变化率
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y
T
P
x
o
x0 x0 x
x
割线 PQ 的斜率 为
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
曲线在 P( x0, y0 ) 点处的切线的斜率就是割线
的斜率 当 x 0 时的极限
y
y f x
Q
y
T
P
x
y k tan lim x 0 x
x2 x1 越来越小
逼 近 化 曲线的陡峭程度
精 确
y
y
k2
（1） o
k1
A B C
x
k3
（2） o
k4
E
0 k1 k2 k2 k1
（越大）
k4 k3 0 k4 k3
（越大）
D
F
x
陡峭 程度
（越小）
平均变化率 的绝对值
（越小）
关于导数的学习要点
导数的概念
阿基米德
Archimedes 前287—前212
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过
取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
研究
一小球做自由落体运动，
其运动方程为
1 2 s gt , t [0,10 ] 2
考察小球在 t 2 秒时的 瞬时速度 v(2).
其变化情况见下表 ：
t
t
[1.5,2]
[1.99,2] [1.9999,2]
y f x0 x f x0
如果y 与 x 之比当x 0 时的极限存在，则称函数 在点 x0 处可导， 并称这个极限值为y 记作 f x
0
y f x
f x 在点x0 处的导数，
,
即
f x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
反之，结论成立吗？ 单调递增吗？
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,
试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第
12个月该婴儿体重的平均变化率.
W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 0 3 6 12
T(月)
婴儿出生后， 体重的增加是 先快后慢
例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后
陡 峭 程 度
（越小）
平均变化率 的绝对值
（越小）
美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员
把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险， 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉， 毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。
f x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
Байду номын сангаас
若物体的运动方程为 s
s(t ) ， 则物体在时刻 t 0
的瞬时速度
vt0 为路程关于时间的变化率，即 vt0
S t0 t S t0 S lim lim t 0 t t 0 t
" 3、 f ( x)在[ x1 , x2 ]上的平均变化率大于0"是"f ( x)在[ x1 , x2 ]递增" 的必要不充分条件；
" f ( x)在[ x1 , x2 ]上的平均变化率小于0"是" f ( x)在[ x1 , x2 ]递减" 的必要不充分条件。
设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )
就是导函数
f x 在 x x0 处的值， 即
f ( x0 ) f x
x x0
注：通常，导函数也简称为导数．
说明三： 导数的几何意义
y T
函数
f x 在点 x0 处的导数
y f x
M0
M
y
f x0 就是函数所表示的
曲线在点 的斜率．
x0 , y0
上的平均变化率：
（1）[1，3]
4 3 2.1 2.001
2+ △x
（2）[1，2]
（3）[1，1.1] （4）[1，1.001]
（5）[1，1+△x] (其中△x>0)
y
B
平 均 量 化 曲线的 变化率 近 似
陡峭程度
C D
x2 x1 越来越小
逼近
o
A 1
E
精确
2 3
x
D 放大 E
A
D E
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
( 几何意义： y f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、x2 , f ( x2 )) 曲线
连线的斜率。
（近似的） ２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 数 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 形 （直观的）
数 形 结 合
x
处切线
k f ' ( x0 )
o
x0 x0 x
x
y
y f x
y
y f x
y
y x3
o
x0
o x
x0
o x
x0
切线 x轴
x
平行于x轴的切线
垂直于x轴的切线
k f x0 0
2
k tan
f x0
说明四： 速度、加速度的表示法
x0 处不可导
lim 如果 x 0
y , 则称 y x
f x 在 x0 处导数为无穷大
说明二： 导函数
如果函数 f ( x ) 在区间
a, b 内每一点都有导数，
函数 f ( x ) 在区间
a, b
x1 x2 f x1 f x2 f x
例3 已知函数 f ( x) 2 x 1, g ( x) 2 x,分别计算
在区间[-3，-1]，[0，5]上
变化率。
f ( x)及 g ( x)的平均
思考：你从本例中发现一次函数y=kx+b在区间[m，n]
上的平均变化率有什么特点？
等于相应直线的斜率k
例4 已知函数 f ( x) x2，分别计算 f ( x) 在下列区间
1.1.1
T (℃)
30 20 10
平均变化率
01
4
30
t(d)
校运动会，短跑比赛： 甲：100米，成绩15秒； 乙：200米，成绩25秒； 甲，乙两人谁快？ 为什么？ 每秒钟路程的
200 的意义是什么？平均速度 25
平均变化量
现有某市2006年4月某天日最高气温记载： 时 间 1日 10.2℃ 4日 20.4℃ 30日 30.8℃
也可记作
df x y x x , dy , . dx x x dx x x
0
0 0
说明一： 可导与不可导
y 存在， 则称 y f x 在 x 0 x y 如果 lim 则称 y f x 在 不存在， x 0 x
如果 lim
x0
处可导
v
S S t0 t S t0 t t
平均速度 v 就越接近于时刻 t 0 的瞬时速度 vt0 t 越小， 令 t
0 ，取极限，得到瞬时速度.
S t0 t S t0 S vt0 lim v lim lim t 0 t 0 t 0 t t
y
C1 C3
B
尽管曲线C1、C2、C3在点A、B
C2
之间的陡峭程度不一样
但它们在区间[x1 ,x2 ]上的
A
O
x1
x2
y2 y1 平均变化率都等于： x2 x1 x
y
C1 C3
B
C2
A
O
x1
x2
x
若f ( x)在[ x1 , x2 ]的平均变化率大于0，则f ( x)在[ x1 , x2 ]上
日最高气温
温差10.2℃ 温差10.4℃
如何量化曲线AB和曲线BC的陡峭程度？
T (℃)
30
气 温 曲 线 图
K=0.4
20
C (30, 30.8)
B (4, 20.4)
K=3.4
10
A (1, 10.2)
4
30
0 1
t(d)
1、平均变化率
一般地，函数f ( x)在区间 x1, x2 上的平均变化率为
设S是某一物体从某一选定时刻到时刻 t 所走过的 现要求任一 路程，则S是 t 的一个函数 S S (t ) ， 时刻 t 0 的瞬时速度.
[t0 , t0 t ]
O
S S t0 t S t0
st0 st0 t
s
t 很小时，以匀速代替变速，那么， t 内的平均速度为
A
思考：
E
无限逼近
A
近似刻画 曲线在A点处 的变化趋势
f ( xE ) f ( xA ) xE xA
1、平均变化率的概念及其几何意义；
2、平均变化率与曲线陡峭程度之间的关系：数量化、视觉化； 3、平均变化率的正负与函数单调性之间的逻辑关系； 4、曲线的陡峭程度与平均变化率绝对值之间的双向关系； 5、一次函数在区间上的平均变化率等于对应直线的斜率； 6. 平均变化率 量 近似
o
x0 x0 x
x
f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 x
先以割线代替切线，算出割线的斜率，然后通过取极限，
从割线过渡到切线，求得切线的斜率.
此二例中，均匀变化与非均匀变化，局部以均匀代替非均匀
平均变化率
y x
瞬时变化率
y lim x 0 x
小球在 t 2 秒时的 瞬时速度为 v(2)
19.6m / s.
引例二 [切线斜率]
求曲线
y f x 在点 x0 处的切线的斜率.
y
y f x
对于曲线 y f (x), 割线 PQ上点 Q 沿曲线无限接近 P 点， 割线PQ的极限位置 就是曲线在 P 点的切线．
Q
费尔马
Pierre de Fermat 1601—1665 法国数学家． 律师．业余研究 数学．解析几何 的创始人．有著 名的“费尔马大 定理” ．1638年 发现求极值的方 法，是微积分学 的先驱．
牛 顿
Newton 1642—1727
古希腊数学家 和物理学家．在 数学上，他利用 穷竭法解决了许 多复杂的曲线或 曲面围成的平面 图形或立方体的 求积问题．
…
2
… [2,2.001] [2,2.01]
0.001 0.01
[2,2.5]
0.5
0.01
0.0001
0
0.5
s v t
17.150 19.551
19.600
19.6
19.605
19.649 22.050
从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段
t 很小时，平均速度 v 很接近某一确定的值19.6 (m/s)， 即
cm ）， 容器甲中水的体积 V (t ) 5 e （单位：
3
0.1t
计算第一个10s内V的平均变化率。 e 2.718
容器甲中 水在减少 甲 乙
T (℃)
30 20 10
W
C
B A
30
甲
标准
乙
01 4
t(d)
O
t0
（越大）
t1
t
越陡峭，平均变化率越大
（越大）
越陡峭，平均变化率越小
一般地,
(1) x0 , x0 x
y f x0 x f x0
y (2) x
(3) lim
y f x0 x f x0 lim x0 x 0 x x
二、 概念和公式的引出
导数 设函数 y f x 在 x0的某一邻域内有定义. 当自变量 x 在 x0 取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 因变量 y 也取得增量
英国物理学 家和数学家． 他在物理学上 最主要的成就 是发现了万有 引力定律.数学 上，他与德国 莱布尼兹创建 了“微积分学 ”
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
引例一[变速直线运动的瞬时速度]
如：汽车记速器显示的速度是瞬时速度，它能更准确地 反映汽车每时刻的快慢程度．那么，如何计算汽车行驶的瞬 时速度呢?
a, b 内有一
导函数，即
f x x f x f ' x lim x 0 x
也可记作
x
y
，
df ( x ) dy ， dx dx
导数与导函数的区别与联系
区别：
f ( x0 ) 是一常数.
f x 是一函数.
函数 联系： f ( x) 在点 x0 处的导数 f ( x0 )
v (t 0 ) s ' (t 0 )
f x0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
加速度是速度v(t)关于 时间的变化率，物体在时刻 t 0 的加速度为
at0
v vt0 t vt0 lim lim t 0 t t 0 t
T
P
x
o
x0 x0 x
x
割线 PQ 的斜率 为
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
曲线在 P( x0, y0 ) 点处的切线的斜率就是割线
的斜率 当 x 0 时的极限
y
y f x
Q
y
T
P
x
y k tan lim x 0 x
x2 x1 越来越小
逼 近 化 曲线的陡峭程度
精 确
y
y
k2
（1） o
k1
A B C
x
k3
（2） o
k4
E
0 k1 k2 k2 k1
（越大）
k4 k3 0 k4 k3
（越大）
D
F
x
陡峭 程度
（越小）
平均变化率 的绝对值
（越小）
关于导数的学习要点
导数的概念
阿基米德
Archimedes 前287—前212
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过
取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
研究
一小球做自由落体运动，
其运动方程为
1 2 s gt , t [0,10 ] 2
考察小球在 t 2 秒时的 瞬时速度 v(2).
其变化情况见下表 ：
t
t
[1.5,2]
[1.99,2] [1.9999,2]
y f x0 x f x0
如果y 与 x 之比当x 0 时的极限存在，则称函数 在点 x0 处可导， 并称这个极限值为y 记作 f x
0
y f x
f x 在点x0 处的导数，
,
即
f x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
反之，结论成立吗？ 单调递增吗？
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,
试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第
12个月该婴儿体重的平均变化率.
W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 0 3 6 12
T(月)
婴儿出生后， 体重的增加是 先快后慢
例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后
陡 峭 程 度
（越小）
平均变化率 的绝对值
（越小）
美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员
把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险， 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉， 毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。
f x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
Байду номын сангаас
若物体的运动方程为 s
s(t ) ， 则物体在时刻 t 0
的瞬时速度
vt0 为路程关于时间的变化率，即 vt0
S t0 t S t0 S lim lim t 0 t t 0 t
" 3、 f ( x)在[ x1 , x2 ]上的平均变化率大于0"是"f ( x)在[ x1 , x2 ]递增" 的必要不充分条件；
" f ( x)在[ x1 , x2 ]上的平均变化率小于0"是" f ( x)在[ x1 , x2 ]递减" 的必要不充分条件。
设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )
就是导函数
f x 在 x x0 处的值， 即
f ( x0 ) f x
x x0
注：通常，导函数也简称为导数．
说明三： 导数的几何意义
y T
函数
f x 在点 x0 处的导数
y f x
M0
M
y
f x0 就是函数所表示的
曲线在点 的斜率．
x0 , y0
上的平均变化率：
（1）[1，3]
4 3 2.1 2.001
2+ △x
（2）[1，2]
（3）[1，1.1] （4）[1，1.001]
（5）[1，1+△x] (其中△x>0)
y
B
平 均 量 化 曲线的 变化率 近 似
陡峭程度
C D
x2 x1 越来越小
逼近
o
A 1
E
精确
2 3
x
D 放大 E
A
D E
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
( 几何意义： y f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、x2 , f ( x2 )) 曲线
连线的斜率。
（近似的） ２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 数 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 形 （直观的）
数 形 结 合
x
处切线
k f ' ( x0 )
o
x0 x0 x
x
y
y f x
y
y f x
y
y x3
o
x0
o x
x0
o x
x0
切线 x轴
x
平行于x轴的切线
垂直于x轴的切线
k f x0 0
2
k tan
f x0
说明四： 速度、加速度的表示法
x0 处不可导
lim 如果 x 0
y , 则称 y x
f x 在 x0 处导数为无穷大
说明二： 导函数
如果函数 f ( x ) 在区间
a, b 内每一点都有导数，
函数 f ( x ) 在区间
a, b
x1 x2 f x1 f x2 f x
例3 已知函数 f ( x) 2 x 1, g ( x) 2 x,分别计算
在区间[-3，-1]，[0，5]上
变化率。
f ( x)及 g ( x)的平均
思考：你从本例中发现一次函数y=kx+b在区间[m，n]
上的平均变化率有什么特点？
等于相应直线的斜率k
例4 已知函数 f ( x) x2，分别计算 f ( x) 在下列区间
1.1.1
T (℃)
30 20 10
平均变化率
01
4
30
t(d)
校运动会，短跑比赛： 甲：100米，成绩15秒； 乙：200米，成绩25秒； 甲，乙两人谁快？ 为什么？ 每秒钟路程的
200 的意义是什么？平均速度 25
平均变化量
现有某市2006年4月某天日最高气温记载： 时 间 1日 10.2℃ 4日 20.4℃ 30日 30.8℃
也可记作
df x y x x , dy , . dx x x dx x x
0
0 0
说明一： 可导与不可导
y 存在， 则称 y f x 在 x 0 x y 如果 lim 则称 y f x 在 不存在， x 0 x
如果 lim
x0
处可导
v
S S t0 t S t0 t t
平均速度 v 就越接近于时刻 t 0 的瞬时速度 vt0 t 越小， 令 t
0 ，取极限，得到瞬时速度.
S t0 t S t0 S vt0 lim v lim lim t 0 t 0 t 0 t t
y
C1 C3
B
尽管曲线C1、C2、C3在点A、B
C2
之间的陡峭程度不一样
但它们在区间[x1 ,x2 ]上的
A
O
x1
x2
y2 y1 平均变化率都等于： x2 x1 x
y
C1 C3
B
C2
A
O
x1
x2
x
若f ( x)在[ x1 , x2 ]的平均变化率大于0，则f ( x)在[ x1 , x2 ]上
日最高气温
温差10.2℃ 温差10.4℃
如何量化曲线AB和曲线BC的陡峭程度？
T (℃)
30
气 温 曲 线 图
K=0.4
20
C (30, 30.8)
B (4, 20.4)
K=3.4
10
A (1, 10.2)
4
30
0 1
t(d)
1、平均变化率
一般地，函数f ( x)在区间 x1, x2 上的平均变化率为
设S是某一物体从某一选定时刻到时刻 t 所走过的 现要求任一 路程，则S是 t 的一个函数 S S (t ) ， 时刻 t 0 的瞬时速度.
[t0 , t0 t ]
O
S S t0 t S t0
st0 st0 t
s
t 很小时，以匀速代替变速，那么， t 内的平均速度为
A
思考：
E
无限逼近
A
近似刻画 曲线在A点处 的变化趋势
f ( xE ) f ( xA ) xE xA
1、平均变化率的概念及其几何意义；
2、平均变化率与曲线陡峭程度之间的关系：数量化、视觉化； 3、平均变化率的正负与函数单调性之间的逻辑关系； 4、曲线的陡峭程度与平均变化率绝对值之间的双向关系； 5、一次函数在区间上的平均变化率等于对应直线的斜率； 6. 平均变化率 量 近似
o
x0 x0 x
x
f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 x
先以割线代替切线，算出割线的斜率，然后通过取极限，
从割线过渡到切线，求得切线的斜率.
此二例中，均匀变化与非均匀变化，局部以均匀代替非均匀
平均变化率
y x
瞬时变化率
y lim x 0 x
小球在 t 2 秒时的 瞬时速度为 v(2)
19.6m / s.
引例二 [切线斜率]
求曲线
y f x 在点 x0 处的切线的斜率.
y
y f x
对于曲线 y f (x), 割线 PQ上点 Q 沿曲线无限接近 P 点， 割线PQ的极限位置 就是曲线在 P 点的切线．
Q
费尔马
Pierre de Fermat 1601—1665 法国数学家． 律师．业余研究 数学．解析几何 的创始人．有著 名的“费尔马大 定理” ．1638年 发现求极值的方 法，是微积分学 的先驱．
牛 顿
Newton 1642—1727
古希腊数学家 和物理学家．在 数学上，他利用 穷竭法解决了许 多复杂的曲线或 曲面围成的平面 图形或立方体的 求积问题．
…
2
… [2,2.001] [2,2.01]
0.001 0.01
[2,2.5]
0.5
0.01
0.0001
0
0.5
s v t
17.150 19.551
19.600
19.6
19.605
19.649 22.050
从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段
t 很小时，平均速度 v 很接近某一确定的值19.6 (m/s)， 即
cm ）， 容器甲中水的体积 V (t ) 5 e （单位：
3
0.1t
计算第一个10s内V的平均变化率。 e 2.718
容器甲中 水在减少 甲 乙
T (℃)
30 20 10
W
C
B A
30
甲
标准
乙
01 4
t(d)
O
t0
（越大）
t1
t
越陡峭，平均变化率越大
（越大）
越陡峭，平均变化率越小
一般地,
(1) x0 , x0 x
y f x0 x f x0
y (2) x
(3) lim
y f x0 x f x0 lim x0 x 0 x x
二、 概念和公式的引出
导数 设函数 y f x 在 x0的某一邻域内有定义. 当自变量 x 在 x0 取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 因变量 y 也取得增量
英国物理学 家和数学家． 他在物理学上 最主要的成就 是发现了万有 引力定律.数学 上，他与德国 莱布尼兹创建 了“微积分学 ”
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
引例一[变速直线运动的瞬时速度]
如：汽车记速器显示的速度是瞬时速度，它能更准确地 反映汽车每时刻的快慢程度．那么，如何计算汽车行驶的瞬 时速度呢?
a, b 内有一
导函数，即
f x x f x f ' x lim x 0 x
也可记作
x
y
，
df ( x ) dy ， dx dx
导数与导函数的区别与联系
区别：
f ( x0 ) 是一常数.
f x 是一函数.
函数 联系： f ( x) 在点 x0 处的导数 f ( x0 )
v (t 0 ) s ' (t 0 )
f x0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
加速度是速度v(t)关于 时间的变化率，物体在时刻 t 0 的加速度为
at0
v vt0 t vt0 lim lim t 0 t t 0 t