2017年高考天津理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理科）参考公式：• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+；• 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，理1，5分】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,4,6 （D ）{}|15x x ∈-≤≤R【答案】B 【解析】{}[]{}()1,2,4,61,51,2,4AB C =-=，故选B ．（2）【2017年天津，理2，5分】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y=+的最大值为（ ）（A ）23 （B ）1 （C ）32（D ）3【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，故选D ．（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ，7,6,2N N N ===，输出2N =，故选C ．（4）【2017年天津，理4，5分】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】10sin 121262πππθθθ-<⇔<<⇒<，0θ=，1sin 2θ<，不满足1212ππθ-<，所以是充分不必要条件，故选A ．（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，离心率F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）（A ）22144x y -= （B ）22188x y -= （C ）22148x y -= （D ）22184x y -= 【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=-，故选B ．（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a << 【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，()()5.1 5.122log log a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<， 5.122log 3<<，所以即0.85.1202log 3<<<，()()()0.8 5.122log 3g g g <<，所以b a c <<，故选C ． （7）【2017年天津，理7，5分】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616- （C）[- （D）39[]16-【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()()*2xf x a f x -≤+≤，当1x ≤时，()*式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+， 2233322x x a x x -+-≤≤-+，又2214732416x x x ⎛⎫-+-=---⎪⎝⎭（14x =时取等号）， 223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤，当1x >，()*式为222x x a x x x --≤+≤+，322222x x x a x x --≤+≤+，又323222x x x x ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭（当x =号），222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤，综上47216a -≤≤，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，理9，5分】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ．【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-．（10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ===⨯=．（11）【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ． 【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点．（12）【2017年天津，理12，5分】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当2,1a b ==时取等号．（13）【2017年天津，理13，5分】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．【答案】311 【解析】32cos603AB AC ⋅=⨯⨯︒=，1233AD AB AC=+，则()1233AD AE AB AC AC AB λ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭212334934333311λλλ=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． （14）【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答） 【答案】1080【解析】413454541080A C C A +=． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2017年天津，理15，13分】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值．解：（1）在ABC △中，a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b =所以bsin A ．（2）由（1）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos2sin 44426A A A +=+=．（16）【2017年天津，理16，13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=， 1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=．随机变量X 的数学期望1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=． 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．（17）【2017年天津，理17，13分】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D E N ，，分别为棱PA PC BC ，，的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH的长．解：如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,4,0C ，()0,0,4P ，()0,0,2D ，()0,2,2E ，()0,0,1M ，()1,2,0N ．（1）()0,2,0DE =，()2,0,2DB =-．设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ， 即20220y x z =⎧⎨-=⎩．不妨设1z =，可得(1,0,1)=n ．又()1,2,1MN =-，可得0MN ⋅=n ．因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ． （2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的法向量，则2200EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1)EM =--，(1,2,1)MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩．不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n ．因此有1212124cos ,|||21⋅<>==-n n n n |n n ，于是12105sin ,21<>=n n ．二面角C EM N --的正弦值为10521． （3）依题意，设AH h =（04h ≤≤），则()0,0,H h ，进而可得(1,2,)NH h =--，(2,2,2)BE =-．由已知，得2|||22|7|cos ,|21||||523NH BE h NH BE NH BE h ⋅-<>===+⨯，整理得2102180h h -+=，解得85h =，或12h =． 所以，线段AH 的长为85或12．（18）【2017年天津，理18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和()n *∈N ．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2n n b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由114=11S b ，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-． 所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =． （2）设数列{}221n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，1214n n b --=，有221(31)4n n n a b n -=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(31)4n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯112(14)4(31)414n n n +⨯-=---⨯-1(32)48n n +=--⨯-得1328433n n n T +-=⨯+．所以，数列{}221n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+． （19）【2017年天津，理19，14分】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆，求直线AP 的方程； 解：（1）设F 的坐标为(),0c -．依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，22234b ac =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =．（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-．将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+．由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭．由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+．所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD ∆的面积为，故221622||32m m m ⨯⨯=+23|20m m -+=，||m =，m =．直线AP 的方程为330x +-=，或330x -=．（20）【2017年天津，理20，14分】设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间()1,2 内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数．（1）求()g x 的单调区间；（2）设00[1,)(,2]m x x ∈，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <； （3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈满足041||p x q Aq -≥． 解：（1）由432()2336f x x x x x a =+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--，可得2()24186g x x x '=+-．令()0g x '=，解得1x =-，或1x =．当x 变化时，()(),g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(),1-∞-，,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--．令函数10()()()()H x g x x x f x =--，则10()()()H x g x x x ''=-．由（1）知，当[1,2]x ∈时，()0g x '>，故当0[1,)x x ∈时，1()0H x '<，1()H x 单调递减；当0(,2]x x ∈时，1()0H x '>，1()H x 单调递增．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈时，1100()()()0H x H x f x >=-=，可得1()0H m >，()0h m >． 令函数200()()()()H x g x x x f x =--，则20()()()H x g x g x ''=-．由（1）知，()g x 在[1,2]上单调递增，故当0[1,)x x ∈时，2()0H x '>，2()H x 单调递增；当0(,2]x x ∈时，2()0H x '<，2()H x 单调递减．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈时，220()()0H x H x <=，可得2()0H m <，0()0h x <． 所以，0()()0h m h x <．（3）对于任意的正整数p ，q ，且00[1)(,],2px x q∈，令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--．由（2）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点；当0(,2]m x ∈时()h x 在区间0(),x m 内有零点．所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x ，则110()()()()0p ph g x f q x qx =--=．由（1）知()g x 在[1,2]上单调递增，故10()()12()g x g g <<<，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2p p f f p p p q p q pq aq q qx q g x g g q +--+-=≥=．因为当[12],x ∈时，()0g x >，故()f x 在[1,2]上单调递增，所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点，而0p x q ≠，故()0pf q ≠． 又因为p ，q ，a 均为整数，所以432234|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数，从而432234|2336|1p p q p q pq aq +--+≥．041|2|()p x q g q-≥．只要取()2A g =，就有041||p x q Aq -≥．。