复变函数3.2 洛必达
D3.2 洛必达法则
第三章
第二节 洛必达法则
三、其他类型未定式
一、 型未定式
二、 型未定式
确定未定式的极限是求极限的主要类型．常见的未定式主要有：在同一极限过程下
由无穷小的商和无穷大的商形成的 型未定式； 由无穷小与无穷大的积形成的 型未定式； 由无穷大与无穷大的差形成的 型未定式； 由无穷小与无穷大之间的幂形成的 型未定式.
线 ” 问题 ,
在他去世后的1720 年出版了他的关于圆
锥曲线的书 .
则 ”.
他在15岁时就解决了帕斯卡提出
一、
存在 (或为 )
定理 1
型未定式
(洛必达法则)
那么
设
(2) 在点a 的某去心邻域内,
都存在,
及
注:
定理 1 中
换为下列过程之一:
(2)
满足定理1的条件,
则
条件 (2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
解 因为
所以，所给极限存在．但由洛必达法则
该极限不存在，于是所给极限不能用洛必达法则求出
三、其他类型未定式:
或
（通分）
例7 求
解:
解:
例8 求
原式
原式
解:
例9 求
原式
例10 求
解:
原式
∴ 原式
例11 求
( n 为正整数)
解:
原式
例12
不存在
内容小结
洛必达法则
如何来求解这些未定式的极限？ 法国数学家洛比达给出了解决这些未定式极限的最有力工具——洛比达法则.
洛必达(1661 – 1704)
法国数学家,
他著有《无穷小分析》
(1696),
3.2 洛必达法则
f '( x ) 存在 及 g' ( x ) 都存在且 g' ( x ) ≠ 0; (3) lim x→a g ' ( x ) →
(或为无穷大 , 那么 或为无穷大), 或为无穷大
f ( x) f '( x ) lim . = lim x →a g ( x ) x →a g' ( x )
证 因函数在某点的极限是否存在 与函数在该点 取何值无关, 取何值无关, 故可补充定义 f (a ) = g (a ) = 0. 根据定理的条件, 根据定理的条件, 知函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在以 a 与 x
f ( x ) f ( x ) − f (a ) f ' (ξ ) = = (ξ 在 x 与 a 之间 之间), g ( x ) g ( x ) − g (a ) g' (ξ )
又当 x → a 时, 有 ξ → a , 所以
f ( x) f ' (ξ ) lim = A. 证毕. = lim 证毕. x →a g ( x ) ξ → a g' (ξ )
e x − e−x − 2 x . 例3 求 lim x →0 x − sin x
解
e x − e − x − 2 x = lim e x + e − x − 2 lim x →0 x →0 1 − cos x x − sin x
e x − e−x = lim x → 0 sin x e x + e−x = lim x → 0 cos x
故洛必达法则失效, 不能使用. 但原极限是存在的, 使用. 洛必达法则失效, 不能使用 但原极限是存在的, 可用下法求得 求得: 可用下法求得:
1 x sin lim x sin 1 x = lim( x ⋅ x sin 1 ) = x→0 x lim x → 0 sin x x → 0 sin x x lim sin x x →0 x 0 = 0. = 1
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈1. 引言1.1 什么是复变函数求极限复变函数求极限是复变函数分析中的一个重要概念。
在实数域中，我们可以通过极限来描述函数在某一点的趋势和性质，而在复数域中，复变函数的极限同样可以帮助我们理解函数的行为。
复变函数求极限是指当自变量趋向某一复数时，函数值的极限值，即函数在该复数处的极限。
复变函数求极限不仅在复变函数分析中具有重要意义，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
例如在电磁场理论、量子力学等领域，复变函数求极限都扮演着重要的角色。
深入理解复变函数求极限的方法和技巧对于提升数学建模能力和解决实际问题具有重要意义。
1.2 为什么重要复变函数求极限在数学领域中具有重要意义，其重要性主要体现在以下几个方面：1. 深化对复变函数性质的理解复变函数求极限是研究复变函数性质的基础和关键。
通过求解极限可以揭示函数在某一点的变化趋势和收敛性质，进而帮助我们更深入地理解函数在复平面上的特性，包括奇点、极点、函数的连续性等，从而促进对复变函数整体性质的认识和掌握。
2. 解决实际问题中的数学模型在物理学、工程学、经济学等领域，常常会遇到复杂的数学模型，其中不可避免地涉及到复变函数的极限求解。
通过对复变函数求极限，可以得到模型中一些关键参数的数值解，为实际问题的分析和解决提供数学基础和支持。
3. 拓展数学研究领域复变函数求极限是数学分析领域中的重要课题之一，其研究涉及到实分析、复分析、函数论等多个数学分支领域，对数学理论的发展和进步具有重要促进作用。
深入研究复变函数求极限的方法和技巧，可以拓展数学研究的范围，促进学科的交叉融合和知识的交流传播。
2. 正文2.1 极限存在的条件复变函数求极限在数学中起着重要的作用，但要确保复变函数的极限存在，需要满足一定的条件。
主要条件包括函数在取极限点附近有定义、极限点是函数的解析点、极限值与路径无关、以及函数在极限点附近单值和连续等。
函数在取极限点附近必须有定义，否则无法讨论极限的存在与否。
解析洛必达法则在复变函数极限中应用
解析洛必达法则在复变函数极限中的应用【摘要】有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。
同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。
基于此，本文以洛必达法则为研究对象，分别从复变函数极限计算、孤立奇点类型判定以及未定式极限转化入手，详细研究了洛必达法则在复变函数极限研究中的应用情况，旨在于引起关注与重视。
【关键词】洛必达法则；复变函数；极限；计算；孤立奇点；未定式；分析有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。
同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。
本文结合实例，在分析应用原理的基础之上，总结相关解题思路，对于求解正确答案而言至关重要。
现做详细分析与说明。
一、洛必达法则在复变函数极限计算中的应用分析在有关复变函数取值的计算过程当中，借助于对洛必达法则的合理应用，能够使一部分不太容易解决，或者是计算步骤过于繁琐的问题变得更加的简单，解题思路更加清晰，计算时间更短，且计算失误可得到有效控制。
可以说是洛必达法则在应用于复变函数极限过程中最主要的一点表现。
现举例对其进行说明。
例一：求解ln（1+a）-a/（cosa-1）在对该式进行分析的过程当中，应当予以确定的基本解题思路在于：首先需要对“ln（1+a）-a”这一式进行变形处理，通过与“（cosa-1）”这一部分的配合，将cos转化为sin。
在此基础之上，以代入“1+a”的方式，再次将sin格式转变成为cos格式，最终通过对基本定理的合理应用，达到高速解出正确答案的目的。
此过程中，主要分两个步骤对该计算式进行处理。
具体如下：二、洛必达法则在复变函数孤立奇点类型中的应用分析在有关复变函数研究过程当中，对于a0而言，其作为f（a）可去奇点、可去极点以及本性奇点的充分必要条件主要涉及到以下两个方面的内容：①f（a）应当属于有限复常数数值；②f（a）倾向于无穷大；③f（a）并不存在。
3.2 罗必达法则
e
1 lim x x1 1
e .
26
N eln N
0
0
通分
转化
取倒数 转化
0
对数恒等式
转化
1
0
e
练习 解
0
求 lim (cot x)
x 0
1 ln x
.
( )
0
1 1 2 1 lim ln(cot x) lim cot x sin x x 0 ln x x 0 1 x x lim 原式 e1. 1. x 0 cos x sin x
可能存在，也可能不存在。通常把这种极限 0 或 . 叫做未定式，并分别简记为 0 例如
tan x 0 lim , ( ). x 0 x 0
ln sin ax lim , ( ). x 0 0 ln sin bx
3
一、 0 型未定式 0
定理3.4
2) f ( x)与 g ( x) 在 (a)内可导,
1
当 x 取正整数 n , 且 n 时，即有
n
lim n n ＝ lim
n
1 nn
1
( n 为正整数) ?
思考: 如何求 lim
2
arctan n
1 n 28
n
1 x 1 [ (1 x) ] x , x 0, 例16 讨论 f ( x) e 在点 x 0 处的连续性. 1 e 2 , x0
x 时,
e
x
ln x ,
( 0)
后者比前者趋于 更快 . 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解 决计算问题 . 用洛必达法则 ln x 例如 0 (n 0) . 例5. lim
罗必达法则在求复变函数极限中的应用
邻域 内
`
0
,
!,
女g (Z)
、
0
必有
自然 数 二
,
使g
`
(Z
,
〔
,
)
,11
(Z )
二
夕
=
1 ) ( z
g ( m
l
,
(Z 11 n
l
,
f `
l ( Z )
_
( ) 产 l
一
一
z ” )
)
-
0
,
) z ( * ( r t ( )
由
+
、
)
)
叭
同 时 设 有 自然 数 K 否则
,
使
z
( 0
工( Z )
、 了 、 .
,
除`
0 外
,
在
0
,
“
点 占=
0 的邻域
内单 值解 析 且 G
.
,
`
(如
g`
( Z ) (一 2
)牛 O
纸
了 占 l 、 一
、 /
li m f (Z) (〕 Z、 C 1 占 一
’
=
砚 、
户
:
L 0 m
lim
G
) ( e
,
=
z
牡 几
g
z (
)
一
。
又 由于
F
,
(占 )
一
几)
二
二 了丁
g
、 万
罗 必 达 法 则 在 求 复 变 函 数 极 限 中 的 应 用
黄
光
明
罗必 达 法 则给 实 变 函 数极 限 的 计 算带来 很 大 方 便
洛必达公式 泰勒公式 柯西中值定理 罗尔
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈【摘要】复变函数是复数域上的函数，求解其极限是分析复变函数性质的重要方法之一。
本文从Cauchy定理、洛必达法则、泰勒展开、复平面几何法和绝对值不等式五个方面介绍了求解复变函数极限的方法。
通过深入浅出地讲解各种方法的原理和应用，为读者提供了多种角度理解复变函数极限的途径。
在总结了不同方法的优缺点，并给出了方法选择的建议，帮助读者更好地掌握和运用复变函数求极限的技巧。
本文全面而系统地探讨了复变函数求极限的方法，为复变函数研究者提供了重要的参考和指导。
【关键词】复变函数、求极限、Cauchy定理、洛必达法则、泰勒展开、复平面几何法、绝对值不等式、方法选择、优缺点比较。
1. 引言1.1 复变函数的概念复变函数，顾名思义，就是有两个变量的函数，通常表示为f(z)，其中z是一个复数，即z=x+iy，其中x和y分别是实部和虚部。
复变函数在数学上扮演着非常重要的角色，它们可以用来描述许多自然现象，比如电磁场、流体力学等。
在实际应用中，复变函数也经常被用来解决一些复杂的问题，比如求解积分、微分方程等。
复变函数的概念最早是由欧拉引入的，他定义了复数域C，并且定义了一些复变函数的基本运算规则，比如加法、减法、乘法、除法等。
随后，高斯、柯西等数学家对复变函数进行了更深入的研究，提出了许多重要的理论和定理，比如柯西-黎曼方程、柯西定理等。
复变函数与实变函数有很多共同之处，但也有很多不同之处。
实变函数只有一个独立变量，而复变函数有两个独立变量；实变函数可以用曲线来表示，而复变函数则需要用复平面来表示。
复变函数是一种更加复杂和丰富的数学对象，它具有许多独特的性质和特点，为我们解决一些复杂的问题提供了更多的可能性。
1.2 极限的定义极限是复变函数求解过程中非常重要的概念。
在复变函数中，极限的定义与实数函数中的定义略有不同。
复变函数的极限定义如下：设f(z) 在点z_0 的某个去心邻域内有定义，则对于任意给定的正数\varepsilon，存在正数\delta，使得当0 < |z - z_0| < \delta 时，对应的|f(z) - A| < \varepsilon 成立。
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈【摘要】复变函数是数学中重要的研究对象，求解复变函数的极限是其中一个重要的问题。
本文首先介绍了复数和复变函数的基本概念，然后深入讨论了复变函数的收敛性和极限。
接着介绍了极限存在的判定方法，包括利用epsilon-delta定义和夹逼定理等方法。
对于复变函数极限的计算方法，本文主要涉及了无穷小和无穷大的概念，以及使用极坐标表示法求解的方法。
通过实际例子展示了复变函数极限在物理、工程等领域的应用，让读者更好地理解其重要性。
文章通过对复变函数求极限的方法进行深入探讨，旨在帮助读者掌握相关知识，提高数学分析能力。
【关键词】复数、复变函数、收敛性、极限、存在的判定方法、计算方法、应用、总结。
1. 引言1.1 引言在数学分析中，复变函数是指定义域和值域是复数集合的函数。
与实变函数不同的是，复变函数具有更为丰富的性质和特点。
复数可以写成实部和虚部的形式，这使得复变函数的运算更加灵活和复杂。
复数是由实数和虚数构成的，其中实数可以看作是复数的特殊情况。
复数在平面坐标系中对应于二维空间中的一个点，这样就可以用复数表示平面内的点。
复数的加法和乘法满足交换律和结合律，这使得复变函数的运算更加方便。
复数的共轭和模也为复变函数的计算提供了便利。
复变函数在分析学中的应用十分广泛，它可以描述许多物理、工程和经济现象。
在实际问题中，经常需要求解复变函数的极限。
复变函数的极限求解方法和实变函数有所不同，需要结合复数的性质和收敛性来进行推导和计算。
在接下来的内容中，我们将详细介绍复变函数的定义和性质，以及如何求解复变函数的极限。
通过深入理解复变函数的极限性质，我们可以更好地应用于实际问题的求解和分析中。
2. 正文2.1 复数和复变函数简介复数是由实数和虚数组成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a 为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数形式为a+bi的数称为复数，其中a为实部，bi为虚部。
32洛必达法则82891-文档资料
高等数学
主讲人： 苏本堂
第二节 洛必达法则
一. 0 不定式极限 0
二. 不定式极限
三.其他不定式极限
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节研究:
函数之商的极限 lim
f (x) 0
(
或
型)
g(x) 0
转化 洛必达法则
导数之商的极限 lim f ( x) g ( x )
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
xlim例 31. xxl ix2m lxnnxxlim01x(xn20x)l.im
1x2 x
而
例xli4m.xl 1im x xex2nx xl0 im (x1n20 1,10).
x 0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
x
nxn1
lim ( xn) 0 x0 n
0型
高等数学
主讲人： 苏本堂
三、其他未定式: 0, , 0 0 , 1 , 0型
解决方法:
洛必达法则
型
f g1g1 f 1g1 f
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例5. 求 limxnlnx(n0).
西定理条件, 故
f(x)f(x)f(a) f ( ) ( 在 x , a 之间) F(x) F(x)F(a) F ( )
32洛必达法则(改)
0
用夹逼准则
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 洛必达法则也有失效的情况，例如：
用洛必达法则
例3. lim
x
ln x xn
0
(n 0).
而
例4.
lim
x
xn e x
0
(n 0 , 0).
3) 若 lim f (x)不存在 ( )时, F ( x)
lim f (x) lim f (x) .
F ( x)
F ( x)
例如, lim x sin x
lim 1 cos x
x x
x 1
极限不存在
lim (1 sin x) 1
x
x
三、其他未定式:
解: 注意到 ～
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 x 3x2
1
lim
x0
tan 2 3x2
x
1 3
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
令 y fg
取对数
0 型
f
g
f
1
g
P138
解决方法:
通分
转化
0
00
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例5. 求 lim xn ln x (n 0).
D3.2洛必达法则
用夹逼准则
说明:
1) 例5 , 例6 表明 x 时,
ln x ,
e x ( 0)
后者比前者趋于 更快 . 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则
例3. lim 而 例4. lim
ln x x n x
n
x
0
0
(n 0) .
极限不存在
sin x lim (1 ) 1 x x
3.2.3 其它类型未定式 (0 ， ， ， 0， 0 ) 1 0
1 1 1. 0 型 , 或 0 0 . 0
1 1 00 . 2. 型 00 0 0
00 ,1 1 g f 11 g f
0 型 0 型
取对数
0 型
f g f
1 g
洛必达
洛必达(1661----1704) 法国数学家, 生于巴黎,卒于同地.他聪颖早慧,15岁就 解出数学家帕斯卡提出的摆线难题.1691 年前后向约翰· 伯努利学习过,解决了约 翰· 伯努利提出的“最速降线”等问题,并 导致微积分学说的创立与发展.他的主要 著作《用于理解曲线的无穷小分析》 (1696)是世界上第一本系统的微分学教 科书. 需要说明的是,在该书中记载的现今 称作的“洛必达法则”,实际上是约翰· 伯 努利两年前写信告诉他的一个著名定理, 后人误认为是洛必达的发明,一直沿用至 今.
注：(1)对于洛必达法则２，前面关于法则１的５ 点注同样使用． (2)洛必达法则１与法则２可交替使用．
例5. 求
型
x
解: 原式 lim
x 1
1 x
1 lim 0 x x
3.2洛必达法则
例3 求
x
lim 2
arctan x 1 x
(
0 0
型)
解：
1 arctan x 2 1 x 2 lim lim 1 x 1 x 2 x x
x2 lim 2 x 1 x
1
例4
求
ln x lim x x n
1 x nx n 1
(1) lim f ( x) 0 ，lim g ( x ) 0 ； x x
0
0 0
型)
x x0
(2) f ( x) 与 g ( x ) 在点 x0 的某个邻域内 (点 x0 可除外)可导，且 g ( x) 0
f ( x) A（或 ） (3) lim x x g ( x ) 0
(2) f ( x) 与 g ( x ) 在点 x0 的某个邻域内(点
x0 可除外)可导，且 g ( x) 0
f ( x) A( 或 ) (3) lim x x g ( x )
0
则
f ( x) lim lim x x g ( x) x x
0 0
f ( x) A （或 ） g ( x)
( 型)
lim
x
12 x 2 2
例1
ex 1 求 lim 2 x 0 x x
(
0
型)
x ex 1 e 解： lim 2 lim x 0 2 x 1 x 0 x x
1
(
0 0
例2
求
1 cos x lim x 0 x3
型)
cos x 1 cos x sin x lim lim 解： lim 2 x 0 x 0 3 x x 0 6 x x3
《高数32洛必达法则》课件
洛必达法则的数学意义
洛必达法则是微积分学中求极限的一种常用方法，它通过将 复杂的极限问题转化为求导数的形式，使得问题得到简化。
洛必达法则是微积分学中重要的基本概念之一，它反映了函 数在某点的局部性质，对于理解函数的极限行为和可导性具 有重要意义。
04
CATALOGUE
洛必达法则的扩展和推广
洛必达法则的推广形式
洛必达法则的推广
在一定条件下，洛必达法则可以应用 于更广泛的函数形式，例如分段函数 、无穷区间上的函数等。
洛必达法则的变形
根据不同的情况，洛必达法则可以变 形为不同的形式，以便更好地应用于 各种问题。
洛必达法则在微积分中的应用
极限计算
进阶习题
进阶习题1
求函数$f(x) = frac{ln x}{x}$在$x = e$处的 导数值。
进阶习题2
求函数$g(x) = frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$在 $x = 2$处的导数值。
进阶习题3
求函数$h(x) = frac{cos x}{x}$在$x = frac{pi}{2}$处的导数值。
洛必达法则的实例分析
例1
分析函数$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$的极限值，通过应用 洛必达法则得到结果为1。
例2
分析函数$lim_{x to infty} frac{x^n}{e^x}$的极限值，通 过应用洛必达法则得到结果为0。
例3
分析函数$lim_{x to 0} frac{ln(1 + x)}{x}$的极限值，通过 应用洛必达法则得到结果为1。
洛必达法则在复变函数极限中的应用-模板
例1判定函数孤立奇点的类型
解:是的孤立奇点,应用复变函数中的洛必达法则有:
因为是有限复常数,根据可去奇点的充分必要条件知是的可去奇点.
1.型
(1)定理1:设复变函数在的去心邻域:内定义可导(即解析),且极限存在,则.
(2)定理2:设复变函数在无穷远点的去心邻域:内可导(即解析),且,且极限存在,则.
2.型
(1)定理3:设复函数在的去心邻域内内解析,且,且极限存在,则.
(2)定理4:设复函数在无穷远点的去心邻域:内解析,且,且极限存在,则.
洛必达法则在复变函数极限中的应用
本文将高数中的洛必达法则推广到复变函数中来,给出复变函数中与高数中洛必达法则类同的法则.并且利用给出的洛必达法则更方便的求解复变函数的某些类型极限以及判定解析函数孤立奇点的类型.关键词:洛必达法则,孤立奇点的类型一、给出法则复变函数中的一些概念和结论是实函数中相应概念
3.其它不定式
形如型的未定式,可以通过将它们化为或型来计算.
二.法则应用
1.高数中的洛必达法则,在求函数极限时发挥重要作用.而在复变函数中洛必达法则在复函数极限的计算中发挥重要作用,使一些不太容易解决的问题在应用了这个法则之后变得容易解决.
例1求
解:原式=
例2求
解:原式=
例3求
解:原式=
(型)=
(型)=
的推广,复变函数中关于复函数的极限,连续,可导,关于复级数,复积分等概念和一些重要结论都是高数中关于实函数的相应概念和结论从实数域到复数域的推广.众所周知,对实变函数中“未定式”的分析可以利用洛必达法则,那么对复变函数中的“未定式”是否有相应的洛必达法则?答案是肯定的.)
复变函数中的罗必达法则
复变函数中的罗必达法则
罗必达法则是用来求解复变函数中极限的一种方法。
它是由法国数学家罗必达发现的，具体内容如下：
设有两个复变函数f(z)和g(z)，在某个点z=a处，满足以下条件：
1. 当z→a时，f(a)和g(a)都趋于0或者无穷大；
2. g'(a)≠0，即g(z)在点a处可导且导数不为0。
那么，当z→a时，f(z)/g(z)的极限可以通过以下步骤求解：
1. 计算f(a)和g(a)的极限值；
2. 对g(z)求导，并计算导数g'(a)的值；
3. 如果g'(a)≠0，则f(z)/g(z)的极限等于f(a)/g(a)。
通过罗必达法则，我们可以简化复变函数极限的计算过程，特别是对于一些不确定型的极限，可以快速求解。
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柯西中值定理
推广形式
拉格朗日中值定理 y f ( x )满足 : (1)在区间[a , b]上连续； (2)在区间( a , b)内可导 至少存在一点 (a , b) , 使f ( )
从而
f ( x) f ( x) lim lim xa F ( x ) xa F ( x )
3.2 洛必达法则·第3章 12
f ( x) 2) lim 0 的情形. 取常数 k 0 , x a F ( x )
f ( x) lim k x a F ( x )
f ( x) k F ( x) lim F ( x) x a
3.2 洛必达法则·第3章 16
xn 例6. 求 lim x (n 0 , 0) . x e (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
x k x n x k 1
从而 由(1)
x n x k 1 xk x x x e e e xk x k 1 lim x lim x 0 x e x e n x lim x 0 x e
6 cos 6 x 3. lim x 2 cos 2 x
2
3.2 洛必达法则·第3章 20
tan x . 例 求 lim x tan 3 x
2
( )
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
tan x sin x cos3x lim lim cos x x tan3 x x sin3 x
tan x x 0 求 lim 2 . ( ) 0 x 0 x tan x
0 2 ( ) 2 sec x 1 0 tan x sec x x0 1 ( ) lim ( 0 )2 原式 lim 原式 lim 3 2 x 0 0 x x x0 0 2 xx tan x x 2 sec x 30
tan x 例 求 lim . x 0 x
0 ( ) 0
解
sec2 x (tan x ) 1. lim 原式 lim x 0 x 0 1 ( x )
tan x x 求 lim . x 0 x sin x
例
0 ( ) 0
2 1 cos x 1 1 2 2 cos x 2. 解 原式 lim cos x lim x 1 1 cos x x 1 1 cos x
函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究: 函数之商的极限
转化
(
或
型)
洛必达法则
导数之商的极限
3.2 洛必达法则·第3章 4
0 一、 型未定式 0
定理 1.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导,
f ( x) 3) lim 存在 (或为 xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim xa F ( x ) xa F ( x )
用夹逼准则
3.2 洛必达法则·第3章 17
说明:
1) 例5 , 例6 表明 x 时,
ln x ,
e x ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则
例3. lim 而 例4. lim
ln x x n x
2
0 型 0
F ( x) f ( x) f ( x) F ( x) lim lim lim xa F ( x ) f ( x) xa F ( x ) xa f ( x )
f ( x) F ( x) 1 lim lim xa F ( x ) xa f ( x )
3.2 洛必达法则·第3章 13
f ( x) 3) lim 时, 结论仍然成立. ( 证明略 ) x a F ( x )
说明: 定理中 x a 换为
x a ,
x a ,
x ,
x ,
x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
3.2 洛必达法则·第3章 14
f ( x) k F ( x) lim k 0 , 可用 1) 中结论 x a F ( x) f ( x) k F ( x) f ( x) lim lim k x a F ( x) xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim xa F ( x ) xa F ( x )
n
x
0
0
(n 0) .
(n 0 , 0) .
3.2 洛必达法则·第3章 18
x e x
f ( x) 3) 若 lim 不存在 ( )时 , F ( x) f ( x) lim F ( x)
f ( x) lim . F ( x)
x sin x 例如, lim x x
1 cos x lim x 1
极限不存在
sin x lim (1 ) 1 x x
3.2 洛必达法则·第3章 19
tan x . ( ) 例 求 lim x tan 3 x
2
cos sin 1 [sin( ) sin( )]. 2
3.2 洛必达法则·第3章 23
6 f ( x) sin 6 x xf ( x ) 0 ，求 lim 例 若 lim 2 3 x 0 x 0 x x 6 x xf ( x ) 解 原式 lim x 0 x3 6 x sin 6 x sin 6 x xf ( x ) lim[ ] 3 3 x 0 x x 6 6 cos 6 x lim 0 2 x 0 3x 36 sin 6 x lim x 0 6x
例4 求
2 1 x 解: 原式 lim x 1 x2
0 型 0
1
lim
x2
x 1 x 2
1
3.2 洛必达法则·第3章 15
例5. 求
型
x
解: 原式 lim
nx
1 x n 1
1 0 lim n x n x
xn 型 例6. 求 lim x (n 0 , 0) . x e 解: (1) n 为正整数的情形. n2 n x n1 n(n 1) x lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e
解 解
2 sec2 x tan x 1 (sec2 x ) x 再求导式子很复杂 lim lim x 0 3 x 0 x 6x 1 . 3
3.2 洛必达法则·第3章 22
注意：洛必达法则的使用条件． 例 求 lim
x cos x . x
( )
x
1 sin x 解 原式 lim lim(1 sin x ). x x 1 极限不存在 洛必达法则失效。 1 原式 lim(1 cos x ) 1. x x
若 f (x ) 可导, 试证在其两个零点间一定有 f ( x ) f ( x )
的零点.
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0
只要证
亦即
e f ( ) e f ( ) 0
2 2
0 ( ) 0
sin x cos3x lim lim x sin3 x x cos x
2 2
cos3x lim x c o s x
2
3sin3x lim sin x x
2
3
3.2 洛必达法则·第3章 21
注意：罗彼塔法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例
)
(洛必达法则)
3.2 洛必达法则·第3章 5
定理条件:
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 3) lim 存在 (或为 ) xa F ( x )
证: 无妨假设 f (a) F (a) 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 西定理条件, 故 f ( x) f ( x) f (a) f ( ) ( 在 x , a 之间) F ( x) F ( x) F (a ) F ( ) f ( ) 3) lim x a F ( )
3.2 洛必达法则·第3章 10
二、 型未定式
定理 2.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (洛必达法则) x a F ( x ) xa F ( x ) f ( x) 证: 仅就极限 lim 存在的情形加以证明 . x a F ( x )
2
解 原式 lim
2
sec x 1 cos 3 x 0 lim ( ) 2 2 3 x cos x 0 x 3 sec 3 x
2
2
1 sin 6 x 0 lim lim ( ) 3 x 2 cos x sin x 0 x sin 2 x
2 2
0 6 cos 3 x sin 3 x( 0 )
3.2 洛必达法则·第3章 6
洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为
x a ,
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.