贪心算法

贪心算法的基本思想是找出整体当中每个小的局部的最优解，并且将所有的这些局部最优解合起来形成整体上的一个最优解。

因此能够使用贪心算法的问题必须满足下面的两个性质：1.整体的最优解可以通过局部的最优解来求出；2.一个整体能够被分为多个局部，并且这些局部都能够求出最优解。

使用贪心算法当中的两个典型问题是活动安排问题和背包问题。

在对问题求解时，总是作出在当前看来是最好的选择。

也就是说，不从整体上加以考虑，它所作出的仅仅是在某种意义上的局部最优解（是否是全局最优，需要证明）。

特别注意：若要用贪心算法求解某问题的整体最优解，必须首先证明贪心思想在该问题的应用结果就是最优解！！以经典的活动安排为例：1、若A是E的最优解，那么E-A 也是问题的最优解，在余下的问题里，继续拿最早结束的；2、拿可以开始的最早结束。

(所以要按结束时间排序一次，然后把可以开始的选择上，然后继续向后推)贪心子结构是独立的（往往用标志判断而已），不同于动态规划（后面每一边的计算要用到前一步的值，另外开辟空间来保存）贪心算法的基本步骤：1、从问题的某个初始解出发。

2、采用循环语句，当可以向求解目标前进一步时，就根据局部最优策略，得到一个部分解，缩小问题的范围或规模。

3、将所有部分解综合起来，得到问题的最终解。

如最经典的活动安排问题，按结束时间从小到大排序，这样找出第一个节目后，剩下的节目已经是最safe的子结构了，再从子结构中最最早结束但又不和上一次观看的节目有冲突的节目void arrange(int s[],int f[],bool A[],int n){A[0] = true;int lastSelected = 0;for (int i = 1;i<n;i++){if (s[i] <= f[lastSelected]){A[i] = true;lastSelected = i;}elseA[i] = false;}}贪心算法在背包问题中应用的探讨[关键词：贪心算法，背包问题，遗传算法，动态规划]1.摘要以背包问题为例，介绍了贪心法与动态规划的关系以及两个方案在解决背包问题上的比较。

贪心法什么时候能取到最优界并无一般理论，但对于普通背包问题我们有一个完美的结果——贪心法可取到最优解。

介绍了其它一些对背包问题的研究或者拓展。

2.介绍贪心算法是我们在《算法设计技巧与分析》这门课中所学习到的几种重要的算法之一，顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。

也就是该算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的从局部的最优选择，寻找到解决问题的次优解的方法。

虽然我们希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的，但是在某些情况下，该算法得到的只是问题的最优解的近似。

3.算法思想:贪心法的基本思路：——从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。

当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。

该算法存在问题：1. 不能保证求得的最后解是最佳的；2. 不能用来求最大或最小解问题；3. 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。

实现该算法的过程：Begin 从问题的某一初始解出发；while 能朝给定总目标前进一步 do求出可行解的一个解元素；由所有解元素组合成问题的一个可行解4.关于贪心算法在背包问题中的应用的探讨(1) 问题描述0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。

物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。

应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包(1)或不装入背包(0)。

不能将物品i 装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。

背包问题：与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。

背包问题可以定义如下：给出n个大小为s1,s2,…,sn,值为v1,v2,…,vn的项目，并设背包容量为C，要找到非负实数x1,x2,…,xn,使和在约束下最大。

(2) 动态规划解决方案：是解决0/1背包问题的最优解(i) 若i=0或j=0, V[i,j] = 0(ii) 若j<si, V[i,j] = V[i-1,j] (仅用最优的方法，选取前i-1项物品装入体积为j 的背包，因为第i项体积大于j,装不下这一项，所以背包里面的i-1项就达到最大值)(iii) 若i>0和j>=si, Max{V[i-1,j],V[i-1,j-si]+vi} (第一种情况是包中的i-1项已经达到最大值，第二种情况是i-1项占j-si的体积再加上第i项的总的价值，取这两种情况的最大值。

)//sj和vj分别为第j项物品的体积和价值，C是总体积限制。

//V[i,j]表示从前i项{u1,u2,…,un}中取出来的装入体积为j的背包的物品的最大//价值。

[13]（3）贪心算法解决背包问题有几种策略：(i)一种贪婪准则为：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。

这种策略不能保证得到最优解。

例如，考虑n=2, w=[100,10,10], p =[20,15,15], c = 105。

当利用价值贪婪准则时，获得的解为x= [ 1 , 0 , 0 ]，这种方案的总价值为2 0。

而最优解为[ 0 , 1 , 1 ]，其总价值为3 0。

(ii)另一种方案是重量贪婪准则是：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。

虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。

考虑n= 2 ,w=[10,20], p=[5,100], c= 2 5。

当利用重量贪婪策略时，获得的解为x =[1,0], 比最优解[ 0 , 1 ]要差。

(iii)还有一种贪婪准则，就是我们教材上提到的，认为，每一项计算yi=vi/si,即该项值和大小的比，再按比值的降序来排序，从第一项开始装背包，然后是第二项，依次类推，尽可能的多放，直到装满背包。

有的参考资料也称为价值密度pi/wi贪婪算法。

这种策略也不能保证得到最优解。

利用此策略试解n= 3 ,w=[20,15,15], p=[40,25,25], c=30 时的最优解。

虽然按pi /wi 非递（增）减的次序装入物品不能保证得到最优解，但它是一个直觉上近似的解。

而且这是解决普通背包问题的最优解，因为在选择物品i装入背包时，可以选择物品i 的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。

如图１，大体上说明了动态规划解决的０／１背包问题和贪心算法解决的问题之间的区别，图１（4）贪心算法解决背包问题的算法实现：代码如下：#include <iostream.h>struct goodinfo{float p; //物品效益float w; //物品重量float X; //物品该放的数量int flag; //物品编号};//物品信息结构体void Insertionsort(goodinfo goods[],int n){//插入排序，按pi/wi价值收益进行排序，一般教材上按冒泡排序int j,i;for(j=2;j<=n;j++){goods[0]=goods[j];i=j-1;while (goods[0].p>goods[i].p){goods[i+1]=goods[i];i--;}goods[i+1]=goods[0];}}//按物品效益，重量比值做升序排列void bag(goodinfo goods[],float M,int n){float cu;int i,j;for(i=1;i<=n;i++)goods[i].X=0;cu=M; //背包剩余容量for(i=1;i<n;i++){if(goods[i].w>cu)//当该物品重量大与剩余容量跳出 break;goods[i].X=1;cu=cu-goods[i].w;//确定背包新的剩余容量}if(i<=n)goods[i].X=cu/goods[i].w;//该物品所要放的量/*按物品编号做降序排列*/for(j=2;j<=n;j++){goods[0]=goods[j];i=j-1;while (goods[0].flag<goods[i].flag){goods[i+1]=goods[i];i--;}goods[i+1]=goods[0];}///////////////////////////////////////////cout<<"最优解为:"<<endl;for(i=1;i<=n;i++){cout<<"第"<<i<<"件物品要放:";cout<<goods[i].X<<endl;}}void main(){cout<<"|--------运用贪心法解背包问题---------|"<<endl;int j,n; float M;goodinfo *goods;//定义一个指针while(j){cout<<"请输入物品的总数量：";cin>>n;goods=new struct goodinfo [n+1];//cout<<"请输入背包的最大容量：";cin>>M;cout<<endl;int i;for(i=1;i<=n;i++){ goods[i].flag=i;cout<<"请输入第"<<i<<"件物品的重量:";cin>>goods[i].w;cout<<"请输入第"<<i<<"件物品的效益:";cin>>goods[i].p;goods[i].p=goods[i].p/goods[i].w;//得出物品的效益，重量比 cout<<endl;}Insertionsort(goods,n);bag(goods,M,n);cout<<"press <1> to run agian"<<endl;cout<<"press <0> to exit"<<endl;cin>>j;} }存在着这样一种物品的安排，在应用这种算法时，如果我们移去一种物品，则需要另外的一个包，这要比把这种物品包含其中的数量要多(Hoffman 1998,pp.172-173[6])。