复变函数3.2 洛必达

特殊形式 -费马引理 罗尔定理 一般形式 中值定理-- 拉格朗日中值定理
柯西中值定理
推广形式
拉格朗日中值定理 y f ( x )满足 : (1)在区间[a , b]上连续； (2)在区间( a , b)内可导 至少存在一点 (a , b) , 使f ( )
从而
f ( x) f ( x) lim lim xa F ( x ) xa F ( x )
3.2 洛必达法则·第3章 12
f ( x) 2) lim 0 的情形. 取常数 k 0 , x a F ( x )
f ( x) lim k x a F ( x )
f ( x) k F ( x) lim F ( x) x a
3.2 洛必达法则·第3章 16
xn 例6. 求 lim x (n 0 , 0) . x e (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
x k x n x k 1
从而 由(1)
x n x k 1 xk x x x e e e xk x k 1 lim x lim x 0 x e x e n x lim x 0 x e
6 cos 6 x 3. lim x 2 cos 2 x
2
3.2 洛必达法则·第3章 20
tan x . 例 求 lim x tan 3 x
2
( )
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
tan x sin x cos3x lim lim cos x x tan3 x x sin3 x
tan x x 0 求 lim 2 . ( ) 0 x 0 x tan x
0 2 ( ) 2 sec x 1 0 tan x sec x x0 1 ( ) lim ( 0 )2 原式 lim 原式 lim 3 2 x 0 0 x x x0 0 2 xx tan x x 2 sec x 30
tan x 例 求 lim . x 0 x
0 ( ) 0
解
sec2 x (tan x ) 1. lim 原式 lim x 0 x 0 1 ( x )
tan x x 求 lim . x 0 x sin x
例
0 ( ) 0
2 1 cos x 1 1 2 2 cos x 2. 解 原式 lim cos x lim x 1 1 cos x x 1 1 cos x
函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究: 函数之商的极限
转化
(
或
型)
洛必达法则
导数之商的极限
3.2 洛必达法则·第3章 4
0 一、 型未定式 0
定理 1.

2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导,
f ( x) 3) lim 存在 (或为 xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim xa F ( x ) xa F ( x )
用夹逼准则
3.2 洛必达法则·第3章 17
说明:
1) 例5 , 例6 表明 x 时,
ln x ,
e x ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则
例3. lim 而 例4. lim
ln x x n x
2
0 型 0
F ( x) f ( x) f ( x) F ( x) lim lim lim xa F ( x ) f ( x) xa F ( x ) xa f ( x )
f ( x) F ( x) 1 lim lim xa F ( x ) xa f ( x )
3.2 洛必达法则·第3章 13
f ( x) 3) lim 时, 结论仍然成立. ( 证明略 ) x a F ( x )
说明: 定理中 x a 换为
x a ,
x a ,
x ,
x ,
x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
3.2 洛必达法则·第3章 14
f ( x) k F ( x) lim k 0 , 可用 1) 中结论 x a F ( x) f ( x) k F ( x) f ( x) lim lim k x a F ( x) xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim xa F ( x ) xa F ( x )
n
x
0
0
(n 0) .
(n 0 , 0) .
3.2 洛必达法则·第3章 18
x e x
f ( x) 3) 若 lim 不存在 ( )时 , F ( x) f ( x) lim F ( x)

f ( x) lim . F ( x)
x sin x 例如, lim x x

1 cos x lim x 1
极限不存在
sin x lim (1 ) 1 x x
3.2 洛必达法则·第3章 19
tan x . ( ) 例 求 lim x tan 3 x
2
cos sin 1 [sin( ) sin( )]. 2
3.2 洛必达法则·第3章 23
6 f ( x) sin 6 x xf ( x ) 0 ，求 lim 例 若 lim 2 3 x 0 x 0 x x 6 x xf ( x ) 解 原式 lim x 0 x3 6 x sin 6 x sin 6 x xf ( x ) lim[ ] 3 3 x 0 x x 6 6 cos 6 x lim 0 2 x 0 3x 36 sin 6 x lim x 0 6x
例4 求
2 1 x 解: 原式 lim x 1 x2
0 型 0

1
lim
x2
x 1 x 2
1
3.2 洛必达法则·第3章 15
例5. 求
型
x
解: 原式 lim
nx
1 x n 1
1 0 lim n x n x
xn 型 例6. 求 lim x (n 0 , 0) . x e 解: (1) n 为正整数的情形. n2 n x n1 n(n 1) x lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e
解 解
2 sec2 x tan x 1 (sec2 x ) x 再求导式子很复杂 lim lim x 0 3 x 0 x 6x 1 . 3
3.2 洛必达法则·第3章 22
注意：洛必达法则的使用条件． 例 求 lim
x cos x . x
( )
x
1 sin x 解 原式 lim lim(1 sin x ). x x 1 极限不存在 洛必达法则失效。 1 原式 lim(1 cos x ) 1. x x
若 f (x ) 可导, 试证在其两个零点间一定有 f ( x ) f ( x )
的零点.
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0
只要证
亦即
e f ( ) e f ( ) 0
2 2
0 ( ) 0
sin x cos3x lim lim x sin3 x x cos x
2 2
cos3x lim x c o s x
2
3sin3x lim sin x x
2
3
3.2 洛必达法则·第3章 21
注意：罗彼塔法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例
)
(洛必达法则)
3.2 洛必达法则·第3章 5
定理条件:
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 3) lim 存在 (或为 ) xa F ( x )
证: 无妨假设 f (a) F (a) 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 西定理条件, 故 f ( x) f ( x) f (a) f ( ) ( 在 x , a 之间) F ( x) F ( x) F (a ) F ( ) f ( ) 3) lim x a F ( )
3.2 洛必达法则·第3章 10
二、 型未定式
定理 2.

2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (洛必达法则) x a F ( x ) xa F ( x ) f ( x) 证: 仅就极限 lim 存在的情形加以证明 . x a F ( x )
2
解 原式 lim
2
sec x 1 cos 3 x 0 lim ( ) 2 2 3 x cos x 0 x 3 sec 3 x
2
2
1 sin 6 x 0 lim lim ( ) 3 x 2 cos x sin x 0 x sin 2 x
2 2
0 6 cos 3 x sin 3 x( 0 )
3.2 洛必达法则·第3章 6

洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为
x a ,
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
3.2 洛必达法则·第3章 7
sin ax 例 求 lim . x 0 sin bx a cos ax a 解 原式 lim x 0 b cos bx b x sin x 例 求 lim . 3 x 0 x 1 cos x sin x 1 解 原式 lim lim 2 x 0 x 0 6 x 3x 6
[ e x f ( x ) ]
x
0
作辅助函数 F ( x) e x f ( x ) , 验证 F ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
3.2 洛必达法则·第3章 2
第二节 洛必达法则
0 一、 型未定式 0
二、 型未定式 三、其他未定式
3.2 洛必达法则·第3章 3
有限增量公式 y f ( x0 x ) x (0 1) f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( ( x0 , x ))
f (b) f (a ) . ba
微分中值定理的应用 (1)证明恒等式 (2)证明不等式 (3)证明有关中值问题 的结论 3.2 洛必达法则·第3章 1
3.2 洛必达法则·第3章 8
例2. 求
解: 原式 lim
x
0 型 0
3x 3 2 3x 2 x 1
2
6x 3 lim x1 6 x 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
6x lim x1 6 x 2

6 lim 1 x1 6
3.2 洛必达法则·第3章 9
3.2 洛必达法则·第3章 11
f ( x) 0 的情形 1) lim x a F ( x )
1 f ( x) F ( x) lim lim x a F ( x ) x a 1 f ( x)
2
1 F ( x) 2 F ( x) lim 1 x a f ( x) 2 f ( x)