离散选择模型

离散选择模型集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]第五章离散选择模型在初级计量经济学里，我们已经学习了解释变量是虚拟变量的情况，除此之外，在实际问题中，存在需要人们对决策与选择行为的分析与研究，这就是被解释变量为虚拟变量的情况。

我们把被解释变量是虚拟变量的线性回归模型称为离散选择模型，本章主要介绍这一类模型的估计与应用。

本章主要介绍以下内容：1、为什么会有离散选择模型。

2、二元离散选择模型的表示。

3、线性概率模型估计的缺陷。

4、Logit模型和Probit模型的建立与应用。

第一节模型的基础与对应的现象一、问题的提出在研究社会经济现象时，常常遇见一些特殊的被解释变量，其表现是选择与决策问题，是定性的，没有观测数据所对应；或者其观测到的是受某种限制的数据。

1、被解释变量是定性的选择与决策问题，可以用离散数据表示，即取值是不连续的。

例如，某一事件发生与否，分别用1和0表示；对某一建议持反对、中立和赞成5种观点，分别用0、1、2表示。

由离散数据建立的模型称为离散选择模型。

2、被解释变量取值是连续的，但取值的范围受到限制，或者将连续数据转化为类型数据。

例如，消费者购买某种商品，当消费者愿意支付的货币数量超过该商品的最低价值时，则表示为购买价格；当消费者愿意支付的货币数量低于该商品的最低价值时，则购买价格为0。

这种类型的数据成为审查数据。

再例如，在研究居民储蓄时，调查数据只有存款一万元以上的帐户，这时就不能以此代表所有居民储蓄的情况，这种数据称为截断数据。

这两种数据所建立的模型称为受限被解释变量模型。

有的时候，人们甚至更愿意将连续数据转化为上述类型数据来度量，例如，高考分数线的设置，就把高出分数线和低于分数线划分为了两类。

下面是几个离散数据的例子。

例研究家庭是否购买住房。

由于，购买住房行为要受到许多因素的影响，不仅有家庭收入、房屋价格，还有房屋的所在环境、人们的购买心理等，所以人们购买住房的心理价位很难观测到，但我们可以观察到是否购买了住房，即我们希望研究买房的可能性，即概率(1)P Y =的大小。

例 分析公司员工的跳槽行为。

员工是否愿意跳槽到另一家公司，取决于薪资、发展潜力等诸多因素的权衡。

员工跳槽的成本与收益是多少，我们无法知道，但我们可以观察到员工是否跳槽，即例 对某项建议进行投票。

建议对投票者的利益影响是无法知道的，但可以观察到投票者的行为只有三种，即研究投票者投什么票的可能性，即(),1,2,3P Y j j ==。

从上述被解释变量所取的离散数据看，如果变量只有两个选择，则建立的模型为二元离散选择模型，又称二元型响应模型；如果变量有多于二个的选择，则为多元选择模型。

本章主要介绍二元离散选择模型。

离散选择模型起源于Fechner 于1860年进行的动物条件二元反射研究。

1962年，Warner 首次将它应用于经济研究领域，用于研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。

70-80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业选点、交通问题、就业问题、购买行为等经济决策领域的研究。

模型的估计方法主要发展于20世纪80年代初期。

（参见李子奈，高等计量经济学，清华大学出版社，2000年，第155页-第156页）二、线性概率模型对于二元选择问题，可以建立如下计量经济模型。

1、线性概率模型的概念设家庭购买住房的选择主要受到家庭的收入水平，则用如下模型表示其中，i X 为家庭的收入水平，i Y 为家庭购买住房的选择，即由于Y 是取值为0和1的随机变量，并定义取Y 值为1的概率是p ，则Y 的分布为 即随机变量Y 服从两点分布。

根据两点分布，可得Y 的数学期望为显然从而12(|)i i E Y X X p ββ=+= （5-1）上述数学模型的经济学解释是，因为选择购买住房变量取值是1，其概率是p ，并且这时对应p 的表示是一线性关系，因此，Y 在给定i X 下的条件期望()i E Y X 可解释为在给定i X 下，事件（家庭购买住房）将发生的条件概率为(1)i i P Y X =，亦即家庭选择购买住房的概率是家庭收入的一个线性函数。

我们称这一关系式为线性概率函数。

由于，Y 服从两点分布，所以，Y 的方差为 2、线性概率函数的估计及存在的问题 对线性概率函数直接运用OLS估计，会存在以下困难。

（1）随机误差项的非正态性表现表明i u 服从两点分布。

而在经典计量经济学中，假定i u 服从正态分布。

（2）i u 的异方差性。

事实上，根据i u 服从两点分布则i u 的方差为()(1)i i i Var u p p =-。

表明i p 随着i 的变动是一个变量，则i u 的方差不是一个固定常数。

（3）利用加权最小二乘法修正异方差取权数为具有同方差。

在具体估计线性概率模型时，用ˆiY 作为p 的估计来计算权数w 的估计wˆ。

3、可决系数2R 的非真实性。

由于，被解释变量Y 只取值1或0，不可能有估计的线性概率模型能很好地拟合这些点，所以，这时计算的2R 会比1小许多，在大多数例子中，2R 介于与之间。

4、0≤()i i E Y X ≤1不成立。

克服这一问题可直接从对线性概率模型的估计，求出ˆi Y ，用人工的方法定义当ˆi Y >1时，取ˆi Y =1；当ˆi Y <0时，取ˆiY =0。

但要比较好地解决这类问题，只能考虑采用新的估计方法，这就是将要介绍的Logit 模型和Probit 模型。

第二节 Logit 模型一、Logit 模型的产生1、产生Logit 模型的背景由上述介绍可知，对于线性概率模型来说，存在一些问题，有的问题尽管可以用适当的方法加以弥补，但并不完善和理想。

（1）古典假定不再成立，如存在异方差性，可用加权OLS 方法加以弥补。

（2）在线性概率模型中，对于不满足0≤()i i E Y X ≤1的情况，用人工的方法处理，即当ˆi Y >1时，取ˆiY =1 当ˆi Y <0时，取ˆiY =0 虽然能够弥补不足，但仍然具有较强的主观因素。

（3）经济意义也不能很好地得到体现。

在线性概率模型12(|)i i E Y X X p ββ=+=中，概率(1)P Y =会随着i X 的变化而线性变化，但这与实际情况通常不符。

例如购买住房，通常收入很高或很低，对于购买住房的可能性都不会有太大的影响，而当收入增加很快时，对购买住房的影响将会很大。

所以，购买住房的可能性与收入之间并不是线性关系，有可能是一种非线性关系。

2、Logit 模型的含义综合上述讨论，我们所需要的是具有如下二分性质的模型。

（1）随着i X 的减小，i p 趋近0的速度会越来越慢；反过来随着i X 的增大，i p 接近1的速度也越来越慢，而当i X 增加很快时，i p 的变化会比较快。

故i p 与i X 之间应呈非线性关系。

（2）并且由概率的属性，i p 的变化应始终在0和1之间。

因此，一个很自然的想法是采用随机变量的分布函数来表示i p 与i X 的这种非线性关系。

从几何图形看，所需要的模型有点像图那样，概率位于0与1之间，并随着i X 非线性地变化。

图 一个累积分布函数的图形形如图所示的S 型曲线，就是随机变量的一个累积分布函数（CDF ）。

因此，当回归中的被解释变量是取0和1的二分变量时，并且概率值的变化与解释变量i X 之间有上述变化特征，则可用CDF 去建立回归模型。

在二分被解释变量的研究中可使用多种分布函数（Cox ，1970）来表示。

但最常用的是Logistic 分布函数和标准正态分布函数，前者导出Logit 模型，后者导出Probit 模型。

（3）Logistic 分布函数设 12()11()11i i i i z X p F z e e ββ--+===++ （5-2） 式中，12i i Z X ββ=+。

并且在该表达式中，有如下变动规律，当i Z →+∞时，1i p →；当i Z →-∞时，0i p →；当0i Z =时，12i p =。

称（5-2）式为Logistic 分布函数，它具有明显的S 型分布特征。

（4）Logit 模型以下是由Logistic 分布函数导出Logit 模型。

其中，1i ip p -为机会概率比（简称机会比，下同），即事件发生与不发生所对应的概率之比。

称（5-3）式为Logit 模型。

3、Logit 模型的特点（1）随着P 从0变到1，ln()1p p-从-∞变到∞（亦即i Z 从-∞变到∞）。

可以看出，在LPM 中概率必须在0与1之间，但对Logit 模型并不受此约束。

（2）ln()1p p-对i X 为线性函数。

（3）当ln()1p p-为正的时候，意味着随着i X 的增加，选择1的可能性也增大了。

当ln()1p p-为负的时候，随着i X 的增加，选择1的可能性将减小。

换言之，当机会比由1变到0时，ln()1p p -会变负并且在幅度上越来越大；当机会比由1变到无穷时，ln()1p p-为正，并且也会越来越大。

4、Logit 模型与线性回归模型的区别（1）Logit 模型为非线性模型，尽管等式右端看上去是线性形式，而普通回归模型是线性模型。

（2）线性回归模型研究被解释变量Y 的均值(|)i E Y X 与解释变量i X 之间的依存关系，而Logistic 分布函数研究的是事件发生的概率(1|)i P Y X =与解释变量i X 的依存关系。

（3）线性回归模型中包含随机误差项i u ，对i u 的要求是要满足基本假定，而Logistic 分布函数没有出现随机误差项，对模型没有这样的要求。

（4）在估计Logit 模型时，要求数据必须来自于随机样本，即各观测值相互独立，或者说要求样本分布与总体分布具有同一性，而对线性回归模型一般情况下并无这样严格的要求。

此外，Logit 模型与线性回归模型的一个相同的要求是，解释变量之间要无多重共线性，否则，会导致参数估计的方差变大和不稳定。

二、Logit 模型的估计为了估计Logit 模型，除了i X 外，我们还应有ln()1p p-的数值。

由于i p 只取值为1和0（即事件发生或不发生，如买房或不买房），使得ln()1p p -无意义，通常情况下，i p 没有具体的数据，所以直接对Logit 模型进行估计有困难。

这时，可有以下估计方法。

1、根据数据类型选用OLS 方法 可通过市场调查获得分组或重复数据资料，用相对频数ˆi i ir p n =作为i p 的估计。

以购买住房为例，将购买住房的情况分组，假设第i 组共有i n 个家庭，收入为i X ，其中有i r 个家庭已购买住房，其余未购买。

则收入为i X 的家庭，购买住房的频率为 将其作为i p 的估计，并代入对数机会比，有于是，样本回归函数为对上式可直接运用OLS 法估计未知参数了。