复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)配套题库(名校考研真题)【圣才出品】
伍胜健《数学分析》配套模拟试题及详解【圣才出品】
伍胜健《数学分析》配套模拟试题及详解1．（15分）把x作为函数，u=xz、v=yz作为自变量，变换公式解：由于du=xdz+zdx，dv=ydz+zdy，所以于是故有代入原式，即得2．（15分）应用Stokes公式，计算曲线积分，式中C为圆周若从Ox轴正向看去，该圆周是沿逆时针方向进行的．解：平而x+y+z=0的法线的余弦为，于是3．（15分）证明：在x=0处三阶导数不存在．证明：当x≠0时，易知有从而根据导数的定义再由左、右导数的定义可得可见所以在x=0处的三阶导数不存在．4．（15分）设f（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证明：存在c∈（a，b）使证明：由于做辅助函数则由Lagrange中值定理知，存在使得令即有5．（15分）函数f（x）在闭区间[0，1]上有连续的一阶导数，证明：证明：若结论显然成立．若则f（x）在[0，1]上变号，由f（x）的连续性知，存在使于是取积分可得原不等式得证．6．（15分）计算，其中图一解：如图一：把D分成D1，D2两部分，其中7．（20分）设L为球面和平面x+y+z=0的交线，若从x轴正向看去，L是沿逆时针方向的，试计算下列第二型曲线积分：解：把Y=-x-z代人，得令x=u+v，z=-v，可得所以可取由此知道L的参量方程为（1）因为并由对称性得所以（2）因为并由对称性得所以8．（20分）求函数在条件约束下的极值．解：作拉格朗日函数并令由前三式消去μ，得再消去λ，又得于是求得x=y或x=z或y=z．当x=y时，代入条件函数后又解得由此得出同样，当x=z或y=z时，也可得上述结果．由于函数，在有界闭集上必有最大值和最小值，所以有9．（20分）设悬链方程为，它在[0，t]上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为：s（t）、A（t）．该曲边梯形绕x轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为V（t）、S（t）、F（t）．证明：（1）s（t）=A（t），t>0；（2）S（t）=2V （t）；（3）证明：（1）由弧长公式得由定积分的几何意义可得（2）旋转体体积为侧面积为。
复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)章节题库-多变量微积分学-含参变量的积分和反常积分【圣才
时
从而
于是不等式 p≤α＜p＋1，蕴含 I（p）≥I（α）＞I（p＋1），I（p＋1）≥I（α＋1）＞I（p＋2），
由此推出
因为
所以由上式可得
在此式中用 α＋n 代 α（因而 p＋n≤α＋n＜p＋n＋1，亦即相应地用 p＋n 代 p），即 得
由此可知当 n→∞时，数列 f（α＋n）（n＝1，2，…）有极限 π/2．但上面已证 f（x）以 1 为周期，所以
（2）证明如下： 因为在上面步骤②中已证 I（α）是 α 的减函数，所以 I（α）＞I（α＋1）＞I（α＋2），
由此可知
（最后一步用到上面步骤①中的结果），即 I（α＋1）/I（a）介于 l 和（α＋2）
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/（α＋1）之间，从而
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这蕴含 f（α＋1）＝（α＋2）I（α＋1）I（α＋2）＝（α＋1）I（α）I（α＋1）＝f（α）．
因此 f 是周期函数（周期为 1），从而若 p 为一个整数，则
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台
②因为当 0＜x＜π/2 时 0＜sinx＜1，所以当
由 分
F（y）= 而，更有
易知 f（x，y）是 0≤x≤1，0≤y≤1 上的连续函数．从而，积
是 0≤y≤1 上的连续函数，因此，
．从
9．设：
其中 a<b 及 f（y）为可微分的函数，
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求 F''（x）．
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解：当 x∈（a，b）时，由于
于是，得
（3）利用对称性知，所求的体积为
复旦大学数学分析第三版答案
复旦大学数学分析第三版答案【篇一：数学分析复旦大学第四版大一期末考试】s=txt>一、填空题（每空1分，共9分） 1.函数()cos1fxx??的定义域为________________2.已知函数sin,1()0,1xxfxx????????，则(1)____,()____4ff???3.函数()sincosfxxx??的周期是_____4.当0x?时，函数tansinxx?对于x的阶数为______5.已知函数()fx在0xx?处可导，则00011()()23lim____hfxhfxhh ???6.曲线1yx?在点(1,1)处的切线方程为______________,法线方程为________________7.函数2()fxx?在区间[0,3]上的平均值为________二、判断题（每小题1.5分，共9分） 1.函数()fxx?与2()gxx?是同一个函数。
（）2.两个奇函数的积仍然是奇函数。
（）3.极限0limxxx?不存在。
（）4.函数1,0()1,0xfxx???????是初等函数，而1,0()0,01,0xgxxx?不是初等函数。
（）5.函数()sinfxxx?在区间[0,]?上满足罗尔中值定理。
（）6.函数()fx在区间[,]ab上可导，则一定连续；反之不成立。
（）三、计算题（64分）1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）（1）111lim(...)1223 (1)nnn????????? （2）222111lim(...)12nnnnn????????（3）4213lim22xxx?????（4）210lim(cos)xxx??（5）211lim1xtxedtx???2.求出下列各导数（每小题4分，共16分）()xtxfxedt????（2）cos()(sin)xfxx? (3) sin1cosxttyt???????1）2 （【篇二：复旦数学真题有答案】?a?bc,y?b?ac,z?c?ab，65、已知是不完全相等的任意实数。
数学分析教材习题全解(复旦版)数学分析教材习题
数学分析教材习题全解（复旦版）数学分析教材习题全解习题 12. 1 偏导数与全微分1( 求下列函数的偏导数:5426222(1); (2); z,x,6xy，yz,xln(x，y)x2z,xy，(3); (4); z,sin(xy)，cos(xy)y2,,xx,,tan(5); (6)z,; z,e(cosy，xsiny),,y,,xyyz,sin,cos(7); (8); z,(1，xy)yxx，yz,ln(x，lny)z,arctan(9); (10); 1,xyy222x(x，y，z)z(11); (12); u,eu,xz1y(13); (14); u,xu,222x，y，znnu,axy,a,a(15)，为常数; (16)为常数。
uax,a,ijijijji,iiii,j,1i,1,z,z54432解 (1) ，,6y,12xy。
,5x,24xy,y,x32,z2x,z2xy22(2) ，。
,,2xln(x，y)，2222,y,xx，yx，y,z1,zx,y，,x,(3) ，。
2,y,xyy,z,z,,(4) ， ,xcos(xy),sin(2xy)。
,y,,cos(xy),sin(2xy),y,x,z,zxx,e(xcosy,siny)(5) ，。
,e(cosy，xsiny，siny),y,x222,,,,,zxx,zxx222,,,,,sec,,sec(6) ，。
2,,,,,xyy,yyy,,,,,z1xyyxyzxxy,1xy,,coscos,coscossinsin,sinsin(7) ，，。
22yyx,,xyyxyxxyxyx1，，,zxy,z2y,1y(8) ， (1)ln(1)。
,y(1，xy),，xy，xy，,,1,x,y，xy，，,z1,z1,,(9) ，。
,yy(x，lny),xx，lny,z1,z1zxy,，arctanarctan(10) 注意，,， ,。
复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)-名校考研真题-多变量微积分学【圣才出品】
由于对任意的 y∈[c，d]，有下式成立
所以有
即
．
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第 2 部分 多变量微分学
第 14 章 偏导数和全微分
解答题 1．已知
1 确定，且 h（x）具有所需的性质．求
所以对任意的 ε＞0，取 在（0，0）处连续．
，则当
时，有
，故 f（x，y）
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由于当（x，y）≠（0，0）时，
，故
4．讨论
在（0，0）点的连续性和可微性．[武汉大学研] 解：（1）连续性．可以令 x＝ζcosθ，y＝ζsinθ，因为
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故
12．
解：由
又由
得
[上海交通大学研] 得
，于是
13．设 z 由 求 [南京大学研]
解：由
得 ①式两端再对 x 求导得
定义为 x，y 的隐函数，其中 为二次连续可微，
两边对 x 求导 ①
所以 f（x，y）在（0，0）点连续． （2）可微性．由于 从而
选取特殊路径 y＝kx，有 为 1，所以 f（x，y）在（0，0）点不可微．
5． 解：由于
，求 dz．[华东师范大学研]
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，极限不
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故
．
6．函数 数．[天津大学研]
同时
，
．
5．若函数 f（x，y）在 上对 x 连续，且存在 L＞0，对任意的 x、y′有
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5．（15 分）利用替换 结果，求
来计算积分
利用这个
解：设
则
或
代入得
所以
令 a=－2，b=3，m=2，n=3，并设
即得
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6．（15 分）讨论级数
的敛散性．
解：令
显然必须设 α≥0，否则若 α<0，对于某些
可能无意义． 当 α=0 时，
内且在 后面的诸多
中任取一个作为 ，依次类推可得（这是可能的，因为每个 项）
中包含 无穷多
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台
的一个子序列
满足
由此可得
所以
则
一个子序列，结论得证．
为
的
2．（15 分）若
收敛，则当 x→∞时是否必有 f（x）→0？研究例子：
（2）在任意闭区间[a,b]上，当 δ 足够小时，可使 F（x）与 f（x）一致逼近（即任给
ε>0，对一切
均有
证明：Leabharlann 因为 f（x）处处连续，所以 F'（x）连续，即 F（x）对任何 x 有连续导数． 所以由洛必达法则可得
故对任给 ε>0，当 δ 足够小时，对一切 立．
均有
即所证结论成
8．（20 分）证明：若 f（x）在[a，b]连续，且非线性函数 f（x）在（a，b）可导，
穷多项，则任取其一作为
．再将
二等分，又可得
所给序列的无限多项，依次类推，于是可得一串区间
（若两者均含有无 ，它包含
其中每一项
都包含所给序列的无限多项，且
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题章节题库模拟试题
有界，由Dirichlet判别法，知 二、解答题
收敛.
1．设 ，求级数
的和．[苏州大学2004研]
解：设
， 的收敛区间为
，
，
令
，则
；
令
，则
则
从而
2．
．[武汉大学2004研]
解：原式 3．判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散:
（1）
；
（2）
.[北京科技大学2011研]
解：（1）因为
且
收敛，
所以由级数的比较判别法知，级数
上逐
点收敛，即由Osgood定理，得
上一致收敛．
（Osgood定理）设函数列 在有限闭区间 上连续， 在 上等 度连续，如果
则
（1）
上连续；
（2）
上一致收敛于 [哈尔滨工业大学2009研]
证明：（1）由 在 上等度连续，得
对
，当
成立；
时，不等式
令 取极限得，
由此得
上连续；
，对所有
（2）由 时，有
，
；对于任意的
目 录
第一部分 名校考研真题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续 第17章 多元函数微分学 第18章 隐函数定理及其应用 第19章 含参量积分
第20章 曲线积分 第21章 重积分 第22章 曲面积分 第23章 向量函数微分学 第二部分 课后习题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续
闭区间的性质可知，存在
即 这里
，由比值判别法知
绝对收敛．
复旦大学 研究生入学考试《数学分析与线性代数》专业课程考试大纲
复旦大学2005年入学研究生《数学分析与线性代数》专业课程考试大纲第一部分数学分析考试题型：判断说明理由、简答、计算和证明参考书目：《数学分析》欧阳光中等，上海科技出版社或《数学分析》陈纪修，金路等，高等教育出版社总分：105分一、极限与连续内容：映射与函数；数列的极限、函数的极限；实数系的连续性、连续函数、一致连续；Rn中的点集、多元函数的极限与连续；函数和连续函数的各种性质。
要求：理解集合、映射、函数、极限、连续、一致连续等概念；理解极限和连续的有关性质和定理；掌握求数列和函数极限的各种方法；掌握连续性、间断性的判别方法。
二、微分与导数内容：微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；全微分和偏导数的概念；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒公式；最值和极值。
要求：理解微分和导数的概念、关系、几何意义和性质；掌握求微分和导数（一阶和高阶，一元和多元，隐函数，复合函数）的各种方法；理解和应用微分中值定理；掌握各种最值和极值的求法（一元和多元，条件极值）；判断函数的凹凸性；求空间曲面的切平面和空间曲线的切线。
三、一元和多元函数的积分内容：定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；重积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。
要求：理解定积分的概念、性质、意义和微积分基本定理，理解黎曼积分概念，并能灵活应用；掌握不定积分和定积分的各种计算方法（换元法、分部积分、有理函数积分）；掌握用定积分计算几何量和物理量的方法；理解二重和三重积分的概念和性质，掌握二重和三重积分的计算方法；掌握曲线积分和曲面积分概念及计算；掌握反常积分收敛性的讨论和判别方法。
四、级数内容：数项级数、数项级数的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。
要求：理解级数收敛、发散、一致收敛的概念；掌握级数收敛的判别方法（绝对收敛、条件收敛、一致收敛）；掌握幂级数收敛半径和收敛区间的判别方法，并能利用幂级数的性质求和函数；掌握基本初等函数的泰勒展开。
高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全
习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s==(4) s==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故2s=xs==ys==5zs==.6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则222222(4)1(7)35(2)z z-++-=++--解得149 z=即所求点为M（0，0，149）.1731747. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=--c a 2225D A BA BD =-=--c a3335D A BA BD =-=--c a444.5D A BA BD =-=--c a11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos 604 2.2u OM OM =︒=⨯= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).17513. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求： （1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12(7PP ==(3) 12cos 14x a PP α==12cos 14y a PP β==12cos 14z a PP γ==.(4) 12012{14PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c=-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a, b , c .解：||==a ||==b||3==c, , 3. a b c ===a b c e17616. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j . 17.解：设{,,}x y z a a a a =则有 c o s (1,1)3x a i a a i a i π⋅====⋅ 求得12x a =. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =则222cos 42a ba b π⋅=⇒=⋅ 则214y a =求得12y a =± 又1,a =则2221x y z a a a ++= 从而求得11{,,}222a =±或11{,,}222-± 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标. 解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}.17719. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-= 得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ=⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒==故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4==b a ，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2||-a b 解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b (3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在178向量CD 上的投影.解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr j CD AB CD AB CD⋅=4.7==-23. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b ) =227||1615||0+⋅-=a a b b ① (a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ②由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos23θ==. 24. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且 a +b ={2,4, -2} a -b ={-6,10,14}又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a +b )⊥(a -b ).25. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求： (1) a ×b ; (2) 2a ×7b ; (3) 7b ×2a ; (4) a ×a . 解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算： (1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a b179π2||||sin242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin842=⨯⨯⨯= 27. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin ||||26θ⨯===⨯a b a b . 28. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++=l l i j k12||||l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l .即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P --{2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =-{4,4,4}AC =-- {2,0,3}BC =-18022222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 30.（1）解: xy z xyzij k a b a a a b b b ⨯==-+-+-y z z y z x x z x y y x a b a b i a b a b j a b a b k （）（）（）则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅（）（）（）（）xy z xy z xyza a ab b b C C C = 若 ,,C a b 共面，则有a b ⨯后与 C 是垂直的. 从而C 0a b ⨯⋅=（） 反之亦成立. （2） C xy z xy z x y za a a ab b b b C C C ⨯⋅=（） a xy z xy z x y z b b b b C C C C a a a ⨯⋅=（） b xy z xy z xy z C C C C a a a a b b b ⨯⋅=（） 由行列式性质可得:xy z x y z x y z xy z x y z xy z xyzxyzxyza a ab b b C C C b b b C C C a a a C C C a a a b b b == 故C a a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅（）（）（）18131. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|22S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积12S =+32.解：设四面体的底为BCD ∆，从A 点到底面BCD ∆的高为h ，则 13BCDV S h =⋅⋅，而11948222BCDSBC BD i j k =⨯=--+= 又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h ==故1942323V =⋅⋅= 33. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线. 证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC = 显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.34. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程. 35. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.182解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行 故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0 即3x -2y +6z +2=0.38. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=039. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++=183得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x -1=0; (3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0; (5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5）(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x +y -z =0的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A B A B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角.解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得2k=±44. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}12232,18613lm lm⇒==⇒=-=--n n(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}12315320 6.l l⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}12203203A CA B CA B C CB⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n nn n又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程为233CCx y Cz-++=即2x-y-3z=018418546. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 47. 求下列直线与平面的交点：(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角： （1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩； （2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩ 解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}186由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程： （1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行； （3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为 s ={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z==-和3x -2y +7z =8;187（3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解：直线的方向向量为12123111-=++-ij ki j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+=解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0188得23t =-于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333-54. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为d = 55. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d ==即为点到平面的距离.56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为R =设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.189解：设该动点为M (x ,y ,z )3.=化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=; （3）22194x z +=; （4）20y z -=; （5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-1219059. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=; （3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=; （5）22209z x y +-=. 解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.图7-1760. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1.191解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示.图7-18 图7-19图7-20 图7-21 61. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-.解：（1）直线的参数方程为334624x ty t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.192解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.63. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程. (1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=.193故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(x , y )|x ≠0};(2) {(x , y )|1≤x 2+y 2<4}; (3) {(x , y )|y <x 2};(4) {(x , y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2≤1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x , y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}，边界：{(x , y )|x 2+y 2=1}∪{(x , y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x , y )|y ≤x 2}， 边界：{(x , y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x , y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2=1}. 2. 已知f (x , y )=x 2+y 2-xy tanxy,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u v f u v w u w +=+,试求(,,).f x y x y xy +- 解：f ( x + y , x -y , x y ) =( x + y )xy +(x y )x +y +x -y =(x + y )xy +(x y )2x . 4. 求下列各函数的定义域：2(1)ln(21);z y x =-+(2)z =(3)z =(4)u =(5)z =(6)ln()z y x =-194(7)u =解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>>2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥5. 求下列各极限：10(1)y x y →→ 22001(2)lim;x y x y →→+00(3)x y →→x y →→00sin (5)lim ;x y xy x →→2222221cos()(6)lim.()ex y x y x y x y +→→-++解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=01.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+1956. 判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续：33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x ,y )=233x y x y -+; (2) f (x ,y )=2222y xy x +-;(3) f (x ,y )=ln(1－x 2－y 2);(4)f (x ,y )=22e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩196解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数：(1)z = x 2y +2xy;(2)s =22u v uv+;(3)z = x;(4)z = lntan x y; (5)z = (1+xy )y ; (6)u = z xy ;(7)u = arctan(x -y )z; (8)y zu x =.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+ 2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y yy x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+197[]ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z z zz zu z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)1.yzu y x x z-∂=∂ 2211ln ln .ln ln .y yz z yy z zu x x x x y z zu y y x x x x z z z ∂=⋅=∂∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂⎝⎭9.已知22x y u x y=+，求证：3u u x y u x y ∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+.10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x x x ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1981121e x y z y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11.设f (x ,y ) = x +(y，求f x (x ,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数： (1)z = x 4+ y 4-4x 2y 2; (2)z = arctan y x; (3)z = y x ;(4)z = 2ex y+.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，，由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1992222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x y x y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂14.设f (x , y , z ) = xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f - 解：2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===15315.设z = x ln ( x y )，求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解：ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分： (1)22e xy z +=;(2)z =(3)zyu x =;(4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z z x y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )xy x y x y z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴ 223/2d (d d ).()x z y x x y x y =--+ (3)∵11,ln z z z y y z u uy x x x zy x y --∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂154ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265e e e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量，近似计算： (1) (1.02)3·(0.97)2;;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f (x ,y )=x 3·y 2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则155d 0.05d 0.07(4.05,2.93)(4,3)d (4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998x y f f f ==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f (x ,y )=x y ,则d f (x ,y )=yx y -1d x +x y ln x d y ， 取x =2,y =1,d x =-0.03,d y =0.05,则1.05d 0.03d 0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d (2,1)20.0393 2.0393.x y f f f =-==≈+=+=19.矩型一边长a =10cm ，另一边长b =24cm, 当a 边增加4mm ，而b 边缩小1mm 时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l ，则d d ).l l x x y y ==+当x =10,y =24,d x =0.4,d y =-0.1时，d 0.4240.1)0.062l =⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20.解：因为圆锥体的体积为21.3V r h π=⋅0030,0.1,60,0.5r r h h ====- 而221.33V V V dV r h yh r r h r h ππ∂∂≈=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂0030,0.1,60,0.5r r h h ====-时， 2213.1430600.130(0.5)33V π≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯- 230()cm =-21.解：设水池的长宽深分别为,,x y z 则有:V xyz =精确值为：50.242 2.850.22 3.62V =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 313.632()m = 近似值为:156V dV zx y xy z ≈=+0.4,0.4,0.2x y z ===430.4530.454V d V ≈=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯314.8()m =22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,zv∂∂； (2)z ＝arc tanxy, x ＝u ＋v ,y ＝u －v , 求z u ∂∂,z v ∂∂；(3)ln(e e )xyu =+, y ＝x 3, 求d d u x; (4) u ＝x 2＋y 2＋z 2, x ＝e cos tt , y ＝e sin tt , z ＝e t, 求d d ut. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z yxy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uy x y u v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222111(1)11.x z z x z yy v x v y vyx x y y y x ux y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y xx x y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.15723. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数： (1)22(,e );xy u f x y =- (2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+15825. 设22()yz f x y =-，其中f (u )为可导函数，验证： 211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z z x x y y∂∂∂∂∂∂∂解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,zf x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂ 由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂1592212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,zy yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yzxf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y zxf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y +++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证：利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程。
欧阳光中《数学分析》(下)配套题库-名校考研真题(隐函数存在定理和隐函数求导法)
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解：应用 Lagrange 乘数法，令 ，
对 L 求一阶偏导数，并令它们都等于 0，则有
当 x、y、z 都丌为 0 时，求得该方程组的解为
所以最大值为
11．求 庆大学研]
解：令
． ，（n 为正整数）在条件 x≥0、y≥0，常数 a＞0 下的极值．[重
4．设 z＝z（x，y）由方程
所确定，证明：
南理工大学研、清华大学 2006 研] 证明：对题目中的方程关于 x 求偏导可得
，解得
．[华
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两边关于 y 求导可得
，解得
代入
，可得
．
5．设 z＝f（u），方程
定义了隐函数 u＝u（x，y），其中 f（u）、
解：（1）由题知
，记
（①）试
在方程
两端对 x 求导有
解得 于是
（2）对方程①两端对 x 求导有：
，故
解得
则
2．设方程
求隐函数的偏导数 [北京科技大学研]
解：由于
两边对 x 求导得
②
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解得
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③
类似，等式两边对 y 求导可解得
，则
解得
，所以 f（x，y）的极值为
．
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第 19 章 隐函数存在定理和隐函数求导法
1．设 f 为可微函数，
和方程
对以下两种情况，分别求 在点
处的值．
（1）由方程①确定了隐函数 z＝z（x，y）；
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库-名校考研真题(上)(圣才出品)
n2an2
4 n2π 2
0
f
(
x)
sin nx
dx
2
4 n2π 2
0
f
(x) sinnx
dx
2
4M 2 n2π 2
.
利用比较判别法，由于
n1
4M 2 n2π 2
收敛，则级数
n1
n2an2 收敛.
5．设
an
0 ，证明：当下极限
lim inf
n
ln(1/ an ) ln n
则
仍收敛，其中
[云南大
对上式两边取极限得
所以级数
7．设 f（z）是在（－∞，＋∞）内的可微函数，且满足：
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收敛到
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，其中 0＜m＜1．任取 ，定义
证明：级数
绝对收敛．[西安电子科技大学研]
证明：
即 这里
，由比值判别法知
发 散 ．[华中科技大学 2012 研] 证明：只需证明对任意的正整数 N，都存在整数 m＞n＞N，使得
可以先取 n＝N＋1,注意到
递增，所以此时有
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因为
递增且趋于正无穷，所以对给定的 N 必然存在足够大的正整数 m，使得
=0 ．所以由 Leibniz
判别法知，级数
n1
1 n 2ln n 收
敛．又
1 n
2ln n
=
1 2ln
n
,
1 2ln
n
发散，故级数
n1
1 n 2ln n 条件收敛．
三、证明题
(NEW)复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题
第3篇 级 数 第1部分 数项级数和反常积分 第9章 数项级数 第10章 反常积分 第2部分 函数项级数 第11章 函数项级数、幂级数 第12章 傅里叶级数和傅里叶变换
第4篇 多变量微积分学 第1部分 多元函数的极限论 第13章 多元函数的极限与连续 第2部分 多变量微分学 第14章 偏导数和全微分 第15章 极值和条件极值 第16章 隐函数存在定理、函数相关 第3部分 含参变量的积分和反常积分 第17章 含参变量的积分 第18章 含参变量的反常积分
目 录
第一模块 名校考研真题 第3篇 级 数 第1部分 数项级数和反常积分 第9章 数项级数 第10章 反常积分 第2部分 函数项级数 第11章 函数项级数、幂级数 第12章 傅里叶级数和傅里叶变换 第4篇 多变量微积分学 第1部分 多元函数的极限论 第13章 多元函数的极限与连续 第2部分 多变量微分学 第14章 偏导数和全微分 第15章 极值和条件极值 第16章 隐函数存在定理、函数相关
（1）证明：如果
，则
第4篇 多变量微积分学 第1部分 多元函数的极限论 第13章 多元函数的极限与连续 第2部分 多变量微分学 第14章 偏导数和全微分 第15章 极值和条件极值 第16章 隐函数存在定理、函数相关 第3部分 含参变量的积分和反常积分 第17章 含参变量的积分 第18章 含参变量的反常积分 第4部分 多变量积分学 第19章 积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定 义和性质 第20章 重积分的计算及应用 第21章 曲线积分和曲面积分的计算 第22章 各种积分间的联系和场论初步
综合可知：
条件收敛但不绝对收敛． 条件收敛．
3．计算积分 解：设
[武汉大学研]
显然
在SA上可积，且
伍胜健《数学分析》(第2册)配套题库【名校考研真题+章节题库+模拟试题】【圣才出品】
第一部分名校考研真题说明：本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。
所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第7章定积分1．设f（x）和g（x）在[a，b]上连续，证明：其中[哈尔滨工业大学研]证明：不妨令.当M=0时，f（x）≡0，结论显然成立，所以不妨设M＞0.∵g（x）在[a，b]上连续，从而一致连续，所以，当时，由ε的任意性，可知2．设f（x）及g（x）在[a，b]上连续，f（x）≤g（x），且证明：在[a，b]上，f（x）≡g（x）．[湖南大学研]证明：设F（x）=f（x）-g（x），从而在[a，b]上，F（x）≤0，且下证F（x）≡0，反证法：若不然，，则存在，使在[x1，x2]上F（x）＜0.从而其中，得出矛盾．故在[a，b]上，F（x）=0，即f（x）≡g（x）.3．计算．[上海交通大学研]解：作变换，则，当时，，当时，，所以4．设f（x）连续，且有，求x≥0时f（x）的值．[北京航空航天大学研]解：由得，方程两边对x求导，得而x＞0时，f（x）＞0，所以，从而（c为常数）.又因为，且f（x）连续，故因此5．给出有界函数f（x）在闭区间[a，b]上Riemann可积的定义．试举出一个在[a，b]上有界但不可积的例子，并给出证明．[上海大学研]证明：Riemann可积的定义：设f（x）是定义在[a，b]上的一个函数，J是一个确定的实数．若对任意给定的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a，b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要，就有则称函数f（x）存区间[a，b]上Riemann可积．在[a，b]上有界但不可积的例子：在区间[a，b]的任何部分区间上均有，所以，它不趋于0．因此f(x)在[a，b]上不可积．6．求定积分．[上海大学2006研]解：由于是奇函数，故，从而7．求．[南京理工大学2006研]解：做变量替换，则8．设f（x）为[a，b]上的有界单调函数，证明：（1）函数至多只有可数个间断点；（2）讨论函数在[a，b]上的可积性．[江苏大学2006研]证明：（1）设D是f（x）的第一类间断点集，令，，则，故只需证明A、B为可数集即可．以A为例，对任意的，选取有理数，使得．再选取有理数和，，使当时，；而当时，（此由f（x）在X有单侧极限可知）．因此，对应法则是从A到的一个映射，而且是单射，这是因为若有，，使，，，则．注意到，不妨设，于是可取，那么由前面的不等式，就得出的矛盾．这说明A与的一个子集对等，由可数，则A可数．（2）设f（x）为增函数，且f（a）＜f（b）（若f（a）=f（b），则f（x）为常量函数，显然可积）．对[a，b]的任一分割T，f（x）为增函数，f（x）在T所属的每个小区间上的振幅为于是有由此可见，任给ε＞0，只要，就有所以f（x）在[a，b]上可积．9．设f（x）在[0，＋∞）上连续有界，证明：[华东师范大学2006研]证明：记．显然有，又，故对任意的ε＞0，存在，使得由上确界的定义知，对上述的ε＞0，存在，．因为f（x）在处连续，由连续函数的局部保号性知存在δ＞0，使得，．于是由于，所以存在，使得取，则有即．10．设函数f（x）在[a，b]上非负、连续、严格递增，g（x）在[a，b]上处处大于零、连续且．由积分中值定理，对任意自然数n，存在，使得求极限．[北京师范大学研]解：因为g（x）在[a，b]上处处大于零、连续，所以存在c＞0使得当时，有g(x)≥c．从而对任意的ε＞0，有由于，又f（x）在[a，b]严格递增，故由极限的保号性知，存在N＞0，使得当n＞N时，有，于是．又由f（x）在[a，b]上严格递增知，当n＞N时，有成立，故．11．设函数f（x）是[－1，1]上的连续函数，且有，，证明：至少存在两个不同元素，使得．[北京师范大学2006研]证明：反证法．假设f（x）在（－1，1）内至多只有一个零点．若f（x）在（－1，1）内没有零点，不妨设f（x）在（－1，1）内恒正．由于f（x）在处连续，故由连续函数的局部保号性知，存在充分小的δ＞0使得当时．有．于是矛盾．若f（x）在（－1，1）内只有一个零点c，则f（x）在内恒不为零．若f(x)在内恒正或恒负，可以类似前面的证明推出矛盾．若f（x）在（－1，c）内恒正，在（c，1）内恒负（f（x）在（－1，c）内恒负，在（c，1）内恒正的情况完全类似）．由于，，所以．令，则，且g（x）在内恒正，往后类似前面的证明即可推出矛盾．12．设f（x）在[0，1]上Riemann可积，且，求．[浙江大学研]解：因为f（x）在[0，1]上Riemann可积，所以存在M，使得，则．则．13．利用可积函数条件证明：在[0,1]上可积．[南京师范大学2006研]证明：对[0，1]做任意分割T，注意到f（x）在[0，1]上有界，其不连续点为且f（x）在[0，1]的任意区间上的振幅w≤1．对任意的ε＞0，由于f（x）在上只有有限个间断点，故可积．因此，存在η＞0，对的任意分法，只要，就有．显然，，则对于[α，β]的任意分法，只要，就有．令，设是在[0，1]上满足的任意分法．设，由上述证明，有，显然又有，所以．于是，则f（x）在[0,1]上可积．。
欧阳光中《数学分析》(下)配套题库-章节题库(重积分)
第21章重积分1．解答下列问题：（1）设试问：此时其累次积分能交换次序吗？（2）试举例说明定义在[0，1]×[0，1]上的非负不可积函数f（x，y），有（3）设D＝[0，1]×[0，1]，试举例f∈R（D），但存在使得积分，对y∈E不存在．（4）求下列积分值解：（1）不一定．例如有定义在[0，1]×（0，1]上的函数易知（2）在[0，1]×[0，1]上作函数由于在任一点的任意小的邻域上，函数f的振幅均等于1，故f（x，y）在[0，1]×[0，1]上不可积．但另一方面，当时，f（x，y）＝0；当y∈Q时，易知除有限个点外均有f（x，y）＝0，即同理有（3）在D＝[0，1]×[0，1]上作函数易知f在有理点上不连续，在其它点上均连续，即f∈R（D），且有此外，当是无理点时，有当y0是有理点，时，有由此可知，作为x的函数在任何小区间上的振幅均大于，即在x∈[0，1]上不可积，不存在积分同理可说明不存在积分（4）积分区域是轴对称的，而被积函数是奇函数，故知2．设f（x，y）在上连续，a>0，试交换下列累次积分的次序：解：（图21-1）图21-1（2）如图21-2所示的区域，有图21-2图21-3）图21-3图21-4）图21-4（5）如图21-5所示，有0≤ρ≤a，以及图21-5 3．试证明下列积分公式（其中f皆连续）：证明：（1）调换积分次序，可知（2）对单积分作变量替换x-y＝t，可得（3）应用Cauchy—Schwarz不等式，可知4．试将下列三重积分次序改换为解：换序的方法有多种，这里采用的方法是：先换x与y的积分序，再换y与z的积分序．从而只需考察平面区域的情形．（1）x与y的积分次序交换，得故知（2）先看x与y的积分次序交换，则由图21-6可知。
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证明：由
收敛，根据柯西准则，
存在δ＞0，只要
，
总有
利用定积分的绝对值不等式，又有
再由柯西收敛准则的充分性可知 命题的逆不成立，例如：
收敛．
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设
，令
，则
而由狄
利克雷法可以判定
是条件收敛的，从而可知
收敛但
不收敛．
第 10 章 反常积分
一、判断题
1．若 f（x）恒正连续，且
收敛，则必有
通大学研、浙江大学研、南京师范大学 2006 研]
【答案】错
（ ）[上海交
【解析】举反例：
利用反常积分概念，
很明显可知满足题意，但是
二、解答题
1．如果广义积分
（其中 a 是瑕点）收敛，那么
收敛．并举例
说明命题的逆不成立．[中国科学院研]
收敛．
8．说明下面级数是条件收敛或绝对收敛
学研] 解：数列
是 n 的单调递减函数．且
由莱布尼兹判别法，可知
收敛．
[复旦大
所以
故当 2x＞1，即
时
当 2x≤1，即
时，
收敛，即 绝对收敛； 发散，即
条件收敛．
9．证明：若
绝对收敛，则
大学研]
证明：
绝对收敛，从而
收敛，记
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亦必绝对收敛．[华东师范
为增数列，而
为减数列，所以
．从
所以
．于是当 p＞0 时，由积分判别法知
Weierstrass 判别法知
收敛：当 p＝0 时，因为 发散，所以
当 p＜0 时，
发散．
收敛，故由 发散：
5．设级数
绝对收敛，证明：级数
收敛．[上海理工大学研]
证明：因为
绝对收敛，所以
．从而存在 N＞0，使得当 n＞N 时，
有
．因为
收敛，令
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根据连续函数的介值性可得，φ（x）在（0，＋∞）内至少有一个零点．
8．讨论
的收敛性．[中国地质大学研]
解：令
当α＞1 时，取δ充分小，使α－δ＞1，因为
同时收敛，故 收敛．
当α≤1 时，由于
，所以 与
又因为
，有
在上式右端的两个积分中分别进行变量替换 ax＝t 和 bx＝t，则有
由积分第一中值定理，有
其中ζ介于 aα与 bα之间．令
及
收敛，即有
，则同时有
由 f（x）的连续性
7．设对任意的 A＞0，f（x）在[0，A]上正常可积，且
，
试证明φ（x）在（0,＋∞）内至少有一个零点．[南京大学研]
证明：由φ（x）的表达式可知
，则有
，故由比较判别法知级数
收敛．
6．求 解：由于
．[中山大学 2007 研] ，所以
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绝对收敛．
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7．设 敛．[大连理工大学研]
证明：因为即，且有，证 Nhomakorabea：收
，所以对任意的ε，存在 N，当 n＞N 时，有 ，
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6．设函数 f（x）在区间[0,＋∞）上连续，0＜a＜b．
（1）证明：如果
，则
（2）证明：如果积分
收敛，则
学研、北京交通大学 2006 研]
证明：（1）对任意的
，有
[中北大
在上式右端的两个积分中分别进行变量替换 ax＝t 和 bx＝t，则有
，则
收敛．[南京师范大学研]
满足条件，而且很容易知道
但是
发散，所以
发散．
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二、解答题
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1．求级数
的和．[深圳大学 2006 研、浙江师范大学 2006 研]
解：
2．讨论正项级数 解：由于 当 a＝1 时，由于
，故发散．
2．积分 学研]
解：
是否收敛？是否绝对收敛？证明所述结论．[北京大
积分
所以 而
是以 x＝0 为瑕点的瑕积分，因为
与 同阶，所以
收敛．
，所以
绝对收敛，积分
是无穷积分，当 x＞1 时，
，可利用
的马克劳林公式得
已知 综合可知：
条件收敛，而
绝对收敛，所以无穷积分
条件收敛但不绝对收敛．
条件收敛．
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由积分第一中值定理，有
其 中 ξ 介 于 aα 与 bα 之 间 ， η 介 于 aβ 与 bβ 之 间 ． 令 由 f（x）的连续性及 f（＋∞）存在性，即有
则同时有
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（2）与（1）的证明完全类似．对任意的
3．计算积分
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[武汉大学研]
解：设
显然
在 SA 上可积，且
作半径为 a 和 的 圆 D1 和 D2，使得
，由
有
而
类似 即 所以
且有 ，
由夹逼原则可得
4．求 解：由于
[中山大学 2007 研] ，所以
绝对收敛．
5．求 解：令
[南京大学研] ，则原式变为
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则
由比较判别法知 收敛，所以
敛散性相同，而
收敛，即
绝对收敛．
10．证明级数
大学研]
证明：令
则
易知 又
发散到 所以 ，所以
所以原级数发散到
发散到
[吉林
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第一模块 名校考研真题
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第3篇 级 数
第 1 部分 数项级数和反常积分
第 9 章 数项级数
一、判断题
1．若
收敛，则
【答案】错
【解析】举反例：
，虽然
发散．
存在．[重庆大学 2003 研] ，但是
2．若
收敛，
【答案】错
【解析】举反例：
取ε充分小，使得
，即
．因为
，所以
单调递减，且
现在证明
．因为
，即
所以对任意的ε，存在 N，当 n＞N 时，有 c-ε＜r，有
所以存在 N，当 n＞N 时，
，则
因此
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则 ． ．对任意的 0＜
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，
由两边夹法则可得
．故由交错级数的 Leibniz 判别法知
的敛散性．[武汉理工大学研] ，所以当 a＞1 时收敛，当 0＜a＜1 时发散；
3．证明： 证明：因为
收敛．[东南大学研] ，所以
又因为
而
收敛，故
收敛．
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4．讨论：
，p∈R 的敛散性．[上海交通大学研]
证明：因为 而