基本不等式的性质公式
基本不等式中常用公式
基本不等式中常用公式一、基本不等式中常用公式：（1）222b a +≥2)(b a +≥ab ≥ba 112+（当且仅当a ＝b 时，等号成立） （2）ab ≤2)(b a +（当且仅当a ＝b 时，等号成立） （3）a ²+b ²≥2ab （当且仅当a ＝b 时，等号成立）（4）ab ≤4)(2b a +（当且仅当a ＝b 时，等号成立） （5）||a|－|b| |≤|a ＋b|≤|a|＋|b|。
（当且仅当a ＝b 时，等号成立）二、基本不等式不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
二、基本不等式的应用基本不等式应用：1、应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”。
所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。
“一正”“二定”“三相等”，是指在用不等式a +b ≥2ab 证明或求解问题时所规定和强调的特殊要求。
一正：a、b都必须是正数；二定：在a+b为定值时,便可以知道ab的最大值；在ab为定值时,就可以知道a+b的最小值。
三相等：当且仅当a、b相等时,等号才成立；即在a＝b时,a+b ＝2ab。
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式。
其可表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
2、在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。
3、条件最值的求解通常有两种方法：（1）一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；（2）二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值。
基本不等式全部公式
基本不等式全部公式1.三角不等式：对于任意实数a和b，有，a+b，≤，a，+，b2. Cauchy-Schwarz 不等式：对于任意实数 a1, a2,...,an 和 b1, b2,...,bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)3. 二次平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn，有√((x₁² + x₂² + ... + xn²)/n) ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)4. 广义平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn 和实数 p ≠ 0，有(x₁ᵖ + x₂ᵖ + ... + xnᵖ)/n ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)ᵖ5. AM-GM 不等式：对于任意非负实数 x₁, x₂,...,xn，有(x₁x₂...xn)^(1/n) ≤ (x₁ + x₂ + ... + xn)/n6. Jensen 不等式：设 f 是凸函数，则对于非负实数 x₁, x₂, (x)和非负实数权重 w₁, w₂,...,wn，有f(w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wnxn) ≥ w₁f(x₁) + w₂f(x₂) + ... +wnfn(xn)7. Hessemberg 不等式：对于非负实数 x₁, x₂,...,xn，有(x₁ + t)ⁿ ≤ x₁ⁿ + nx₁ⁿ⁻¹t + n(n-1)x₁ⁿ⁻²t²/2 + ... + tⁿ8. Bernoulli 不等式：对于实数x ≥ -1 和正整数 n，有(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx9. Muirhead 不等式：对于非负实数 a₁, a₂,...,an 和 b₁,b₂,...,bn 满足 a₁ + a₂ + ... + an = b₁ + b₂ + ... + bn，有a₁ᵖ₁a₂ᵖ₂...anᵖₙ + permutations ≥ b₁ᵖ₁b₂ᵖ₂...bnᵖₙ + permutations10. 反柯西不等式：对于任意非负实数 a₁, a₂,...,an，有(a₁/a₂ + a₂/a₃ + ... + an-₁/an + an/a₁) ≥ n以上是一些常见的基本不等式公式。
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法1.加减法不等式公式：若a>b，则a+/-c>b+/-c，其中c为任意实数。
2.乘法不等式公式：若a>b且c>0，则a*c>b*c；若a>b且c<0，则a*c<b*c。
3.幂次不等式公式：对任意非零实数a和b若a>b且n>0且n为正整数，则a^n>b^n；若a>b且0<n<1，则a^n<b^n。
4.倒数不等式公式：若a>b>0，则1/a<1/b。
5.奇偶性不等式公式：若a>0且n为正整数，则a^n>0。
若a<0且n为奇数整数，则a^n<0。
常用的解基本不等式的方法有：1.用数轴法解：将不等式绘制在数轴上，根据不等式的性质找出符合条件的x的取值范围。
2.用代数方法解：针对不等式上的加减法、乘法、幂次或倒数等，利用基本不等式公式进行运算，化简不等式，最终得到x的取值范围。
3.用平方差、立方差或更高次差法解：对于特定形式的不等式，如二次函数不等式（即含有二次项的不等式），可使用平方差公式将其转化为不等式的标准形式；同样，对于三次函数不等式（即含有三次项的不等式），可使用立方差公式将其转化为不等式的标准形式。
通常，对高次不等式的解法需要更高级的数学知识，此处不再详细介绍。
4.用函数图像解：对于一些特定函数，如一次函数、二次函数等，可通过绘制函数图像来判断不等式的解集。
5.用不等式链解：若能将一个不等式化为多个简单的不等式，即不等式的解集满足一系列条件，可通过每个条件对应的不等式求解解集。
以上是基本不等式的一些公式和常用解法。
对于不同的不等式，我们需要根据具体情况选择合适的解法。
希望以上内容对您有所帮助。
基本不等式
、柯西不等式等。
优化问题
02
在优化问题中，幂平均不等式可以用于寻找最优解或确定最优
解的范围。
统计学应用
03
在统计学中，幂平均不等式可以用于分析数据的分布和离散程
度。
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06
排序原理与切比雪夫（ Chebyshev）不等式
2024/1/26
25
排序原理简介
2024/1/26
01
排序原理是一种基本的数学原理，用于比较和排列一组数的大 小。
2024/1/26
因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
14
一元二次不等式组解法
2024/1/26
分别求解法
分别求出每个不等式的解集，然 后取它们的交集作为不等式组的 解集。
图像法
在同一坐标系中画出每个不等式 的图像，然后找出满足所有不等 式的区域作为不等式组的解集。
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算术平均值-几何平均值（AM-GM）不等式
对于所有非负实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$，有
$frac{a_1 + a_2 + cdots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$当且仅当 $a_1 = a_2 = ldots = a_n$ 时取等号。
2024/1/26
加权平均值不等式是AM-GM不等式的推广，具有更广泛的应用范围。
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柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式
对于任意实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和 $b_1, b_2, ldots, b_n$，有
2024/1/26
$(a_1^2 + a_2^2 + cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + cdots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n)^2$当且仅当 $a_i = kb_i (i = 1, 2, ldots, n)$ 时取等号，其中 $k$ 为常数。
基本不等式常用公式
基本不等式常用公式
基本不等式是初中数学的基础，可以表示为：对于任意实数a，b，有(a+b)/2≥√(ab)，且等号仅在a=b 时取得。
除了基本不等式，其他一些常用的不等式公式包括：
1. 柯西-施瓦茨不等式：对于任何两个向量 a 和b，有|a·b|≤|a|·|b|，且等号仅在a 和b 共线时取得。
2. 三角不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a+b|≤|a|+|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
3. 约旦不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a-b|≥|a|-|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
4. 均值不等式：对于任何一组非负实数a1、a2、...、an，有(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)，且等号仅在a1=a2=...=an 时取得。
这些不等式公式广泛应用于数学、物理等领域，可帮助我们解决各种问题。
高中不等式公式大全
高中不等式公式大全一、基本概念。
1. 不等式的定义，对于两个数a和b，如果a比b大，我们就写成a>b；如果a比b小，我们就写成a<b。
这种关系可以用不等式符号来表示。
2. 不等式的解集，不等式的解集是使不等式成立的全部实数的集合。
二、基本性质。
1. 不等式的传递性，如果a>b，b>c，则a>c。
2. 不等式的加减性，如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c（c>0时）。
3. 不等式的乘除性，如果a>b，c>0，则ac>bc，a/c>b/c（c>0）；如果a>b，c<0，则ac<bc，a/c<b/c（c<0）。
三、常见不等式公式。
1. 平均不等式，对于任意n个正数a1，a2，…，an，有(a1+a2+…+an)/n≥(a1a2…an)^(1/n)。
2. 柯西-施瓦茨不等式，对于任意两组实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)。
3. 阿贝尔不等式，对于任意n个实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，如果满足a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn，则有a1b1+a2b2+…+anbn≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)。
4. 均值不等式，对于任意n个正数a1，a2，…，an，有(a1+a2+…+an)/n≥(a1a2…an)^(1/n)。
5. 三角不等式，对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
四、不等式的解法。
1. 图像法，将不等式转化为函数的图像，利用函数图像的性质求解不等式。
2. 代数法，通过对不等式进行变形，利用不等式的性质进行求解。
3. 参数法，引入参数，通过对参数的取值范围进行讨论，得到不等式的解集。
五、常见不等式。
不等式基本公式
不等式基本公式不等式基本公式是解决不等式问题的重要工具，它建立在不等式的基本性质和数学推理的基础上，用于推导和解决各种类型的不等式问题。
下面是不等式基本公式的相关参考内容。
一、不等式基本性质：1. 不等式的传递性：如果a>b且b>c，则a>c。
这个性质可以用于推导和比较不等式的大小关系。
2. 不等式的加法性：如果a>b，则a+c>b+c。
这个性质可以用于将不等式中的常数项相加或相减，推导不等式的等价关系。
3. 不等式的乘法性：如果a>b且c>0，则ac>bc；如果a>b且c<0，则ac<bc。
这个性质可以用于将不等式中的变量进行乘法运算，推导不等式的大小关系。
二、一元一次不等式：1. 加减法不等式解法：对于不等式ax+b>c，可以将不等式中的常数项移项，得到ax>c-b。
然后比较a的正负性和c-b的大小关系，确定不等式的解集。
2. 乘除法不等式解法：对于不等式ax>b，可以将不等式中的常数项移项，得到ax-b>0。
然后比较a的正负性和ax-b的大小关系，确定不等式的解集。
三、一元二次不等式：1. 零点判别法：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，可先求解对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0。
然后根据一元二次方程的求解公式，判断二次函数的图像与x轴的位置关系，确定不等式的解集。
2. 符号判别法：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，也可以利用一元二次方程ax^2+bx+c=0的零点判别式Δ=b^2-4ac，来判断二次函数的图像与x轴的位置关系，确定不等式的解集。
四、一元绝对值不等式：1. 绝对值的定义：对于任意的实数x，|x|表示x的绝对值，定义为：|x|=x，如果x≥0；|x|=-x，如果x<0。
2. 绝对值不等式的性质：对于任意的实数a和b，有以下两个性质：a) |a|>b等价于a>b或a<-b；b) |a|<b等价于-b<a<b。
不等式的基本性质
等式的基本性质一：
等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个 整式 , 所得结果仍是等式。
如果 a = b , 那么 a + c = b + c (或 a – c = b – c ) 等式的基本性质二：
等式两边都乘以（或除以）同一个 数（除数 不能是零），所得结果仍是等式。
如果a = b , 那么 a c = b c（或 a／c =
2 ＜3 2 ×5 ＿ 3 ×5 2×0.3 ＿ 3× 0.3 10×2 10÷5 10＞－10 ＿ －10×2 ＿ －10÷5
2×（－1）＿ 3×（－1） 2÷（－3）＿ 3÷（－3）
10×（－3）＿－10×（－3）
10×（－7）＿－10×（－7）
思考并交流，你发现了不等式的那些性质？
不等式的基本性质二：
不等式的基本性质一：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式， 不等号的方向不变。
如果a﹤b , 那么a + c﹤b + c (或 a – c﹤b – c)
Hale Waihona Puke 如果a﹥b , 那么a + c﹥b + c (或 a – c﹥b – c)
做一做： 如果在不等式的两边都乘以（或除
以）同一个数，结果会怎样？完成下列填空。
b／c，c ≠ 0 ）
做一做: 如果在不等式的两边都加上（或减去）
同 一个整式，结果会怎样？完成下列填空。
2 ＜ 5
2 －1 ＿ 5 －1 2＋3 ＿ 5＋3
7 ＞ － 7
7 ＋2 ＿ － 7 ＋2
7－(－5）＿－7－（－5） 7 －3 ＿ －7 －3 7 －b ＿ －7 －b
2＋（－7）＿ 5＋（－7） 2 ＋a ＿ 5 ＋a
基本不等式公式五个
基本不等式公式五个1. 基本不等式原始形式。
- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。
2. 基本不等式的变形一（均值不等式）- 对于正实数a,b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明：由a^2+b^2≥slant2ab，令A=√(a)，B=√(b)（a,b>0），则A^2+B^2≥slant2AB，即a + b≥slant2√(ab)，所以(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
3. 基本不等式的变形二（推广到三个正数）- 对于正实数a,b,c，有a^3+b^3+c^3≥slant3abc，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 证明：a^3+b^3+c^3-3abc=(a + b + c)(a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca)- 而a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca=(1)/(2)[(a - b)^2+(b - c)^2+(c - a)^2]≥slant0，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 又因为a,b,c>0，所以a^3+b^3+c^3≥slant3abc。
4. 基本不等式的变形三（三个正数的均值不等式）- 对于正实数a,b,c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 证明：由a^3+b^3+c^3≥slant3abc，令A=sqrt[3]{a}，B=sqrt[3]{b}，C=sqrt[3]{c}，则A^3+B^3+C^3≥slant3ABC，即a + b + c≥slant3sqrt[3]{abc}，所以(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}。
不等式基本公式四个
不等式基本公式四个不等式是数学中的一类重要概念，它用来描述变量之间的大小关系。
在解决不等式问题时，我们常常会用到一些基本的公式。
下面我将介绍四个常用的不等式基本公式，并且详细解释它们的应用。
第一个基本公式是"加法性"不等式。
对于任意的实数a、b和c，如果a小于b，那么a加上一个正数c仍然小于b加上c；如果a大于b，那么a加上一个负数c仍然大于b加上c。
这个公式的表达式可以用如下形式表示：a<b⇒a+c<b+ca>b⇒a-c>b-c这个公式的应用非常广泛。
例如，在求解线性不等式时，我们可以对不等式两边同时加上一个常数，从而改变不等式的形式，进而求出解集。
第二个基本公式是"乘法性"不等式。
对于任意的实数a、b和c，如果a小于b，且c为正数，那么a乘以c仍然小于b乘以c；如果a大于b，且c为负数，那么a乘以c仍然大于b乘以c。
这个公式的表达式可以用如下形式表示：a<b⇒a×c<b×ca>b⇒a×c>b×c这个公式的应用也非常广泛。
例如，在求解多项式不等式时，我们可以对不等式的两边同时乘以一个正数或负数，从而改变不等式的形式。
第三个基本公式是"倒数性"不等式。
对于任意的实数a和b，如果a小于b，并且a和b均为正数，那么a的倒数1/a仍然大于b的倒数1/b；如果a大于b，并且a和b均为负数，那么a的倒数1/a仍然小于b的倒数1/b。
这个公式的表达式可以用如下形式表示：a<b⇒1/a>1/ba>b⇒1/a<1/b这个公式的应用常见于求解含有倒数的不等式问题。
例如，在求解分式不等式时，我们需要注意倒数性的特点，将不等式进行转换，得到正确的解集。
第四个基本公式是"平方性"不等式。
对于任意的实数a和b，如果a小于b，并且a和b均为非负数，那么a的平方a²仍然小于b的平方b²。
不等式的基本性质
D
ab .
A
ab 这个圆的半径为 2 显然，它大于或等于CD，
ab 2
ab
C
a
O
b
B
半径不小于半弦
E
二. 最值定理应用:设 x 0, y 0,由x y 2 xy
x 1.若积 xy P(定值），则和 y有最小值2 P
作业：
P10 Ex 3、10、11、13选做来自Ex 14五、基本不等式
一．常用的重要的不等式和基本不等式
a R, 则a 2 0, a 0（ 当且仅当 a 0时, 取“” 1.若 ）。
2.若 a, b R, 则a b 2ab （当且仅当a=b时取等号）.
2 2
a, b R ，则 a b 2 ab （当且仅当a=b时取等号）. 3.若
不等式的基本性质
一.不等式的三个基本事实：
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
比较大小的基本依据。
O
二. 不等式的基本性质(运算性质)
(1)a b b a. 对称性 (2)a b, b c a c. 传递性 (3)a b a c b c. 可加性 (4)a b, c 0 ac bc; 可乘性 a b, c 0 ac bc. (5)a b 0 a b (n N , n 2).
a 2 b2 ab 2 ( ) （当且仅当a=b时取等号）. 4.若a, b R , 则 2 2
1 3：（1）已知0<x< , 求函数y x(1 3x)的最大值。 3
高中基本不等式的公式有什么
高中基本不等式的公式有什么基本不等式两大技巧“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
基本不等式中常用公式(1)√((a?+b?)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。
(当且仅当a=b时，等号成立)(2)√(ab)≤(a+b)/2。
(当且仅当a=b时，等号成立)(3)a?+b?≥2ab。
(当且仅当a=b时，等号成立)(4)ab≤(a+b)?/4。
(当且仅当a=b时，等号成立)(5)||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。
(当且仅当a=b时，等号成立)高中数学常用公式三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b=-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a,-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1__X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac0 注：方程有一个实根b2-4ac0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n__22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41__2+2__3+3__4+4__5+5__6+6__7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2p__2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c__h斜棱柱侧面积S=c__h正棱锥侧面积S=1/2c__h正棱台侧面积S=1/2(c+c)h圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi__r2圆柱侧面积S=c__h=2pi__h圆锥侧面积S=1/2__c__l=pi__r__l弧长公式l=a__ra是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2__l__r锥体体积公式V=1/3__S__H圆锥体体积公式V=1/3__pi__r2h斜棱柱体积V=SL 注：其中S是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式;V=s__h圆柱体V=pi__r2h正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F0抛物线标准方程y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py直棱柱侧面积S=c__h斜棱柱侧面积S=c__h正棱锥侧面积S=1/2c__h正棱台侧面积S=1/2(c+c)h圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi__r2圆柱侧面积S=c__h=2pi__h圆锥侧面积S=1/2__c__l=pi__r__l弧长公式l=a__ra是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2__l__r锥体体积公式V=1/3__S__H斜棱柱体积V=SL 注：其中,S是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s__h圆柱体V=pi__r2h倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)51^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/41__2+2__3+3__4+4__5+5__6+6__7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 常用导数公式1、y=c(c为常数)y=02、y=x^ny=nx^(n-1)3、y=a^xy=a^xlna4、y=e^xy=e^x5、y=logaxy=logae/x6、y=lnxy=1/x7、y=sinxy=cosx8、y=cosxy=-sinx9、y=tanxy=1/cos^2x10、y=cotxy=-1/sin^2x11、y=arcsinxy=1/√1-x^212、y=arccosxy=-1/√1-x^213、y=arctanxy=1/1+x^214、y=arccotxy=-1/1+x^2高中数学常用定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15、角形两边的和大于第三边16、角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、直角三角形的两个锐角互余19、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)31、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35、三个角都相等的三角形是等边三角形36、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、关于某条直线对称的两个图形是全等形43、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形48、四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51、任意多边的外角和等于360°52、平行四边形的对角相等53、平行四边形的对边相等54、夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形的对角线互相平分56、两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、对角线互相平分的四边形是平行四边形59、一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形的四个角都是直角61、矩形的对角线相等62、有三个角是直角的四边形是矩形63、对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形的四条边都相等65、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷267、四边都相等的四边形是菱形68、对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、关于中心对称的两个图形是全等的72、关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
不等式的基本性质和一元二次不等式的解法
我们知道，二次函数322--=x x y 的图像是一条开口向上的抛物线，它与x 轴有两个交点，由方程0322=--x x 的解可得交点的横坐标分别是1-=x ，3=x ，容易看出，当31>-<x x 或时上述函数的图像在x 轴上方，0322>--x x ；当31<<-x 时，上述函数的图像在x 轴下方，即0322<--x x ，于是可得不等式解集为}31|{<<-x x 。
[说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。
解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。
例1．利用二次函数图像解下列不等式。
（1）0322<--x x（2）0442>+-x x练习:解下列不等式：（1）2x 2-3x-2≥0 （2）-3x 2+x+1>0 (3)9x 2+6x+1>0 (4)4x-x 2<5 (5)2x 2+x+1≤0（二）一元二次不等式的解法一般的一元二次不等式可利用一元二次方程02=++c bx ax 与二次函数c bx ax y ++=2的有关性质求解，具体见下表：0>a ，ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 02=++c bx ax的根有两实根21x x x x ==或 有两个相等的实根ab x x x 221-===无实根一元二次不等不等式02>++c bx ax的解集}|{21x x x x x ><或}|{1x x x ≠Ryx0 -1 32|a a -<（a R ∈）20aa -<-。
考研七个基本不等式公式
考研七个基本不等式公式在数学中，不等式是经常用到的基本概念，特别是在解决优化问题和证明问题时。
而不等式的研究和应用也是考研数学中的重点内容之一、下面，我将介绍考研中常用的七个基本不等式公式，包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、夹逼定理、柯西不等式、阿贝尔不等式、平均-均方不等式和泰勒不等式。
1.柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是最基本的不等式之一，它描述了向量内积的性质。
对于实数向量 a=(a1,a2,...,an) 和 b=(b1,b2,...,bn)，柯西-施瓦茨不等式可以表示为：(a1b1+a2b2+...+anbn)^2 ≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)这个不等式给出了向量内积和向量模的关系，是解决线性代数和向量空间问题的基础。
2.均值不等式均值不等式是描述平均数的不等式。
对于任意非负实数a1,a2,...,an，均值不等式可以表示为：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)其中，等号成立的条件是 a1=a2=...=an。
这个不等式告诉我们，对于一组非负实数的平均数，它的值一定大于等于它们的几何平均数。
3.夹逼定理夹逼定理也称为挤压定理，是解析几何中常用的一种方法。
夹逼定理可以用来证明极限存在和计算极限的方法。
夹逼定理的基本思想是：如果函数f(x)≤g(x)≤h(x)成立，并且当x趋于其中一点时，f(x)和h(x)的极限都为L，则函数g(x)的极限也为L。
这个定理的应用范围很广泛，可以用来证明和计算各种类型的极限。
4.柯西不等式柯西不等式是数学分析中的一种重要不等式，它描述了函数的积分性质。
对于两个连续函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上，柯西不等式可以表示为：(∫[a,b]f(x)g(x)dx)，≤ (∫[a,b]f^2(x)dx)^0.5 *(∫[a,b]g^2(x)dx)^0.5其中，等号成立的条件是f(x)和g(x)成比例，即存在常数C，使得f(x)=Cg(x)。
不等式的基本性质
成立
成立
你今天这节 课有什么收 获呢？
我今天学到了 ……
P
9
习题1.2
完成下列填空：
2 3 , 2 5 ___3 5 ; 1 1 2 3 , 2 ___3 ; 2 2
2 3 , 2 (1) ___ 3 (1) ; 2 3 , 2 (5) ___3 (5) ; 1 1 2 3 , 2 ( ) ___3 ( ) ; 2 2
等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一 个代数式，所得结果仍是等式。
a b a c b c
a b
a c b c
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同 一个整式，不等号的方向不变。
等式的基本性质2： 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的 数），所得结果仍是等式。 a b
5 x 1 (1) 6 5 x 6
1 2 x 3 2 2 x6
2.已知x＞y，下列不等式一定成立吗？ (1) x 6 ＞ y 6 ; (2)3x ＞ 3 y ;
不成立
(3) 2 x 2 y ;
不成立
(4) 2 x 1 2 y 1 .
x 1 5 x4
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2， 得
3 x 2
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x<a”的形式： 5 1 (1) 4 x 1 2 (2) x (3) x 3 6 2 解： 解： 4 x 1 1 2 1 解：
4x 3 3 x 4
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本 性质解释这一结论吗？
4 1 6 1 1 4 16 2 l 0 l2 l2 4 16
2.1不等式的基本性质高中
(1)作差； 常用手段:配方法，因式分
(2)变形；
解法。
常见形式:变形为常数；
(3)定号；
一个常数与几
(4)下结论；
个平方和； 几个因式的积。
作商比较两数大小的依据
若 b0
(1) a 1 a b b
(2) a 1 a b b
(3) a 1 a b b
例1：已知a 0,1 b 0 ，那么在
三、例题分析：
例2:(2)已知2x 4y 1 ，比较 x2 y2
作与差210比的较大法:小__xx2_2_y_y2_2__121_0 _
注：特殊值 法容易漏“=”
20
x2
(1 4
1 2
x)2
1（条件 20
2x
4y=1
的应用）
5 x2 - 1 x+ 1 5（x2 - 1 x+ 1 ） 4 4 80 4 5 100
3b 4
1 1 1（乘法单调性）
4 Q2
a
b
3
3
1
-
a
（1 乘法法则）
2b
1 a 1（乘法单调性）
b2
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
• 上式中的左边反映的是实数的运算性质， 而右边则是实数的大小顺序，合起来就成 为实数的运算性质与大小顺序之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大 小，而且是推导不等式的性质，不等式的 证明，解不等式的主要依据。
高中数学不等式公式 高一数学不等式知识点总结
高中数学不等式公式高一数学不等式知识点总结1. 不等式的基本性质：- 两边加（减）一个相同的数，不等式的不等关系不变。
- 两边乘（除）一个正数，不等式的不等关系不变。
- 两边乘（除）一个负数，不等式的不等关系反向。
2. 不等式的解集表示：- 不等式的解集可以用区间表示，例如：(a, b)表示大于a小于b的所有实数。
- 不等式的解集也可以用集合表示，例如：{x|x > a}表示大于a的所有实数。
3. 常见的不等式公式：- 两个数的大小关系：若 a < b，则有 a + c < b + c, a - c < b - c, ac < bc (若 c > 0), ac > bc (若 c < 0), a/c < b/c (若 c > 0), a/c > b/c (若 c < 0)。
- 平方不等式：若 a > b，则有 a^2 > b^2。
- 乘方不等式：若 a > b > 0 且 n > 0，则有 a^n > b^n。
- AM-GM 不等式：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有 (a1 + a2 + ... + an)/n ≥√(a1a2...an)。
4. 不等式的证明方法：- 利用性质证明法：利用前述不等式的基本性质进行推导，将不等式化为已知的形式。
- 利用数轴法：将不等式的解集在数轴上表示出来，通过移动自变量的位置来判断不等式的成立性。
- 利用函数法：将不等式视为一个函数的性质，通过证明函数的单调性来得出不等式的结论。
- 利用数学归纳法：当不等式涉及到自然数时，可以使用数学归纳法来证明不等式的成立性。
以上是高一数学不等式的一些基本知识点总结，希望对你有帮助。
不等式基本公式四个
不等式基本公式四个在数学中，不等式是一种描述数值关系的数学语句。
与等式不同，不等式表示的是两个数值之间的大小关系，而不是相等关系。
不等式是数学中重要的概念之一，它在代数、几何、不等式证明等诸多领域都有应用。
在学习不等式的过程中，有四个基本的不等式公式是我们需要掌握的。
它们分别是：加法不等式、减法不等式、乘法不等式和除法不等式。
1.加法不等式：加法不等式是描述两个数相加的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，那么有以下的加法不等式：-如果a>b，则有a+c>b+c。
-如果a<b，则有a+c<b+c。
2.减法不等式：减法不等式是描述两个数相减的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，那么有以下的减法不等式：-如果a>b，则有a-c>b-c。
-如果a<b，则有a-c<b-c。
3.乘法不等式：乘法不等式是描述两个数相乘的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，其中c不等于零，那么有以下的乘法不等式：-如果a>b且c>0，则有a*c>b*c。
-如果a>b且c<0，则有a*c<b*c。
-如果a<b且c>0，则有a*c<b*c。
-如果a<b且c<0，则有a*c>b*c。
4.除法不等式：除法不等式是描述两个数相除的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，其中b和c不等于零，那么有以下的除法不等式：-如果a>b且c>0，则有a/c>b/c。
-如果a>b且c<0，则有a/c<b/c。
-如果a<b且c>0，则有a/c<b/c。
-如果a<b且c<0，则有a/c>b/c。
这四个基本的不等式公式是解决不等式问题的基础。
在实际应用中，我们常常需要通过变形、化简或使用合适的不等式公式来推导和解决具体的不等式问题。
除了这四个基本的不等式公式，还有一些其他和应用广泛的不等式公式，比如柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、三角不等式等等。
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基本不等式的性质公式
基本不等式是数学中一个重要的定理，用来证明任意两个正整数之和与其乘积
之间的关系。
它是由希腊数学家厄拉多顿于公元前六世纪推导出的定理，被发现与解决现实世界中重要的数学问题有重大关联，比如资源分配和宏观经济发展等方面。
基本不等式定理通常由下面这个经典式子来描述：
x*y≥x+y
两边同乘以2，得
2xy≥x+y+2xy
此时，左右两边等号后乘以x+y得
(x+y)^2≥2xy
也等价于
x^2+2xy+y^2≥2xy
减去2xy，得
x^2+y^2≥0
由此可得，任意两个正整数之和与其乘积之间必定有一定的关系存在，
x^2+y^2≥0，即x^2+y^2的值大于等于零，即两者之和大于等于零，这就是基本不等式的结论。
基本不等式的结论有着丰富的应用，是数学上许多重要的证明的基石。
它的应
用分为两大类：一类是在几何学中，凡是有关于圆、长方形、正三角形、棱锥等几何体的证明，几乎都可以用它来完成，比如证明圆的三角边框面积大于垂径所围面积；另一类是在不等式上的应用。
基本不等式可以用来解决关于整数的最大公约数和最小公倍数、平面几何问题最优解、排列组合、计算机编程等问题。
在实际应用中，基本不等式也可以用来证明人类活动中复杂的道德和政治判断，这通常也就是衡量人类社会的一组基本的原则。
比如古希腊哲学家庞塞尔说过：“一切伦理秩序，就是基于均衡的思想，有着权重和分配之间的平衡，以及自然界
中等式和不等式之间的平衡。
”如此看来基本不等式desu衰落，在现实生活中也并不只是数学定理，而是深刻影响着人类各行各业道德准则的重要支柱。
综上所述，基本不等式是数学上重要的定理，它不仅是解决实际问题的重要工具，而且也成为了现代社会道德和政治判断的基石。
基本不等式的历史与现代，有着深远的影响力，一直都有着重要的作用。