复变函数
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类复变函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中具有广泛的应用。
本文将介绍复变函数的性质与分类，帮助读者更好地理解和应用复变函数。
1. 复变函数的定义复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
设二元实数域R 中的二元有序对z=(x,y)，其中x∈R，y∈R，因此z既可写成z＝x＋yi，也可写成z=(x,y)。
所以有R⊂C。
设f是以D为定义域的二元实数域R上的函数：若对于每一个属于D的z既唯一确定一个属于F的一个复数w＝f(z)。
则称f为在D上取值于复数集F的复变函数,即示例代码star：编程语言：f: D → Fz→w=f(z)示例代码end其中z为自变量、w为函数值，D为定义域，F为函数值集合。
2. 复变函数的性质复变函数具有一些特殊的性质，这些性质是理解和应用复变函数的基础。
2.1 解析性如果一个函数在某个区域内可以展开为幂级数，则称该函数在该区域内解析。
解析性是复变函数重要的性质之一，在很多实际问题中起到关键作用。
2.2 连续性与实变函数类似，复变函数也具有连续性。
如果一个复变函数在某点处连续，则说明在该点附近，该函数没有突变或间断点。
2.3 可微性与实变函数不同，复变函数存在可微性这一特殊性质。
如果一个复变函数在某点处可导，则说明在该点处存在切线可以很好地描述该点附近的行为。
3. 复数平面和复平面为了更好地研究复变函数，我们引入了复数平面和复平面这两个概念。
3.1 复数平面复数平面是由所有复数构成的平面。
每个复数可以通过直角坐标系表示为一个有序对(x, y)，其中x表示实部，y表示虚部。
通过把坐标原点(0,0)对应于零，将全部正实轴对应到实部正半轴，并且使得偏离原点的距离与两个坐标轴之间夹角相等来映射到剩下区域。
3.2 复平面复平面是由全部符合 z＝x＋iy 形式定义在D上取值于F 的全体点所组成的二维空间C所表示得到。
这样C族就可以嵌入Px（X 轴）和Nv （Y 轴）点平间难互独运动并且两轴都阳等L 技获取得到一个表示方便易操作全体符号z 点解析情况的几何工具空间。
复变函数
复变函数一、复数与复变函数1、w n =ZW=r 1/n [cos(θ+2ki πn )+isin(a +2ki πn )]其中k 取1、2、3、、、、、n-12、区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是区域又是闭区域这一个特例外，区域与闭区域是两种不同的点集，闭区域并非区域。
3、单连通域：区域中没有洞和缝多连通域：区域中有洞或者缝二、解析函数1、解析函数：在z 0处可导，且在z 0的领域中可导。
2、解析函数的一个充分必要条件：函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，而且满足柯西——黎曼方程。
（C-R 方程）∂u ∂x =∂v ∂y ∂u ∂y =−∂v ∂xf(z) =∂u ∂x +i ∂v ∂x =∂v ∂y +i ∂v ∂x =∂u ∂x −i ∂u ∂y =∂v ∂y −i ∂u ∂yC-R 方程为函数f （z ）可导的必要条件4、调和函数和共轭调和函数调和函数：二元实函数φ（x,y ）在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程∂φ2∂x +∂φ2∂y =0 共轭调和函数：φ（x,y ）及ρ(x,y)均在区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内解析的充分必要条件：在D 内u x,y 是v x,y 的共轭调和函数 5、初等函数指数函数：e iy =cosy+isinye z 是以2ki π为周期的周期函数对数函数：lnz=ln z +iargzLnz= ln z +iArgz= ln z +i(argz+2k π)Ln z 2≠2LnzLn z n ≠1n Lnz幂函数：z α=e αlnz α为正整数，函数为单值函数α=1n n 为正整数 有限值α=z 复数 无限个值三角函数：cosy=e iy +e −iy 2 siny=e iy −e −iy 2i 三、复变函数的积分1、常用的公式dz (z −z 0)n = 2πi n =1 0 n ≠1成立条件：a 、封闭区间的积分b 、z 0在封闭曲线C 的内部C 、被积函数分子为常数2、复合闭路定理3、闭路变形定理4、柯西——古萨定理设函数f （z ）在单连通域D 内解析，则f （z ）在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分f z dz =05、柯西积分公式f(z)在简单闭曲线c 所围成的区域D 内解析，z 0为D 内任一点f(z 0)=12πi f(z)z −z 0dz 6、高阶导数公式f(z)在c 围成的D 内解析，f(z)的各阶导数均在D 内解析，z 0为D 内任一点f z 0（n ）=n ！2πi f(z)(z −z 0)dz7、计算积分的步骤a.分析奇点b.奇点在曲线的内部还是外部c.应用定理四、级数1、常见函数的级数e x =1+x +x 2+x 3+⋯,−∞<x <∞sinz= (−1)n ∞n=0z 2n +1 2n+1 ! e z = z n n!∞n=0cosz= (−1)n ∞n=0z 2n 2n !ln(1+z)= (−1)n ∞n=0z n +1n+111+z= (−1)n ∞n=0z n 11−z = z n ∞n=0 2、幂级数 只有 z −z 0 的正幂次项在其收敛域内可以为解析函数 收敛域：所要求的点到函数所有的孤立奇点最短的距离收敛半径：比值法、根值法函数在一点解析的充分必要条件:它在这点的领域可以展开为幂级数3、泰勒级数设函数f （z ）在区域D 内解析，z 0为D 内的一点，R 为z 0到D 的边界上各点的最短距离，则当 （z −z 0） <R 时，f(z)可展开为幂级数。
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类复变函数是数学中非常重要的概念，它涉及到复数领域中的函数理论与分析。
在复变函数的研究中，我们可以发现它具有许多独特的性质和分类方式。
本文将介绍一些关于复变函数的基本性质，并对其分类进行探讨。
什么是复变函数？复变函数是指定义在复数领域上的函数。
它将复数作为自变量，并输出一个复数作为函数值。
复变函数可以表示为f(z)，其中z是一个复数。
与实变函数不同的是，复变函数在复平面上具有更加丰富的性质和特征。
复变函数的性质复变函数具有许多独特的性质，下面我们将介绍其中一些主要的性质：解析性复变函数的解析性是指它在整个定义域上都是可微的。
如果一个函数在某一点解析，那么它在该点的邻域内都具有各阶的导数。
共轭性复变函数的共轭性是指如果f(z)是一个复变函数，那么它的共轭函数为f(z)，即f(z)=f(z)，其中z表示z的共轭复数。
奇偶性对于复变函数来说，奇偶性的定义与实变函数不同。
复变函数f(z)被称为奇函数，当且仅当f(-z)=-f(z)；被称为偶函数，当且仅当f(-z)=f(z)。
奇偶性的概念在复变函数的研究中具有一定的应用价值。
复变函数的分类复变函数可以根据不同的性质进行分类。
下面我们将介绍两种常见的分类方式：解析函数与调和函数解析函数是指在整个定义域上都是解析的复变函数。
解析函数具有许多有用的性质和应用，例如在物理学中，它可以描述电场、磁场等物理量。
而调和函数是指实部和虚部都是调和函数的复变函数。
调和函数在物理学和工程学中也具有广泛的应用。
单值函数与多值函数单值函数是指在整个定义域上都有唯一的函数值。
常见的单值函数包括指数函数、三角函数等。
而多值函数则是指在某些点上有多个函数值的函数。
多值函数在复变函数的研究中也具有重要的地位，例如多值函数的几何表示和复平面上的割裂。
复变函数是数学中一门重要的学科，它具有许多独特的性质和分类方式。
在本文中，我们简要介绍了复变函数的一些基本性质，并对其进行了分类讨论。
复变函数
1 x , lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) 1 k
随 k 值的变化而变化 ,
所以 lim u ( x, y ) 不存在,
x →0 y →0
lim v( x, y ) = 0,
x →0 y →0
根据定理一可知, lim f ( z ) 不存在.
z0
证 (二)
令 z r (cos i sin ),
r cos 则 f (z) cos , r
25
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时, f ( z )趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴arg z 0 趋于零时, f ( z ) 1,
π 沿 arg z 趋于零时, f ( z ) 0, 2
故 lim f ( z ) 不存在.
12
4. 反函数的定义:
设w = f ( z )的定义集合为Z 平面上的集合M , 函数值集合为W 平面上的集合M *, 那末M * 中的 每一个点w必将对应着M中的一个(或几个)点.
于是在M *上就确定了一个单值 (或多值)函数 z = ( w ),它称为函数w = f ( z )的反函数, 也称 为映射w = f ( z ) 的逆映射.
13
根据反函数的定义,
w M *, w f [ ( w )],
当反函数为单值函数时, z [ f ( z )], z G .
如果函数 (映射) = f ( z )与它的反函数 w (逆映射) z = ( w )都是单值的, 那末称函数 (映 射) = f ( z )是一一对应的. 也可称集合M 与集 w 合M *是一一对应的.
2
2.单(多)值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个w 的值, 那末 我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或 两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
数学复变函数的基本概念
数学复变函数的基本概念一、引言数学复变函数是复数域上的函数，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学复变函数的基本概念、性质和应用。
二、复数与复平面复数是实数的扩充，可以写成形式为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复平面是由实轴和虚轴组成的平面，通过将复数表示为复平面上的点，实现了运算与几何之间的联系。
三、复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，形如f(z) = u(z) + iv(z)，其中u(z)和v(z)均为实数函数。
复变函数既可以描述平面上的点，也可以描述平面上的区域。
四、复变函数的解析性复变函数的解析性是指函数在某个区域内可导，并且在该区域内的导数处处存在。
解析函数具有许多重要的性质，例如：解析函数的导数也是解析函数。
五、复变函数的调和性复平面上的实部与虚部分别满足拉普拉斯方程，即u_xx+u_yy=0和v_xx+v_yy=0，则复变函数为调和函数。
具有调和性的函数在物理学的电势和流体力学等领域有着广泛的应用。
六、复变函数的整函数如果一个函数在整个复平面上都解析，则该函数称为整函数。
整函数不仅在有限区域内解析，而且在无穷远点也解析。
七、复变函数的级数展开利用级数展开可以将复变函数展开为无穷项的和。
泰勒级数和洛朗级数是常用的级数展开形式，在分析和计算上有着重要的应用。
八、复变函数的留数定理复变函数的留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
根据留数定理，函数在有限奇点上的留数等于该函数在该奇点处的展开式中-1次幂的系数。
九、复变函数的应用复变函数在科学和工程问题中有着广泛的应用。
例如：在电工中可以利用复变函数来计算交流电路中的各种参数；在流体力学中可以利用复变函数描述流体的速度场等。
结论数学复变函数作为一门基础学科，在各个领域都有着重要的地位和应用价值。
通过对其基本概念、性质和应用的学习，可以更好地理解和应用复变函数。
复变函数的概念
复变函数的概念复变函数的概念复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以将一个复数映射到另一个复数。
与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质和应用。
一、复数及其运算要理解复变函数的概念，首先需要了解复数及其运算。
一个复数可以表示为z=x+yi，其中x和y分别表示实部和虚部。
虚数单位i满足i²=-1。
在复数中，我们可以进行加、减、乘、除等基本运算。
其中加法和减法与实数类似，乘法和除法则需要注意公式的推导。
二、复平面及其坐标表示为了更方便地描述和分析复变函数，在平面直角坐标系中引入了一个新的坐标轴——虚轴，并将实轴称为实部轴，虚轴称为虚部轴。
这样就构成了一个二维平面——复平面。
在复平面中，每个点都可以表示为z=x+yi的形式。
这样我们就可以通过坐标来描述每个点，并将其映射到另一个点。
三、复变函数的定义与实变函数类似，对于给定的自变量z∈C（即z是一个复数），如果存在唯一确定的因变量w∈C（即w也是一个复数），则称w是z的函数值，记作f(z)。
四、复变函数的性质与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质。
以下是一些常见的复变函数性质：1. 解析性：如果一个函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共形性：如果一个函数在某个区域内保持角度不变，则称该函数在该区域内共形。
3. 周期性：如果存在一个非零复数c，使得对于所有z∈C，有f(z+c)=f(z)，则称f(z)为周期函数。
4. 解析延拓：如果一个解析函数可以通过某种方式扩展到整个复平面上，则称该解析函数具有解析延拓性质。
五、复变函数的应用由于复变函数具有丰富的性质和应用，因此在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 电路分析：利用复变函数可以方便地描述电路中电流和电压等物理量之间的关系。
2. 流体力学：利用共形映射可以将流体力学问题转化为更简单的几何问题。
3. 计算机图形学：利用复变函数可以方便地描述图形的旋转、缩放等变换。
复变函数公式及常用方法总结
复变函数公式及常用方法总结复变函数是指在复平面上定义域为复数集的函数。
复变函数与实变函数不同，其定义域和值域都是复数集合，因此需要引入复数的运算和性质来研究这类函数。
复变函数在数学以及物理、工程学等领域有广泛的应用，如电路分析、信号处理、流体力学等。
1.复变函数的定义与性质：复变函数可以用以下形式表示：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy；u(x, y)和v(x, y)为实变量x和y的实函数。
复变函数的一些性质如下：(1)复变函数可以进行加减、乘法和除法运算；(2)复变函数的连续性：若f(z)在特定点z0处连续，则其实部和虚部在该点均连续；(3)复变函数的解析性：若f(z)在特定点z0处可导，则其在该点解析；若f(z)在定义域内每一点都解析，则称其为全纯函数；(4)复变函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程式：∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0和∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2.常用的复变函数：(1)幂函数：f(z)=z^n，其中n为整数；(2) 指数函数：f(z) = e^z = e^(x+iy) = e^x * e^(iy) = e^x * (cosy + isiny)；(3) 对数函数：f(z) = ln(z)；(4) 三角函数：正弦函数f(z) = sin(z)，余弦函数f(z) = cos(z)，正切函数f(z) = tan(z)等；(5) 双曲函数：双曲正弦函数f(z) = sinh(z)，双曲余弦函数f(z)= cosh(z)，双曲正切函数f(z) = tanh(z)等。
3.复变函数的常用方法：(1)极坐标表示法：将复数z表示为模长r和辐角θ的形式：z=r*e^(iθ)。
在极坐标下，复变函数的运算更加方便，例如可以用欧拉公式将指数函数表示为e^(iθ)的形式。
(2) 复变函数的导数：复变函数的导数可以用极限的形式表示，即f'(z) = lim(h→0) [f(z+h) - f(z)] / h。
复变函数
惟一性 复合运算等
• 二、函数的连续性 • 定义1.4.2 设 f ( z ) 在点 z0 的某邻域内有定义， f ( z ) f ( z 0 ) ，则称函数 f ( z )在点 z0 处连续. 若 zlim z • 若 f ( z )在区域 D 内每一个点都连续，则称函数 f ( z ) 在区域 D 内连续. • 定理1.4.2 函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) ， u ( x, y )和 v( x, y ) 0 在 z 0 x0 iy处连续的充要条件是 都在点 ( x , y ) 处连续.
定义：
函数w f ( z), z D; z0 , z0 z D
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 极限 lim lim z 0 z z 0 z
存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的
dw 导数，记作 f ( z0 )或 . dz z z0
f ( z )在点
f ( z) f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z 0 ) lim ( z z 0 ) z z0 z z0 z z0
f ( z) f ( z0 ) lim ( z z 0 ) lim z z0 z z0 z z0
问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，
如何判别其解析（可导）性？
解析的充分必要条件
定理2.1.1 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足
u v , x y
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复变函数总结
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
数学的复变函数
数学的复变函数复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数具有复数域上更加丰富的性质和特点。
在本文中，我将介绍复变函数的定义、性质和应用。
一、复变函数的定义和表示复变函数是定义在复数域上的函数，即输入和输出均为复数。
一般来说，复变函数可以表示为$f(z)$，其中$z$是复数，$f$是变换规则。
复数$z$可以表示为$z=x+iy$的形式，其中$x$和$y$分别是实数部分和虚数部分。
复变函数的表示形式有多种，最常见的是使用级数展开的形式。
例如，魏尔斯特拉斯级数是一种常见的复变函数表示方法。
它可以表示为$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$，其中$a_n$是复数系数，$z_0$是复数常数。
二、复变函数的性质复变函数具有许多有趣且独特的性质，以下是其中的几个重要性质：1. 解析性：复变函数的一个重要性质是解析性（或称全纯性）。
一个函数在其定义域上是解析的，意味着它在该区域内可以进行无限次的复数微分。
解析函数满足柯西-黎曼方程，即其实部和虚部满足柯西-黎曼条件。
2. 否定性：与实变函数不同，复变函数的性质有时可以由其在定义域内的性质否定。
例如，某些函数可能在无限远处有奇点，或者在某些点上是不连续的。
3. 互补性：复数域上的函数可以分解成实部和虚部的和或差。
这种分解方式可用于简化复变函数的问题，并帮助我们理解函数性质。
三、复变函数的应用复变函数在数学和工程领域中有广泛的应用。
以下是其中一些主要应用领域：1. 数学物理学：复变函数在数学物理学中扮演着重要的角色。
例如，它们用于解决波动方程、电动力学和量子力学中的问题。
复变函数的工具和技术为解这些方程提供了很大的帮助。
2. 等势流理论：在流体力学领域，复变函数的概念广泛应用于等势流理论。
这个理论用于描述在理想流体中以连续形式流动的流线。
3. 统计和概率：复变函数也在统计学和概率论中有应用。
复变函数举例
复变函数举例复变函数是一种在复数域上定义的函数，它包括实部和虚部两个分量。
它在数学分析、数值计算和物理学等领域都有广泛的应用。
下面我们将介绍几个常见的复变函数。
1. 复指数函数复指数函数形如$f(z)=e^z$，其中$z=a+bi$，$a$和$b$是实数。
根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$，因此我们可以将$f(z)$写成$f(z)=e^{a+bi}=e^ae^{bi}$。
根据欧拉公式，$e^{bi}=\cos(b)+i\sin(b)$，因此$f(z)=e^a(\cos(b)+i\sin(b))$。
我们可以看到，$f(z)$的模长为$e^a$，其幅角为$b$。
复对数函数形如$f(z)=\ln(z)$，其中$z=a+bi$，$a$和$b$是实数。
根据复指数函数的定义，$e^{f(z)}=z$，因此$f(z)=\ln(z)=\ln|z|+i\arg(z)$。
由于$\arg(z)$是多值函数，因此$\ln(z)$也是多值函数。
一般来说，我们将$\ln(z)$定义在复平面上的一条无穷远线段上，使得$\arg(z)$在该线段上是单值的。
这样定义出的$\ln(z)$被称为分支。
不同的分支在复平面上具有不同的性质。
5. 复多项式函数复多项式函数形如$f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0$，其中$a_i$是复数，$n$是正整数。
它们是一种重要的复变函数，用于描述复平面上的曲线。
其形式化表达式为：$$f(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k.$$通过以上几个例子，我们可以看到复变函数的一些特点：模长和幅角可以描述复函数的大小和方向；复函数可以看成实部和虚部的合成；复函数具有多值性等。
这些性质使得复变函数在数学分析、数值计算和物理学等领域中具有广泛的应用。
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类复变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数具有许多独特的性质和分类方法。
本文将介绍复变函数的性质与分类，并探讨其在数学和物理等领域中的应用。
一、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在其定义域内解析，即在该区域内可导无穷次。
这是复变函数与实变函数最大的区别之一。
解析性使得复变函数具有许多重要的性质和应用，如洛朗级数展开和复数积分等。
2. 全纯性：全纯函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
全纯函数是解析函数的一种特殊情况，它在复平面上具有许多重要的性质，如柯西-黎曼方程和柯西积分定理等。
3. 奇点：奇点是指复变函数在某些点上不解析的情况。
奇点分为可去奇点、极点和本性奇点三种类型。
可去奇点是指在该点附近可以通过去除奇点的方式使函数变得解析；极点是指在该点附近函数趋于无穷大；本性奇点是指在该点附近函数既不趋于有限值也不趋于无穷大。
4. 解析延拓：解析延拓是指通过解析性质将函数从定义域延拓到更大的区域。
解析延拓可以使函数在更广泛的区域内具有解析性，从而得到更多的性质和应用。
二、复变函数的分类1. 代数函数：代数函数是指由有限次代数运算和有限次复合运算得到的函数。
代数函数包括多项式函数、有理函数和代数函数的根等。
代数函数在复平面上具有有限个奇点，其性质和行为相对简单。
2. 三角函数：三角函数是指由正弦函数和余弦函数构成的函数。
三角函数在复平面上具有周期性和解析性，其性质和行为与实数域上的三角函数类似。
3. 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是复变函数中的重要类别。
指数函数具有解析性和周期性，对数函数具有多值性和解析性。
指数函数和对数函数在数学和物理等领域中有广泛的应用。
4. 特殊函数：特殊函数是指由特殊函数方程定义的函数，如贝塞尔函数、超几何函数和椭圆函数等。
特殊函数在数学和物理等领域中具有重要的应用，如波动方程、量子力学和电磁场等。
三、复变函数的应用1. 数学分析：复变函数在数学分析中具有广泛的应用，如复数积分、洛朗级数展开和柯西积分定理等。
1.2复变函数
三、初等复变函数 1. 幂函数
w z
2、指数函数
n
单值函数
n是整数（n为负整数时，z 0 ）。
we e
z
x iy
e (cos y i sin y)
x
2、指数函数
we e
z
x iy
e (cos y i sin y)
x
显然
Re(exp(z )) e x cos y Im(exp(z )) e x sin y
区域
B
z 1
z 2
区域通常用复变数 z 的不等式来表示
(1) z z0 r 圆形域
z0
r
r2
(2) r 1 z z0 r 2 圆环域 (3) Im z 0; 上半平面
r1
z 0
y
(4) 1 arg z 2 ; 角形域
(5) a Im z b. 带形域
o
z
y 0
x
[u ( x x, y ) iv( x x, y )] [u ( x, y ) iv( x, y )] lim x 0 x
u ( x x, y ) u ( x, y ) v( x x, y ) v( x, y ) lim [ i ] x 0 x x
复变函数 w是由两个实变函数 u, v 组成，同时， 宗量 z 也是由两个实变数 x, y 组成，因此
复变函数 w 与自变量 z 之间的关系 w f ( z ) 相当于两个关系式:
u u( x , y ), v v ( x , y ),
它们确定了自变量为 x 和 y 的两个二元实变函数 .
2x 3yi lim z 0 x yi
复变函数理论
复变函数理论复变函数理论是数学领域中的一个重要分支，主要研究定义在复数域上的函数及其性质。
它不仅在数学本身具有深刻的影响，同时在物理、工程和计算科学等多个领域都有着广泛的应用。
复数与复平面复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为(z = a + bi)，其中(a)和(b)是实数，而(i)是虚数单位，满足(i^2 = -1)。
复平面复数可以在复平面上进行几何表示，其中横轴代表实部，纵轴代表虚部。
每个复数对应复平面上的一个点。
复变函数定义复变函数是定义域和值域均为复数的函数。
通常表示为(f(z))，其中(z)是一个复数变量。
全纯函数全纯函数（或解析函数）是复变函数中一类具有特殊性质的函数，它们在其定义域内不仅连续，而且可导。
全纯函数在局部可以展开成幂级数，这是复变函数理论研究的核心内容之一。
复变函数的性质连续性与可导性复变函数的连续性与实变函数类似，但可导性的条件更为严格。
一个复变函数在某点可导，意味着它在该点附近不仅连续，而且极限 [ \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} ] 存在且唯一。
积分性质复变函数的路径积分在复分析中非常重要，特别是与路径无关的条件——Cauchy积分定理。
这个定理表明，如果一个全纯函数在一个简单闭合路径及其内部定义，那么沿这个路径的积分为零。
应用举例电磁学在电磁学中，复变函数用于简化电场和磁场的计算。
通过使用复数表示波动方程，可以更容易地处理和求解问题。
信号处理在信号处理领域，复变函数被用于分析和处理频率响应，特别是在傅里叶变换中，复数的使用极大地简化了计算过程。
结论复变函数理论是数学中一个深奥而美丽的分支，它不仅提供了丰富的理论知识，还广泛应用于科学和工程的多个领域。
通过学习复变函数理论，我们能更好地理解自然界中的许多现象，并解决实际问题。
复变函数
注：定理二的证明可参照高等数学的情形。
例 2 证明函数 f(z)=Re(z)／|z|当z趋向于0时的 极限不存在。 令 z = x + i y,则 解法1：
Re z x f ( z) 2 2 z x y
u ( x, y )
x x y
2 2
, v ( x, y ) 0
lim u ( x, y ) lim
定理二
设z lim z 则
f ( z ) A lim g ( z ) B
z z0
0
① lim [ f ( z) g ( z)] A B
z z0
②
③
z z0
lim [ f ( z ) g ( z )] AB
f ( z) A lim z z0 g ( z ) B
第 五 节
复变函数
一 复变函数的定义 1 定义： 设D是复数z=x+iy的集合，如果有 一个确定的法则存在， 按照这一法则， 对于集合D中的每一个复数z, 就有一个或 几个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数 w是定义在D上复变数z的函数(简称复变函 数) 记作
w f ( z)
(z D)
单值函数 f(z)： 对于D中的每个z ，有且仅 有一个w与之对应。
f ( z) A
那么称A为f (z) 当z趋向z0时的极限，记作
z z0
lim f ( z ) A
2 几何意义： 当变点z一旦进入z0的充分小的 去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预 先给定的小邻域内。
f ( z)
ε
δ 注意： z趋于z0的方式是任意的。就是说，无 论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z) 都要趋向于同一个常数。
复变函数的定义
( x cos y sin ) i( x sin y cos ) 即，
u x cos y sin —旋转变换(映射) 见图2 v x sin y cos
y
(z)
v
o 图1-1
(w) u
o y、v
x
(z)、(w)
y、v
(z)、(w)
z re i —关于实轴对称的一个映射 见图1-1~1-2
例2 研究w e i z (实常数）所构成的映射 . 解 设z re i w e i z e i re i re i ( ) w u iv (cos i sin )(x iy)
当函数 (映 射)w f ( z )和 其 反 函 数 (逆 映 射 ) z ( w )都 是 单 值 的 ， 则 称 函 ( 数 映 射)w f ( z ) 是一一的。也称集合 G与 集 合 G 是 一 一 对 应 的 。
若z 一个w值，称f ( z )是单值函数;
z 多个w值，称f ( z )是多值函数
今后无特别声明，所讨 论的函数均为单值函数 。
G — f ( z )的定义集合，常常是平 面区域（定义域）
G* {w w f ( z ) z G} — 函数值集合
z x iy ( x , y ); w u iv ( u, v ) w f ( z ) f ( x iy ) u( x , y ) iv ( x , y ) u iv
§5 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1.Байду номын сангаас复变函数的定义 —与实变函数定义相类似
复函数复变函数
复函数复变函数
复变函数是指定义在复数集上的函数，即以复数为自变量和因变量的
函数。
复数是由实数和虚数组成的，形式为a+bi，其中a为实数部分，b
为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1、复数具有实数部分和虚数部分，因此复变函数与实变函数有很大的区别。
复变函数具有复数域上的性质，例如连续、可微、可积等。
复变函数
有许多重要的性质和定理，包括柯西—黎曼方程、柯西—黎曼定理等。
复
变函数的研究主要涉及到解析函数、全纯函数和调和函数等。
复变函数的图像通常是在复平面上表示的。
实际上，复平面是由实轴
和虚轴组成的，并且可以将函数的定义和图像与二维平面相关联。
复平面
上的点表示复数，并且函数在该点的取值可以用箭头表示。
复变函数有许多重要的应用，包括物理学、工程学和计算机科学等领域。
在物理学中，复变函数被用于描述电磁场和量子力学等现象。
在工程
学中，复变函数被用于处理信号和图像。
在计算机科学中，复变函数被用
于解决误差校正和图像处理等问题。
复变函数可以通过多种方法进行求解，其中包括泰勒级数展开、洛朗
级数展开和积分变换等。
这些方法可以帮助我们理解函数在复平面上的特
性和行为。
总之，复变函数是一种在复数域上定义的函数，它具有复平面上的性
质和特点。
复变函数在数学和应用领域中具有广泛的应用。
通过研究复变
函数，我们可以更好地理解函数的性质，以及它们在各个领域中的应用。
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类复变函数是复数域上的函数，具有许多独特的性质和分类。
在复变函数的研究中，我们可以根据不同的性质和特征将其进行分类，从而更好地理解和应用这一领域的知识。
本文将介绍复变函数的性质与分类，帮助读者更深入地了解这一重要的数学概念。
一、复变函数的定义与基本性质复变函数是定义在复数域上的函数，即自变量和函数值都是复数。
一般形式为$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中$z = x + iy$为复数变量，$u(x, y)$和$v(x, y)$分别为$z$的实部和虚部。
复变函数与实变函数不同之处在于，它具有解析性和全纯性的概念。
1. 解析性：若在某个区域内，函数$f(z)$可以展开成幂级数形式$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$，则称$f(z)$在该区域内解析。
解析函数具有良好的性质，如可导、无穷可微等。
2. 全纯性：若函数$f(z)$在某个区域内处处可导，则称其在该区域内全纯。
全纯函数是解析函数的一种特殊情况，具有更强的光滑性和性质。
复变函数的基本性质包括可加性、可乘性、共轭性等，这些性质为后续对复变函数的分类和研究奠定了基础。
二、复变函数的分类根据复变函数的性质和特征，我们可以将其进行不同的分类，以便更好地理解和应用这些函数。
1. 按解析性分类（1）整函数：在整个复平面上解析的函数称为整函数，如指数函数$e^z$、三角函数$\sin z$、$\cos z$等。
（2）亚纯函数：在某个区域内解析，但在某些点上有极点的函数称为亚纯函数，如$\frac{1}{z}$、$\frac{\sin z}{z}$等。
2. 按实部虚部关系分类（1）实部函数：实部为常数，虚部为零的函数称为实部函数，如$u(x, 0)$。
（2）虚部函数：虚部为常数，实部为零的函数称为虚部函数，如$v(0, y)$。
3. 按共轭性分类（1）共轭函数：若$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$是解析函数，则其共轭函数为$\overline{f(z)} = u(x, -y) - iv(x, -y)$也是解析函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、复数与复变函数1基本概念(1)复数的三种表示方法 (2) 复数的模与辐角(3) 平面曲线的参数表示(特别是直线，线段，圆周) (4) 复变函数的极限与连续2 应掌握的习题(1)设 23,121i z i z +=+=，求它们的模和辐角，且求zz e e arg |,|，及2121,z z z z 的指数和三角式 (2) 已知3arg π=z ，求iz iz z i z -+,,)1(,的主辐角。
(3) 在复数域内求方程)0(04>=+a a z 及021=++z e的解。
(4) 对下方程表示的曲线用实直坐标方程表示: 1) 33t it z += 2) 2it t z += 3) 33t i t z -= 二、解析函数1 基本 概念(1) 函数解析的定义 (2) 函数解析的必要条件 (3) 解析函数的充要条件(有四个):1) ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 解析⇔),(),,(y x v y x u 在D 可微，且满足C.-R.方程;(P54) 2)y x y x v v u u ,,，在区域D 连续，且满足C.-R.方程;(P126)且x x iv u z f +=)('3) )(z f 在区域D 连续，对D 内任一周线C ，只要C 及内部全含于D ，有0)(=⎰Cdz z f (P128)4) )(z f 在D 中任一点a 的邻域内可展成a z -的幂级数。
(P162)(4) 初等解析函数 (5) 初等多值函数2 应掌握的习 题(1) 判别下列函数的解析性，并求).('z f 1) yi x z f 515)(++=2) )10()(5)(22y xy i x y x z f -+--= 3) ).3(3)(3223y y x i xy x z f -+-= 4)).sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=(2) 设函数5z w =确定在割开负实轴(包括原点)后的z 平面上，求满足条件53)3(-=-w 的那个分支在点i z =的值。
(3) 求下列各式的值:;)132ieπ+);1sin()2i -;)1()32i i -+).3ln()4i +-三、解析函数的幂级数 表 示1 基本概念(1) 幂级数的收敛半径(2) Taylor 定理:设)(z f 在区域D 内解析， D a ∈当D R a z K ⊂<-|:|，则)(z f 在K 内能展成幂级数.)()(0∑∞=-=n n n a z c z f(3) 幂级数在和函数在其收敛圆周上的状况。
(给出了确定收敛半径R 的一种方法) (4) 初等函数的幂级数展式(5) 解析函数的零点孤立性及唯一性定理 (6) 最大模原理2 应掌握的习题(1) 求下列幂级数的收敛半径:;3)10∑∞=n n n z ;!)20∑∞=n nn z .)2(c s c )30∑∞=-=n n n z c z π(2)将下列函数展成z 的幂级数，并求其收敛范围:);1()122z e z - ;s i n )20⎰zdz zz2)1(1)3z -.)()402⎰=zz dz e z f(3) 求下列函数在零点0=z 的阶:;sin )122z z -);1()222z e z -).6(sin 6)3633-+z z z四、解析函数的罗朗展式1 基本 概念(1) 解析函数的罗朗展式(2) 解析函数的孤立奇点的三种类型及等价说法 (3) 解析函数在无穷远点的性质 (4) 整函数与亚纯函数的特征2 应掌握的习题(1) 把下列函数在指定范围内展成罗朗级数: 1)函数)2)(1(1)(--=z z z f 在1||)<z a 2||1)<<z b||2)z c < 1|1|0)<-<z d 1|2|0)<-<z e2)+∞<<||0,sin 12z z z 3) +∞<<-||0),1(12z e z z)2(1)()4-=z z z f ，在圆环2|2|0<-<z)1(1)()52-+=z z z z f ，在圆环+∞<<||1z(2) 求下列函数的全部孤立奇点，并指出其类型: 1) z csc2)zsin 11-3) .1cos iz + 五、复变函数的积分1 基本概念(1) 复积分的概念及用参数方程计算 (2) 柯西积分定理及积分与路径无关的条件 (3) 柯西积分公式及解析函数的无穷可微性 (4) 解析函数与调和函数的关系 (5) )(z f 孤立奇点的留数定义及其求法 (6) 柯西留数定理 (7) 函数在无穷远点的留数1)(21)(Re -Γ∞=-==⎰-c dz z f iz f s z π );(Re )(Re 1∑==∞=-=nk a z z z f s z f s k.1)1(Re )(Re 20⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∞=t t f s z f s t z (8) 用留数定理计算几种实积分 (9) 辐角原理及儒歇定理2 应掌握的习题1。
计算积分⎰-11||dz z ，其中积分路径是:(1)直线段;(2)上半单位圆周; (3)下半单位圆周。
2。
不用计算，验证下列积分之值为0。
其中C 为单位圆周|z|=1。
.22)2(;cos )1(2⎰⎰++CC z z dzzdz3。
求⎰++Cz dz e z )1(4，其中C 沿右半圆周)0(22≥=+x R y x 起点为Ri -，终点为Ri的有向曲线。
4。
求积分⎰++adz z z π202)182(。
其中路径是连接0到a π2的摆线:).cos 1(),sin (θθθ-=-=a y a x5。
求⎰+C dz z z )cos (2。
其中C 沿左半椭圆)0(1222≤=+x y x 起点为i -，终点为i 的有向曲线。
6。
验证函数)3(2),(22y xy x y x u --=是调和函数，求),(y x v 使iv u z f +=)(为解析函数，且i f =)0(7。
已知调和函数)0)((),(33＞ααxy y x y x u -=求v(x ，y)，使f(z)=u+iv 为解析函数，且i f =)0(8。
求下列函数在指定点的残数1,)1)(2(;,0,)1(cos 1)1(1122=-±=++-z ez i z z z zzππ=-=--z z zz z z ,)(cos )4(;1,11sin)1)(3(329。
计算下列积分;cos 1)3(;1)2(;sin )1(||2||21||⎰⎰⎰===+πz z izz dz zdz ze zz dz)(2:,)1()1()4(2222y x y x C z z dz C +=++-⎰10 求下列各积分之值:⎰⎰+>+ππθθθθ2020cos 32)2();1(,cos )1(d a a d⎰⎰++ππθθθθ20sin 2)4(;cos 23)3(d d11 计算下列积分⎰⎰+∞∞-+∞++dx x x x dx xx2244sin )2(;14cos )1(12 求方程013228=+-z z(1)在圆K: |z|<2内根的个数; (2)在圆环:1<|z|<2内根的个数。
六、共形映射1 求下列函数在指定点的伸缩率与旋转角;1,)2(;,)1(32i z z w i z z w +====i z z w i z e w z -=++=-==1,1)1()4(;,)3(22 求下列复数关于单位圆的对称点:)3(21)4();1(2)3();31(21)2(;1)1(i i i i +++-3 求将上半平面Imz>0映成单位圆|w|<1的分式线性变换，并分别满足下列条件:0)(',0)()2(;1)1(,0)()1(>==-=i f i f f i f .151)(,1)1()4(;0)('arg ,0)()3(====i f f i f i f。