冰-水融化过程中量化关系转换

冰－水融化过程中的量化关系的描述

已知某质量为m ，体积为V ，表面积为S 的冰（形状可以是长方体、圆柱体、球体等），温度T 越高融化越快；表面积越大融化越快；这是定性分析的道理，如果定量分析，能否给出质量m, 体积V ，表面积S ，温度T 与吸收热量Q 、时间t 和冰融化速率v 的量化关系？

可设质量m 相同但表面积不同的冰块，冰-水融化所需要的热量Q 是相同的。

可假设最简单的形式，温度T 是常数，过程无热量损失。

一、冰球

假设冰为球型，r 为球体在某一瞬时的半径，则在此瞬时球体的表面积为：24r S π=，设球体在τd 秒内融化厚度为dr ，则τd 秒内的融化质量为：ρπdr r dm 24=，单位为(千克，kg)。可以得到融化dr 厚度冰所需的融化热量为：ρβπdr r dQ 24=，其中β为融化热，表征单位质量在熔点0℃时，从固态变成液态所吸收的热量，单位为（焦耳/千克，J/kg ）。冰的融化吸热率为吸热量与时间的比值，即：

τ

d dQ Q =• （1） 单位时间内球外表面与环境之间的对流换热量为：

t hS Q d ∆= （2）

其中，h 为冰表面对流传热系数，单位为（W/m 2﹒K ，瓦/平方米﹒开尔文），它与流体流动起因、有无相变、流动状态、换热表面的几何因素以及流体的物理性质有关。t ∆为换热面上环境温度与固体表面的平均温差，单位为（K,开尔文）。此处由于冰的熔化温度为0℃，因此，

15.273-=∆t t ，t 为环境温度，单位为（K,开尔文）

。假设冰表面对流换热量全部被冰吸收后融化，无热量损失，则由能量守恒可得：

d Q d dQ =τ

（3） 将所有等式带入并整理，则有

)15.273(4422-=t r h d dr r πτ

ρβπ （4） 最终得到：

ρβ

τ)15.273(-=t h d dr （5） 通过积分可得：

)15.273(-=

t h r ρβτ (6)

二、圆柱冰 冰柱吸热面为三个，上下表面及外表面，上下表面面积均为221r S S π==，外表面面积为rH S π23=，其中，r 为圆柱体山下表面半径，H 为圆柱体高度。这里为了便于计算，假设圆柱体的长径比很大，即r H 〉〉，则有123S S S +〉〉，因此圆柱冰上下表面吸热量可忽略不计，则可将问题简化为热量均匀由沿径向导入问题。

假设r 为圆柱体冰在某一瞬时的半径，则在此瞬时圆柱体冰换热表面积为：rH S π2=，设圆柱体在τd 秒内融化厚度为dr ，则τd 秒内的圆柱体融化质量为：ρπrHdr dm 2=，单位为(千克，kg)。可以得到融化dr 厚度冰所需的融化热量为：ρβπrHdr dQ 2=，其中β为融化热，表征单位质量在熔点0℃时，从固态变成液态所吸收的热量，单位为（焦耳/千克，J/kg ）。冰的融化吸热率为吸热量与时间的比值，即：

τ

d dQ Q =• （1） 单位时间内球外表面与环境之间的对流换热量为：

t hS Q d ∆= （2）

其中，h 为冰表面对流传热系数，单位为（W/m 2﹒K ，瓦/平方米﹒开尔文），它与流体流动起因、有无相变、流动状态、换热表面的几何因素以及流体的物理性质有关。t ∆为换热面上环境温度与固体表面的平均温差，单位为（K,开尔文）。此处由于冰的熔化温度为0℃，因此，

15.273-=∆t t ，t 为环境温度，单位为（K,开尔文）

。假设冰表面对流换热量全部被冰吸收后融化，无热量损失，则由能量守恒可得：

d Q d dQ =τ

（3） 将所有等式带入并整理，则有

)15.273(22-=t rH h d rhdr πτ

ρβπ （4） 最终得到：

ρβ

τ)15.273(-=t h d dr （5） 通过积分可得：

)15.273(-=

t h r ρβτ (6)

三、糖球 在水中参入糖分结冰成糖球，放在某一环境温度下融化时，由于糖分的加入会使得糖球的熔点略低于水的熔点，其熔点与参入的比例有关，因此与冰球不同的是计算糖球表面与环境之间的换热量时，熔t t t -=∆，因此糖球

的融化时间为：

)

(熔t t h r -=ρβτ

非稳态导热微分法解答

一、冰球

由球体非稳态导热微分方程可得到球体一段时间内所传导的热量计算式为：

0021])ex p(1[Q B F A Q μ--= (1)

其中，111111cos sin cos sin 2μμμμμμ--=A ,31

111cos sin 3μμμμ-=B ,20r a F τ=，为傅立叶准数,a 为热扩散系数，单位为（m 2/s ），τ为时间。

0Q 为初始时刻到冰球与周围介质处于热平衡这一过程所传递的热量，可以表示为：)(3

4030t t r c Q -=πρ，其中c 为比热容，单位为J/(kg*K)。1μ满足11tan μμBi

=，λhr Bi =。

冰球在时间τ内吸收的热量Q 分为两部分用途，一部分使冰球达到融化温度，即0℃；另一部分用来融化冰球。即：21Q Q Q +=，其中1Q 为冰球融化所需融化热，由前面分析可得冰球融化所需要的融化热为：

βπρ313

4r Q = (2) 冰球由初始温度到达融化温度所需热量为2Q ，

)(3

4032t t r c Q -=熔πρ （3） 将所有式子带入方程（1），可以得到关于时间τ的函数关系式： 21Q Q Q +=

)(3

4])exp(1[)(343403021033t t r c B F A t t r c r ---=-+πρμπρβπρ熔 （4）

整理得， B

A t t c t t c F 2100)(-)(ln

μβ---=熔 (5) a r B A t t c t t c 2

210)(-)(ln •---

=μβ

τ熔 (6) 二、 圆柱冰

圆柱体冰推导过程与冰球类似，不同的是解析解中A 、B 的值。