2.3.1椭圆的参数方程

x 4cos 6 2
y 3sin 0 2
消去参数θ ，得
(x 3)2 4
所以：点M的轨迹是一个椭圆.

y2 9 4
1
动画演示
知识整理 课堂小结
1.椭圆的参数方程及参数的几何意义
((212.))椭焦焦(a圆点点的在在b 参xy轴0轴数) 上上方a程xbx2222 和 byay就普2222 通是11方点Mxxyy的baabcs离csoiionnss（（心为角为参参数数））
题型一：利用参数方程求最值
例1：在椭圆
上求一点M, 使点M
到直线
的距离最短，并求出最短距离？ y
方法1：平移法
平移直线L至首次与椭圆
O
x
相切，切点即为所求.
P
方法2：
（ 解：椭圆的参数方程为
x3cos y 2sin
为参数）
小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任 意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加 以解决.
垂线,两垂线交于点M,求点M轨迹的参数y 方程.点M
的轨迹是什么？
A
BM
O
Nx
动画演示
创设问题 引出新课
y
分析：
A
点M的横坐标与点A的横坐标相同， 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同。O
B
M Nx
设点M（x，y）设以Ox为始边，
OA为终边的角为 φ ，
由于点A, B均在角φ的终边上，由三 角函数的定义有:
x | OA | cos a cos
y | OB | sin b sin
所以，动点M轨迹的参数方程为
x

y

a b
cos(为参数) sin
y
B O
A
M
x
化为普通方程为
x2 a2

y2 b2
1
故点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆。
我们可得到：
焦点在X轴上的椭圆的一个参数方程
变式:已知A,B两点是椭圆
x2
y2
9
4
1
与坐标
轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上
求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
题型二：利用参数方程求轨迹方程
例2.求椭圆 x2 y2 1 上任意一点和定点 16 9
Q（6，0）连线的中点M轨迹方程，并说明点M轨迹是什 么？
解：设椭圆上任一点P（4cosθ ，3sinθ ），PQ的 中点M（x，y），则由中点坐标公式可知
y
x

y

a b
cos sin
(为参数)
B O
A
M
x
在椭圆的参数方程中，通常 规定参数φ 的范围为 [0,2 )
问题抛出 探究本质
问题1： 椭圆的参数方程和标准方程之间
如何互化？(a b 0)
x2 a2

y2 b2
1
x2 b2

y2 a2
1
x

y

a cos（为参数） b sin
x

y

b cos（为参数） a sin
参数 方程
消去参数 引入参数
普通 方程
初步运用 强化理解
把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x2 y2 1 94
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x3cos y2sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程.
(3)
x5cos y3sin
(4)
x 8 cos

y

10
sin

(3) x2 y2 1
25 9
(4)
x2 64
y2 100
1
问新题课抛探出究二探究本质
问题2： 如何根据椭圆参数方程确定长半
轴长，短半轴长及焦点位置？
问题3：当椭圆参数方程
x

y

a cos（为参数） b sin
A. 圆 B. 椭圆 C.直线 D. 线段
椭圆的参数方程
作者：席文丽
巩义市第二高级中学
复习旧知 引出问题
1.圆心在原点,半径为r的圆x2+y2=r2
的参数方程
xr yr
cos sin
(为参数)
2.椭圆的标准方程: 焦点在x轴上: 焦点在y轴上:
思考 椭圆的参数方程是什么？
学习目标
1.借助几何画板探究椭圆的参数方程， 体会其中参数的几何意义；
2.通过例题的学习，体验构造参数法 的应用思想，探讨如何运用参数方程 解决与椭圆相关的问题；
3.能够根据已知条件构造参数方程， 实现问题的转化，达到解决问题的目 的。
创设问题 引出新课
如下图，以原点为圆心，分以a，b（a＞b＞0）
为半径作两个同心圆，设A是大圆上任意一点,连
接OA,与小圆交于点B，过点A,B分别作x轴,y轴的
中的参数取具体值的时候，方程又表示什
么？
问题4：椭圆参数方程中参数的几何意义
是什么？ φ 是点M的离心角
椭圆的标准方程:
x2 a2

y2 b2
1
(a
b 0)
y
椭圆的参数方程:
x

y
a cowk.baidu.com（为参数） bsin
B O
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
φ
A
M
Nx
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆心(0,0)半径为r圆的x2+y2=r2参数方
x

y

r r
cos（为参数）中θ的几何意义是 sin
θ 是点OP的旋转角 ∠AOP=θ
动画演示 y P
θ
O
A x
问新题课抛探出究3探究本质
如何从参数角度解释椭圆规的原理？
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示. 在一个十字形的金属板上有两条相互垂直的导槽，在直尺上 有两个固定A、B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺 上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭 圆.你能说明它的构造原理吗？(提示：用直尺AB和横槽所成 的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程. )
程的互化及特点。
y
φ
A
3.椭圆的参数方程的应用
BM
(1)最值问题
O
Nx
(2)轨迹问题
作业布置 课后强化
1.已知椭圆
上点M(x, y)，求
Yy
2x+3y的最大值和最小值；
O
XX
2.已知θ 取一切实数时，连接
A(4sinθ ,6cosθ )和B(-4cosθ , 6sinθ )
两点的线段的中点轨迹是
.