，其最小运费为 89万元 。

即化肥分配计划为：化肥厂A 的化肥4单位运往面产粮区乙，化肥厂A 的化肥3单位运往产粮区丁，化肥厂B 的化肥6单位运往产粮区甲，化肥厂B 的化肥2单位运往产粮区乙，化肥厂C 的化肥3单位运往产粮区丙，其总费用最小，为89万元 。

（2分）
评分标准：1. 得运输表5分。

2. 运输问题求解8分。

3.得出最终结论2分4. 其他情况酌情给分。

三、（10分）已知某实际问题的线性规划模型为：
2150100z m ax x x +=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≤+0
,x 2) ( 25311x 1)
( 2001610.2
12121x x x x st 资源资源 假定重新确定这个问题的目标为：P 1：z 的值应不低于1900；P 2：资源1必须全部利用。

将此问题转化为目标规划问题，列出数学模型。

解：
评分标准：模型正确即可得10分，其他情况酌情给分。

四、（15分）需要分派5人去做5项工作，每人做各项工作的能力评分如表所示。

应如何分派，才能使总的得分最大？
解：首先将求“总的得分最大”问题变为“总的得分最小”问题。

选择上表中最大的分数1.4，用1.4减去表中的能力评分得下表：
使用匈牙利方法求上述指派问题的最优解。

第一步:变换系数矩阵。

0 0.4 1.3 1.3 0.3
1.3 0 0 0 1.3
0.2 1.1 1.2 0 1.2
1.4 0.25 1.4 1.2 0
0.1 0.1 0.5 1.1 0
第二步:确定独立零元素。

◎0.4 1.3 1.3 0.3
1.3 Φ◎Φ 1.3
0.2 1.1 1.2 ◎ 1.2
1.4 0.25 1.4 1.2 ◎
0.1 0.1 0.5 1.1 Φ
第三步:继续变换系数矩阵。

0 0.4 1.3 1.3 0.4
1.3 0 0 0 1.4
0.2 1.1 1.2 0 1.3
1.3 0.15 1.3 1.1 0
0 0 0.4 1.0 0
第四步:确定独立零元素。

◎0.4 1.3 1.3 0.4
1.3 Φ◎Φ 1.4
0.2 1.1 1.2 ◎ 1.3
1.3 0.15 1.3 1.1 ◎ Φ
◎
0.4
1.0
Φ
已经找到5个独立的零元素，故可以确定指派问题的最优指派方案。

即A1去做B1工作, A2去做B3工作, A3去做B4工作, A4去做B5工作, A5去做B2工作；其总的得分为：1.3 + 1.3 + 1.2 + 1.4 + 0.9 = 6.1
评分标准：1. 本题主要考察学生指派问题的应用。

2.变换系数矩阵得5分，求最优解给8分，得出结论给2分，若结果不正确，但步骤正确可得8分。

3. 其他情况酌情给分。

五、（10分）解下列0-1型整数规划：
max 321523x x x z
+-=
st. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤+≤+≤++≤-+1
0,,6
43442
23213
221321321或x x x x x x x x x x x x x
解：求解过程可以列表表示如下：
所以，最优解为：(1，0，1)，最优值为8 。

评分标准：1. 本题主要考察学生对整数规划概念的理解。

2.求出整数规划的最优解得10分。

3. 若结果不正确，但步骤正确可得8分。

4. 其他情况酌情给分。

六、（20分）某厂根据市场预测，确认今后四个月该厂的一种主要产品每月需求量如下表所示，已知每月生产固定费用b=2千元，若当月不生产，则b=0千元；产品成本为c=1千元/万件；存贮费用为h=0.2千元/万件/月；每月最大生产能力为a=5万件；最大存贮能力w=4万件。

若第1月初无库存产品，第4月末也不留库存，则该厂应怎样安排生产，才能使今后四个月的总费用最少？
解：1. 建立模型
令k = 1、2、3、4表示今后四个月的序号。

设s k 为第k 月初（或第k -1月末）的库存量，x k 为第k 月的生产量，用d k 表示第k 月的需求量；则s k+1=s k +x k -d k 。

设f k （s k ,x k )为第k 月初到第四月末的生产费用（在库存s k ，生产x k ）f k *(s k )为第k 月初到第四月末的最低生产费用。

由题意知：
⎩
⎨
⎧=≥+++=++02.00
2.02)(*),(11k k k k k k k k k k x s x s x s f x s f 当当 k = 4,3,2,1 函数基本方程为 f 5 (s 5)=0 f k *(s k ) =
k
k X x ∉min { f k （s k ,x k ) } k = 4,3,2,1
X k = {x k | 0≤x k ≤5}
且对于不同阶段，x k 还会增加新的约束。

2．逆序递推求解 （1）k =4
由问题假设知，该月末无库存。

故s
=0。

由状态转移方程等可得如下表： （2）k =3
由状态转移方程等可得如下表：
（3）k =2
由状态转移方程等可得如下表： （4）k =1
由状态转移方程等可得如下表：
3. 顺序递推，得出结论。

最有解为：x*1=5，x*2=0，x*3=5，x*4=0，f*1=1
4.8（千元）
评分标准：1. 列出动态规划模型5分，求解15分。

2. 结果正确，有简单步骤说明即可得满分。

3. 若结果不正确，但步骤正确可得10分。

4. 其他情况酌情给分。