人教A版高中数学高二版必修五2.2等差数列 导学案
人教版数学高二版必修5自主学习导学案 2.2 等差数列的概念及其性质
2.2 等差数列（学生版）1．新课引入请同学们思考，这四个数列有何共同特点? ① 0，5，10，15，20 ② 2，4，6，8，10，…..③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④10072，10144，10216，10288，10360规律：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数． 2．等差数列的概念一般地，如果一个数列{}n a 从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。
公差通常用字母d 表示。
定义的符号表示是：1(2,*)n n a a d n n N --=≥∈，这就是数列的递推公式。
有时也可以写成：1(*)n n a a d n N +-=∈最简单的等差数列：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数A 叫做数a 和b 的等差中项，用等式表示为2a bA +=．【例1】判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a 1和公差d, 如果不是，说明理由。
（1）1，3，5，7，… （2）9，6，3，0，-3… （3）-8，-6，-4，-2，0，… （4）3，3，3，3，…（5）11111,,,.......2345， （6）15，12，10，8，6，…3．等差数列通项公式的推导方法一：根据等差数列的定义填空a 2 ＝a 1＋d ， a 3 ＝ ＋d ＝（ ） ＋d ＝a 1 ＋ d ， a 4 ＝ ＋d ＝（ ） ＋d ＝a 1 ＋ d ，…… a n ＝ ＋ d ．方法二：21=a a d -，32=a a d -，43=a a d -，…，1=n n a a d --所以2132431()+()()...()(1)n n a a a a a a a a n d ---+-++-=-，即1(1)n a a n d -=-，1(1)n a a n d =+-等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-4．等差数列的性质※ 典型例题考点1．求等差数列的通项公式【例2】已知等差数列{}n a 的前三项分别为8，5，2．（1）求的通项公式；（2）求第 20 项；（3）判断34-是否为数列{}n a 中的项，若是，是第几项？【说明】：从该例题中可以看出：1.等差数列的通项公式其实就是一个关于1,,,n a a n d （独立的量有3个）的方程；2.会利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项。
人教版高中数学全套教案导学案2.2等差数列
2. 2.1等差数列导学案一、课前预习： 1、预习目标：①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； ③体会等差数列与一次函数的关系。
2、预习内容： （1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母d 表示。
（2）、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ， 即=A 2 或=A 。
（3）、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。
（4）、等差数列的通项公式：=n a 。
二、课内探究学案例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项 解：由81=a 385-=-=d 20=n 得：49)3()120(820-=-⨯-+=a2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？解：由51-=a 4)5(9-=---=d 得14)1(45--=---=n n a n由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得： 14401-=-n 成立解得：100=n 即401-是这个数列的第100项。
例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4km ）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。
4km 处的车费记为：2.111=a 公差2.1=d 当出租车行至目的地即14km 处时，n=11 求11a 所以：2.232.1)111(2.1111=⨯-+=a 例3：数列53-=n a n 是等差数列吗？变式练习：已知数列｛na ｝的通项公式qpn a n +=，其中p 、q 为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ （指定学生求解） 解：取数列｛na ｝中任意两项na 和1-n a )2(≥n[]q n p q pn a a n n +--+=--)1()(1pq p pn q pn =+--+=)(它是一个与n 无关的常数，所以｛na ｝是等差数列？并且：q p a +=1 p d = 三、课后练习与提高 在等差数列{}n a 中，已知,10,3,21===n d a 求n a=已知,2,21,31===d a a n 求=n已知,27,1261==a a 求=d已知,8,317=-=a d 求=1a2、已知231,231-=+=b a ，则b a ,的等差中项为（ ）A 3B 2 C31D 213、2000是等差数列4，6，8…的（ ）A 第998项B 第999项C 第1001项D 第1000项 4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（ ） A 第13项 B 第14项 C 第15项 D 第16项 5、在等差数列{}n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则654a a a ++等于（ ）A 10B 42 C43 D456、等差数列-3，1， 5…的第15项的值为7、等差数列{}n a 中，0,2511>=d a 且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是 8、在等差数列{}n a 中，已知,31,10125==a a ，求首项1a 与公差d9、在公差不为零的等差数列{}n a 中，21,a a 为方程432=+-a x a x 的跟，求{}n a 的通项公式。
高中数学 2.2等差数列的性质导学案 新人教A版必修5
2.2等差数列性质预习案【学习目标】1.准确理解等差数列的性质，掌握由等差数列的通项公式研究其图象的方法，提高运算求解能力.2.通过对等差数列通项公式的推导和等差数列性质的探究，进一步渗透数形结合思想、函数思想及方程思想.3.激情参与、惜时高效，激励学生自主探究，发现规律，感受等差数列的内在奥妙. 【重点】：等差数列的性质. 【难点】：等差数列的性质的应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1. 等差数列的通项公式是什么？与一次函数有什么关系？2. 利用等差数列的通项公式可以解决那些问题？3. 若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 、b 的________，即A=_______________4. 判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？ Ⅱ.教材助读1.依据等差数列的概念，你能写出等差数列的通项公式吗？公差对数列的增减性有何影响？2.已知等差数列的公差为d ，第m 项为m a ，第n 项为n a （n>m ）则n a =m a +_________3.已知一个等差数列的首项是1a ，公差为d ，（1）将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（2）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（3）取出数列中所有项数是7的倍数的项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（4）数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++......是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？【预习自测】1.在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B 等于（ ） A ．30 B.60 C.90 D.不能确定2.若{a n }是等差数列，则,,,543432321a a a a a a a a a ++++++987a a a ++,……,n n n a a a 31323++--,……( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D ．一定是递减数列 3.已知等差数列{a n }中，741a a a ++=39，33852=++a a a ，则963a a a ++等于（ ） A ．30 B.27 C.24D.21【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究 探究一：等差数列的性质问题1：如果数列{a n}是等差数列，首项为a1,公差为d，则通项公式a n=____________=___________.其中变化的量为n，a n，则点(n,a n)在直线____________上；点(n,a n)的横坐标每增加1，函数值增加_____.问题2：等差数列的性质：已知一个等差数列{a n}，其中首项是a1，公差为d，（1）下标成等差数列且公差为m的项a k，a k+m，a k+2m，…（k,m∈N*）组成公差为_____的等差数列.（2）a1+a2，a3+a4,a5+a6，…组成公差为_____的等差数列. a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m,…组成公差为_____的等差数列.（3）若{b n}是公差为d0的等差数列，则数列{pa n+qb n}（p，q为常数）是公差为________的等差数列.（4）若{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都_______，且等于_______________.（5）若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则a m+a n与a p+a q相等吗？说明理由.（6）若m+n=2p，则a m+a n_____2a p，a m+a n_____a2p（填“=”或“≠”）.【归纳总结】等差数列的性质有哪些？数列{a n}为等差数列，首项是a1，公差为d.（1）d＞0,{a n}是递增数列；d＜0，{a n}是递减数列；d=0,｛a n｝是常数列.（2）a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).（3）a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,…组成公差为m2d的等差数列.（4）a m,a2m,a3m,…,a km,…组成公差为md的等差数列.（5）若数列{b n}是公差为b的等差数列，p，q为常数，则{pa n±qb n}是公差为pd±qb的等差数列.（6）若m,n,p,q∈N*，且满足m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.探究二：等差数列性质的应用（重难点）【例1】若{a n}是等差数列，a15=8,a60=20，求a75的值. 【规律方法总结】等差数列{an}的性质：（1）a1+a n=a2+a n-1=….（2）m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q a m+a n=a p+a q.（3）若m,n,p∈N*,且m,n,p 成等差数列，则a m,a n,a p成等差数列.（4）a n=a m+(n-m)d.（5）若数列{a n}是等差数列，则a n=an+b（a,b为常数,n∈N*）.（6）若{a n}与{b n}均为等差数列，则{a n±b n}也是等差数列.【拓展提升】已知等差数列{a n}中,a3a7=-16，a4+a6=0，求{a n}的通项公式.探究三：综合应用（重难点）【例2】数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于( )A.0B.3C.8D.11【规律方法总结】（1）求通项公式常用的方法：①不完全归纳法；②公式法；③叠加法；④累积法.（2）判断一个数列是等差数列常用的方法有：①定义法；②等差中项法；③函数法：若a n=an+b（a,b为常数）,则数列{a n}是等差数列.（3）求数列的最大（小）项常用的方法：①不等式组法；②函数单调性判断法.Ⅱ.我的知识网络图训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A．15 B．30 C．31 D．642.已知{a n}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )A．20 B．48 C．60 D．723. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )．A.a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 Ca3＋a100≤0 D．a51＝04.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于( ) A．4 B．6 C．8 D．125. 在等差数列{a n}中，a18＝95，a32＝123，a n＝199，则n=________.6. 已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20=_________7. 设数列{a n},{b n}都是等差数列, 若711=+ba,2133=+ba, 则=+55ba___。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.2 等差数列导学案(2)
高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，3,,,3a d a d a d a d --++. 当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ . 课后作业1. 在等差数列n 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。
人教版高中数学高二-数学A版必修五2.2等差数列 教案二
数学：2.2《等差数列》教案（新人教A必修5）（原创）一、设计思想1、教材分析：本节内容是在学生学习了数列的一些基本知识之后，转入对特殊数列----等差数列的学习。
是本章的重点内容之一，并且等差数列在日常生活中有着广泛的应用，也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习无论在知识上还是方法上都具有积极的意义。
2、学情分析：学生已具有一定的分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。
3、设计理念：设计本节课时，力求强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验。
教学时不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情景，让学生自己去发现、证明。
充分体现学生的主体地位，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力，培养学生的创造力。
4、教学指导思想：结合学生的实际情况及本节内容特点，我采用的是“问题教学法”，以探究式教学思想为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出结论，从而使学生获得新知识的同时又提高了能力。
二、教学目标：知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。
三、教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。
四、教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
五、教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。
人教版高中数学必修五探究式导学案2：2.2.2等差数列(二)
2.2.2 等差数列之（二）等差数列的基本性质【学习目标】1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；2．理解等差数列的性质3．掌握等差数列的性质及其应用．【重、难点】重点：等差数列的性质及证明.难点：运用等差数列定义及性质解题．【知识链接】（1）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有a n＋1－a n＝________.（2）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有2a n＋1－a n＝________.【答案】（1）d；（2）a n+2【新知探究】探究一.等差数列通项公式的推广问题1. 若已知等差数列{a n}中的第m项a m和公差d，如何表示通项a n？【解析】设等差数列的首项为a1，则a m＝a1＋(m－1)d，得a1＝a m－(m－1)d，∴a n＝a1＋(n－1)d＝a m－(m－1)d＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.【获取新知】（1）广义的等差数列通项公式：a n＝a m＋(n－m)d；（2）由任意两项a m和a n求公差：d=a n−a mn−m.例1.若数列{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．【解析】由题意，该数列的公差d=a60−a1560−15=20−845=415∴a75=a60+(75−60)d=20+15×415=24变式1. 等差数列{a n}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于() A．2 B．20 C．100 D．不确定【答案】A探究二.等差数列与一次函数的关系问题2.（1）等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d与一次函数有什么关系？（2）若数列{a n}的通项公式是一次函数a n＝pn＋q，其中p、q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？【解析】：（1）∵数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：a n＝dn＋(a1－d).显然，当d≠0时，a n是关于序号n的一次函数，其图象是直线f(x)＝dx＋(a1－d)上一系列孤立的点，d为该直线的斜率，a1－d是该直线在y轴上的截距.（2）取数列{a n}中任意两项a n和a n－1(n>1)，则a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝p．显然，这是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列．将一次函数变形为等差数列通项公式的形式为：a n＝pn＋q＝(q＋p)＋(n－1)p，所以该数列的首项a1＝p＋q，公差d＝p.【获取新知】（1）当公差d＝0时，等差数列是常函数，不是一次函数；（2）当公差d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，且其斜率即为公差d，在y轴上的截距为a1－d．探究三. 等差数列的单调性问题3. 根据等差数列与一次函数的关系，你能根据等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d判断它的单调性吗？答：当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．例2. 已知递增数列{a n}满足a1=1，a3=a22−4，则a n=__________【答案】2n−1【解析】由a1=1，a3=a22−4 得1+2d=(1+d)2−4，即d2=4，解得d=±2又{a n}是递增数列，所以d=2，所以a n=1+2(n−1)=2n−1变式2.若a n=n2−kn(n∈N∗)是递增数列，则k的取值范围____________.【答案】k<3【解析】由k2<32得k<3.探究四. 等差数列的性质（一）等差数列的项与序号的关系问题4. 已知数列{a n}是等差数列（1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？为什么？（2）2a n=a n−1+a n+1(n>1)是否成立？据此你能得到什么结论？2a n=a n−k+a n+k(n>1)是否成立？你又能得到什么结论？【获取新知】在等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m＋a n＝a p＋a q .特别地，若m+n=2p，则a m＋a n＝2a p .【解题反思】（1）由a m＋a n＝a p＋a q能推出m+n=p+q吗？（2）由m+n=p能推出a m＋a n＝a p 吗？答：（1）当等差数列{a n}是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m+n=p+q；当等差数列{a n}不是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q一定能推出m+n=p+q.（2）由m+n=p 不能推出a m＋a n＝a p.例3. 已知数列{a n}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝_______.【答案】234【解析】∵a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13 ∴a9＝117 ∴a3＋a15＝a9＋a9＝234.变式3.已知等差数列{a n}中，a2＋a6＋a10＝1，则a3＋a9＝______.【答案】23【解析】由等差数列的性质，知a2＋a10＝2a6，又a2＋a6＋a10＝1.∴3a6＝1，a6＝13∴a3＋a9＝2a6＝23.（二）等差数列的子列的性质问题5. 已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.（1）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（2）如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？（3）你能根据得到的结论做出一个猜想吗？答：（1）组成的新数列是等差数列，它的首项是a1，公差为2d；（2）组成的新数列仍然是等差数列，它的首项是a1+6d= a7，公差为7d；}也是等差数（3）若数列{a n}和{k n}都是等差数列，其公差分别为d1，d2，则{a kn列，且公差为d1∙d2.（三）等差数列的其他性质问题6.设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，判断{pa n+qb n}(p，q 为常数)是否为等差数列？如果是，给出证明，并写出首项和公差；如果不是，请说明理由.答：{pa n+qb n}是等差数列证明：令c n=pa n+qb n，则 c n+1−c n=(pa n+1+qb n+1)−(pa n+qb n)=p(a n+1−a n)+q(b n+1−b n)=pd1+qd2.∴{pa n+qb n}是等差数列，且首项为pa1+qb1，公差为pd1+qd2.【解题反思】（1）当p=q=1时，你能得到什么结论？（2）当p=k，q=0时呢？答：（1）当p=q=1时，得{a n+b n}是首项为a1+b1，公差为d1+d2的等差数列.（2）当p=k，q=0时，{ka n}也是等差数列，且公差为kd1.例4. 设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= _______.【答案】35【解析】两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{c n}，则{c n}为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.。
高中数学 2.2等差数列 精品导学案2 新人教A版必修5
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.2等差数列（2）导学案 新人教A 版必修5班级 组别 组号_________姓名 【学习目标】1、 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2、 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.【自主学习】复习1：什么叫等差数列？复习2：等差数列的通项公式是什么？【合作探究】1、 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2、 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？3、 判别一个数列是否等差数列的三种方法： （1）1n n a a d +-=（证明时使用） （2）q pn a n += （3）2n S an bn =+典型例题例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d 。
小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出。
例2 在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +。
【目标检测】 A 级 必做题1、 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值。
2、等差数列{}n a 中，1a ，10a 是方程2350x x --=的两根，则56a a +＝（ ） A. 3 B. 5 C. －3 D. －53、等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d ＝4、若48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝B 级 选做题已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？【作业布置】 任课教师自定教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
[精品]新人教A版必修5高中数学第二章2.2等差数列(第2课时)导学案
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第2课时等差数列的性质1．复习巩固等差数列的概念及其通项公式．2．掌握等差中项的应用．3．掌握等差数列的性质，并能解决有关问题．1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，公差通常用字母d表示．定义还可以叙述为：在数列{a n}中，若a n＋1－a n＝d(n∈N*)，d为常数，则数列{a n}是等差数列．常数d称为等差数列的公差．(2)通项公式：a n＝____________，a1为首项，d为公差．【做一做1－1】等差数列{a n}的公差d＝2，a1＝2，则a n等于( )A．2 B．2n－2 ．2n D．2n＋2 【做一做1－2】在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________2．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的______．由a，A，b成等差数列，得A－a＝b－A，所以A＝a＋b2反过，如果A＝a＋b2，那么2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a，A，b成等差数列．【做一做2】＋1与y－1的等差中项为10，则＋y等于( )[] A．0 B．10 ．20 D．不确定答案：1．(1)同一个常数公差(2)a1＋(n－1)d【做一做1－1】【做一做1－2】 132．等差中项【做一做2】1．等差数列的性质剖析：若数列{a n}是公差为d的等差数列，则(1)当d＝0时，数列为常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．(2)d＝a n－a1n－1＝a－a－(，n，∈N*)．(3)a n＝a＋(n－)d(，n∈N*)．(4)若＋n＝p＋q(，n，p，q∈N*)，则a＋a n＝a p＋a q(5)若＋n2＝，则a＋a n＝2a(，n，∈N*)．(6)若数列{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a i＋1＋a n －i＝…(n，i∈N*)．(7)数列{λa n＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．(8)下标成等差数列且公差为的项a，a＋，a＋2，…(，∈N*)组成公差为d的等差数列．(9)若数列{b n}也为等差数列，则{a n＋b n＋b}(，，b为常数)是等差数列．由等差数列的定义及通项公式易证明性质(1)(2)(3)(4)(6)(8)(9)，下面证明其他两个．[]证明性质(5)：∵a n＝a1＋(n－1)d，∴a＝a1＋(－1)d，a＝a1＋(－1)d，∴a＋a n＝2a1＋(＋n－2)d＝2a1＋(2－2)d＝2a1＋2(－1)d＝2[a1＋(－1)d]＝2a证明性质(7)：∵a n＝a1＋(n－1)d，且λ，b为常数，∴λa n＋b＝λ[a1＋(n－1)d]＋b＝(λa1＋b)＋(n－1)λd，λa n－1＋b＝λ[a1＋(n－2)d]＋b＝(λa1＋b)＋(n－2)λd，∴(λa n＋b)－(λa n－1＋b)＝λd(常数)，∴数列{λa n＋b}也是等差数列，公差为λd2．对问题“等差数列{a n}中，若＝p＋q(，p，q∈N*)，则a＝a p ＋a q不成立”的理解剖析：要解决这个问题，我们还是回到性质“等差数列{a n}中，当，n，p，q∈N*，＋n＝p＋q时，a＋a n＝a p＋a q”的推导中．事实上，由于a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d＝n＋b(，b为常数)，所以我们有a＝＋b，a p＝p＋b，a q＝q＋b，则a p＋a q＝(p＋q)＋2b，令＋b＝(p＋q)＋2b，注意到＝p＋q，所以b＝0这告诉我们，当且仅当b＝0，即a1＝d时，上述结论才成立，而对于一般等差数列而言，a1≠d因此等差数列{a n}中，若＝p＋q，则a＝a p＋a q不一定成立．这个事实告诉我们，在习中遇到一些似是而非的问题时，要加以推理论证，而不要随意地类比迁移．题型一等差数列性质的应用【例题1】设{a n}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8分析：方法一：依性质“若＋n＝p＋q，则a＋a n＝a p＋a q”求解即可．方法二：将a3＋a4＋a5＋a6＋a7用a1，d表示，再将a2＋a8用a1，d表示，从中寻找关系解决．反思：(1)比较方法一和方法二，显然方法一要优于方法二，因此要注意灵活运用性质解题．(2)等差数列的性质实质上是数列的定义、通项、等差中项的综合应用，因此应用得法可为解题带极大的方便，如本题方法一．题型二等差中项的应用【例题2】已知三个数成等差数列并且是递增数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．分析：充分利用等差中项的定义求解未知量．反思：当三个数或四个数成等差数列时，可设出这几个数，由已知条件列方程组求解，如本题解法一；也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用已知条件列方程(组)先求出其中的a与d，再进一步解题，如本题解法二．题型三等差数列的综合问题【例题3】一个等差数列的首项为125，公差d＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围．分析：从第10项起每一项都大于1是指错误!转化为解不等式组．反思：等差数列是关于n的一次函数(d＝0时为常数函数)，对于有关单调性、取值范围的问题，可先结合已知条件利用通项公式，得到一个以a1和d为未知数的方程或不等式，再利用函数、不等式的有关方法解决．题型四易错辨析【例题4】设数列{a n}是等差数列，a p＝q，a q＝p(p≠q)，试求a p＋q错解：∵数列{a n}是等差数列，∴a p＋q＝a p＋a q＝p＋q错因分析：性质a＋a n＝a p＋a q中必须是两项相加等于两项相加，如a7＋a8＝a6＋a9，并不是下标和相等即相等，如a15＝a7＋8≠a7＋a8反思：利用等差数列的性质解决问题时，所用的性质必须是经过证明成立的，才能应用，否则不能应用．答案：【例题1】解：方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180方法二：∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d，即5a1＋20d＝450，∴a 1＋4d ＝90∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180 【例题2】 解法一：设这三个数为a ，b ，c ，则由题意，得2222,18,116,b a c a b c a b c ⎧=+⎪++=⎨⎪++=⎩解得a ＝4，b ＝6，c ＝8[] 故这三个数是4,6,8解法二：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ， 由已知，得222()()18,()()116,a d a a d a d a a d -+++=⎧⎨-+++=⎩①②由①，得a ＝6代入②，得d ＝±2 ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去． ∴这三个数为4,6,8【例题3】 解：设等差数列为{a n }， 由d ＞0，知a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…， 依题意，有错误! 即错误!错误!解得875＜d ≤325，即公差d 的取值范围是错误!【例题4】 正解：设数列{a n }的公差为d ， ∵a p ＝a q ＋(p －q )d ， ∴d ＝a p －a q p －q ＝q －pp －q＝－1 从而a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0， ∴a p ＋q ＝1已知等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，则a 3＝__________2已知数列{a n }是等差数列，若a 1－a 5＋a 9－a 13＋a 17＝117，则a 3＋a 15＝__________3在数列{a n }中，a 1，a 12是方程25x -＝0的两根，若{a n }是等差数列，则a 5＋a 8＝__________4在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＞31，求公差d 的取值范围．5已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数．答案：1．4 22344．解：由题意，可知11410,1131.a d a d +=⎧⎨+>⎩解得d ＞3所以d 的取值范围是(3，＋∞)．5．解：由题意，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则()()15,()()9,a d a a d a d a d -+++=⎧⎨-+=⎩解得5,4a d =⎧⎨=⎩或5,4.a d =⎧⎨=-⎩所以，当d ＝4时，这三个数为1,5,9； 当d ＝－4时，这三个数为9,5,1[。
高中数学第二章数列2.2等差数列二导学案新人教A版必修5
2.2等差数列（二）【教学目标】1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.2等差数列（二）》课件“复习回顾”部分，对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理等差数列的性质阅读教材P39探究及练习第4,5题，完成下列问题．1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是一固定常数；当d≠0时，a n 相应的函数是一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n ＝a p＋a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){a n}的公差为d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．三、合作探究问题1 已知等差数列{a n}的首项a1和公差d能表示出通项a n＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项a n?提示：设等差数列的首项为a1，则a m＝a1＋(m－1)d，变形得a1＝a m－(m－1)d，则a n＝a1＋(n－1)d＝a m－(m－1)d＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.问题2 由思考1可得d＝a n－a1n－1，d＝a n－a mn－m，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？提示：等差数列通项公式可变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a 1)，(n ，a n )，(m ，a m )都是这条直线上的点．d 为直线的斜率，故两点(1，a 1)，(n ，a n )连线的斜率d ＝a n －a 1n －1.当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时，有d ＝a n －a mn －m .问题3 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？提示：利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….问题4 若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？提示：∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋d ＝2d .∴{a n ＋a n ＋2}是公差为2d 的等差数列．探究点1 等差数列推广通项公式的应用例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式．提示：因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2.又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.名师点评：灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．探究点2 等差数列与一次函数的关系例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？提示：取数列{a n}中任意相邻两项a n和a n－1(n>1)，求差得a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.它是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列．由于a n＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.名师点评：本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．探究点3 等差数列性质的应用例3 已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．提示：方法一因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，a n＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，a n＝a4＋(n－4)d＝13－2n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5，①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，②解①，②组成的方程组，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即a n＝－1＋2(n－1)＝2n－3或a n＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{a n}中，若m＋n ＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s?提示：设公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，a r＝a1＋(r－1)d，a s＝a1＋(s－1)d，∴a m＋a n＋a p＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，a q＋a r＋a s＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s.2．在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝______.提示：∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.名师点评：解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a n}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．四、当堂检测1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( )A ．3B ．－6C ．4D ．－32．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( )A ．32B ．－32C ．35D ．－353．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A ．3B ．－3C.32D ．－32提示：1．B 2.C 3.A五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容? 提示：1．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．2．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．。
高中数学 2.2《等差数列(2)》导学案 新人教A版必修5
2.2《等差数列（2）》导学案【学习目标】1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 【重点难点】重难点：等差数列性质的灵活应用。
【知识链接】（预习教材P 39 ~ P 40，找出疑惑之处） 复习1：什么叫等差数列？复习2：等差数列的通项公式是什么？【学习过程】 ※ 学习探究探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？※ 典型例题例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .变式：在等差数列{}n a 中， 若56a =，815a =，求公差d 及14a .小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出. 例2、在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.变式：在等差数列{}n a 中，已知234534a a a a +++=，且2552a a =g ，求公差d .小结：在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+，可以使得计算简化. ※ 动手试试练1. 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？【学习反思】 ※ 学习小结1. 在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.※ 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：（1）a a d -=；（2）(0)n a pn q p =+≠；（3）2n S an bn =+. 【基础达标】）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一个等差数列中，1533a =，2566a =，则35a =（ ）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，则12a 的值为（ ）. A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=，则56a a +＝（ ）. A. 3 B. 5 C. －3 D. －54. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d ＝ .5. 若48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 【拓展提升】1. 若 12530a a a +++=L ， 671080a a a +++=L ， 求111215a a a +++L .2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.。
2014人教A版数学必修五 2.2 《等差数列》(1)导学案
定义判断一个数列是等差数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
学习过程
复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？
新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示.
2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列，
这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为A=
探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
若一等差数列{}n a的首项是1a，公差是d，则据其定义可得：
=
由此归纳等差数列的通项公式可得：
1和公差
n
※典型例题
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵－401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.。
必修五第二章数列导学案2.2.2等差数列(二)讲案
课题：等差数列（第二课时）【学习目标】1．明确等差中项的概念，熟练掌握等差数列的通项公式；2．灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题；第一环节：导入学习（激情导入）（约3分钟）复习回顾（提问）1、等差数列定义：a n－a n－1＝d(n≥2)，2、等差数列通项公式：a n＝a1＋(n－1)d(n≥1)3、推导公式：a n＝a m＋(n－m)d第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟）（一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）请同学们来思考这样一个问题.问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a＝b－A，即：a＝a＋b 2.反之，若A＝a＋b2，则2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差数列.总之，A＝a＋b2⇔a，A，b成等差数列.如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝3＋72，同时还满足5＝1＋92.再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝5＋92＝3＋112＝1＋132.看来，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5依此类推，可得在一等差数列中，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用）［例1］梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用{a n}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即：110＝33＋11d，解得：d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.第三环节：互助学习（约7分钟）［例2］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.解：设此三数分别为x－d、x、x＋d则⎩⎪⎨⎪⎧（x－d）＋x＋（x＋d）＝15（x－d）2＋x2＋（x＋d）2＝83解得x＝5，d＝±2.∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.［例3］已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于(解析 法一 由题意可得⎩⎨⎧a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.［例4］设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.第四环节：展示学习（约7分钟）第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）（约8分钟） 1.需掌握等差中项概念，及A ＝a ＋b 2与a ，A ，b 成等差数列的关系。
高中数学2.2等差数列通项公式导学案新人教A版必修5
2.2 等差数第 1 课时等差数列的观点及通项公式案【学目】1．正确理解等差数列、等差中的观点，掌握等差数列通公式的求解方法，能熟用通公式解决等差数列的有关.2．通等差数列观点的研究和通公式的推，领会数形合思想、化思想、思想，培育学生数学的察、剖析、归纳和的能力.3．激情参加、惜高效，利用数列知解决详细，感觉数列的用价.【要点】：等差数列的观点及等差数列通公式的推和用.【点】：等差数列中“等差”特点的理解、掌握和用.【学法指】1.研究本上的基知，初步掌握等差数列通公式的求法;2.达成教材助置的，而后合本的基知和例，达成自； 3.将中不可以解决的出来，并写到后边“我的迷惑” .Ⅰ . 有关知1.数列有几种表示方法？2.数列的与数有什么关系？3函数与数列之有什么关系？Ⅱ . 教材助1. 一般地，假如一个数列从第起，每一与它的前一的差等于常数，那么个数列就叫做等差数列，个常数叫做等差数列的，公差往常用字母表示。
2.由三个数a、 A、b 成的数列能够当作最的等差数列。
A 叫做 a 与 b 的等差数列即3. 假如数列 { a n }是公差 d 的等差数列，a2a1，a3a1，a4a1a5a1,......, a n a14．通公式a n=an+b（a,b常数）的数列都是等差数列？反之，建立？【自】1.等差数列 a 2d ，a, a 2d ⋯⋯.的通公式是（）A．a n a(n 1)d B.a n a (n 3) dC．a n a2(n2) d D.a n a2nd2. 已知数列 {a n}的通公式a n32n，它的公差（）A． 2 C.2 D.33．已知a11， a 与 b 的等差中3， b3224. 在等差数列 { a n } 中，已知a310, a928, a12【我的迷惑】研究案Ⅰ. 疑研究——疑解惑、合作研究研究点一：等差数列的观点和通公式1：等差数列观点的理解（ 1）怎样用数学符号来描绘等差数列？（ 2）若把等差数列观点中的“同一个”去掉，个数列_______等差数列 . （填“是”或“不是” ）（ 3）d等差数列 {a} 的公差，当＞ 0， {a} ______数列；n n当 d＜0， { a } ______数列；当d=0 ， { a } _____数列 .n n【规律方法总结】研究二：怎样推导等差数列n在应用等差数列的通项公式解题时 ,对这四个{a } 的通项公式？量 , 知道此中量就能够求余下的量.【拓展提高】已知等差数列 { a } 的公差不为零，a，a是方程n12研究三：等差中项的理解x2-3 4 0的根，求数列{a n}的通项公式.a x+a =在等差数列中，从第 2 项起，每一项 ( 有穷数列的末项除外 ) 都是它的前一项与后一项的___________；反之，假如一个数列从第 2 项起，每一项 ( 有穷数列的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等差中项，即2a n+1= ___________ ，那么这个数列是 ___________.【归纳总结】1.等差数列的观点是的主要依照 .2.推导通项公式时不要忘掉查验的状况（特别是叠加法） .研究点3：等差数列实质应用（重难点）3.通项公式的说明：【例 3】梯子的最高一级宽33 cm, 最低一级宽110 cm, 中间还有10 级，各（ 1）在a =a +( n-1) d 中，已知就能够求级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度.n1出（方程思想） .（2）求通项公式时要学会运用“基本量法”，即研究点 1：等差数列的判断方法（要点）【例 1】判断数列 { an} 能否为等差数列：（ 1）a n=2n-1 ；（ 2）a n=(-1)n；（3） a n=an+b( a, b 为常数).【规律方法总结】（ 1）在实质问题中，若波及一组与次序有关的数的问题，可经过解决；若这组数平均地递加或递减，则可经过解决 .（ 2）用数列解决实质问题时，必定要分清等要点词.【规律方法总结】判断数列 { a n} 是等差数列的方法：（ 1）定义法：；（ 2）等差中项：( n≥ 2, n∈N* ) ；（ 3）研究点 2：求解通项公式（重难点）【例 2】在等差数列 { a n} 中 , 已知a5=10, a12=31，求：（1）首项a1与公差d；（2）通项公式a n.Ⅱ . 我的知识网络图观点等差数列判断方法案一、基稳固 ------ 把的事做好就叫不！1 ．等差数列 { a n} ：— 3，— 7，— 11，⋯⋯⋯ . 的通公式（）A．a n4n1 B.a n4n7 C.a n4n 1 D.a n4n 72 ．已知等差数列 {a } 的首2，末 62，公差4，个数列共有（）nA． 133.已知等差数列{a n } 中， a10=10， a12=16，个数列的首是（）A ．-6B． 6C．-17 D． 174．等差数列 {a n} 中，已知a114 ， a n33 ，n等于（， a2 a5）3A． 485 ．已知数列 a， --15 ， b，c， 45是等差数列，a+b+c 的是（）A． --56．等差数列 {a } 中，a160 ， a n1 a n 3。
必修五2.2等差数列学案
必修五2.2等差数列学案【使用说明】：1.课前完成预习，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过25分钟；2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑；3.小组长在课上讨论环节要在组内期引领作用，控制讨论节奏；4.必须牢记的内容：等差数列；“转化及方程”的基本思想一．学习目标1、知识与技能：明确等差中项的概念；探索并熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像理解等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
2、过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的使用，渗透方程思想。
3、情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
重点：理解等差数列的概念及其性质，并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
二．问题导学（一）预习问题：1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个 数叫做等差数列的 ； 通常用字母d 表示。
2、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ，即=A 2 或=A 。
*3、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。
4、等差数列的通项公式：=n a 。
5、判断正误：①1，2，3，4，5是等差数列； （ ） ②1，1，2，3，4，5是等差数列； （ ） ③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； （ ） ④数列3,2,1,---a a a a 是公差为1-a 的等差数列； （ ） ⑤数列{2n+1}是等差数列； （ ） *⑥若c b b a -=-，则c b a ,,成等差数列 （ ）* ⑦若()*1N n n a a n n ∈=--，则数列{}n a 成等差数列；（ ） * ⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列；（ ）* ⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。
高中数学 第二章 2.2等差数列(二)导学案新人教A版必修5
§2.2 等差数列(二) 课时目标1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式．2．熟练运用等差数列的常用性质．1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m ≠n )，则a m －a n m －n＝d . 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与 a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q .一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4 B ．6C ．8D ．10答案 C 解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. 2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B ．± 3C ．－33D ．－ 3 答案 D解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．4答案 B解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.4．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.5．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－82答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.6．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( )A ．p ＋qB ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2答案 B解析 ∵d ＝a p －a q p －q ＝q －p p －q＝－1， ∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0.二、填空题7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________.答案 24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415， ∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________. 答案 1解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35.∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.9．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______. 答案125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124. 所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125. 10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则 |m －n |＝________.答案 12解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12，∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716， m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716， ∴|m －n |＝12. 三、解答题11．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.12．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式． 解 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .能力提升13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )A ．18B ．9C ．12D ．15答案 D解析 设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，公差为d ，则27＝3＋8d ，d ＝3.故a 4＝3＋4×3＝15.14．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…，{b n }：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？解 在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4，∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1.令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，∴n ＝4m 3－1. ∵m 、n ∈N *，∴m ＝3k (k ∈N *)，又⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25，∴k ＝1,2,3，…，25∴两个数列共有25个公共项．1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a n＋a m＝a p＋a q(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p.。
高中数学 2.2 等差数列教案 新人教A版必修5
等差数列教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
教学重点：教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用。
准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件。
通项公式是研究一个数列的重要工具。
教学难点：（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
学情分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、情景引入：1．观察梯田图片让学生对等差数列有一个直观的认识。
2．由生活中具体的数列实例引入（1）在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，你能预测出下一次的大致时间吗？1682，1758，1834，1910，1986，（）（2）你能根据规律在（）内填上合适的数吗？1，4，7，10，（），16，…2， 0， -2， -4， -6，（）…引导学生观察：以上3个数列有何规律?引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列. （板书课题）二. 新课探究，推导公式1.学生自主归纳等差数列的概念．如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
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课题：2.2等差数列
一、【学习目标】
1、理解等差数列的概念，会判断一个数列是否为等差数列。
2、掌握等差数列的通项公式，会运用通项公式解决等差数列问题。
二、【重点难点】
重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式；难点是判定一个数列是否为等差数列。
三、【学习新知】
（一）、复习旧知：
1、数列的定义：。
2、数列的通项公式：。
3、数列的表示方法：。
4、递推关系：。
(二)、了解新知：
知识点一等差数列的概念
问题1：同学们观察下面的三个数列：
（1）0，5，10，15，20， ，
（2）48，53，58，63，68， ，
（3）0，2，4，6，8， ，
思考：这些数列有什么共同特点呢？
1、等差数列的定义：如果一个数列从第项起，每一项与它前面一项的都等于，那么这个数列就叫做等差数列。
其中这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示。
该定义的符号表示为或。
即要证明数列{}n a是等差数列，只需证明，当2≥n时，。
知识点二等差中项的概念
问题2：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？
2、如果三个数a，A，b成，那么A叫做a与b的等差中项。
知识点三等差数列的通项公式
a和公差d，能否得到它的通项公式呢？合作探究1：如果任意给了一个等差数列的首项
1
方法有哪些？
a。
3、等差数列的通项公式=
n
四、【典例分析】
例1、（1）求等差数列8，5，2， ，的第20项；
（2）401-是不是等差数列 ,13,9,5---的项？如果是，是第几项？
例2、某市出租车的计价标准为km /2.1元，起步价为10元，即最初的km 4（不含km 4） 计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往km 14处的某地且一路畅通，等待时间 为0，需支付多少车费？
例3、已知数列{}n a 的通项公式q pn a n +=，其中q p ,为常数，那么这个数列一定是等 差数列吗？
小结：证明等差数列的方法有哪些？
合作探究二：等差数列q pn a n +=的图像与一次函数q px y +=的图像之间有什么关系？
五、【达标自测】
1、等差数列{}n a 中，已知33,4,3
1521==+=n a a a a ，则n 为（ ） A 、48 B 、49 C 、50 D 、51
2、等差数列的相邻4项是b a b a a +++,,3,1，那么b a ,的值分别是（ ）
A 、2，7
B 、1，6
C 、0，5
D 、7，2
3、等差数列 ,34,37,40中第一个负数项是（ ）
A 、第13项
B 、第14项
C 、第15项
D 、第16项
4、在等差数列{}n a 中，已知13,2321=+=a a a ，则=++654a a a （
） A 、40 B 、42 C 、43 D 、45
5、在等差数列{}n a 中，99,105642531=++=++a a a a a a 则20a 等于（
） A 、1- B 、1 C 、3 D 、7
6、已知数列的通项公式为n a n 31-=，则这个数列是等差数列吗？
六、【归纳总结】
1.本节课学到了哪些知识点？
2.在我们探究过程中，主要运用了哪些策略和数学思想？。