复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)配套题库(名校考研真题)【圣才出品】

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由积分第一中值定理,有
其 中 ξ 介 于 aα 与 bα 之 间 , η 介 于 aβ 与 bβ 之 间 . 令 由 f(x)的连续性及 f(+∞)存在性,即有
则同时有
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(2)与(1)的证明完全类似.对任意的
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由比较判别法知 收敛,所以
敛散性相同,而
收敛,即
绝对收敛.
10.证明级数
大学研]
证明:令

易知 又
发散到 所以 ,所以
所以原级数发散到
发散到
[吉林
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,则有
,故由比较判别法知级数
收敛.
6.求 解:由于
.[中山大学 2007 研] ,所以
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绝对收敛.
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7.设 敛.[大连理工大学研]
证明:因为

,且有
,证明:

,所以对任意的ε,存在 N,当 n>N 时,有 ,
,则
收敛.[南京师范大学研]
满足条件,而且很容易知道
但是
发散,所以
发散.
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二、解答题
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1.求级数
的和.[深圳大学 2006 研、浙江师范大学 2006 研]
解:
2.讨论正项级数 解:由于 当 a=1 时,由于
,故发散.
证明:由
收敛,根据柯西准则,
存在δ>0,只要

总有
利用定积分的绝对值不等式,又有
再由柯西收敛准则的充分性可知 命题的逆不成立,例如:
收敛.
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,令
,则
而由狄
利克雷法可以判定
是条件收敛的,从而可知
收敛但
不收敛.
.因为
收敛,令
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根据连续函数的介值性可得,φ(x)在(0,+∞)内至少有一个零点.
8.讨论
的收敛性.[中国地质大学研]
解:令
当α>1 时,取δ充分小,使α-δ>1,因为
同时收敛,故 收敛.
当α≤1 时,由于
的敛散性.[武汉理工大学研] ,所以当 a>1 时收敛,当 0<a<1 时发散;
3.证明: 证明:因为
收敛.[东南大学研] ,所以
又因为

收敛,故
收敛.
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4.讨论:
,p∈R 的敛散性.[上海交通大学研]
证明:因为 而
2.积分 学研]
解:
是否收敛?是否绝对收敛?证明所述结论.[北京大
积分
所以 而
是以 x=0 为瑕点的瑕积分,因为
与 同阶,所以
收敛.
,所以
绝对收敛,积分
是无穷积分,当 x>1 时,
,可利用
的马克劳林公式得
已知 综合可知:
条件收敛,而
绝对收敛,所以无穷积分
条件收敛但不绝对收敛.
条件收敛.
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6.设函数 f(x)在区间[0,+∞)上连续,0<a<b.
(1)证明:如果
,则
(2)证明:如果积分
收敛,则
学研、北京交通大学 2006 研]
证明:(1)对任意的
,有
[中北大
在上式右端的两个积分中分别进行变量替换 ax=t 和 bx=t,则有
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3.计算积分
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[武汉大学研]
解:设
显然
在 SA 上可积,且
作半径为 a 和 的 圆 D1 和 D2,使得
,由


类似 即 所以
且有 ,
由夹逼原则可得
4.求 解:由于
[中山大学 2007 研] ,所以
绝对收敛.
5.求 解:令
[南京大学研] ,则原式变为
为增数列,而
为减数列,所以
.从
所以
.于是当 p>0 时,由积分判别法知
Weierstrass 判别法知
收敛:当 p=0 时,因为 发散,所以
当 p<0 时,
发散.
收敛,故由 发散:
5.设级数
绝对收敛,证明:级数
收敛.[上海理工大学研]
证明:因为
绝对收敛,所以
.从而存在 N>0,使得当 n>N 时,

,有
在上式右端的两个积分中分别进行变量替换 ax=t 和 bx=t,则有
由积分第一中值定理,有
其中ζ介于 aα与 bα之间.令

收敛,即有
,则同时有
由 f(x)的连续性
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7.设对任意的 A>0,f(x)在[0,A]上正常可积,且

试证明φ(x)在(0,+∞)内至少有一个零点.[南京大学研]
证明:由φ(x)的表达式可知
收敛.
8.说明下面级数是条件收敛或绝对收敛
学研] 解:数列
是 n 的单调递减函数.且
由莱布尼兹判别法,可知
收敛.
[复旦大
所以
故当 2x>1,即

当 2x≤1,即
时,
收敛,即 绝对收敛; 发散,即
条件收敛.
9.证明:若
绝对收敛,则
大学研]
证明:
绝对收敛,从而
收敛,记
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亦必绝对收敛.[华东师范
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第一模块 名校考研真题
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第3篇 级 数
第 1 部分 数项级数和反常积分
第 9 章 数项级数
一、判断题
1.若
收敛,则
【答案】错
【解析】举反例:
,虽然
发散.
存在.[重庆大学 2003 研] ,但是
2.若
收敛,
【答案】错
【解析】举反例:
,所以 与
又因为
取ε充分小,使得
,即
.因为
,所以
单调递减,且
现在证明
.因为
,即
所以对任意的ε,存在 N,当 n>N 时,有 c-ε<r,有
所以存在 N,当 n>N 时,
,则
因此
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则 . .对任意的 0<
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由两边夹法则可得
.故由交错级数的 Leibniz 判别法知
第 10 章 反常积分
一、判断题
1.若 f(x)恒正连续,且
收敛,则必有
通大学研、浙江大学研、南京师范大学 2006 研]
【答案】错
( )[上海交
【解析】举反例:
利用反常积分概念,
很明显可知满足题意,但是
二、解答题
1.如果广义积分
(其中 a 是瑕点)收敛,那么
收敛.并举例
说明命题的逆不成立.[中国科学院研]
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