2017二次函数应用题专题训练Word版

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(完整word版)中考经典二次函数应用题(含答案),推荐文档

二次函數應用題1、某體育用品商店購進一批滑板，每件進價為100元，售價為130元，每星期可賣出80件.商家決定降價促銷，根據市場調查，每降價5元，每星期可多賣出20件. （1）求商家降價前每星期の銷售利潤為多少元？（2）降價後，商家要使每星期の銷售利潤最大，應將售價定為多少元？最大銷售利潤是多少？2、某商場將進價為2000元の冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉”政策の實施，商場決定採取適當の降價措施.調查表明：這種冰箱の售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．（1）假設每臺冰箱降價x 元，商場每天銷售這種冰箱の利潤是y 元，請寫出y 與x 之間の函數運算式；（不要求寫引數の取值範圍）（2）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？（3）每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱の利潤最高？最高利潤是多少？3、張大爺要圍成一個矩形花圃．花圃の一邊利用足夠長の牆另三邊用總長為32米．矩米の籬笆恰好圍成．圍成の花圃是如圖所示の矩形ABCD ．設AB 邊の長為x 形ABCD の面積為S 平方米．（1）求S 與x 之間の函數關係式（不要求寫出自變數x の取值範圍）．（2）當x 為何值時，S 有最大值？並求出最大值．（參考公式：二次函數2y ax bx c =++（0a ≠），當2bx a=-時，244ac b y a -=最大(小)值)4、某電視機生產廠家去年銷往農村の某品牌電視機每臺の售價y （元）與月份x 之間滿足函數關係502600y x =-+，去年の月銷售量p （萬臺）與月份x 之間成一次函數關係，其中兩個月の銷售情況如下表：月份1月 5月銷售量3.9萬臺4.3萬臺求該品牌電視機在去年哪個月銷往農村の銷售金額最大？最大是多少？5、某商場試銷一種成本為每件60元の服裝，規定試銷期間銷售單價不低於成本單價，且獲利不得高於45%，經試銷發現，銷售量y （件）與銷售單價x （元）符合一次函數y kx b =+，且65x =時，55y =；75x =時，45y =．（1）求一次函數y kx b =+の運算式；（2）若該商場獲得利潤為W 元，試寫出利潤W 與銷售單價x 之間の關係式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？（3）若該商場獲得利潤不低於500元，試確定銷售單價x の範圍．6、某商場在銷售旺季臨近時，某品牌の童裝銷售價格呈上升趨勢，假如這種童裝開始時の售價為每件20元，並且每週（7天）漲價2元，從第6周開始，保持每件30元の穩定價格銷售，直到11周結束，該童裝不再銷售。

(完整word版)二次函数的性质与应用

二次函数的性质与应用，主要研究：顶点、对称轴、最值、对称性、增减性、与坐标轴交点、图象平移、图象与方程（不等式）、图象信息、图象结合几何问题，实际应用问题等1、抛物线y=－x2+(m－1）x+m与y轴交于（0，3）点。

（1)求出这条抛物线解析式; (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；(3）求出最值、画出图象; （4)x取什么值时，y的值随x的增大而减小？（5）x取什么值时，抛物线在x轴上方?2、已知函数（1）m= 时,函数图像与x轴只有一个交点; (2）m为何值时,函数图像与x轴没有交点;3、抛物线的一部分如右上图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是4将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后,所得抛物线的解析式为y=x2﹣1，则原抛物线的解析式为．5、如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1,0)，B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是___________．5、二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是( ）A、b≥ B、b≥1或b≤-1 C、b≥2 D、1≤b≤2二次函数的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当时,函数y随x的增大而增大；⑤当时，．其中，正确的说法有________ ．(请写出所有正确说法的序号）抛物线顶点坐标为点C（1，4),交x轴于点A(3,0），交y轴于点B.（1)求此抛物线的解析式；（2)抛物线上是否存在点P,使S△ABP=S△ABC,若存在,求出P点坐标；若不存在,请说明理由.如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm,点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2)求△PBQ的面积的最大值．1、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD,AC=4BC，设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )A、B、C、D、二、综合题（共2题；共25分）2、（2015•崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1）求证：△AEF∽△ABC；（2)求这个正方形零件的边长；（3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少?3、（2016•义乌）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0。

中考一轮复习二次函数专题之实际应用问题和线段问题(word版含简单答案)

二次函数专题一，二次函数实际应用问题（经济类）1．某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y （盏）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10700y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？2．某水果批发商场经销一种水果，如果每干克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元．日销售量将减少20千克．（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．3．东莞某镇斥资打造夜市网红街，王阿姨在这夜市做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件的销售单价x （元）满足一次函数关系：y ＝﹣2x +140（x ＞40）．（1）若设每天的利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 4．某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出售，每天可售出30本．调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少3本．（1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？最大利润是多少元？5．524红薯富含膳食纤维，维生素（A ，B ，C ，D ，E ）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱.某土特产批发店以30元/箱的价格进货.根据市场调查发现，批发价定位48元/箱时，每天可销售500箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量50箱．（1）写出每天的利润w 与降价x 元的函数关系式；（2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？（3）要使每天的利润为9750元，并让利于民，应降价多少元？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．（1）若降价x元，则平均每天销售数量为件（用含x的代数式表示）；（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？（3）若每件盈利不少于24元，不多于36元，求该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为多少？二，二次函数几何综合（线段类）7．如图，已知直线y＝﹣23x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣23x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当DECD＝AEOE时，求t的值；①当CD平分①ACB 时，求ABC的面积．8．已知抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B(﹣3，0)和点C(1，0)，顶点为点M．（1）请求出抛物线的解析式和顶点M的坐标；（2）如图1，点E为x 轴上一动点，若AME的周长最小，请求出点E的坐标；（3）点F为直线AB上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2，m)．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P 的坐标．10．综合与探究如图，已知点B （3，0），C （0，-3），经过B ．C 两点的抛物线y =x 2-bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式;（2）点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．（3）若点E （2，-3），在坐标平面内是否存在点P ，使以点A ，B ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，此时点P 的坐标是（3）点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出①BCQ 面积的最大值．（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，B ，C 两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）．（1）直线BC 的解析式为________．（2）求抛物线所对应的函数解析式．（3）①顶点D 的坐标为________；①当0≤x ≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________．（4）若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．13．如图，已知抛物线2134y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知B 点的坐标为B （6，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）M 为线段BC 上方抛物线上一点，N 为线段BC 上的一点，若MN ①y 轴，求MN 的最大值；答案第1页，共2页参考答案1．（1）40元；（2）48元时， 3960元 2．（1）涨价5元（2）当涨价为152元时，利润最大，最大利润为6125元 3．（1）w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600（x ＞40）（2）销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元4．（1）10元或8元；（2）每本售价定为9元时，利润最大，最大利润是108元 5．（1）()2504009000018w x x x =-++≤≤，（2）当降价4元时，每天可获得最大利润，最大利润为9800（3）应降价5元 6．（1）（30+3x ）（2）每件商品应降价20元（3）该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元7．（1）224233y x x =-++（2）①2；①548．（1）y =-x 2-2x +3；顶点M 的坐标为（-1，4）；（2）点E （-37，0）；（3）点P 的坐标为（2，-5）或（1，0）．9．（1）223y x x =--；（2）P 13(,)22-10．（1）223y x x =--；（2）点D 的坐标为()1,2-；（3）存在，1(2,3)P --，2(6,3)P -，3(0,3)P ．答案第2页，共2页11．（1）234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；（2）35,22P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）8；（4）存在，()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭或4⎫-⎪⎪⎝⎭．12．（1）3y x =-+ ；（2）2y x 2x 3=-++ ；（3）①()1,4D；①4，-5；（4）9413．（1）抛物线解析式为2134y x x =-++，抛物线对称轴为直线2x =；（2）当P 点坐标为（2，2）时，使得①P AC 的长最小；（3）94。

(完整word版)二次函数基础练习题大全(含答案)(可编辑修改word版)

二次函数基础练习题练习一二次函数1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t时间t（秒） 1 2 3 4 …距离s（米） 2 8 18 32 …写出用t 表示s 的函数关系式：3x22 、下列函数：① y= ；② y= x2- x(1 + x)；③y= x2(x2+ x)- 4 ；④y= 1+ x；x2⑤y= x(1- x)，其中是二次函数的是，其中a= ，b= ，c=3、当m时，函数y= (m- 2)x2+ 3x- 5（m为常数）是关于x的二次函数4、当m=____时，函数y=(m2+m)x m2-2m-1是关于x的二次函数5、当m= _ _ _ _ 时，函数y= (m- 4)x m2-5m+6+3x 是关于x的二次函数6、若点A ( 2, m)在函数y =x 2- 1 的图像上，则A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式S＝πr2 中，s 与r 的关系是（）A、一次函数关系B、正比例函数关系C、反比例函数关系D、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加x cm，那么面积增加ycm2，①求y 与x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加8cm2.10、已知二次函数y =ax 2+c(a ≠ 0), 当x=1 时，y= -1；当x=2 时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24 米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1）如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S（米2）与x 有怎样的函数关系？（2）请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32 米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二函数 y = ax 2 的图像与性质1、填空：（1）抛物线 y = 1x 2 的对称轴是（或），顶点坐标是，当 x2时，y 随 x 的增大而增大，当 x时，y 随 x 的增大而减小，当 x=时，该函数有最值是；（2）抛物线 y = - 1x 2 的对称轴是（或），顶点坐标是，当 x时，y 随 x2的增大而增大，当 x 时， y 随 x 的增大而减小，当 x= 时，该函数有最值是；2、对于函数 y = 2x 2 下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随 x 的增大而减小；④图像关于 y 轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝ 1 gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函 2数图像大致是（） ttttABC D5、函数 y = ax 2 与 y = -ax + b 的图像可能是（）A ．B ．C ．D ． 6、已知函数y = m xm 2- m - 4的图像是开口向下的抛物线，求m的值.7、二次函数 y = mx m2-1在其图像对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，求 m 的值.8、二次函数 y = - 3x 2 ，当 x ＞x ＞0 时，求 y 与 y的大小关系.1 2 1 229、已知函数y=(m+2)x m2+m-4是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大；（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ 10、如果抛物线y = a x 2 与直线y = x - 1交于点(b , 2)，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三函数 y = ax 2 + c 的图象与性质1、抛物线 y = -2x 2 - 3 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当 x 时,y 随 x 的增大而增大, 当 x时, y 随 x 的增大而减小.2、将抛物线 y = 1x 2 向下平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为,再向上平移 3 个单位得3到的抛物线的解析式为,并分别写出这两个函数的顶点坐标、.3、任给一些不同的实数 k ，得到不同的抛物线 y =x 2 +k ，当 k 取 0， ± 1 时，关于这些抛物线有以下判断： ①开口方向都相同； ②对称轴都相同； ③形状相同； ④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线 y = 2x 2 - 1 向上平移 4 个单位后，所得的抛物线是，当 x=时，该抛物线有最（填大或小）值，是.5、已知函数 y = mx 2 + (m 2 - m )x + 2 的图象关于 y 轴对称，则 m ＝； 6、二次函数 y = ax 2 + c (a ≠ 0)中，若当 x 取 x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当 x 取 x 1+x 2 时，函数值等于.练习四函数 y = a (x - h )2的图象与性质1、抛物线 y = - 1(x - 3)2 ，顶点坐标是,当 x 时,y 随 x 的增大而减小，函数有2最值.2、试写出抛物线 y = 3x 2 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. 2 （1）右移 2 个单位；（2）左移个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位.33、请你写出函数 y = (x + 1)2和 y = x 2 + 1 具有的共同性质（至少 2 个）.4、二次函数 y = a (x - h )2的图象如图：已知 a = 1，OA=OC ，试求该抛物线2的解析式.5、抛物线 y = 3(x - 3)2 与 x 轴交点为 A ，与 y 轴交点为 B ，求 A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数 y = a (x - 4)2 ，当自变量 x 由 0 增加到 2 时，函数值增加 6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值 y 随 x 值的变化情况.7、已知抛物线 y = x 2 - (k + 2)x + 9 的顶点在坐标轴上，求 k 的值.练习五y = a (x - h )2+ k 的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝ 1 2(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数12 的图象可由函数12 的图象向平移3 个单位，再向平移 2y= (x+3) -2 2 个单位得到.y= x25、已知抛物线的顶点坐标为(2,1)，且抛物线过点(3, 0)，则抛物线的关系式是6、如图所示，抛物线顶点坐标是 P （1，3），则函数 y 随自变量 x 的增大而减小的 x 的取值范围是（）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数 y = -3(x - 2)2+ 9 .（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当 x= 时，抛物线有最值，是 .（3）当 x 时，y 随 x 的增大而增大；当 x 时，y 随 x 的增大而减小. （4）求出该抛物线与 x 轴的交点坐标及两交点间距离；（5）求出该抛物线与 y 轴的交点坐标；（6）该函数图象可由 y = -3x 2 的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数 y = (x + 1)2- 4 .（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）若图象与 x 轴的交点为 A 、B 和与 y 轴的交点 C ，求△ABC 的面积；（3）指出该函数的最值和增减性；（4）若将该抛物线先向右平移 2 个单位，在向上平移 4 个单位，求得到的抛物线的解析式；（5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6）画出该函数图象，并根据图象回答：当 x 取何值时，函数值大于 0；当 x 取何值时，函数值小于 0.练习六y = ax 2 + bx + c 的图象和性质1、抛物线 y = x 2 + 4x + 9 的对称轴是.2、抛物线 y = 2x 2 - 12x + 25 的开口方向是，顶点坐标是.3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线 x=-2，且与 y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数y = -1x 2 - 3x - 5的图象向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位，则两次平移22后的函数图象的关系式是6、抛物线 y = x 2 - 6x - 16 与 x 轴交点的坐标为；7、函数 y = -2x 2 + x 有最值，最值为；8、二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单位，得到的图象的函数解析式为 y = x 2 - 2x + 1，则 b 与 c 分别等于（）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数 y = x 2 - 2x - 1的图象在 x 轴上截得的线段长为（）A 、2B 、3C 、2D 、310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1） y = 1x 2 - 2x + 1；（2） y = -3x 2 + 8x - 2 ；（3） y = - 1x 2 + x - 42 411、把抛物线 y = -2x 2 + 4x + 1沿坐标轴先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由. 12、求二次函数 y = -x 2 - x + 6 的图象与 x 轴和 y 轴的交点坐标13、已知一次函数的图象过抛物线y = x 2 + 2x + 3的顶点和坐标原点 1）求一次函数的关系式；2233yO5 x2）判断点(- 2, 5)是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台 2500 元进口一批彩电.如每台售价定为 2700 元，可卖出 400 台，以每 100 元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出 50 台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七y = ax 2 + bx + c 的性质1、函数y = x 2 + p x + q 的图象是以(3, 2)为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为2、二次函数y = m x 2 + 2x + m - 4m 2 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线y = a x2 + b x + c 与y 轴交于点A (0, 2) ，它的对称轴是x = -1，那么ac=b4、抛物线 y = x 2 + bx + c 与 x 轴的正半轴交于点 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，且线段 AB 的长为 1， △ABC 的面积为 1，则 b 的值为.5、已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则 a0，b0，c0， b 2 - 4ac0；6、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图，则直线 y = ax + bc 的图象不经过第象限.7、已知二次函数y = a x 2 + b x + c （ a ≠ 0 ）的图象如图所示，则下列结论：1）a ,b 同号；2）当x = 1和x =3 时，函数值相同；3） 4a + b = 0 ；4）当y = - 2时，x 的值只能为 0；其中正确的是（第 5 题）（第 6 题）（第 7 题）（第 10 题）8、已知二次函数 y = -4x 2 - 2mx + m 2 与反比例函数 y = 2m + 4 的图象在第二象限内的一个交点的x横坐标是-2，则 m=9、二次函数y = x 2 + a x + b 中，若a + b =0，则它的图象必经过点（）A (- 1,- 1)B (1,- 1)C (1,1)D (- 1,1)10、函数 y = ax + b 与 y = ax 2 + bx + c 的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（）A、ab > 0, c > 0B、ab < 0, c > 0C、ab > 0, c < 0D、ab < 0, c < 011、已知函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y =ax +b 的图象是（）12、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个13、抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③ ＞；④＜1.其中正确的结论是（）.（A）①②（B）②③（C）②④（D）③④3a，且它的图象经过(- 1,- 2)，(1, 6)两点，14、二次函数y= a x2+ b x+ c的最大值是-求a、b、c的值。

(完整word版)二次函数精选练习题及答案

二次函数练习题及答案一、选择题1．将抛物线23y x =先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是（ )A 23(2)1y x =++B 。

23(2)1y x =+-C 。

23(2)1y x =-+ D.23(2)1y x =-- 2．将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（ ) Ａ．32+=x y ; Ｂ．12+=x y ；Ｃ．2)1(2++=x y ；Ｄ．2)1(2+-=x y ．3．将抛物线y= (x —1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A ．y=（x —2）2B ．y=（x —2)2+6C ．y=x 2+6D ．y=x 24．由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当x<3时，y 随x 的增大而增大5．如图，抛物线的顶点P 的坐标是(1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（ )A ．最大值1B ．最小值﹣3C ．最大值﹣3D ．最小值16．把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（）A ．2(3)3y x =-+B ．2(3)1y x =-+C ．2(1)3y x =-+D ．2(1)1y x =-+7．抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C 。

b= -2,c=-1 D 。

b= -3， c=2二、填空题8．二次函数y=－2(x －5)2＋3的顶点坐标是．9．已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上，当1201,23x x <<<<时，则1y 2y （填“>”或“<”）．x 0 1 2 3 y1- 2 3 210．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为．11．求二次函数2245y x x =--的顶点坐标(＿＿＿）对称轴＿＿＿＿。

(完整word)二次函数的应用

二次函数的应用题型一列解析式例1、正方形的边长为3,如果边长增加x，那么面积增加y，则y与x之间的函数表达式是（）A．y=3x B．y=（3+x）2C．y=9+6x D．y=x2+6x例2、如图,某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB=1。

6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内,涵洞截面所在抛物线的解析式是．例3、合肥市2013年平均房价为6500元/m2．若2014年和2015年房价平均增长率为x,则预计2015年的平均房价y(元/m2）与x之间的函数关系式为．题型二利用待定系数法例4、某工厂生产的A种产品,它的成本是2元，售价是3元,年销量为100万件，为了获得更好的效益,厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计,每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y 倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：x（十万元）012y11。

5 1.8(1)求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元)的函数关系式；(3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？例5、某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：y A=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二:如果单独投资B种产品，则所获利润y B(万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3。

2万元．(1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;（2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？例6、某公司拟用运营指数y来量化考核司机的工作业绩,运营指数(y)与运输次数(n)和平均速度（x）之间满足关系式为y=ax2+bnx+100，当n=1，x=30时，y=190;当n=2，x=40时,y=420．(1）用含x和n的式子表示y；（2）当运输次数定为3次，求获得最大运营指数时的平均速度;(3）若n=2,x=40,能否在n增加m%（m＞0）,同时x减少m%的情况下，而y的值保持不变?若能,求出m的值；若不能，请说明理由．例7、鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时,y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2)求该公司销售该原料日获利w(元）与销售单价x(元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时,该公司日获利最大？最大获利是多少元？例8、某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元)与年产量x(万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示)；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w 万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式;（2）求w与x之间的函数关系式;并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元,今年最多可获得多少万元的毛利润?题型三分析数量关系法例9、为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯,并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元)与销售单价x（元）之间的关系式(利润=销售额﹣成本）;(2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大?最大利润是多少元？例10、一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T 恤进行涨价销售,经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式,并求出销售单价定为多少元时,每周的销售利润最大？例11、某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．（1）设商场销售该种商品每月获得利润为w（元），写出w与x之间的函数关系式；（2）如果商场想要销售该种商品每月获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元?(3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．例12、春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法,对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九(1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如表:鲜鱼销售单价(元/kg）20单位捕捞成本(元/kg）5﹣捕捞量(kg)950﹣10x（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天末的捕捞量相比是如何变化的?（2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x(天）之间的函数关系式？(当天收入=日销售额﹣日捕捞成本）（3）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少?例13、某旅行社推出一条成本价位500元/人的省内旅游线路，游客人数y(人/月）与旅游报价x（元/人）之间的关系为y=﹣x+1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间．（1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，求该旅游线路报价的取值范围;(2）求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本;（3）档这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少？例14、某水果销售商发现某种高档水果市场需求量较大，经过市场调查发现月销量y（箱)与销售单价x（元/箱）之间的函数关系y=﹣x+800，而该种水果的进价z(元/箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系为z=x+240．已知每月为此支付员工工资和场地租金等费用总计20000元．（注：月获利=月销售总额﹣月进货总价﹣工资和租金费用）（1）求月获利w（元)与x之间的函数关系式；（2）当销售单价x为何值时，月获利最大？并求出这个最大值；(3）若该水果店希望销售这种水果的月利润不低于2。

(完整版)二次函数专题

专题训练(三) 与函数有关的最值问题类型之一由不等关系确定的最值问题1．某工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，两种加工方式如下表：现将这50吨原料全部加工完．(粗加工与精加工不能同时进行)(1)设其中粗加工x吨，共获利y元，求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)(2)如果必须在20天内加工完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？类型之二由一次函数确定的最值问题2．某工厂计划为地震灾区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5 m3，一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7 m3，工厂现有库存木料302 m3.(1)有多少种生产方案？(2)现要把生产的全部桌椅运往地震灾区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费为2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费为4元，求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．(总费用＝生产成本＋运费)类型之三由二次函数确定的最值问题3．一个边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图Z－3－1)，其中AF＝2，BF＝1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．图Z－3－14.[2015·青岛] 如图Z－3－2，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2＋bx＋c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？图Z－3－2类型之四用换元法求最值5．求函数y＝x－1－2x的最值．类型之五用数形结合法求最值6．函数y＝x2－4x＋13＋x2－12x＋37的最小值是________．类型之六自变量x在某一范围内的最值7．求二次函数y＝－4x2＋8x－3在－2≤x≤2上的最大值和最小值．8．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y ＝x2－6x＋7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2－6x＋7的图象的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，当x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则当x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则当x＝m时，y的最大值为m2－6m＋7.请你参考小明的思路，解答下列问题：(1)当－2≤x≤4时，二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值为________；(2)若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值；(3)若t≤x≤t＋2时，二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值为31，则t的值为________．图Z－3－3 专题训练(五) 巧用抛物线的对称性妙解题类型之一利用对称性比较函数值的大小1．点A(－2，y1)，B(3，y2)是二次函数y＝2(x－1)2－1的图象上的两点，则y1与y2的大小关系是( )A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象过点A(1，n)，B(3，n)，若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，K(8，y3)也在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象上，则下列结论正确的是( ) A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2类型之二利用对称性求交点坐标3.如图5－ZT－1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B的坐标为()图5－ZT－1A．(2，3) B．(3，2)C．(3，3) D．(4，3)4．如图5－ZT－2，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( )图5－ZT－2A．0 B．－1C．1 D．25．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．类型之三利用对称性求长度6．如图5－ZT－3是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10 m(不考虑立柱的粗细)，其中距点A10 m处的立柱FE 的高度为3.6 m.(1)求正中间的立柱OC的高度；(2)是否存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半？请说明理由．图5－ZT－3类型之四巧用对称性求二次函数的表达式7．已知二次函数的函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x＝－3，此二次函数的表达式为________________．8．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x ＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．9．二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．类型之五利用对称性求面积10．二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y 轴对称，顶点A和它的x轴的两个交点B，C所构成的△ABC的面积为( )A．1 B．2 C.12D.3211．已知二次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”“＜”)；(2)如图5－ZT－4，此二次函数y＝2x2＋m的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x 轴上，求图中阴影部分的面积之和．图5－ZT－4类型六利用对称性求不等式的解集或字母的取值范围12．如图5－ZT －5是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A (3，0)，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是______________．图5－ZT －513．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上部分点的对应值如下表：则当y <0时，x 的取值范围为____________．类型之七利用对称性解决线段和最短问题14．如图5－ZT －6，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A ，B 之间(C 不与A ，B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为________(用含a 的式子表示)．图5－ZT －615．[2015·酒泉] 如图5－ZT －7，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x 轴相交于点M.(1)求抛物线的表达式和对称轴．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)连接AC ，在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图5－ZT －7专题训练(四) 二次函数图象信息专题类型之一根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号1．已知b ＜0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列四个图象之一．试根据图象分析，a 的值应等于()图4－ZT －1A ．－2B ．－1C ．1D ．22.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4－ZT －2所示，则abc ，b 2－4ac ，2a ＋b ，a ＋b ＋c 这四个式子中，值为正数的有()图4－ZT －2A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．[2016·广安] 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图4－ZT －3所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根．下列结论：①b 2－4ac ＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2.其中，正确的个数为( )图4－ZT－3A．1 B．2 C．3 D．4类型之二利用二次函数的图象比较大小4．[2016·兰州] 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3类型之三利用二次函数的图象求方程或不等式的解5．如图4－ZT－4，以(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的正数解的范围是()图4－ZT－4A．2＜x＜3 B．3＜x＜4C．4＜x＜5 D．5＜x＜66．如图4－ZT－5，抛物线y＝x2＋1与双曲线y＝kx的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式x2＋1＜kx的解集是( )图4－ZT－5A．x＞1 B．x＜0C．0＜x＜1 D．－1＜x＜07．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4－Z－6所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是______________．图4－ZT－68．如图4－ZT－7是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是______________．图4－ZT－7类型之四根据抛物线的特征确定一次函数或反比例函数的图象9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－8所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx在同一平面直角坐标系中的大致图象为()图4－ZT－8图4－ZT－910．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图4－Z－10所示，则一次函数y＝bx＋c的图象不经过第________象限．图4－ZT－10类型之五有关二次函数的综合题11．如图4－ZT－11，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝x23(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，过点D作直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则DEAB＝________．图4－ZT－1112.如图4－ZT－12，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．图4－ZT－1213．已知抛物线y＝x2－(k＋2)x＋5k＋24和直线y＝(k＋1)x ＋(k＋1)2.(1)求证：无论k取何实数值，抛物线与x轴都有两个不同的交点；(2)抛物线与x轴交于点A，B，直线与x轴交于点C，设A，B，C三点的横坐标分别是x1，x2，x3，求x1·x2·x3的最大值；(3)如图4－ZT－13所示，如果抛物线与x轴交于点A，B，点A，B在原点的右边，直线与x轴交于点C，点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D，E，直线AD交直线CE 于点G，且CA·GE＝CG·AB，求抛物线的函数表达式．图4－ZT－13。

(完整word版)九年级数学二次函数应用题专题复习

二次函数应用题专题复习（含答案）例1、实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．例2、（2016•葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？例3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．例4、九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．例5、（2016•绥化）自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为．（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．例6、（2016•黄石）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？对应练习：1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米B．3米C．5米D．6米2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（）A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第9.5秒B．第10秒C．第10.5秒D．第11秒4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A．y=（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣3）2 D．y=（x﹣3）25．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．2s B．4s C．6s D．8s6一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．14米7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________米．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为_________元．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是_________．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________米．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________件（用含x的代数式表示）．15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？16．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？17．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？18．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）19．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？参考答案与点评例1、实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．，则＞价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；（2）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案；（3）根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案．【解答】解：（1）设y=kx+b，把（22，36）与（24，32）代入得：，解得：，则y=﹣2x+80；（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意得：（x﹣20）y=150，则（x﹣20）（﹣2x+80）=150，整理得：x2﹣60x+875=0，（x﹣25）（x﹣35）=0，解得：x1=25，x2=35（不合题意舍去），答：每本纪念册的销售单价是25元；（3）由题意可得：w=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，此时当x=30时，w最大，又∵售价不低于20元且不高于28元，∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每本的利润=w得出函数关系式是解题关键．例3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．考点：二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网分析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．解答：解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，由题意得，，解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15，所以，不等式组的解集是11≤x≤15，∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；（2）设总利润为W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，=30x2﹣540x+12000，=30（x﹣9）2+9570，当x＞9时，W随x的增大而增大，∵11≤x≤15，∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．点评：本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．例4、九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．【分析】（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．【解答】解：（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；当50＜x≤90时，y=90．∴售价y与时间x的函数关系式为y=．由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），当1≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．（2）当1≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，∵a=﹣2＜0且1≤x≤50，∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．（3）当1≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤53，∵x为整数，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．【点评】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；（2）利用二次函数与一次函数的性质解决最值问题；（3）得出关于x的一元一次和一元二次不等式．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据给定数量关系，找出函数关系式是关键．例5、（2016•绥化）自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为0＜x＜5．（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．【分析】（1）根据题意容易得出结论；（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜0，即可得出结果；（3）设x2﹣2x﹣3=0，解方程得出抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标，画出二次函数y=x2﹣，2x﹣3的大致图象，由图象可知：当x＜﹣1，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5=2x﹣3＞0，即可得出结果．【解答】解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；故答案为：①，③；（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜0，∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5；故答案为：0＜x＜5．（3）设x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣2x﹣3＞0，∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1，或x＞3．【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键．例6、（2016•黄石）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？【分析】（1）构建待定系数法即可解决问题．（2）先求出馆内人数等于684人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间，即可解决问题．【解答】解（1）由图象可知，300=a×302，解得a=，n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣，∴y=，（2）由题意﹣（x﹣90）2+700=684，解得x=78，∴=15，∴15+30+（90﹣78）=57分钟所以，馆外游客最多等待57分钟．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．反馈练习参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米B．3米C．5米D．6米考点：二次函数的应用．分析：直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案．解答：解：h=﹣5t2+10t+1=﹣5（t2﹣2t）+1=﹣5（t﹣1）2+6，故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键．2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（）A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元考点：二次函数的应用．分析：首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，根据题意得出：W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，∴最大利润为：==46（万元），故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用，得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键．3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第9.5秒B．第10秒C．第10.5秒D．第11秒考点：二次函数的应用．分析：根据题意，x=7时和x=14时y值相等，因此得到关于a，b的关系式，代入到x=﹣中求x的值．解答：解：当x=7时，y=49a+7b；当x=14时，y=196a+14b．根据题意得49a+7b=196a+14b，∴b=﹣21a，根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，当x=﹣=10.5时，y最大即高度最高．因为10最接近10.5．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关键．4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A．y=（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣3）2D． y=（x﹣3）2考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解答：解：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a=，故右边抛物线的解析式为y=（x﹣3）2．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．5．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．2s B．4s C．6s D．8s考点：二次函数的应用．分析：礼炮在点火升空到最高点处引爆，故求h的最大值．解答：解：由题意知礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是：，∵＜0∴当t=4s时，h最大为40m，故选B．点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．6．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．14米考点：二次函数的应用．分析：把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出小球距离地面的最大高度．解答：解：h=﹣5t2+20t﹣14=﹣5（t2﹣4t）﹣14=﹣5（t2﹣4t+4）+20﹣14=﹣5（t﹣2）2+6，﹣5＜0，则抛物线的开口向下，有最大值，当t=2时，h有最大值是6米．故选：C．点评：本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，把函数式化成顶点式是解题关键．7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s考点：二次函数的应用．专题：计算题；应用题．分析：到最高点爆炸，那么所需时间为﹣．解答：解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，∴t=﹣=﹣=4s．故选B．点评：考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键．8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D． 5 m/s考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．解答：解：当刹车距离为5m时，即可得y=5，代入二次函数解析式得：5=x2．解得x=±10，（x=﹣10舍），故开始刹车时的速度为10m/s．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为5m，即是y=5，难度一般．二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：米．。

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人教版九年级数学二次函数实质问题（含答案）一、单项选择题1.在必定条件下，若物体运动的行程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的行程为[ ]A．28米B．48米C.68米D．88米2.因为被墨水污染，一道数学题仅能见到以下文字：y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)求证这个二次函数的图象对于直线x=2对称．，题中的二次函数确立拥有的性质是[ ]A．过点(3，0)B．极点是(2，-1)C．在x轴上截得的线段的长是 3D．与y轴的交点是(0，3)3.某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图，假如抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水漂泊地址B离墙的距离OB是A．2mB．3mC.4mD．5m4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是，则该运第1页,共9页动员此次掷铅球的成绩是[]A．6mB．8m10mD．12m5.某人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔挺滑下，滑下的距离S(m)与时间t(s)间的关系为S=l0t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则这人降落的高度为[]A．72mB．36mC．36mD．18m6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每日赢利y(元)与销售单价x(元)知足关系y=-x2+50x-500，则要想获取最大收益，销售单价为[]A．25元B．20元C．30元D．40元7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从米高（球门距横梁底侧高）入网．若足球运转的路线是抛物线y=ax2+bx+c所示，则以下结论正确的选项是①a<；②<a<0；③a-b+c>0；④0<b<-12a第2页,共9页[]①③①④②③②④8.对于x的二次函数y=2mx2+(8m+1)x+8m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是[]A．m<≥且m≠0C．m=m≠09.某种产品的年产量不超出1000吨，该产品的年产量（吨）与花费（万元）之间函数的图象是极点在原点的抛物线的一部分，如图①所示；该产品的年销售量（吨）与销售单价（万元／吨）之间的函数图象是线段，如图②所示，若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是( )吨时，所获毛收益最大．（毛收益=销售额-花费）①②[]C.A．1000B．750725D．500第3页,共9页10.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，以下图，大门的地面宽度为8m，双侧距地面4m高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为（精准到，水泥建筑物的厚度忽视不计）[]A．mB．C．mD．m11.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在如图(1)时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m.如图(2)成立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是[]A. y=-2x2B．y=2x2y=-2x2D．y=x212.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第1秒时的高度相等，则在以下哪一个时间的高度是最高的？[]C.A．第8秒B．第10秒第12秒第4页,共9页D．第15秒二、填空题13.把一根长为100cm的铁丝剪成两段，分别弯成两个正方形，设此中一段长为xcm，两个正方形的面积的和为Scm2，则S与x的函数关系式是()，自变量x的取值范围是()．14.以下图，是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状同样的抛物线落下，成立以下图的坐标系，假如喷头所在处A(0，1.25)，水流路线最高处B(1，2.25)，则该抛物线的表达式为()．假如不考虑其余要素，那么水池的半径起码要()，才能使喷出的水流不致落到池外．15.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16m，跨度是40m，在线段AB上离中心M处5m的地方，桥的高度是()m.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v o(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的状况下，其上高升度s(m)与抛出时间t(s)知足:(此中g是常数，往常取10m/s)，若v0=10m /s，则该物体在运动过程中最高点距离地面()m三、计算题17.求以下函数的最大值或最小值．(l);(2)y=3(x+l)(x-2).四、解答题18.如图，地道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，成立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，极点E到坐标原点O第5页,共9页的距离为6m．(1)求抛物线的分析式；(2)假如该地道内设双行道，现有一辆货运卡车高为m，宽为m，这辆货运卡车可否经过该地道？经过计算说明．19.某商场以每件30元的价钱购进一种商品，试销中发现，这种商品每日的销量m（件）与每件的销售价x (元)知足一次函数：m=162-3x.(1)写出商场卖这种商品每日的销售收益y与每件的销售价x之间的函数关系式．(2)假如商场要想每日获取最大的销售收益，每件商品的售价定为多少最适合？最大销售收益为多少？能力提高20.以下图，一边靠学校院墙，其余三边用40m长的篱笆围成一个矩形花园，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2(1)写出S与x之间的函数关系式，并求当S=200m2时，x的值；(2)设矩形的边BC=ym，假如x，y知足关系式x：y=y：(x+y)，即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽．21.某产品每件成本是 120元，为认识市场规律，试销售阶段按两种方案进行销售，结果以下：方案甲：保留每件150元的售价不变，此时间销售量为50件；方案乙：不停地调整售价，此时发现日销量y(件)是售价x（元）的一次函数，且前三天的销售状况以下表：(1)假如方案乙中的第四天，第五天售价均为180元，那么前五天中，哪一种方案的销售总利润大？(2)剖析两种方案，为了获取最大日销售收益，每件产品的售价应定为多少元？此时，最大日销售收益S是多少？（注：销售收益=销售额-成本额，销售额=售价×销售量）．22.某医药研究所进行某一抗病毒新药的开发，经过大批的服用试验后可知：成年人按规定的剂量服用后，第6页,共9页每毫升血液中含药量y微克（1微克=10-3毫克）随时间xh的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相符合．并测得服用时（即时间为0）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2h，每毫升血液中含药量为6微克；服用后3h，每毫升血液中含药量为微克．(l)试求出含药量y微克与服用时间xh的函数关系式；并画出0≤x≤8内的函数图象的示企图；(2)求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．(3)联合图象说明一次服药后的有效时间有多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间．）23.某田户计划利用现有的一面墙再修四周墙，建筑以下图的长方体水池，培养不一样品种的鱼苗，他已备足能够修高为m，长18m的墙的资料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm．（不考虑墙的厚度）(1)若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？(2)求水池的容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(3)若想使水浊的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？实践研究24.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，假如水位上升3m时，水面CD的宽是10m.(1)成立以下图的平面直角坐标系，求此抛物线的分析式；(2)现有一辆载有一批物质的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽视不计)．货车正以40km/h的速度开往乙地，当行驶1h时，突然接到紧迫通知：前面连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度连续上升（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，严禁车辆通行）．试问：假如货车按本来速度行驶，可否安全经过此桥？若能，请说明原因，若不可以，要使货车安全经过此桥，速度应超出每小时多少千米？25.全线共有地道37座，合计长达米．以下图是庙垭地道的截面，截面是由一抛物线和一矩形组成，其行车道CD总宽度为8米，地道为单行线2车道．第7页,共9页(1)成立适合的平面直角坐标系，并求出地道拱抛物线EHF的分析式；(2)在地道拱的双侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在(1)的平面直角坐标系顶用坐标表示此中一盏路灯的地点；(3)为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与地道拱在竖直方向上高度之差起码有米．现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为米，该车可否经过这个隧道？请说明原因．26.我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价钱30元／千克收买了这种野生菌1000千克寄存入冷库中，据展望，该野生菌的市场价钱将以每日每千克上升1元；但冷冻寄存这批野生菌时每日需要支出各样花费合计310元，并且这种野生菌在冷库中最多保留160天，同时，均匀每日有3千克的野生菌破坏不可以销售．(1)设x天后每千克该野生菌的市场价钱为y元，试写出y与x之间的函数关系式．(2)若寄存x天后，将这批野生菌一次性销售，设这批野生菌的销售总数为P元，试写出P与x之间的函数关系式．(3)李经理将这批野生菌寄存多少天后销售可获取最大收益W元？（收益=销售总数-收买成本-各样花费）27.在以下图的抛物线型拱桥上，相邻两支柱间的距离为10m，为了减少桥身重量，还为了桥形的雅观，更好地防洪，在大抛物线拱上设计两个小抛物线拱，三条抛物线的极点C、B、D离桥面的距离分别为4m、m、2m．你能求出各支柱的长度及各抛物线的表达式吗？28.某商业企业为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果以下：一件商品的售价M(元)与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示，如图甲，一件商品的成本Q(元)与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，此中6月份成本最高，如图乙．依据图象提供的信息解答下边问题第8页,共9页(1)一件商品在3月份销售时的收益是多少元？（收益=售价一成本）(2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t（月）之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的收益W(元)与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该企业能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该企业在一个月内最少赢利多少元？29.某工厂生产A产品x吨所需花费为P元，而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元，已知(1)该厂生产并售出x吨，写出这种产品所获收益W（元）对于x（吨）的函数关系式；(2)当生产多少吨这种产品，并所有售出时，赢利最多？这时赢利多少元？这时每吨的价钱又是多少元? 30.某商场销售一种进价为20元／台的台灯，经检查发现，该台灯每日的销售量w（台）与销售单价x(元)知足w=-2x+80，设销售这种台灯每日的收益为y（元）．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时．每日的收益最大？最大收益是多少？(3)在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每日还想获取150元的收益．应将销售单价定为多少元？第9页,共9页参照答案1、D2、A3、B4、C5、C6、A7、B8、B9、B10、C11、C12、B13、0<x<10014、y=-（x-1）2+2.2515、1516、717、解：(l),y有最大值，当x=-l时，y有最大值.(2)y=3(x+l)(x-2)=3(x2-x-2)a=3>0，y有最小值，当x=时，y有最小值．18、解：设抛物线的分析式为y=ax2+6，又因为抛物线过点(4，2)，则16a+6=2，，抛物线的分析式为y=+6．(2)当时，y=+6=-1.44+6=4.，故这辆货运卡车能经过该地道．19、解：(l)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860(2)y=-3(x-42)2+432当订价为42元时，最大销售收益为432元20、解：(l)S=x(40-2x)=-2x2+40x,当S=200时，.(2)当BC=y，则y=40-2x①又y2=x(x+y)②由①、②第1页,共4页解得x=20±，此中20+不合题意，舍去，x=20-，y=当矩形成黄金矩形时，宽为20-m，长为m.21、解：(1)方案乙中的一次函数为y=-x+200．第四天、第五天的销售量均为20件．方案乙前五天的总收益为：130×70+150×50+160×40+180×20+180×20-120×(70+50+40+20+20)=6200元．方案甲前五天的总收益为(150-120)×50×500=7元，明显6200<7500，前五天中方案甲的总收益大．(2)若按甲方案中订价为150元／件，则日收益为(150-120)×50=1500元，对乙方案：S=xy-120y=x(-x+200)-120(-x+200)=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600，马上售价定在160元／件，日销售收益最大，最大收益为1600元．22、解：(1)图象略．(2)当x=4时，函数y有最大值8．因此服药后4h，才能使血液中的含药量最大，这时的最大含药量是每毫升血液中含有药8微克．(3)图象与x轴两交点的横坐标的差即为有效时间．故一次服药后的有效时间为8h23、解：(l)因为AD=EF=BC=xm，因此AB=18-3x.因此水池的总容积为 1.5x(18-3x)=36，即x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，因此x应为2或4．(2)由(1)可知V与x的函数关系式为V=1.5x(18-3x)=2+27x，且x的取值范围是：0<x<6．x2+27．因此当x=3时，V有最大值，即若使水池总容积最大，x应为3，最大容积为m3.24、解：(1)设抛物线的分析式为y=ax2，桥拱最高点0到水面CD的高为h米，则D(5，-h)．B(10，-h-3)．因此即抛物线的分析式为y=-.(2)货车按本来速度行驶不可以安全经过此桥．要使货车安全经过此桥，货车的速度应超出60千米／时．25、解：(1)以EF所在直线为x轴，经过H且垂直于EF的直线为y轴，成立平面直角坐标系，明显E(-5，0)，F(5，0)，H(0，3)．第2页,共4页设抛物线的分析式为+bx+c依题意有：因此y=+3．(2)y=1，路灯的地点为（，1）或（一，1）．（只需写一个即可）(3)当x=4时，，点到地面的距离为，因为，因此能经过．26、解：(1)y=x+30（1≤x≤160，且x为整数）(2)P=(x+30)（1000-3x）=-3 +910x+30000(3)由题意得W=（-3 +910x+30000）-30×1000-310x=（-3x-100）2+30000当x=100时，W最大=30000．100天<160天，寄存100天后销售这批野生菌可获取最大收益30000元．27、解：抛物线OBA过B(50,40),A(100,0)，抛物线OBA的分析式为．当x=20,30,40时，y的值分别为：MC=4(m)，EN=(m)，FQ=50-=(m)，GT=(m)，BR=10(m).G1T1=GT-(m)，PQ1-FQ=(m)．又抛物线CE过极点C(10,46),E(20，)，分析式为y=-(x-10)2+46．而抛物线PD过极点D(85,48),P(70，)．分析式为y=-(x-85)2+48．x=80求得y=．KK1=50--，KK1-LL1=(m)．综上：三条抛物线的分析式分别为：从左往右各支柱的长度分别是：4m，m，m，m，10m，m，10m，m，m，m，m28、解：(1)一件商品在3月份销售时收益为：6-1=5(元)．(2)由图象可知，一件商品的成本Q(元)是时间t（月）的二次函效，由图象可知，抛物线的极点为(6,4),第3页,共4页由题知t=3,4,5,6,7．(3)由图象可知，M(元)是t（月）的一次函数，此中t=3,4,5,6,7∴当t=5时，W∴因此该企业一月份内最少赢利元29、解：（1）当x=150吨时，收益最多，最大收益2000元．当x=150吨时，Q=+45=40（元）．30、解：(1)y=（x-20）（-2x+80）=-2+120x-1600y=-2+120x-1600=-2（x-30）2+200当x=30时，最大收益为y=200元．2+200=150解得x=25，x=35．(3)由题意，y=150，即-2（x-30）l2又销售量w=-2x+80随单价增大而减小，故当x=25时，既能保证销售量大，又能够每日获取150元的收益．第4页,共4页。

高质量题型专练卷-二次函数的实际应用题(Word版+详解)

二次函数的实际应用题一、单选题1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣16x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是()A．2m B．4m C．D．2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m5．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm ，底面是个直径为6cm 的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD(不计重合部分，两个果冻之间没有挤压)至少为( )A ．(6cm +B ．(6cm +C ．(6cm +D ．(6cm +6．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（）A ．32分B ．30分C ．15分D ．13分7．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定8．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-9．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m ，水流在离喷出口的水平距离1.25m 处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m 的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A ．0.55米B ．1130米 C ．1330米 D ．0.4米10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q二、填空题11．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米． 12．汽车刹车后行驶的距离s (单位：m )关于行驶的时间t (单位：s )的函数解析式是2126s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了m ______．13．如图，一款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为______米．14．如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m （篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．15．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝﹣5x 2+20x ，在飞行过程中，当小球的行高度为15m 时，则飞行时间是_____．16．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．17．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y =−140x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是______米.(精确到1米)18．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为xcm ，长为40cm ，左侧图片的长比宽多4cm . 若1416x 剟，则右侧留言部分的最大面积为_________2cm .19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为21231232h s s =-++，如图，已知球网AB 距原点5米，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是__________．20．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．三、解答题21．在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？22．某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：x ，且x是按0.5元的售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（6倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．23．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.24．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？25．某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？26．随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系. （1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可用1122p x =+来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？27．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg ．设第x 天的销售价格为y （元/kg ），销售量为()m kg ．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当130x 剟时，y=40；当3150x 剟时，y 与x 满足一次函数关系，且当36x =时，37y =；44x =时，33y =．②m 与x 的关系为550m x =+．（1）当3150x 剟时，y 与x 的关系式为；（2）x 为多少时，当天的销售利润W （元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W （元）随x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a 元/kg ，求a 的最小值．28．攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？29．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(0)m>，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值30．某农作物的生长率P与温度t(℃)有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数11505P t=-刻画；当25≤t≤37 时可近似用函数21()0.4160P t h =--+ 刻画． (1)求h 的值．(2)按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率P 满足函数关系：②请用含t 的代数式表示m ；(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为 200元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w (元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．二次函数的实际应用题一、单选题1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y =﹣16x 2+bx +c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是( )A ．2mB ．4mC． D．【答案】D【分析】根据长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ，可得顶点的横坐标和点C 的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y ＝8代入解析式即可得结论．【详解】根据题意，得 OA =12，OC =4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即﹣2ba=13b =6，∴b =2． ∵C （0，4），∴c =4，所以抛物线解析式为： y =﹣16x 2+2x +4 =﹣16（x ﹣6）2+10 当y =8时， 8=﹣16（x ﹣6）2+10，解得：x 1x 2=6﹣则x 1﹣x 2所以两排灯的水平距离最小是43．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：m 3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x ≤90°）近似满足函数关系y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°【答案】C【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞18542+且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】S△AEF=12AE×AF=212x，S△DEG=12DG×DE=12×1×（3﹣x）=32x-，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S △DEG =213922x x ---=21115222x x -++，则y=4×（21115222x x -++）=22230x x -++，∵AE ＜AD ，∴x ＜3，综上可得：22230y x x =-++（0＜x ＜3）．故选A ．考点：动点问题的函数图象；动点型．4．某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m【答案】B【分析】以OB 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，A 点坐标为（0，10），M 点的坐标为（1，403），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．【详解】解：设抛物线的解析式为y ＝a (x ﹣1)2+403，把点A （0，10）代入a (x ﹣1)2+403，得a (0﹣1)2+403＝10，解得a ＝﹣103，因此抛物线解析式为y ＝﹣103(x ﹣1)2+403，当y ＝0时，解得x 1＝3，x 2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB ＝3米．故选B ．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．5．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm ，底面是个直径为6cm 的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD(不计重合部分，两个果冻之间没有挤压)至少为( )A ．(6cm +B ．(6cm +C ．(6cm +D ．(6cm +【答案】A【分析】设：左侧抛物线的方程为：2y ax =，点A 的坐标为()3,4-，将点A 坐标代入上式并解得：4a 9=，由题意得：点MG 是矩形HFEO 的中线，则点N 的纵坐标为2，将y 2=代入抛物线表达式，即可求解．【详解】解：设左侧抛物线的方程为：2y ax =，点A 的坐标为()3,4-，将点A 坐标代入上式并解得：4a 9=，则抛物线的表达式为：24y x 9=，由题意得：点MG 是矩形HFEO 的中线，则点N 的纵坐标为2，将y 2=代入抛物线表达式得：242x 9=，解得：x 2=(负值已舍去)，则AD 2AH 2x 6=+=+ 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后求解．6．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（）A ．32分B ．30分C ．15分D ．13分【答案】B【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案．【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟．故选：B ．【点睛】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．7．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定【答案】C【分析】（1）将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．【详解】根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a +2.6=2，解得：160a ，=-∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+；当x =9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>，∴球能过球网，当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界. 故选C.【点睛】考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围. 8．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-【答案】B【分析】设抛物线解析式为y=ax 2，由已知可得点B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】∵拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为y=ax 2，点B(45，-78)， ∴-78=452a ，解得：a=26675-， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为226675y x =-，故选B.【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.9．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m ，水流在离喷出口的水平距离1.25m 处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m 的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A ．0.55米B ．1130米 C ．1330米 D ．0.4米【答案】B【分析】如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x ＝1.25＝54，A （0，0.8），C （3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x ＝1.25＝54，A （0，0.8），C （3，0），设解析式为y ＝ax 2+bx +c ，∴9305240.8a b c b a c ++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y ＝815-x 2+43x +45，当x ＝2.75时，y ＝1330， ∴使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】D【详解】解：A 、假设这个位置在点M ，则从A 至B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B 、假设这个位置在点N ，则从A 至C 这段时间，A 点与C 点对应y 的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C 、，假设这个位置在点P ，则由函数图象可得，从A 到C 的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P 不符合这个条件，故本选项错误； D 、经判断点Q 符合函数图象，故本选项正确；故选D ．二、填空题11．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米．【答案】10【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】当y=0时，212501233x x -++= 解得，x=-2（舍去），x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．12．汽车刹车后行驶的距离s (单位：m )关于行驶的时间t (单位：s )的函数解析式是2126s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了m ______．【答案】6【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s 的值. 【详解】解：根据二次函数解析式2126s t t =-=-6(t²-2t+1-1)=-6(t -1) ²+6 可知，汽车的刹车时间为t=1s ，当t=1时，2126s t t =-=12×1-6×1²=6(m) 故选：6【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，理解透题意是解题的关键．13．如图，一款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为______米．【答案】1.95【分析】以点B 为原点建立直角坐标系，则点C 为抛物线的顶点，即可设顶点式y ＝a （x−0.8）2＋2.4，点A 的坐标为（0，1.6），代入可得a 的值，从而求得抛物线的解析式，将点D 的横坐标代入，即可求点D 的纵坐标就是点D 距地面的高度【详解】解：如图，以点B 为原点，建立直角坐标系．由题意，点A （0，1.6），点C （0.8，2.4），则设顶点式为y ＝a （x−0.8）2＋2.4 将点A 代入得，1.6＝a （0−0.8）2＋2.4，解得a ＝−1.25 ∴该抛物线的函数关系为y ＝−1.25（x−0.8）2＋2.4 ∵点D 的横坐标为1.4∴代入得，y ＝−1.25×（1.4−0.8）2＋2.4＝1.95 故灯罩顶端D 距地面的高度为1.95米故答案为1.95.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．【答案】150【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，利用函数的性质即可解答本题．【详解】解：设AB=xm，则BC=12（900﹣3x），由题意可得，S=AB×BC= 12（900﹣3x）x=﹣32（x2﹣300x）=﹣32（x﹣150）2+33750，∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150m，故答案为150．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值．15．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，在飞行过程中，当小球的行高度为15m时，则飞行时间是_____．【答案】1s或3s【分析】根据题意可以得到15=﹣5x2+20x，然后求出x的值，即可解答本题．【详解】∵y=﹣5x2+20x，∴当y=15时，15=﹣5x2+20x，得x1=1，x2=3，故答案为1s或3s．。

(完整word版)二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案

二次函数专题训练（正方形的存在性）1．如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象经过点 A （ l ， 0）， B（﹣ 3，0），与 y 轴交于点C，抛物线的极点为 D ，对称轴与x 轴订交于点E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式．（ 2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点P 的坐标．（ 3）在（ 2）的条件下，作PF⊥ x 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点， G 为抛物线上一动点，当以点F， N ，G，M 四点为极点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．2．如图，抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点C，点 B 坐标为（ 6，0），点 C 坐标为（ 0， 6），点 D 是抛物线的极点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当∠FBA= ∠ BDE 时，求点 F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点M 作 MN ∥x 轴与抛物线交于点N ，点 P 在 x 轴上，点 Q 在座标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标．3．如图，已知抛物线y=ax2 +bx﹣ 3 过点 A （﹣ 1， 0）， B（ 3，0），点 M 、 N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥ y 轴，交直线 BC 于点 D ，交 x 轴于点 E．过点 N 作 NF ⊥ x 轴，垂足为点 F（ 1）求二次函数 y=ax2+bx ﹣ 3 的表达式；（ 2）若 M 点是抛物线上对称轴右边的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（ 3）若 M 点是抛物线上对称轴左边的点，且∠DMN=90°， MD=MN ，请直接写出点M 的横坐标．4.(2015 贵州省毕节地域) 如图，抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A （﹣ 1，0）， B（ 3， 0）两点，极点M 关于 x 轴的对称点是M′．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△ CAB 的面积；（ 3）能否存在过A， B 两点的抛物线，其极点P 对于 x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的分析式；若不存在，请说明原因．5. (2016 辽宁省铁岭市 ) ．如图，抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A ，点 B，与 y 轴交于点C，点 B 坐标为（ 6，0），点 C 坐标为（ 0，6），点 D 是抛物线的极点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当∠FBA= ∠ BDE 时，求点 F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点M作MN∥ x轴与抛物线交于点N ，点 P 在 x 轴上，点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形MPNQ ，请直接写出点Q 的坐标．二次函数专题训练（正方形的存在性）6.(2016 广东省茂名市 ) ．如图，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 A （﹣ 1， 0）， B（3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的极点，抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E，连结 BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点P 作 PF⊥x 轴于点 F， G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点， N 为直线PF 上一动点，当以F、 M 、 G 为极点的四边形是正方形时，恳求出点M 的坐标．二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参照答案1．如图，已知抛物线 y=x 2+bx+c 的图象经过点 A （ l ， 0）， B（﹣ 3，0），与 y 轴交于点 C，抛物线的极点为D ，对称轴与 x 轴订交于点 E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式．（ 2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点P 的坐标．（ 3）在（ 2）的条件下，作PF⊥ x 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点， G 为抛物线上一动点，当以点F， N ，G，M 四点为极点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．【解答】解：（ 1）∵抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点 A （ 1， 0）， B（﹣ 3，0），∴，∴，∴抛物线的分析式为y=x2+2x ﹣ 3；（ 2）由（ 1）知，抛物线的分析式为y=x 2+2x ﹣ 3；∴C（ 0，﹣ 3），抛物线的极点 D（﹣ 1，﹣ 4），∴E（﹣ 1， 0），设直线 BD 的分析式为y=mx+n ，∴，∴，∴直线BD 的分析式为y= ﹣ 2x ﹣6，设点 P（ a，﹣ 2a﹣ 6），∵ C（ 0，﹣ 3）， E（﹣ 1， 0），依据勾股定理得，PE2=（ a+1）2+（﹣ 2a﹣ 6）2，22 2PC =a +（﹣ 2a﹣ 6+3 ），∵PC=PE，∴（ a+1）2+（﹣ 2a﹣ 6）2 =a2+（﹣ 2a﹣ 6+3 ）2，∴a=﹣ 2，∴ y= ﹣ 2×（﹣ 2）﹣ 6=﹣ 2，∴P（﹣ 2，﹣ 2），（3）如图，作 PF⊥ x 轴于 F，∴ F（﹣ 2， 0），设 M （ d， 0），∴ G（ d， d2+2d ﹣ 3）， N（﹣ 2， d2+2d﹣ 3），∵以点 F， N ，G， M 四点为极点的四边形为正方形，必有FM=MG ，∴|d+2|=|d2+2d ﹣ 3|，∴ d= 或 d= ，∴点 M 的坐标为（， 0），（， 0），（， 0），（， 0）．2．如图，抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点C，点 B 坐标为（ 6，0），点 C 坐标为（ 0， 6），点 D 是抛物线的极点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当∠FBA= ∠ BDE 时，求点 F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点M 作 MN ∥ x 轴与抛物线交于点N，点 P 在 x 轴上，点Q 在座标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标．【解答】解：（ 1）把 B 、C 两点坐标代入抛物线分析式可得，解得，∴抛物线分析式为y=﹣x2+2x+6 ，∵ y= ﹣x2+2x+6= ﹣（x﹣2）2+8，∴ D（2，8）；（ 2）如图 1，过 F 作 FG⊥ x 轴于点 G，设 F（ x，﹣x2+2x+6 ），则 FG=|﹣x2+2x+6| ，∵∠ FBA= ∠BDE ，∠ FGB= ∠ BED=90°，∴△ FBG ∽△ BDE ，∴=，∵ B（6，0），D（2，8），∴ E（ 2，0）， BE=4 ，DE=8 ， OB=6 ，∴ BG=6 ﹣ x，∴=，当点 F 在 x 轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；当点 F 在 x 轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F 点坐标为（﹣ 3，﹣）；综上可知 F 点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（ 3）如图 2，设对角线MN 、 PQ 交于点 O′，∵点 M 、 N 对于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，∴点 P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线的对称轴上，设Q（2， 2n），则 M 坐标为（ 2﹣ n，n），∵点 M 在抛物线 y= ﹣ x2+2x+6 的图象上，∴ n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，∴知足条件的点Q 有两个，其坐标分别为（2，﹣ 2+2）或（2，﹣2﹣2）．3．如图，已知抛物线y=ax2 +bx﹣ 3 过点 A （﹣ 1， 0）， B（ 3，0），点 M 、 N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥ y 轴，交直线 BC 于点 D ，交 x 轴于点 E．过点 N 作 NF ⊥ x 轴，垂足为点 F（ 1）求二次函数 y=ax2+bx ﹣ 3 的表达式；（ 2）若 M 点是抛物线上对称轴右边的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（ 3）若 M 点是抛物线上对称轴左边的点，且∠DMN=90°， MD=MN ，请直接写出点M 的横坐标．【解答】解：（ 1）把 A （﹣ 1， 0），B （ 3， 0）代入 y=ax 2+bx ﹣ 3，得：，解得，故该抛物线分析式为：y=x 2﹣2x﹣ 3；（2）由（ 1）知，抛物线分析式为： y=x 2﹣2x﹣ 3=（ x﹣ 1）2﹣ 4，∴该抛物线的对称轴是 x=1 ，极点坐标为（ 1，﹣ 4）．如图，设点 M 坐标为（ m， m2﹣2m﹣ 3），此中 m＞ 1，∴ME=| ﹣ m2+2m+3|，∵M 、 N 对于 x=1 对称，且点 M 在对称轴右边，∴点 N 的横坐标为 2﹣ m，∴MN=2m ﹣ 2，∵四边形MNFE 为正方形，∴ME=MN ，∴|﹣ m2+2m+3|=2m ﹣ 2，分两种状况：①当﹣ m2+2m+3=2m ﹣ 2 时，解得： m1= 、 m2=﹣（不切合题意，舍去），当 m= 时，正方形的面积为（ 2 ﹣2）2=24 ﹣ 8 ；②当﹣ m2 3 4=2﹣（不切合题意，舍去），+2m+3=2 ﹣ 2m 时，解得： m =2+ ， m当 m=2+ 时，正方形的面积为[2 （2+ ）﹣ 2]2=24+8 ；综上所述，正方形的面积为24+8 或 24﹣ 8 ．（ 3）设 BC 所在直线分析式为y=px+q ，把点 B （3， 0）、C（ 0，﹣ 3）代入表达式，得：，解得：，∴直线 BC 的函数表达式为y=x﹣ 3，设点 M 的坐标为（ t， t2﹣ 2t﹣ 3），此中 t ＜1，则点 N（ 2﹣ t， t2﹣2t﹣ 3），点 D （ t， t﹣ 3），∴MN=2 ﹣ t﹣t=2 ﹣2t， MD=|t 2﹣ 2t﹣ 3﹣ t+3|=|t2﹣3t|．∵ MD=MN ，∴ |t2﹣ 3t|=2﹣ 2t，分两种状况：①当 t2﹣ 3t=2﹣ 2t 时，解得 t 1=﹣ 1， t2=2 （不切合题意，舍去）．二次函数专题训练（正方形的存在性）②当 3t﹣ t2=2﹣ 2t 时，解得3 2（不切合题意，舍去）．t = ， t =综上所述，点 M 的横坐标为﹣ 1 或．4.(2015 贵州省毕节地域 ) 如图，抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A （﹣ 1，0）， B（ 3， 0）两点，极点M 关于 x 轴的对称点是M′．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△ CAB 的面积；（ 3）能否存在过A， B 两点的抛物线，其极点P 对于 x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的分析式；若不存在，请说明原因．剖析：（1）依据待定系数法，可得函数分析式；（ 2）依据轴对称，可得M′的坐标，依据待定系数法，可得AM′的分析式，依据解方程组，可得B点坐标，依据三角形的面积公式，可得答案；（ 3）依据正方形的性质，可得P、 Q 点坐标，依据待定系数法，可得函数分析式．解答：解：（ 1）将 A 、 B 点坐标代入函数分析式，得，解得，抛物线的分析式y=x 2﹣ 2x﹣ 3；（ 2）将抛物线的分析式化为极点式，得 y= （ x﹣1）2﹣ 4， M点的坐标为（ 1，﹣ 4）， M′点的坐标为（ 1， 4），设AM′的分析式为 y=kx+b ，将 A 、M′点的坐标代入，得，解得，AM′的分析式为y=2x+2 ，联立 AM′与抛物线，得，解得，C点坐标为（ 5，12）． S△ABC = ×4×12=24；（ 3）存在过 A ，B 两点的抛物线，其极点P 对于 x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形，由 ABPQ 是正方形， A （﹣ 1， 0） B （ 3， 0），得P（ 1，﹣ 2）， Q（ 1， 2），或 P（1， 2）， Q（ 1，﹣ 2），将 A 点坐标代入函数分析式，得a（﹣ 1﹣ 1）2﹣ 2=0 ，解得 a=，抛物线的分析式为y=（x﹣1）2﹣2，②当 P（ 1， 2）时，设抛物线的分析式为 y=a（ x﹣ 1）2+2，将 A点坐标代入函数分析式，得 a（﹣ 1﹣ 1）2+2=0 ，解得 a=﹣，抛物线的分析式为y=﹣（x﹣1）2+2，综上所述： y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四边形APBQ 为正方形．5. (2016 辽宁省铁岭市 ) ．如图，抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A ，点 B，与 y 轴交于点C，点 B坐标为（ 6，0），点 C 坐标为（ 0，6），点 D 是抛物线的极点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连结 BD ．（ 1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标；（ 2）点 F 是抛物线上的动点，当∠ FBA=∠ BDE时，求点 F 的坐标；（ 3）若点 M 是抛物线上的动点，过点M作MN∥ x轴与抛物线交于点N ，点 P 在 x 轴上，点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形MPNQ ，请直接写出点Q 的坐标．剖析（ 1）由点 B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的分析式，再利用配方法将抛物线分析式变形成极点式即可得出结论；（ 2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F′，设点 F′的坐标为（ 0， m），由相像三角形的判断及性质可得出点F′的坐标，依据点B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF 的分析式，联立直线BF 和抛物线的分析式成方程组，解方程组即可求出点 F 的坐标；（ 3）设对角线 MN 、 PQ 交于点 O′，如图 2 所示．依据抛物线的对称性联合正方形的性质可得出点P、 Q 的地点，设出点Q 的坐标为（ 2， 2n），由正方形的性质可得出点M 的坐标为（2﹣n， n）．由点 M 在抛物线图象上，即可得出对于n 的一元二次方程，解方程可求出n 值，代入点Q 的坐标即可得出结论．解答解：（ 1）将点 B （ 6，0）、 C（ 0， 6）代入 y=﹣x2+bx+c 中，得：，解得：，∴ 抛物线的分析式为y= ﹣x2+2x+6 ．∵ y= ﹣x2+2x+6= ﹣（x﹣2）2+8，∴点 D 的坐标为（ 2， 8）．（2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F′，设点 F′的坐标为（ 0，m），如图 1 所示．∵∠ F′BO=∠ FBA= ∠ BDE ，∠ F′OB=∠ BED=90°，∴△ F′BO∽△ BDE ，∴．∵点 B （6， 0），点 D（ 2， 8），11∴点 E（ 2， 0），BE=6 ﹣ 4=4 ， DE=8 ﹣ 0=8 ，OB=6 ，∴OF′=?OB=3，∴点 F′（0， 3）或（ 0，﹣ 3）．设直线 BF 的分析式为y=kx±3，则有 0=6k+3 或 0=6k﹣ 3，解得： k= ﹣或k=，∴直线 BF 的分析式为y=﹣x+3 或 y=x﹣ 3．联立直线 BF 与抛物线的分析式得：① 或② ，解方程组①得：或（舍去），∴ 点F的坐标为（﹣1，）；解方程组②得：或（舍去），∴ 点F的坐标为（﹣3，﹣）．综上可知：点 F 的坐标为（﹣ 1，）或（﹣ 3，﹣）．（ 3）设对角线 MN 、 PQ 交于点 O′，如图 2 所示．∵点 M 、 N 对于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，∴点 P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点 Q 在抛物线对称轴上，设点 Q 的坐标为（2， 2n），则点 M 的坐标为（ 2 ﹣ n， n）．∵点 M 在抛物线 y= ﹣x2+2x+6 的图象上，∴ n=﹣+2（ 2﹣ n） +6，即 n2+2n ﹣ 16=0，解得： n1= ﹣ 1 ， n2 =﹣﹣1．∴点 Q 的坐标为（2，﹣ 1）或（ 2，﹣﹣ 1）．6. (2016 广东省茂名市 ) 】．如图，抛物线 y= ﹣ x2 +bx+c 经过 A （﹣ 1，0）， B（ 3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的极点，抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E，连结 BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点P 作 PF⊥x 轴于点 F， G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点， N 为直线PF 上一动点，当以F、 M 、 G 为极点的四边形是正方形时，恳求出点M 的坐标．剖析（ 1）利用待定系数法求出过A， B，C 三点的抛物线的函数表达式；12（ 2）连结 PC、PE，利用公式求出极点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线BD 的分析式，设出点P 的坐标为（ x，﹣ 2x+6 ），利用勾股定理表示出PC2和 PE2，依据题意列出方程，解方程求出x 的值，计算求出点 P 的坐标；（3）设点 M 的坐标为（ a， 0），表示出点 G 的坐标，依据正方形的性质列出方程，解方程即可．解答解：（ 1）∵抛物线 y= ﹣x2+bx+c 经过 A （﹣ 1， 0）， B （ 3， 0）两点，∴，解得，，∴ 经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y= ﹣ x2+2x+3 ；（ 2）如图 1，连结 PC、PE， x= ﹣=﹣=1，当x=1 时， y=4 ，∴点 D 的坐标为（ 1， 4），设直线 BD 的分析式为： y=mx+n ，则，解得，，∴ 直线BD的分析式为y= ﹣ 2x+6，设点 P 的坐标为（ x，﹣ 2x+6），则PC2=x 2+（3+2x ﹣ 6）2，PE2=（ x﹣ 1）2+（﹣ 2x+6 ）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x ﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6 ）2，解得， x=2，则 y= ﹣2×2+6=2 ，∴点 P 的坐标为（ 2， 2）；（3）设点 M 的坐标为（ a， 0），则点 G 的坐标为（ a，﹣ a2 +2a+3），∵以 F、M 、 G 为极点的四边形是正方形，∴ FM=MG ，即 |2﹣ a|=|﹣ a2 +2a+3|，当 2﹣ a=﹣ a2+2a+3 时，整理得，a2﹣ 3a﹣1=0 ，解得， a=，当2﹣ a=﹣（﹣ a2+2a+3）时，整理得， a2﹣ a﹣5=0 ，解得， a= ，∴当以 F、M 、G 为极点的四边形是正方形时，点 M 的坐标为（，0），（，0），（，0），（， 0）．13。

(word版)初三数学二次函数专题训练(含答案),文档

二次函数专题训练〔含答案〕一、填空题1.把抛物线y1x2向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个2单位，得抛物线.2 .函数y2x2x图象的对称轴是，最大值是.3 .正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系是.4.二次函数y2x28x 6，通过配方化为y a(x h)2k的形为.5.二次函数y ax2c〔c不为零〕，当x取x，x〔x≠x〕时，函数值相等，那么1212x1与x2的关系是.6.抛物线y ax2bx c当b=0时，对称轴是，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在y轴侧.7.抛物线y 2(x1)23开口，对称轴是，顶点坐标是.如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.8 .假设a0，那么函数y2x2ax5图象的顶点在第象限；当x a时，函4数值随x的增大而.二次函数9.口抛物线y ax2bx c〔a≠0〕当a0时，图象的开口a0时，图象的开，顶点坐标是.y1(x h)2，开口，顶点坐标是，对称轴2是.11.二次函数y3(x)2()的图象的顶点坐标是〔1，-2〕.12.y1(x1)22，当x时，函数值随x的增大而减小.313.直线y2x1与抛物线y5x2k交点的横坐标为2，那么k=，交点坐标为.14.用配方法将二次函数y x22x化成y a(xh)2k的形式是. 315.如果二次函数yx26x m的最小值是1，那么m的值是.二、选择题：16.在抛物线y2x23x1上的点是〔〕1A.〔0，-1〕B.1,0 C.〔-1，5〕D.〔3，4〕217.直线y5x2与抛物线yx21x的交点个数是〔〕22个个个 D.互相重合的两个18.关于抛物线y ax2bx c〔a≠0〕，下面几点结论中，正确的有〔〕①当a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当0时，情况相反.②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④一元二次方程ax2bx c 0〔a≠0〕的根，就是抛物线y ax2bx c与x轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C.①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，那么图象的对称轴是〔〕A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数yax b的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函yax2bx-3的大致图象是〔〕图代13-2-1221.假设抛物线y ax2bxc的对称轴是x 2,那么ab〔〕A.2B.11D.2422.假设函数y a1，-2〕，那么抛物线的图象经过点〔xA.质说得全对的是〔〕开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y ax2(a 1)x a3的性轴相交轴相交轴相交轴相交23.二次函数y x2bxc中，如果b+c=0，那么那时图象经过的点是〔〕A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.〔-1，1〕224.函数y ax2与y a〔a0〕在同一直角坐标系中的大致图象是〔〕x图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线y x2bx c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，S△ABC=6，那么b的值是〔〕A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数y ax2〔a 0〕，假设要使函数值永远小于零，那么自变量x的取值范围是〔〕A．X取任何实数00或x027.抛物线y2(x3)24向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为〔〕A.y2(x4)26B.y2(x4)22C.y2(x2)22D.y3(x3)2228.二次函数y x2ykx9k2〔k0〕图象的顶点在〔〕轴的负半轴上轴的正半轴上轴的负半轴上轴的正半轴上29.四个函数：y x,y x1,y1〔x0〕，y x2〔x0〕，其中图象经过原x点的函数有〔〕个个个个30.不管x为值何，函数y ax2bx c〔a≠0〕的值永远小于0的条件是〔〕0，00,03C．a0,00,0三、解答题31.二次函数y x22ax 2b 1和y x2(a 3)x b21的图象都经过x轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.32.二次函数y ax2bx c的图象经过点A〔2，4〕，顶点的横坐标为1，它2的图象与x轴交于两点B〔x1，0〕，C〔x2，0〕，与y轴交于点D，且x12x2213，试问：y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似〔O为坐标原点〕？假设存在，请求出过P，B两点直线的解析式，假设不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：〔1〕直线AB的解析式；〔2〕抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线y ax23x c交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方向于C点，过A，B，C三点做⊙D，假设⊙D与y轴相切.〔1〕求a，c满足的关系；〔2〕设∠ACB=α，求tgα；〔3〕设抛物线顶点为 P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD＇局部为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A＇D＇是两侧高为米的支柱，OA和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.求〔1〕桥拱DGD＇所在抛物线的解析式及CC＇的长；〔2〕BE和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A＇B＇为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇B＇的宽；〔3〕按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA〔或OA＇〕区域平安通过？请说明理由.4图代13-3-1736.：抛物线yx 2 (m 4)x m 2与x 轴交于两点A(a,0),B(b,0)〔ab 〕.O为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 和⊙O 在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并12指出两圆的位置关系.37.如果抛物线yx 2 2(m 1)x m 1与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴（的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上， OA 的长是a ，OB 的长是b.1〕求m 的取值范围；2〕假设a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；〔3〕设〔2〕中的抛物线与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点是 M ，问：抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？假设存在，求出 P 点的坐标；假设不存在，请说明理由.38.：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点 P ，使是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-181〕假设AE=2，求AD 的长.〔2〕当点A 在EP 上移动〔点A 不与点E 重合〕时，①是否总有ADED？试证明AH FH你的结论；②设 ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.二次函数yx2(m24m5)x2(m24m9)的图象与x 轴的交点为2240. A ，B 〔点A 在点B 右边〕，与y 轴的交点为 C.1〕假设△ABC 为Rt △，求m 的值；2〕在△ABC 中，假设AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；〔3〕设△ABC 的面积为 S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值 .如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ，满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.5图代13-3-191〕求⊙C 的圆心坐标.2〕过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.〔3〕抛物线yax 2bx c 〔a ≠0〕的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.直线y1x 和yx m ，二次函数yx 2pxq 图象的顶点为M.21x 与y〔1〕假设M 恰在直线yx m 的交点处，试证明：无论m 取何实数值，2二次函数yx 2 pxq 的图象与直线 y xm 总有两个不同的交点.〔2〕在〔1〕的条件下，假设直线y x m 过点D 〔0，-3〕，求二次函数yx 2pxq 的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20〔3〕在〔2〕的条件下，假设二次函数 y x 2 pxq 的图象与y 轴交于点C ，与x同的左交点为A ，试在直线y1x 上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上.242.如图代 13-3-20，抛物线yx 2 ax b 与x 轴从左至右交于A ，B 两点，（与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.1〕求点C 的坐标；2〕求抛物线的解析式；3〕假设抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.6参考答案动脑动手设每件提高x 元〔0≤x ≤10〕，即每件可获利润〔2+x 〕元，那么每天可销售〔100-10x 〕件，设每天所获利润为y 元，依题意，得y (2x)(10010x)10x 2 80x 20010(x4)2 360.∴当x=4时〔0≤x ≤10〕所获利润最大，即售出价为 14元，每天所赚得最大利润 360元.2.∵ymx 23m 4x 4，3∴当x=0时，y=4.当mx 23m 4x4 0,m0时m 1 3,m 24.33m即抛物线与y 轴的交点为〔0，4〕，与x 轴的交点为A 〔3，0〕，B4,0.3m1〕当AC=BC 时，43,m 4.3m4x 2 9 ∴y492〕当AC=AB 时，AO 3,OC4,AC 5.∴45 .33mm 112 .∴,m 231时，y1x 2 11x4；6当m666当m2时，y2x22x4.3333〕当AB=BC 时，44 2342，3m3m∴m8.77∴y8x244x4.721可求抛物线解析式为：y4x24,y1x211x4,y2x22x4或8x244x 96633y4.7213.〔1〕∵[(25)]24(226)m mm22m21(m2 1)20图代13-3-21∴不管m取何值，抛物线与x轴必有两个交点.令y=0，得x2(m25)x2m260(x2)(xm23)0，∴x12,x2m23.∴两交点中必有一个交点是A〔2，0〕.〔2〕由〔1〕得另一个交点B的坐标是〔m2+3,0〕.d m232m21，∵m2+100，∴d=m2+1.3〕①当d=10时，得m2=9.∴A〔2，0〕，B〔12，0〕.y x214x24(x7)225.该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为〔7，-25〕，∴AB的中点E〔7，0〕.过点P作PM⊥AB于点M，连结PE，那么PE 1AB5,PM2b2,ME2(7a)2，2∴(7a)2b252.①∵点PD在抛物线上，8∴b(a 7)2 25. ②解①②联合方程组，得 b 1 1,b 2 0.当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP 为锐角三角形时，那么-25≤b -1；△ ABP 为钝角三角形时，那么 b -1，且b ≠0.同步题库一、填空题1.y1(x2)2,y1(x 2)23；2.x1,1；3.y(x3)29；4.224 8y2(x2)22；5. 互为相反数；轴，左，右；7. 下，x=-1,(-1,-3) ，x-1；8.四，增大；9.向上，向下，b ,4ac b 2 ,xb ； 10.向下，〔h,0〕，x=h ；2a4a2a1 2，-2；-1；，〔2，3〕；14.yx13；15.10.9二、选择题 28. C三、解答题解法一：依题意，设M 〔x 1，0〕，N 〔x 2，0〕，且x 1≠x 2，那么x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，∴x 1 x 22a ，x 1·x 22b1. ∵x 1，x 2又是方程x 2 (a3)xb 21 0的两个实数根，∴ x1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2.∴2a a 3,2b 1 1 b 2.解得a 1, 或a 1,b 0;b2.当a=1,b=0 时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数y x 2 2x 3和yx 22x 3符合题意.∴a=1，b=2.解法二：∵二次函数yx 22ax 2b 1的图象对称轴为x a ，9二次函数 yx 2 (a 3)x b 21的图象的对称轴为 xa3，2又两个二次函数图象都经过 x 轴上两个不同的点 M ，N ，∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线 .∴a3.a2解得a1.∴两个二次函数分别为yx 2 2x 2b1和yx 2 2xb 21.依题意，令y=0，得x 2 2x 2b 1 0，x 2 2xb 2 10.①+②得b 22b 0. 解得b 1 0,b 22.∴a 1,a 1,b 0;或2.b当a=1，b=0时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为y x 22x 3和yx 2 2x3符合题意.∴a=1，b=2.32.解：∵y ax 2 bx c 的图象与x 轴交于点B 〔x 1，0〕，C 〔x 2，0〕，∴x 1 x 2b,x 1x 2c .aa又∵x 12 x 22 13即(x 1x 2)2 2x 1x 2 13，∴( b )22 c 13 .①aa又由y 的图象过点A 〔2，4〕，顶点横坐标为1，那么有4a+2b+c=42，②b 1③2a.2解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.10∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为〔-2，0〕，〔3，0〕.与y 轴交点D 坐标为〔0，6〕.设y 轴上存在点 P ，使得△POB ∽△DOC ，那么有〔1〕当B 〔-2，0〕，C 〔3，0〕，D 〔0，6〕时，有OB OP ,OB 2,OC 3,OD6.OCOD∴OP=4，即点P 坐标为〔0，4〕或〔0，-4〕.当P 点坐标为〔0，4〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.∴ y=-2x-4.或 OBOP,OB2,OD6,OC3. OD OC ∴OP=1，这时P 点坐标为〔0，1〕或〔0，-1〕.当P 点坐标为〔0，1〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得1k.2∴y1x1.2当P 点坐标为〔0，-1〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有0=-2k-1 ，得k 1 .2∴y1x1.22〕当B 〔3，0〕，C 〔-2，0〕，D 〔0，6〕时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或y1x 1，3 或y11. x 3解：〔1〕在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为〔4，0〕. ∴ ∠ABC=90°. ∵△CBD ∽△BAO ，∴OB OA2OCOB ，即OB=OA ·OC.11又∵CO=1，OA=4，∴OB2=1×4=4.∴OB=2〔OB=-2舍去〕∴B点坐标为〔0，2〕.将点B〔0，2〕的坐标代入y=k(x-4)中，得k 1.1x 2∴直线的解析式为：y2.2〔2〕解法一：设抛物线的解析式为y a(x1)2h，函数图象过A〔4，0〕，B〔0，2〕，得25a h0,a h 2.解得a1,h25. 1212∴抛物线的解析式为：y1(x1)225. 1212解法二：设抛物线的解析式为：y ax2bx c，又设点A〔4，0〕关于x=-1的对称是D.∵CA=1+4=5，∴CD=5.∴OD=6.∴D点坐标为〔-6，0〕.将点A〔4，0〕，B〔0，2〕，D〔-6，0〕代入抛物线方程，得16a4b c0,c2,36a6b c0.解得a 1,b1,c2. 126∴抛物线的解析式为：y1x21x2.12634.解：〔1〕A，B的横坐标是方程ax23x c 0的两根，设为x1,x2〔x2x1〕，C的纵坐标是C.又∵y轴与⊙O相切，∴OA2·OB=OC.∴x1·x2=c2.又由方程ax23x c0知x1x2c，a12∴c2c，即ac=1.a〔2〕连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴AE1AB .1 2ACBADBADE.2ax ，∵0,x21∴ABx 2x 1 9 4ac5a.aAE5.2a又ED=OC=c ，∴tg AE 5 .DE23〕设∠PAB=β，∵P 点的坐标为3, 5 ，又∵a0，2a 4a∴在Rt △PAE 中，PE5.4a∴PE5tg.AE2∴tgβ=tg α.∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵∠ADE+∠DAE=90°PA 和⊙D 相切.解：〔1〕设DGD ＇所在的抛物线的解析式为 y ax 2 c ，由题意得 G 〔0，8〕，D 〔15，〕.138c,解得a1 , ∴9025ac.c 8.∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为 y1x 2 8.∵AD1且AD=5.5,90AC4∴×4=22(米).∴cc2OC 2 (OA AC) 2(1522〕=74 〔米〕.答：cc ＇的长为 74米. 〔2〕∵EB 1,BE 4，BC=16.BC 4∴∴AB=AC-BC=22-16=6〔米〕.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是 6米.〔3〕在y1x 2 8中，当x=4时，901737y16 8 .90 45∵37 (7 0.4) 1970.4545∴该大型货车可以从 OA 〔OA ＇〕区域平安通过.解:〔1〕∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即 a0，b0.∴方程x 2 (m 4)x m 2 0的两个根a ，b 异号.ab=m+20，∴m-2.〔2〕当m-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形.根据题意，计算得S四边形POOQ1b 2〔或1a 2或1〕.1 22 2m=-4时，四边形POOQ 是矩形.1 2根据题意，计算得S四边形POOQ1b 2〔或1a 2或1〕.1 222〔3〕∵(m 4)2 4(m 2)(m2)240∴方程x 2 (m 4)x m 2 0有两个不相等的实数根.∵ m-2，∴a b m4 0,ab m 20.14∴a0，b0.∴⊙O1与⊙O2都在y轴右侧，并且两圆内切.解：〔1〕设A，B两点的坐标分别是〔x1，0〕、〔x2，0〕，∵A，B两点在原点的两侧，∴x1x20，即-〔m+1〕0，解得m-1.∵[2(m1)]24(1)(m1)4m24m84(m1)272当m-1时，0，∴m的取值范围是m-1.2〕∵a∶b=3∶1，设a=3k，b=k〔k0〕，那么x1=3k，x2=-k，∴3k k2(m1),3k(k)(m1).解得m12,m21 .143∵m x2时，x1〔不合题意，舍去〕，33∴m=2∴抛物线的解析式是y x2x3.〔3〕易求抛物线y x22x3与x轴的两个交点坐标是A〔3，0〕，B〔-1，0〕与y轴交点坐标是C〔0，3〕，顶点坐标是M〔1，4〕.设直线BM的解析式为y px q，4 p1 q,那么0p(1)q.p2,解得q 2.∴直线BM的解析式是y=2x+2.设直线BM与y轴交于N，那么N点坐标是〔0，2〕，∴SBCM SBCNSMNC111111221.设P点坐标是〔x,y〕，15∵SABP8S BCM，∴1AB y81. 2即14y8.2∴y4.∴y4.当y=4时，P点与M点重合，即P〔1，4〕，当y=-4时，-4=-x2+2x+3，解得x122.∴满足条件的P点存在.P点坐标是〔1，4〕，(122,4),(122,4).38.〔1〕解：∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，∴AD2=AE·AB=2×〔2+6〕=16.∴AD=4.图代13-2-23〔2〕①无论点A在EP上怎么移动〔点A不与点E重合〕，总有证法一：连结DB，交FH于G，∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEB.又∵BH⊥AH，BE为直径，∴∠BDE=90°AD ED.AH FH ∴有∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB和△DHB中，DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB，∠DBE=∠DBH，∴△DFB∽△DHB.BH=BF，∴△BHF是等腰三角形.BG⊥FH，即BD⊥FH.16∴ED∥FH，∴AD ED.AH FH图代13-3-24证法二：连结DB，∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEF.又∵DF⊥AB，BH⊥DH，∴∠EDF=∠DBH.以BD为直径作一个圆，那么此圆必过F，H两点，∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH.∴ED∥FH.∴AD EDAH .FH ②∵ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，∴EF=6y.又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，∴∴△DFE∽△BDE，EFED，即ED2EFEB.ED EB∴x26(6y)，即y1x26.6∵点A不与点E重合，∴ED=x0.A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD，那么OD⊥PH.∴OD∥BH.又POPE EO639,PB12，OD PO,BH ODPB4，BH PB PO ∴BF BH4,EF EB BF642，2由ED=EF·EB得x2 2 612，x0，∴x23.∴0x≤23.〔或由BH=4=y，代入y1x26中，得x23〕617故所求函数关系式为y1 x2 6〔0x ≤2 3〕.639.解：∵yx2m 4m5 x 2m24m 9(x2)[xm24m9],222∴可得A(2,0),Bm 24m 9 ,0,C0,2m 24m9 .22〔1〕∵△ABC 为直角三角形，∴OC 2OB ，AO24m9即4m24m92m，22化得(m 2)20.∴m=2.〔2〕∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即m 24m 9 2 .2∴OC2m 24m94.∴ACBC5.22过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB·OC=BC ·AD.∴8AD.58∴sin ACBAD 5 4 .AC2 55图代13-3-25〔3〕S ABC1AB CO21m 24m 9 22m 24m9222(u2)u(u1)21.∵u m 2 4m9 1 ，2 2181，即m5∴当u2时，S 有最小值，最小值为.24解：〔1〕∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为32,0，B 点坐标为0,24.55∴⊙C 的圆心C 的坐标为 16 ,12.52〕由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB，∴∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt△AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OE OC ,OFOC .AB OA AB OB∴OE5,OF20.3E 点坐标为〔 5，0〕，F 点坐标为0,20，3∴切线EF 解析式为y4x 20 .3 3〔3〕①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为16,12 4，可得5 5b16, 5,2a 5 a324ac b 2 324ab1,524.24 cc. 55∴y5x 2 x 24 .32 5②当抛物线开口向上时 ,顶点坐标为16,124，得5 519b 16,5,2a 5a 4acb 28, b8 4,4a52424c.c .5541. ∴综合上述，抛物线解析式为〔1〕证明：由y5 x 2 4x 24 .8 5y5x 2 x24或y 5x 2 4x 24.325 85y1x, 2 yxm,有1xxm ，3221∴x mxmy m .2,3 , 32 1∴交点 M()m,m332m 21m此时二次函数为yx3 3x24mx 4m 2 1m .y ，有 3 93由②③联立，消去x24m1x4m 22m0.3934m1 244m 22m39316m 2 8m116m 28m9 3 931 0.∴无论m 为何实数值，二次函数y x 2pxq 的图象与直线yxm 总有两个不同的交点.20图代13-3-26〔2〕解：∵直线y=-x+m过点D〔0，-3〕，∴-3=0+m，∴m=-3.∴M〔-2，-1〕.∴二次函数为y(x2)21x24x3(x3)(x1).图象如图代13-3-26.3〕解：由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=Rt∠，∴MC为△CMA外接圆直径.∵P在y 1x上，可设Pn,1n，由MC为△CMA外接圆的直径，P在这个圆上，22∴∠CPM=Rt∠.过P分别作PN⊥y，轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，MS的延长线与PR的延长线交于点Q.由勾股定理，有222212MP QP(n2)2n1.MQ，即MP222NC2NP231n n2.CP2220.CM而MP 2CP2CM2，21n2∴(n2)21n13n220，22即52260，n n2∴5n24n120，(5n6)(n2)0.21∴n 16,n 22.5 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴n 6，5此时1 32n.5∴P 点坐标为6 ,3.5解：〔1〕根据题意，设点A 〔x 1，0〕、点〔x 2，0〕，且C 〔0，b 〕，x 10，x 20，b0，∵x 1，x 2是方程 x 2 axb0的两根， ∴x 1 x 2a,x 1x 2b .2在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC=OA ·OB.∵ OA=-x∴ bb0,∴b=1，∴C 〔0，1〕.〔2〕在Rt △AOC 的Rt △BOC 中，1,OB=x 2，2=-x 1·x 2=b.OCOC 1 1 x 1x 2 a tgtgx 1x 2x 1x 22.OAOBb∴a2.∴抛物线解析式为yx 2 2x1.图代13-3-27〔3〕∵y x 2 2x1，∴顶点P 的坐标为〔1，2〕，当x 2 2x 1 0时，x12. ∴A(12,0),B(12,0).延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1， ∴点D 坐标为〔-1 ，0〕. ∴S 四边形ABPC S DPB S DCA221DB y p 1AD yc221(22)21(22)1 2232(平方单位).223。

(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案)

二次函数应用题1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.x(第13题)3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时，244ac b y a -=最大(小)值)4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份 1月 5月销售量 3.9万台 4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）． 34 5.83135 5.91637 6.08338 6.164）5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．6、某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案(可编辑修改word版)

1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y 轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x 轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE=PC 时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF⊥x 轴于F，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．2.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B，与y 轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN∥x 轴与抛物线交于点N，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q 的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3 过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N 为抛物线上的动点，过点M 作MD∥y 轴，交直线BC 于点D，交x 轴于点E．过点N 作NF⊥x 轴，垂足为点 F（1）求二次函数y=ax2+bx﹣3 的表达式；（2）若M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（3）若M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M 的横坐标．4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB 的面积；（3）是否存在过A，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．5.(2016 辽宁省铁岭市) ．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A，点B，与y 轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN∥x 轴与抛物线交于点N，点P 在x 轴上，点Q 在平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q 的坐标．6.(2016 广东省茂名市) ．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE=PC 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P 作PF⊥x 轴于点F，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y 轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x 轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE=PC 时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF⊥x 轴于F，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），∴E（﹣1，0），设直线BD 的解析式为y=mx+n，∴，∴，∴直线BD 的解析式为y=﹣2x﹣6，设点P（a，﹣2a﹣6），∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∵PC=PE，∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，∴P（﹣2，﹣2），（3）如图，作PF⊥x 轴于F，∴F（﹣2，0），设M（d，0），∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），∵以点F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM=MG，∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，∴d= 或d=，∴点M 的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．2.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B，与y 轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN∥x 轴与抛物线交于点N，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q 的坐标．【解答】解：（1）把B、C 两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；（2）如图1，过F 作FG⊥x 轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴= ，当点F 在x 轴上方时，有=，解得x=﹣1 或x=6（舍去），此时F 点的坐标为（﹣1，）；当点F 在x 轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3 或x=6（舍去），此时F 点坐标为（﹣3，﹣）；综上可知F 点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）如图2，设对角线MN、PQ 交于点O′，∵点M、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，∴点P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线的对称轴上，设Q（2，2n），则M 坐标为（2﹣n，n），∵点M 在抛物线y=﹣x2+2x+6 的图象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+ 或n=﹣1﹣，∴满足条件的点Q 有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3 过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N 为抛物线上的动点，过点M 作MD∥y 轴，交直线BC 于点D，交x 轴于点E．过点N 作NF⊥x 轴，垂足为点 F（1）求二次函数y=ax2+bx﹣3 的表达式；（2）若M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（3）若M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M 的横坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，得：，解得，故该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．如图，设点M 坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，∴ME=|﹣m2+2m+3|，∵M、N 关于x=1 对称，且点M 在对称轴右侧，∴点N 的横坐标为2﹣m，∴MN=2m﹣2，∵四边形MNFE 为正方形，∴ME=MN，∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，分两种情况：①当﹣m2+2m+3=2m﹣2 时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8 ；②当﹣m2+2m+3=2﹣2m 时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8 ；综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．（3）设BC 所在直线解析式为y=px+q，把点B（3，0）、C（0，﹣3）代入表达式，得：，解得：，∴直线BC 的函数表达式为y=x﹣3，设点M 的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，则点N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），点D（t，t﹣3），∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．∵MD=MN，∴|t2﹣3t|=2﹣2t，分两种情况：①当t2﹣3t=2﹣2t 时，解得t1=﹣1，t2=2（不符合题意，舍去）．②当3t﹣t2=2﹣2t 时，解得t3=，t2=（不符合题意，舍去）．综上所述，点M 的横坐标为﹣1 或．4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB 的面积；（3）是否存在过A，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据轴对称，可得M′的坐标，根据待定系数法，可得AM′的解析式，根据解方程组，可得B 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据正方形的性质，可得P、Q 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．解答：解：（1）将A、B 点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y=（x﹣1）2﹣4，M 点的坐标为（1，﹣4），M′点的坐标为（1，4），设AM′的解析式为y=kx+b，将A、M′点的坐标代入，得，解得，AM′的解析式为y=2x+2，联立AM′与抛物线，得，解得，C 点坐标为（5，12）．S△ABC=×4×12=24；（3）存在过A，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形，由ABPQ 是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），①当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，将A 点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a= ，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣2，②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将A 点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2+2=0，解得a=﹣，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2，综上所述：y=（x﹣1）2﹣2 或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四边形APBQ 为正方形．5.(2016 辽宁省铁岭市) ．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A，点B，与y 轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN∥x 轴与抛物线交于点N，点P 在x 轴上，点Q 在平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q 的坐标．分析（1）由点B、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（2）设线段BF 与y 轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点F′的坐标，根据点B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF 的解析式，联立直线BF 和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F 的坐标；（3）设对角线MN、PQ 交于点O′，如图2 所示．根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P、Q 的位置，设出点Q 的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点M 的坐标为（2﹣n，n）．由点M 在抛物线图象上，即可得出关于n 的一元二次方程，解方程可求出n 值，代入点Q 的坐标即可得出结论．解答解：（1）将点B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣x2+bx+c 中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6．∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴点D 的坐标为（2，8）．（2）设线段BF 与y 轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如图1 所示．∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，∴△F′BO∽△BDE，∴．∵点B（6，0），点D（2，8），∴点E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=•OB=3，∴点F′（0，3）或（0，﹣3）．设直线BF 的解析式为y=kx±3，则有0=6k+3 或0=6k﹣3，解得：k=﹣或k=，∴直线BF 的解析式为y=﹣x+3 或y=x﹣3．联立直线BF 与抛物线的解析式得：①或②，解方程组①得：或（舍去），∴点F 的坐标为（﹣1，）；解方程组②得：或（舍去），∴点F 的坐标为（﹣3，﹣）．综上可知：点F 的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）．（3）设对角线MN、PQ 交于点O′，如图2 所示．∵点M、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，∴点P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线对称轴上，设点Q 的坐标为（2，2n），则点M 的坐标为（2﹣n，n）．∵点M 在抛物线y=﹣x2+2x+6 的图象上，∴n=﹣+2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，解得：n1=﹣1，n2=﹣﹣1．∴点Q 的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）．6.(2016 广东省茂名市) 】．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE=PC 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P 作PF⊥x 轴于点F，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．分析（1）利用待定系数法求出过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D 的坐标，利用待定系数法求出直线BD 的解析式，设出点P 的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x 的值，计算求出点P 的坐标；（3）设点M 的坐标为（a，0），表示出点G 的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．解答解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，连接PC、PE，x=﹣=﹣=1，当x=1 时，y=4，∴点D 的坐标为（1，4），设直线BD 的解析式为：y=mx+n，则，解得，，∴直线BD 的解析式为y=﹣2x+6，设点P 的坐标为（x，﹣2x+6），则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，∴点P 的坐标为（2，2）；（3）设点M 的坐标为（a，0），则点G 的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、G 为顶点的四边形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，当2﹣a=﹣a2+2a+3 时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a= ，∴当以F M、G、为顶点的四边形是正方形时点，M 的坐标（0，）（0，）（0，）（，0）．为，，，。

2017秋北京课改版数学九上19.4《二次函数的应用》WORD教案

19.4 二次函数的应用一、解答题（共10小题；共130分）1. 某种商品每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间满足关系：，其图象如图所示．(1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于元？2. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过、两点．(1) 求此二次函数的解析式；(2) 点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交二次函数的图象于点．当点位于点的上方时，直接写出的取值范围．3. 某校九年级进行集体跳绳比赛．如下图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作，绳子两端的距离约为米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离和基本保持米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线关于直线AB对称．(1) 求抛物线的表达式并写出自变量的取值范围；(2) 如果身高为米的小华站在之间，且距点的水平距离为米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出的取值范围．4. 如图，抛物线经过、、三点，直线经过、两点．(1) 写出方程的解；(2) 若，写出的取值范围．5. 已知抛物线（）(1) 求证：该抛物线与轴总有两个交点．(2) 当抛物线与轴的两个交点横坐标为整数时，求的整数值．6. 某工厂设计了一款产品，成本为每件元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足（），设销售这种产品每天的利润为（元）．(1) 求销售这种产品每天的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式；(2) 当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？7. 中踏销售某种商品，每件进价为元，在销售过程中发现，平均每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的关系可近似的看做一次函数：；(1) 求中踏平均每天销售这种商品的利润（元）与销售价之间的函数关系式；(2) 当这种商品的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？8. 已知二次函数．(1) 把这个二次函数化成的形式；(2) 画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当为何值时，．9. 已知抛物线与轴交于，（点在点左侧）两点，且对称轴为．(1) 的值为；并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；(2) 若直线过点且与抛物线交于点，根据图象回答当取什么值时，．10. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为米，如果水位上升米，则水面的宽是米．(1) 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2) 当水位在正常水位时，有一艘宽为米的货船经过这里，船舱上有高出水面米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？答案第一部分1. (1) 图象过点，，所以解得二次函数关系式为．，，即销售单价为元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为当时，最大元．1. (2) 把代入，得解得如图，结合图形可知当时，，即当销售单价满足时，该种商品每天的销售利润不低于元．2. (1) 把、分别代入中，解得所求二次函数的解析式为．2. (2) ．3. (1) 如图所示建立平面直角坐标系．由题意可知， , ,顶点．设抛物线的表达式为．在抛物线G上，，，．自变量的取值范围为．3. (2) ．4. (1) 方程的解为，．4. (2) ．5. (1)且该抛物线与轴总有两个交点．5. (2) 令，则，解得：，．又为整数，且方程的根为整数，且．．6. (1)6. (2) ．当销售单价定为元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是元．7. (1) 由题意，得：7. (2) 时，最大答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元．8. (1) ．8. (2) 二次函数图象如图，当或时，．9. (1) 由题意得．即．．抛物线解析式为：．令，即．解得，．点，点．抛物线的顶点坐标为．五点描图法画出函数图象：9. (2) 由图象可知，当或时，．10. (1) 设抛物线解析式为设点，点，由题意：解得．10. (2) 当时，．．在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．。