正多边形、圆、弧长公式及计算

正多边形和圆、弧长公式及有关计算

［学习目标］

1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

2. 正多边形和圆的关系定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：

（1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。

（1）画正n边形的步骤：

将一个圆n等分，顺次连接各分点。

（2）用量角器等分圆

先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的

，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6. 圆周长公式：，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。

7. n°的圆心角所对的弧的弧长：

n表示1°的圆心角的度数，不带单位。

8. 正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。

二. 重点、难点：

1. 学习重点：

正多边形和圆关系，弧长公式及应用。

正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。

只有正五边形、正四边形对角线相等。

2. 学习难点：

解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。

【典型例题】

例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）

A. B. C. D.

解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1

又∵∠FAG＝60°

故选B

点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（）

A. 1∶2∶3

B.

C. D.

解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高

设，则AO＝2r，AD＝3r

∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3

故选A

点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的。通过这个定理可以使问题得到解决。

例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积之间的大小关系是（）

A. B.

C. D.

解析：设它们的周长为，则正三角形的边长是，正四边形的边长为，正六边形的边长为

故选B

点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。

例4. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：（1）；

（2）

点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。

证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则

∴∠BEA＝36°

（2）

又∵公共角∠ABM＝∠EBA

∴△ABM∽△EBA

例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。

解：∵正六边形的半径等于边长

∴正六边形的边长

正六边形的周长

正六边形的面积

点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。

例6. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。

解：∵正方形的边长为2cm

∴正方形的外接圆半径为cm

∴外接圆的外切正三角形一边上的高为cm

∴正三角形的边长为

∴正三角形的面积为

点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。

例7. 如图所示，已知⊙和⊙外切于点P，⊙和⊙的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧

所围的阴影部分的面积。

解：连结，过点作

在中，

∴梯形的面积为：

又∵

∴扇形的面积为：

扇形的面积为：

∴阴影部分的面积为：

点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。

例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。

解：由弧长公式，得：

当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为

∴弧长增加，故填

点拨：本题主要考查弧长公式。

例9. 如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a 与b之间的关系是（）

A. B. C. D.

解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r

由题意，得：

∴小圆的半径

∴每个小半圆的弧长为

∴n个小半圆的总弧长

即，故选A。

点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。

例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的的长为，的长为，若，则图中阴影部分的面积为（）

A. B. C. D.

解：设∠O＝α，由弧长公式得：

又

∴阴影部分的面积为：

故选C

点拨：本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。

例11. 如图所示，⊙O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之比为3∶7的两段弧，求弦AB的长，如果将3∶7改为m∶n，此时弦AB的长度是多少？