不等式解法整式分式根式.doc

§不等式的解法（一）

【一线名师精讲】

基础知识串讲

解不等式的基本原则：

1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当

元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。

2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其

转化的总思路为：

分式不等式

整不

式等

根式不等式

不式

绝对值不等式

等的

函数不等式式解

3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不

等式分开解答后取并集。

基本类型不等式的解法：

( 一 ) 、整式不等式的解法

1、一元一次不等式

标准形式：ax b 或 ax b(a 0) .

解法要点：在不等式的两端同时除以 a 后，若a0 则不等号要反向。

2、一元二次不等式

标准形式：ax2 bx c 0 或ax2 bx c 0 （其中 a 0 ）。

解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步

骤进行：

（1）整形：将不等式化为标准形式。

（2）求根：求方程ax2bx c 0 的根。

（3）写解：根据方程ax2 bx c 0

根的情况

写出对应不等式的解集。当两根明确时，可由“大

于 0，两根外；小于 0，两根内”的口诀写解，当0 时，则可由函数 y ax 2 bx c 的草图写解。

3、一元高次不等式（可分解因式型）

标准形式：a( x x1 )( x x 2) (

x x n

)

0 或

a (x x1 )( x x 2 ) ( x x n ) 0 a 0 。

解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：

（1）整形：将不等式化为标准形式。

（2）求根：求出对应方程的根。

（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。即“奇过偶不过”。

（ 4 ）写解：数轴上方所对应曲线的区间为

a( x x1 )( x x2 ) ( x x n ) 0 的解，数轴下方所

对应曲线的区间为a

(

x x1

)(

x x 2

) (

x x n

) 0 的解。

（二）、分式不等式的解法

标准形式：

g ( x)

0，或 g ( x ) 0 。

f ( x ) f ( x)

解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将

分式不等式转化为整式不等式求解。若分母的正负

可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以

下原则去分母：

f ( x)

0 f (x ) g( x) 0

g( x )

f ( x) 0 f ( x)

g ( x) 0

g( x )

（三）、根式不等式的解法

标准形式： f ( x)g( x) ； f ( x) g( x) ；以及 f (x )g (x) 。

解法要点：解根式不等式的关键是去根号，

应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条

件这两大要点进行等价变换：

f ( x) 0

f (x ) g( x) g( x) 0

f ( x) g( x)

g( x) 0

g ( x) 0

f (x )

g ( x) f ( x) 0 或

f ( x)

g 2

f ( x )

( x )

g( x) 0

f ( x ) g( x) f ( x) 0

f ( x) g2 ( x)

基本题型指要

◆题型一：解不含参数的不等式

【例 1】解下列不等式或不等式组：

( x 3)(1 x) 0

（ 1）

x 2 2

2x

（ 2） ( x 3)

2 (x 2)( 4 x) 0

（3） x2 2 x 2 x

3 2 x x 2

（4） ( x

1)

x 2 x 2 0

（1）思路导引 ：按规范化程序操作，化为标准形式后求解，可以有效的防止错误。

解 析 ： 将 ( x 3)(1 x)

( x 3)( x

1) 0 ，易得： x

3 , 或 x 1 。

由 2 x x 2 2 得 ( x 1) 2

综上所述，原不等式组的解集 x | x 3 ，或x 1 。

（2）解析：由已知， ( x 3) 2 ( x 2)( x 4)

用数轴穿根法易得原不等式的解集为：

x | x 2，或 x 4，或 x 3

误区警示 ：若不化为标准形式求解，易将解集

点评： 解等式与不等式的混合型不等式，最好将等式与不等式分开求解，以避免错误。◆题型二：解含参数的不等式

不少同学都怕解含参数的不等式，究其原因，

关键是没有把握住解题技巧。其实，解含有参数的不等

式在总思路上与解普通不等式完全相同，当参数不影响式子的变形时，与解普通不等式没有差

为 异，在参数影响式子的变形时，就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论，才能顺利的解出不等

0，

式。

【例 2】解下列关于 x 的不等式：

（ 1） ax 2 0

（ 2） tx 2 2 (2 t ) x

错写为 x |

2 x 4 。另外，建议将这类等式与不

（ 3） 3log a x 2 2 log a x 1 ( a 0, a

1)

等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉

x 3 这类解。

（ 1）思路导引 ：本题在求解 x 时必须去除系

（3）思路导引 ：解分式不等式的关键是去分 数 a ，由于 a 的范围不明，无法直接变形，若将 a

母。但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨 按变形的要求分为正、负、零三类，则在每一小类 论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法 中式子就能顺利变形了。

较好。

解析：由已知， ax 2 。 解析：将

x 2

2x 2 x 化为标准形式，得： ①、当 a

0 时， x

2 ；

3 2 x x 2

a (x 2)( x

2

x

1)

0 ，

②、当 a

0 时，

x

2

( x 3)( x 1)

；

a

因 为 x 2

x 1 0 恒成立，所以，

③、当 a

0时， 0

2 恒成立， x R 。

( x 2) 0 。

故，原不等式解集当 a 0 时为 x | x

2 ， (x 3)( x 1)

a

用数轴穿根法易得原不等式的解集为： 当 a 0 时为 x | x

2 ，当 a 0时为 R 。

x | 1 x

2，或 x 3

。

a

（4 ）思路导引 ：解根式不等式关键是抓住乘 （ 2）思路导引 ：解含参数的二次不等式通常 方的条件，对原不等式实施等价转换，去除根号。

是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数 解析：原不等式等价于：

有参数时需分正、负、零讨论，二是判别式△有参

x 2

数时的需分正、负、零讨论，三是两根有参数时需

( x 1)

x 2

0 （ 1）

根据他们的大小关系分类讨论。

或 ( x 1) x 2

2

（

本题中的不等式即 ( x 1)( tx 2) 0 ，在求解 x

2）

过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方

由（ 1）得： x 2

x 2

，解得 x 2 ；

项系数 t 的正、负、零，二是对应的二次方程的根

x 1 0

1 与 2

是否存在、谁大谁小。此时，同一字母

t 形

由（ 2）得 x

2，或 x

1 。

t

所以，原不等式的解集为 x | x 2，或 x

1 。

成了不同的分类， 可将 t 在 0、2 处分段统筹安排进

误区警示 ：请找出下面解法的错误：

行分类（如图） 。

由 x

2

x 2 0

，得 x 1 0 ，所以，原不

等式的解为 x

1

。

1 0 ，所以 x R 。

0 化为标准形式