复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)配套题库(名校考研真题)【圣才出品】

由积分第一中值定理，有
其 中 ξ 介 于 aα 与 bα 之 间 ， η 介 于 aβ 与 bβ 之 间 ． 令 由 f（x）的连续性及 f（＋∞）存在性，即有
则同时有
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（2）与（1）的证明完全类似．对任意的
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则
由比较判别法知 收敛，所以
敛散性相同，而
收敛，即
绝对收敛．
10．证明级数
大学研]
证明：令
则
易知 又
发散到 所以 ，所以
所以原级数发散到
发散到
[吉林
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，则有
，故由比较判别法知级数
收敛．
6．求 解：由于
．[中山大学 2007 研] ，所以
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绝对收敛．
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7．设 敛．[大连理工大学研]
证明：因为
即
，且有
，证明：
收
，所以对任意的ε，存在 N，当 n＞N 时，有 ，
，则
收敛．[南京师范大学研]
满足条件，而且很容易知道
但是
发散，所以
发散．
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二、解答题
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1．求级数
的和．[深圳大学 2006 研、浙江师范大学 2006 研]
解：
2．讨论正项级数 解：由于 当 a＝1 时，由于
，故发散．
证明：由
收敛，根据柯西准则，
存在δ＞0，只要
，
总有
利用定积分的绝对值不等式，又有
再由柯西收敛准则的充分性可知 命题的逆不成立，例如：
收敛．
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设
，令
，则
而由狄
利克雷法可以判定
是条件收敛的，从而可知
收敛但
不收敛．
．因为
收敛，令
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根据连续函数的介值性可得，φ（x）在（0，＋∞）内至少有一个零点．
8．讨论
的收敛性．[中国地质大学研]
解：令
当α＞1 时，取δ充分小，使α－δ＞1，因为
同时收敛，故 收敛．
当α≤1 时，由于
的敛散性．[武汉理工大学研] ，所以当 a＞1 时收敛，当 0＜a＜1 时发散；
3．证明： 证明：因为
收敛．[东南大学研] ，所以
又因为
而
收敛，故
收敛．
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4．讨论：
，p∈R 的敛散性．[上海交通大学研]
证明：因为 而
2．积分 学研]
解：
是否收敛？是否绝对收敛？证明所述结论．[北京大
积分
所以 而
是以 x＝0 为瑕点的瑕积分，因为
与 同阶，所以
收敛．
，所以
绝对收敛，积分
是无穷积分，当 x＞1 时，
，可利用
的马克劳林公式得
已知 综合可知：
条件收敛，而
绝对收敛，所以无穷积分
条件收敛但不绝对收敛．
条件收敛．
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6．设函数 f（x）在区间[0,＋∞）上连续，0＜a＜b．
（1）证明：如果
，则
（2）证明：如果积分
收敛，则
学研、北京交通大学 2006 研]
证明：（1）对任意的
，有
[中北大
在上式右端的两个积分中分别进行变量替换 ax＝t 和 bx＝t，则有
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3．计算积分
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[武汉大学研]
解：设
显然
在 SA 上可积，且
作半径为 a 和 的 圆 D1 和 D2，使得
，由
有
而
类似 即 所以
且有 ，
由夹逼原则可得
4．求 解：由于
[中山大学 2007 研] ，所以
绝对收敛．
5．求 解：令
[南京大学研] ，则原式变为
为增数列，而
为减数列，所以
．从
所以
．于是当 p＞0 时，由积分判别法知
Weierstrass 判别法知
收敛：当 p＝0 时，因为 发散，所以
当 p＜0 时，
发散．
收敛，故由 发散：
5．设级数
绝对收敛，证明：级数
收敛．[上海理工大学研]
证明：因为
绝对收敛，所以
．从而存在 N＞0，使得当 n＞N 时，
有
，有
在上式右端的两个积分中分别进行变量替换 ax＝t 和 bx＝t，则有
由积分第一中值定理，有
其中ζ介于 aα与 bα之间．令
及
收敛，即有
，则同时有
由 f（x）的连续性
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7．设对任意的 A＞0，f（x）在[0，A]上正常可积，且
，
试证明φ（x）在（0,＋∞）内至少有一个零点．[南京大学研]
证明：由φ（x）的表达式可知
收敛．
8．说明下面级数是条件收敛或绝对收敛
学研] 解：数列
是 n 的单调递减函数．且
由莱布尼兹判别法，可知
收敛．
[复旦大
所以
故当 2x＞1，即
时
当 2x≤1，即
时，
收敛，即 绝对收敛； 发散，即
条件收敛．
9．证明：若
绝对收敛，则
大学研]
证明：
绝对收敛，从而
收敛，记
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亦必绝对收敛．[华东师范
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第一模块 名校考研真题
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第3篇 级 数
第 1 部分 数项级数和反常积分
第 9 章 数项级数
一、判断题
1．若
收敛，则
【答案】错
【解析】举反例：
，虽然
发散．
存在．[重庆大学 2003 研] ，但是
2．若
收敛，
【答案】错
【解析】举反例：
，所以 与
又因为
取ε充分小，使得
，即
．因为
，所以
单调递减，且
现在证明
．因为
，即
所以对任意的ε，存在 N，当 n＞N 时，有 c-ε＜r，有
所以存在 N，当 n＞N 时，
，则
因此
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则 ． ．对任意的 0＜
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，
由两边夹法则可得
．故由交错级数的 Leibniz 判别法知
第 10 章 反常积分
一、判断题
1．若 f（x）恒正连续，且
收敛，则必有
通大学研、浙江大学研、南京师范大学 2006 研]
【答案】错
（ ）[上海交
【解析】举反例：
利用反常积分概念，
很明显可知满足题意，但是
二、解答题
1．如果广义积分
（其中 a 是瑕点）收敛，那么
收敛．并举例
说明命题的逆不成立．[中国科学院研]